高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.2向量减法运算及其几何意义学案无答案新人教A版

2．2.2 向量减法运算及其几何意义

学习目标 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．

知识点一 相反向量

思考 实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫做什么？ 答案 相反向量．

梳理 (1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量． (2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量． 知识点二 向量的减法

思考 根据向量减法的定义，已知a，b如图，如何作出向量a，b的差向量a－b?

答案 (1)利用平行四边形法则．

→→→→→

如图，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，OC＝－b，以OA，OC为邻边作平行四边形OAEC， →

则OE＝a－b.

(2)利用三角形法则．

→

如图，在平面内任取一点O，作OA＝a， →

OB＝b，则BA＝a－b.

→

知识点三 |a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系

思考 在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？

答案 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

→→→

梳理 当向量a，b不共线时，作OA＝a，AB＝b，则a＋b＝OB，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.

当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.

故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.① 因为|a－b|＝|a＋(－b)|，

所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|， 即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②

将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.

1．相反向量就是方向相反的向量．( × )

提示 相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系． →→

2．向量AB与BA是相反向量．( √ ) →→

提示 AB与BA大小相等、方向相反． →→

3．－AB＝BA，－(－a)＝a.( √ ) 提示 根据相反向量的定义可知其正确． 4．两个相等向量之差等于0.( × ) 提示 两个相等向量之差等于0.

类型一 向量减法的几何作图

例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

考点 向量的减法运算及其应用 题点 求作差向量

→→→→

解 方法一 如图①，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则→

CB＝a＋b－c.

→→→→

方法二 如图②，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作CB＝c，连接

OC，则OC＝a＋b－c.

→

引申探究

若本例条件不变，则a－b－c如何作？

→→→→→

解 如图，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b.再作CA＝c，则BC＝a－b－

c.

反思与感悟 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．

→→→

跟踪训练1 如图所示，O为△ABC内一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c.求作：b＋c－a.

考点 向量的减法运算及其应用 题点 求作差向量

→→

解 方法一 以OB，OC为邻边作?OBDC，连接OD，AD， →→→

则OD＝OB＋OC＝b＋c，

→→→

AD＝OD－OA＝b＋c－a.

→→

方法二 作CD＝OB＝b， →→→

连接AD，则AC＝OC－OA＝c－a， →→→

AD＝AC＋CD＝c－a＋b＝b＋c－a.

类型二 向量减法法则的应用 例2 化简下列式子： →→→→(1)NQ－PQ－NM－MP； →→→→(2)(AB－CD)－(AC－BD)．

考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量

→→→→→→→

解 (1)原式＝NP＋MN－MP＝NP＋PN＝NP－NP＝0. →→→→

(2)原式＝AB－CD－AC＋BD

→→→→→→

＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.

反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点． →→→→

跟踪训练2 化简：(1)(BA－BC)－(ED－EC)； →→→→→→(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)． 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 →→→→

解 (1)(BA－BC)－(ED－EC) →→→＝CA－CD＝DA.

→→→→→→(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB) →→→→→＝AC＋BA－DC＋(DO＋OB)

→→→→＝AC＋BA－DC＋DB →→→→→→＝BC－DC＋DB＝BC＋CD＋DB →→

＝BC＋CB＝0.

类型三 向量减法几何意义的应用

→→→→

例3 已知|AB|＝6，|AD|＝9，求|AB－AD|的取值范围． 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系

→→→→→→→→→→

解 ∵||AB|－|AD||≤|AB－AD|≤|AB|＋|AD|，且|AD|＝9，|AB|＝6，∴3≤|AB－AD|≤15. →→→→

当AD与AB同向时，|AB－AD|＝3； →→→→

当AD与AB反向时，|AB－AD|＝15. →→

∴|AB－AD|的取值范围为[3,15]．

→→→→

反思与感悟 (1)如图所示，在平行四边形ABCD中，若AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，DB＝a－b.

(2)在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a＋b|；当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.

(3)在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同，且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a－b|；当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.

→→→

跟踪训练3 在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，且AC＝a＋b，|a＋b|＝|a－b|，则四边形

ABCD的形状是( )

A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 B

→

解析 ∵AC＝a＋b，∴四边形ABCD为平行四边形， →

又∵DB＝a－b，|a＋b|＝|a－b|， →→

∴|AC|＝|DB|.∴四边形ABCD为矩形.

→→→→

1.如图所示，在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，则用a，b表示向量AC和BD分别是( )

A．a＋b和a－b B．a＋b和b－a C．a－b和b－a D．b－a和b＋a

考点 向量减法的定义及其几何意义 题点 向量减法的定义及其几何意义 答案 B

解析 由向量的加法、减法法则，得 →→→

AC＝AB＋AD＝a＋b， →→→

BD＝AD－AB＝b－a. 故选B.

→→→→

2.OP－QP＋PS＋SP等于( ) →→→→A.QPB.OQC.SPD.SQ

考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 B

3．下列等式成立的个数是( )

①a＋b＝b＋a；②a－b＝b－a；③0－a＝－a；④－(－a)＝a；⑤a＋(－a)＝0. A．5B．4C．3D．2

考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 B

解析 由向量加、减法的定义可知，①③④⑤正确．

→→→

4.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且AB＝a，AC＝b，AE＝c，试用

a，b，c表示向量BD，BC，BE，CD及CE.

→→→→→

考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 ∵四边形ACDE是平行四边形， →→

∴CD＝AE＝c， →→→

BC＝AC－AB＝b－a， →→→

BE＝AE－AB＝c－a， →→→

CE＝AE－AC＝c－b， →→→

∴BD＝BC＋CD＝b－a＋c.

