(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析

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专业知识整理分享 集合问题中常见易错点归类分析

有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下：

1．代表元素意义不清致误

例1 设集合A ＝｛（x , y ）∣x ＋2 y ＝5｝，B ＝｛（x , y ）∣x －2 y ＝－3｝，求A I B ． 错解： 由???-=-=+3252y x y x 得???==2

1y x 从而A I B ＝{1，2}． 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集，

所以A I B ＝{(1，2)}

例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．

错解： 显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ．

分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，从而A ＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B 中的元素为x , 所以B ＝{ x ∣x ≥0}，故A ∩B=A ．

变式：已知集合}1|{2+==x y y A ，集合}|{2y x y B ==，求B A I

解：}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ，R y x y B ===}|{2

}1|{≥=y y B A I

例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2

=--=x x x B ，判断A 与B 的关系。

错解：}32{，-==B A

分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故A 与B 不具包含关系。

例4设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ?B }，则A 与B 的关系是( )

A ．A ?

B B ．B ?A

C ．A ∈B

D ．B ∈A

错解：B

分析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，?，

∴A ＝{x|x ?B}＝{{1}，{2}，{1,2}，?}，从集合与集合的角度来看待A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B 与Ａ，∴B ∈A.

评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错．

2 忽视集合中元素的互异性致错

例5 已知集合A={１，3，a }，B={１，2a －a ＋１}, 且A ?B ，求a 的值．

错解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２．

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专业知识整理分享 分析 当a ＝１时，A 中有两个相同的元素1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故a ＝－１，２．

例6 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 错解：由2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得 （ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０

（１）当ｂ＝０时，ｘ1 ＝x 2 －１，此时Ａ中的元素之和为－２．

（２）当ｂ≠０时，ｘ1 ＋x 2 ＝－ｂ－２．

分析 上述解法错在（１）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－１，集合Ａ＝｛－１｝，故元素之和为－１，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．

评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。

３．忽视空集的特殊性致误

例7 若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B

A ，求实数m 的值． 错解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．

∵B A ，

（１）}3{-=B

mx ＋1＝0的解为－3，

由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13

； （２）}2{=B

mx ＋1＝0的解为2，

由m ·2＋1＝0，得m ＝－12

； 综上所述，31=m 或2

1-=m 分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了φ=B 的情况。

正解：A ＝{x |x 2

＋x －6＝0}＝{－3,2}．

∵B A ，

（１）φ=B ，此时方程01=+mx 无解，0=∴m

（２）}3{-=B

mx ＋1＝0的解为－3，

由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13

； （３）}2{=B

mx ＋1＝0的解为2，

由m ·2＋1＝0，得m ＝－12； 综上所述，31=

m 或2

1-=m 或0=m 例8 已知}04|{2=+=x x x A ，}01)1(2|{22=-+++=a x a x x B ，若A B ?，求ａ的取值范围。

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专业知识整理分享 解：}0,4{}04|{2

-==+=x x x A

（１）φ=B ，0)1(8)1(4)1(422<+=--+=?a a a ，即1-<a

（２）}4{-=B ，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根－４ 由???=-++-=?01)1(81602a a 得???=-=7

11或a a ，所以无解 （３）}0{=B ，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根０

由???=-=?0102a 得???±=-=1

1a a ，所以1-=a

（４）}0,4{-=B ，方程01)1(222=-+++a x a x 有两不等根－４，０

由??

???-=*-+-=+->?104)1(20402a a 得?????±==->111a a a ，所以 1=a

综上所述，1=a 或1-≤a

例9 已知集合}41|{>-<=x x x A 或，}32|{+≤≤=a x a x B ，若A B ?，求ａ的取值范围。

解：（１）φ=B ，32+>a a 得3>a

（２）φ≠B ，则3≤a

???-<+≤133a a 或???>≤4

23a a 得4-<a 或32≤<a 综上所述4-<a 或2>a

例１０ 已知集合}41|{>-<=x x x A 或，}11|{a x a x B +≤≤-=，若Φ=B A I ，求ａ的取值范围。

解：（1）Φ=B ，则0<a ，符合题意

（2）Φ≠B ，则2041110≤≤???

