2011年中考试题分类 - -一次函数与反比例函数的综合应用

一、选择题

1. （2011湖北宜昌，15，3分）如图，直线y=x+2与双曲线y=

取值范围在数轴上表示为（ ）

m?3在第二象限有两个交点，那么m的x

（第15题图）

【答案】B

【思路分析】因双曲线y=

m?3m?3

在第二象限，则m?3?0，故m?3；由直线y=x+2与双曲线y=xxm?32在第二象限有两个交点，可得x+2=，x?2x?(m?3)?0，即??4?4(m?3)?0，所以m?2，

x

综合得2?m?3，对照数轴上的解集情况选B.

【方法规律】考查了不等式解集的数轴表示，注重了图形结合，将图象的交点问题转化为方程组有无解的问题，从而做到“数形结合”是解决问题的关键．

【易错点分析】解不等式组问题，要注意不等式在数轴上表示的时候关注方向，关注实心还是空心，哪一部分为重合部分。

【关键词】不等式，反比例函数与一次函数，数形结合 【推荐指数】★★★ 【题型】常规题

2. （2011贵州毕节，9，3分）一次函数y?kx?k(k?0)和反比例函数y?中的图象大致是( )

k(k?0)在同一直角坐标系xy y y y x x D．

O A． x O B． x O C． O 【答案】C

【思路分析】①当k＞0时，一次函数经过一二三象限，反比例函数在一三象限，没有答案；②当k＜0时，一次函数经过二三四象限，反比例函数在二四象限。故选C。

【方法规律】主要考查一次函数、反比例函数图象的位置，解决这类问题需对k进行分类讨论。 【易错点分析】对于一次函数图象的位置搞不清楚，两种函数图象放一块时，不知如何入手. 【关键词】一次函数图象，反比例函数图象，分类讨论 【推荐指数】★★☆☆☆ 【题型】常规题

3. （2011浙江台州，9，4分）如图，反比例函数y?m的图象与一次函数y?kx?b的图象交于点M，xmN，已点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x的方程＝kx?b的

x解为（ ）

A．－3，1 B．－3，3 C．－1，1 D.3，－1

【答案】A

【思路分析】把M点的坐标代入y?＝－3，故关于x的方程

m33，求得m＝3，所以得y＝，再把y＝－1代入y＝求得xxxxm＝kx?b的解为x＝－3，1 xm【方法规律】关于x的方程＝kx?b的解即是反比例图象与一次函数图象的交点的横坐标，故只

x要求出N点的横坐标，本题即可写出解。

【易错点分析】在方法中，可能会出现先求k、b，再代入方程中去求解错误 【关键词】反比例函数与一次函数的综合 【推荐指数】★☆☆☆☆ 【题型】常规题

4. （2011安徽芜湖，10,4分）二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，则反比例函数y?数y?bx?c在同一坐标系中的大致图象是（ ）.

2a与一次函x【答案】D

【思路分析】由已知得c?0，y?

aa和y?bx?c即分别为y?和y?bx，其中a?0,b?0,故选D. xx【方法规律】考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质.

【易错点分析】对二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质不能全面理解. 【关键词】函数图象与性质. 【推荐指数】★★★★☆ 5．（2011四川乐山，10，3分）如图（6），直线 y?6?x 交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数

4(x?0)图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作xy轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则AF?BE? A．8 B．6 C．4 D．62 y?

_ y_ B_ N_ E_ P_ F_ MO_ _ A_x 图（6） 【答案】A

【思路分析】可设点P的坐标为（a，b），由图可得BE=2a，AF=2b，AF?BE?

2a22b=2ab=234=8

【方法规律】若设反比例y?

k

上一点坐标为（a，b），则ab=k x

【易错点分析】这是一道很好的运动性问题，有点同学总认为要求出AF和BE 【关键词】反比例函数 【推荐指数】★★★★☆ 【题型】新题，好题

二、填空题

1.（2011四川成都，25，4分）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y?2k(k?0)满足：当x?0x时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y??x?3k都经过点P，且OP?7，则实数k=_________.