→→

1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB＝BA就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．

2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．

→→

3．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量AB＝a，AD＝b，则两条对角线表示的→→→

向量为AC＝a＋b，BD＝b－a，DB＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.

一、选择题

→→→

1．化简PM－PN＋MN所得的结果是( ) →→→A.MPB.NPC．0D.MN

考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法表示向量 答案 C

→→→→→

解析 PM－PN＋MN＝NM＋MN＝0.

→→→

2．在平行四边形ABCD中，AB＋CB－DC等于( ) →→→→A.BCB.ACC.DAD.BD

考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中的向量加、减法运算 答案 C

→→→→

解析 在平行四边形ABCD中，AB＝DC，CB＝DA， →→→→→→→所以AB＋CB－DC＝(AB－DC)＋CB＝DA.

→→

3．在边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为( ) A．1B．2C.

3

D.3 2

考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 D

解析 如图，作菱形ABCD，

→→→→则|AB－BC|＝|AB－AD| →

＝|DB|＝3.

→

4．(2017·三门峡灵宝三中质检)下列四个式子中可以化简为AB的是( ) →→→→→→→→→①AC＋CD－BD；②AC－CB；③OA＋OB；④OB－OA. A．①④B．①②C．②③D．③④ 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 A

→→→→→→→→

解析 因为AC＋CD－BD＝AD－BD＝AD＋DB＝AB，

→→→

所以①正确，排除C，D；因为OB－OA＝AB，所以④正确，排除B，故选A. 5.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )

→→→A.AD＋BE＋CF＝0 →→→B.BD－CF＋DF＝0 →→→C.AD＋CE－CF＝0 →→→D.BD－BE－FC＝0

考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中的向量加、减法运算 答案 A

→→→1→1→1→1→→→

解析 AD＋BE＋CF＝AB＋BC＋CA＝(AB＋BC＋CA)＝0.

2222→→→

6．若|AB|＝5，|AC|＝8，则|BC|的取值范围是( ) A．[3,8] C．[3,13]

考点 向量减法的定义及几何意义 题点 向量减法的三角不等式 答案 C

→→→

解析 ∵|BC|＝|AC－AB|且

→→→→→→||AC|－|AB||≤|AC－AB|≤|AC|＋|AB|， →→→

∴3≤|AC－AB|≤13，∴3≤|BC|≤13.

→→→→

7.如图，在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC等于( )

B．(3,8) D．(3,13)

A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c

考点 向量加减法的综合运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 A 二、填空题

→→→→→→→

8．化简：(1)PB＋OP－OB＝________；(2)OB－OA－OC－CO＝________.

考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法化简向量 →

答案 (1)0 (2)AB

→→→→→

解析 (1)PB＋OP－OB＝PB＋BP＝0； →→→→→→→→(2)OB－OA－OC－CO＝(OB－OA)－(OC＋CO) →→＝AB－0＝AB.

→→→→

9．已知OA＝a，OB＝b，若|OA|＝12，|OB|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________. 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法运算求向量的模 答案 13

→→

解析 ∵|OA|＝12，|OB|＝5，∠AOB＝90°， →2→2→2→

∴|OA|＋|OB|＝|AB|，∴|AB|＝13. →→

∵OA＝a，OB＝b， →→→

∴a－b＝OA－OB＝BA， →

∴|a－b|＝|BA|＝13.

→→→→→

10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则BA－BC－OA＋OD＋DA＝________.

考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中向量的加、减法运算 →答案 CA

→→→→→→

11．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|BC|＝4，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.

考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系 答案 2

→→→→

解析 以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，AD＝AB＋AC，CB＝→→→→→→→→→→AB－AC，∵|AB＋AC|＝|AB－AC|，∴|AD|＝|CB|，又|BC|＝4，M是线段BC的中点，∴|AM|

1→1→

＝|AD|＝|BC|＝2. 22

→→→12.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则(1)|a＋b＋c|＝________； (2)|a－b＋c|＝______.

考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 利用向量的加、减法运算求向量的模 答案 (1)22 (2)2

→→→解析 (1)由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC，

→

∵AC＝c，∴延长AC到E， →→使|CE|＝|AC|. →

则a＋b＋c＝AE， →

且|AE|＝22. ∴|a＋b＋c|＝22. →→

(2)作BF＝AC，连接CF， →→→则DB＋BF＝DF，

→→→→→

而DB＝AB－AD＝AB－BC＝a－b， →→→→

∴a－b＋c＝DB＋BF＝DF且|DF|＝2. ∴|a－b＋c|＝2.

→→→

13.如图所示，在正六边形ABCDEF中，与OA－OC＋CD相等的向量有________．(填序号)

→→→→→→→→→→①CF；②AD；③DA；④BE；⑤CE＋BC；⑥CA－CD；⑦AB＋AE. 考点 向量加、减法的综合运算及应用 题点 几何图形中向量的加、减法运算 答案 ①

→→→→→→

解析 ∵OA－OC＋CD＝CA＋CD＝CF， →→→→→→CE＋BC＝BC＋CE＝BE≠CF， →→→→→→→→CA－CD＝DA≠CF，AB＋AE＝AD≠CF， ∴填①. 三、解答题

→→

14．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b.

(1)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直； (2)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|. 考点 向量减法的定义及其几何意义的应用 题点 向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系

解 (1)若a＋b与a－b垂直，即平行四边形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为菱形，所以a，b应该满足|a|＝|b|.

(2)|a＋b|＝|a－b|表示平行四边形的两条对角线长度相等，这样的平行四边形为矩形，故a，

b应互相垂直．

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