???<+-≥-≥a a a a

综上所述，2≤a

变式：已知集合}41|{>-<=x x x A 或，}11|{a x a x B +≤≤-=，若Φ≠B A I ，求ａ的取值范围。

解：当Φ=B A I 时，2≤a

所以当Φ≠B A I 时，2>a

评注：对于任何集合Ａ，皆有ＡI φ＝φ，Ａ∪φ＝Ａ，φ?Ａ．φ的特殊性不容忽视．尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。

４．忽视端点值能否取得致误

例11 已知集合A ＝{ｘ∣ｘ≥４，或ｘ＜－５}，Ｂ＝｛ｘ∣a ＋１≤ｘ≤a ＋３｝，若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求a 得取值范围．

错解：由Ａ∪Ｂ＝Ａ得 Ｂ?Ａ．

∴a ＋３≤－５，或a ＋１≥４，解得a ≤－８，或a ≥３．

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专业知识整理分享 分析 ：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当a ＝－８时，不符合题意；当a ＝３时，符合题意，故正确结果应为a ＜－８，或a ≥３．

评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．

５．忽视隐含条件致误

例12 设全集Ｕ＝｛２，３，2a ＋２a －３｝，Ａ＝｛∣２a －１∣，２｝，A C U ＝｛５｝， 求实数a 的值．

错解：∵A C U ＝｛５｝，∴ ５∈Ｓ且 ５?Ａ，从而，2a ＋２a －３＝５，解得a ＝２，或a ＝－４．

分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以Ａ?Ｕ．当a ＝２时，∣２a －１∣＝３∈Ｓ，符合题意；当a ＝－４时，∣２a －１∣＝９?Ｓ，不符合题意；故a ＝２．

评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件．

6、忽视补集的含义致错

例13 已知全集R I =，集合}0|{2<-=x x x M ，集合}11|

{≤=x

x N ，则下列关系正确的是（ ）

A. B. C. D.

错解：}11|{≤=x x N 的补集为}11|{>=x

x N C I ，故选C 。 剖析：本题错误地认为}0)(|{≤=x f x A 的补集为}0)(|{>=x f x A C I 。事实上对于全集R I =，由补集的定义有R A C A I =Y ，但

})(|{}0)(|{}0)(|{R x x f x x f x x f x ∈=>≤有意义，使Y ，即为)(x f 的定义域。所以只有当)(x f 的定义域为R 时才有}0)(|{≤=x f x A 的补集为

}0)(|{>=x f x A C I ，否则先求A ，再求A C I 。

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专业知识整理分享 正解：}10|{}01|{}11|{≥<=≥-=≤=x x x x

x x x x N 或，所以}10|{<≤=x x N C I ，而}10|{<<=x x M ，应选A

7、考虑问题不周导致错误

例14 已知集合},,044|{2

R a R x x ax x A ∈∈=++=只有一个元素，求a 的值和这个元素。

解：（1）0=a ，由044=+x 得1-=x ，此时}1{-=A 符合题意 （2）???=-=?≠0

16160a a 得1=a ，此时}2{-=A 符合题意

综上所述，0=a 或1=a

一、对代表元素理解不清致错。

例1. 已知集合}R x ,16x 6x y |y {B },R x ,x 2x y |y {A 22∈++==∈-==，求B A I 。

错解1：令2x ,16x 6x x 2x 22-=++=-得，所以}8{B A ,8y ==I 。

错解2：令16x 6x x 2x 22++=-，得2x -=，所以}8,2{B A ,8y -==I 。

剖析：用描述法表示的集合}p x |x {∈中，x 表示元素的形式，p x ∈表示元素所具有的性质，集合}R x ),x (f y |)y ,x {(∈=表示函数)x (f 的图象上全体点组成的集合，而本题}R x ),x (f y |y {∈=表示函数)x (f 的值域，因此求B A I 实际上是求两个函数值域的交集。