【答案】

7. 32k?y??x【思路分析】设P(x,y)，∵OP?7 ∴x2?y2?7．由题意知：? 化简得?y??x?3k??x?y?3k72 ∴x2?y2?(x?y)2?2xy?(3k)2?2?2k?3k2?4k ∴3k?4k?7 ∴k??3?xy?2k7

或k??1，由反比例函数的性质知k?0，∴k?

3

【方法规律】利用已知条件构造一元二次方程求解，注意公式变形x2?y2?(x?y)2?2xy的原理．

【易错点分析】大部分同学往往由方程组试图求出交点P的坐标，这样麻烦且不易解出． 【关键词】反比例函数，一次函数． 【推荐指数】★★★★☆

【题型】新题，好题，难题，易错题．

2．(2011江苏南京，15，2分)设函数y?

__________． 【答案】?211与y?x?1的图象的交点坐标为（a，b），则?的值为xab1 2

2??a?2?a??12?b?【思路分析】将点（a,b）代人函数y?与y?x?1，得?或?，将解a，解方程得?xb?1b??2????b?a?1111代人?得?．

ab2【方法规律】当知道函数的交点坐标的时候，就是将点的坐标代入函数关系式，组成方程组进行求解． 【易错点分析】求解方程组的时候出错. 【关键词】一次函数，反比例函数 【推荐指数】★★★☆☆ 【题型】常规题，新题.

三、解答题

1.（2011安徽，21，12分）如图，函数y1?k1x?b的图象与函数y2?（1）求函数y1的表达式和B点的坐标；

（2）观察图象，比较当x?0时，y1与y2的大小.

y C B A O

【解】（1）由题意，得?x

k2（x?0）的图象交于A、B两x点，与y轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）．

?2k1?b?1,?k1??1, 解得? ∴ y1??x?3;

b?3.b?3.?? 又A点在函数y2?k2k2上，所以 1?2，解得k2?2, 所以y2?;

xx2?y??x?3?x1?1?x2?2?解方程组?得?，?． 2y?2y?1y??1?2?x?所以点B的坐标为（1，2）．

（2）当x=1或x=2时，y1=y2；

当1＜x＜2时，y1＞y2；

当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2．

【思路分析】直线经过两点可用待定系数法求出解析式，问题（2）可通过相等，再结合图像研究不等.

【方法规律】处理函数有关的不等问题的常见思路是通过相等来研究不等，是数形结合思想的具体体现.

【易错点分析】本题常见错误时问题（2）的解答，即考虑全面导致解答不全面. 【关键词】一次函数，反比例函数 【难度】★★☆☆☆

【题型】常规题

2.（2011四川成都，19，10分）如图，已知反比例函数y?k1(k?0)的图象经过点（，8），直线y??x?bx2经过该反比例函数图象上的点Q(4，m)．

(1)求上述反比例函数和直线的函数表达式；

(2)设该直线与x轴、y轴分别相交于A 、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、OQ，求△OPQ的面积．

11，8），可知k?x?y??8?4，所以反比例函数解析式2244为y?，∵点Q是反比例函数和直线y??x?b的交点，∴m??1，∴点Q的坐标是（4，1），∴

4xb?x?y?4?1?5，∴直线的解析式为y??x?5. （2）如图所示：由直线的解析式y??x?5可知与x轴和y轴交点坐标点A与点B的坐标分别为（5，0）、

【解】（1）由反比例函数的图象经过点（

（0，5），由反比例函数与直线的解析式可知两图像的交点坐标分别点P（1，4）和点Q（4，1），过点P作PC⊥y轴，垂足为C，过点Q作QD⊥x轴，垂足为D，

1113OA3OB-3OA3QD-3OB3PC 22211115=325-3531-3531=. 2222∴S△OPQ=S△AOB-S△OAQ-S△OBP =

【思路分析】(1)求反比例函数解析式时，只要知道图象上任一点坐标，代入y?把点Q(4，m)代入求得的反比例函数解析式y?先求出点P的坐标，观察图象知S?OPQ?S?AOBk(k?0)即可；再x4，得Q(4，1)，把Q(4，1)代入直线y??x?b可求出b．(2)x?S?OAQ?S?OBP，从而可求得△OPQ的面积；也可这样求

S?OPQ?S?AOP?S?OAQ．

【方法规律】（1）用待定系数法求函数解析式是中考中的高频考点．一般情况下，已知一个点的坐标可列方程求函数解析中一个字母系数的值，已知两点坐标可列方程组求出解析中两个字母系数的值．（2）求面积时常转化为容易求出的三角形（或四边形）的面积的和或差．

【易错点分析】不能把要求的三角形面积正确进行转化． 【关键词】一次函数，反比例函数，面积 【推荐指数】★★★★★

【题型】常规题，好题，易错题．

3.（2011四川广安，24，8分）如图6所示，直线l1的方程为y=－x+l，直线l2的方程为y=x+5，且两直线

相交于点P，过点P的双曲线y? （1）求双曲线的解析式． （2）根据图象直接写出不等式

k与直线l1的另一交点为Q（3．M）. xk＞－x+l的解集． x?y??x?1,【解】（1）依题意：?

y?x?5.??x??2,解得：?，∴P（－2，3）.

?y?3.kk,k??6.把P（－2，3）代入y?，得3?x?2

?6∴双曲线的解析式为：y=

x

（2）－2＜x＜0或x>3.

【思路分析】（1）要确定双曲线y?

k的解析式，关键是确定图象上点P的坐标，而点P是直线xy??x?1与y?x?5的交点，建立方程组即可求得交点坐标；

kk（2）要求不等式＞－x+l的解集，表现在图象上就是确定当x在何范围内取值时，双曲线y?的

xx图象在直线y??x?1的上方．

k【方法规律】（1）确定反比例函数y?的解析式，只需确定其图象上一点?x0,y0?，则k?x0y0.

x（2）利用图象比较反比例函数的值与一次函数的值的大小时， 要充分利用数形结合思想进行分析判

断，要注意把反比例函数图象与一次函数图象的交点作为界点进行分析，还应注意反比例函数中自变量x?0的性质.

【易错点分析】解答第（2）问时考虑问题不全面，漏掉了一种情况或忽视了x?0，误把答案确定为x??2或x?3．

【关键词】反比例函数的解析式，函数图象的交点，一次函数与反比例函数的综合，利用图象解不等式

【推荐指数】★★★★☆ 【题型】综合题，好题

4.（2011湖南衡阳，25，8分）如图，已知A，B两点的坐标分别为A(0，23)，B(2，0)直线AB与反比

例函数y?m的图像交与点C和点D（-1，a）． x(1)求直线AB和反比例函数的解析式； (2)求∠ACO的度数；

(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．

【解】(1)设直线AB的解析式为y?kx?b，将A(0，23)，B(2，0)代入解析式y?kx?b中，得

???b?23,?k??3,，解得?．∴直线AB的解析式为y??3x?23；将D（-1，a）代入????2k?b?0?b?23m∴点D坐标为（-1，，将D（-1，代入y?中得m??33，33）33）y??3x?23得a?33，x33∴反比例函数的解析式为y??．

x

?y??3x?23,????x1?3?x1??1(2)解方程组?得?，?，∴点C坐标为（3，?3）， 33y?33y??3???y???1?1x?过点C作CM⊥x轴于点M，则在Rt△OMC中，

CM3?，∴?COM?30?， CM?3，OM?3，∴tan?COM?OM3AO23?在Rt△AOB中，tan?ABO?=3，∴?ABO?60?， OB2

∴∠ACO=?ABO??COE?30?．

(3)如图，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°， ∴?= ∠COC′=90°－30°=60°，∠BOB′=?=60°， ∴∠AOB′=90°－∠BOB′=30°，∵ ∠OAB=90°－∠ABO=30°， ∴∠AOB′=∠OAB， ∴AB′= OB′=2．