正解：由},1y |y {}1)1x (y |y {}R x ,x 2x y |y {A 22-≥=--==∈-==

}7y |y {B A },7y |y {}7)3x (y |y {}R x ,16x 6x y |y {B 22≥=≥=++==∈++==I 得。

二、遗漏空集致错。

例2. 已知集合}5x 2|x {A ≤≤-=，}1m 2x 1m |x {B -≤≤+=，若B A ?，求实数m 的取值范围。

错解：解不等式3m 2,51m 21m 2≤≤≤-≤+≤-得。

剖析：空集Φ是特殊集合，它有很多特殊性质，如,A A ,A =ΦΦ=ΦY I 空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。本题错解是因考虚不周遗漏了空集，故研究B A ?时，首先要考虑Φ=B 的情况。

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专业知识整理分享 正解：①若Φ=B 时，则2m ,1m 21m <->+即。

②若2m ,1m 21m ,B ≥-≤+Φ≠即则时。由???≤-+≤-51m 2,1m 2得3m 3≤≤-。所以3m 2≤≤。

由①②知m 的取值范围是]3,(-∞。

三、忽视元素的互异性致错。

例3. 已知集合y x },y |,x |,0{)}x y lg (,x y ,x {+=求的值。

错解：由0xy >，根据集合的相等，只有1x y ,0)x y lg (==。所以可得1|y |1|x |==或。 ???-=-=???==∴1y ,1x 1y 1x 或

所以2y x 2y x -=+=+或。

剖析：当1y x ==时，题中的两个集合均有两个相等的元素1，这与集合中元素的互异性相悖。其实，当}y |,x |,0{}0,1,x {,1xy ==集合时，这时容易求解了。

正解：舍去1y x ==，故2y x -=+。

四、混淆相关概念致错。

例4. 已知全集U=R ，集合222a x )1a (x |x {B },R x ,03a 4ax 4x |x {A +--=∈=+-+=

}R x ,0a 2ax 2x |x {C },R x ,02∈=-+=∈=，若A 、B 、C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围。

错解：对于集合A ，当

21a 23a ,0)3a 4(4)a 4(2≥-≤≥+--=?或得 ①时，A 不是空集。 同理当31a 1≤≤- ②时，B 不是空集；当0a 2a ≥-≤或 ③时，C 不是空集。求得不等式①②③解集的交集是空集，知a 的取值范围为Φ。

剖析：题中“A 、B 、C 中至少有一个不是空集”的意义是“A 不是空集或B 不是空集或

C 不是空集”，故应求不等式①②③解集的并集，得),1[]23,(a +∞---∞∈Y 。

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专业知识整理分享 五、忽视补集的含义致错。

例5. 已知全集R I =，集合}0x x |x {M 2<-=，集合

}1x 1|x {N ≤=，则下列关系正确的是（ ）

A. N C M I ≠?

B. N C M I ≠?

C. N C M I =

D. R N M C I =Y 错解：}1x 1|x {N ≤=的补集为}1x 1|x {N C I >=，故选C 。

剖析：本题错误地认为}0)x (f |x {A ≤=的补集为}0)x (f |x {A C I >=。事实上对于全集R I =，由补集的定义有R A C A I =Y ，但}0)x (f |x {}0)x (f |x {>≤Y )x (f |x {使=有意义，R x ∈}，即为)x (f 的定义域。所以只有当)x (f 的定义域为R 时才有}0)x (f |x {A ≤=的补集为}0)x (f |x {A C I >=，否则先求A ，再求A C I 。 正解：}1x 0x |x {}0x 1x |x {}1x 1|x {N ≥<=≥-=≤=或，所以}1x 0|x {N C I <≤=，而}1x 0|x {M <<=，应选A 。

感悟与提高

1. 设集合}Z k ,412k y |y {B },Z k ,41k x |x {A ∈-==∈+==，则它们之间的关系是（ ）

A. A=B

B. A ≠?B

C. A ≠?B

D. B A ?

2. 已知集合x |m {A 关于=的不等式03m x )1m (2x 22<-+-+有解}，若1x 3y -=，且

A x ∈，则y 的取值范围是__________。

答案提示：1. 由集合A 得)1k 2(41y B ),1k 4(41x -=+=得由集合。B 是由奇数的41组

成，A 是由比4的整数倍大1的数的41组成的，所以A ≠?B ，选C 。

2. 由A 易得2m 0)3m (4)1m (422<?>---。51231x 3y =-?<-=。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o8g1.html