答：当α为60度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长为2．

【思路分析】(1) 用待定系数法先求直线AB的解析式，再求a的值，最后用待定系数法求反比例函数的解析式．

(2) 先解方程组求得点C的坐标，再添加辅助线：过B′作B′E⊥OA于E，利用正切函数值求?COM的大小，最后求?ABO的大小，从而求得∠ACO的大小． (3)利用互余关系先求旋转角?，再求∠AOB′与∠OAB的度数，最后根据等角对等边求得AB′的长． 【方法规律】本题主要考查用待定系数法确定反比例函数和一次函数的解析式，题目将数形结合法与待定系数法有机地结合在一起，较好地考查了学生分析问题和综合解决问题的能力，解决本题的关键在于求函数图象交点问题转化为方程组的解的问题，特别是本题利用点的坐标量化线段长度，通过求三角函数值求角的大小，利用旋转的性质和等角对等边求线段的长度，体现了几何问题代数化的思想，强化了代数与几何的融合．

【易错点分析】不能找到解决问题的思路，不会适当添加辅助线来解决问题 ．

【关键词】一次函数，反比例函数，解直角三角形，等腰三角形判定，旋转性质 【难度】★★★★☆ 【题型】常规题，难题，易错题，综合题

5.（2011山东临沂，24，10分)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝

（－3，n）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx＋b＞

m的图象交于A（2，3），Bxm的解集______________； x（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．

【解】（1）∵点A（2，3）在y＝

m的图象上， x

∴m＝6，?????????????????????????????（ 1分） ∴反比例函数的解析式为y＝∴n＝

6， x6＝－2，??????????????????????????（2分） ﹣3∵点A（2，3），B（－3，－2）在y＝kx＋b的图象上，

?3＝2k＋b，

﹣2＝-3k＋b，?1，?k＝∴?

b＝1，?∴?∴一次函数的解析式为y＝x＋1．???????????????????（4分） （2）－3＜x＜0或x＞2；???????????????????????（7分） （3）方法一：设AB交x轴于点D，则D的坐标为（－1,0），

∴CD＝2，???????????????????????????（ 8分） ∴S△ABC＝S△BCD＋S△ACD ＝

113232＋3233＝5．?????????????????（ 10分） 22方法二：以BC为底，则BC边上的高为3＋2＝5，???????（ 8分）

13235＝5．??????????????????（ 10分） 2m【思路分析】（1）把点A（2，3）代入到y=中，m=6,即可确定反比例函数的解析式；把B（-3，n）

x∴S△ABC＝

代入所求得的反比例函数的解析式中，求出点n的值，把点A、B两点的坐标代入到y=kx＋b中，利用待定系数法就可以求出此直线的函数表达式；（2）（如图）欲使kx+b＞

m 只需直线在双曲线的上方，观察x

图形即可找出取值范围；（3）欲求△ABC的面积只需找到底和高，可以BC为底，作出BC边上的高线，进而求得三角形的面积.

【方法规律】读懂图象上每一条线段的含义是解答此题的关键。而待定系数法是求函数解析式最常用的方法。

【关键词】一次函数，反比例函数，三角形面积，取值范围 综合题，好题

【难度】★★★★☆ 【题型】

k2相交于A、B点，已知x点A的坐标为（4，n），BD⊥x轴于点D，且S△BDO=4．过点A的一次函数y3?k3x?b与反比例函数的图

6.（2011四川内江，21，10分）如图，正比例函数y1?k1x与反比例函数y2?像交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）．

（1）求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式； （2）结合图像，求出当k3x?b?k2?k1x时x的取值范围． x

【解】（1）设B（p，q），则k2?pq，

18(?p)(?q)=4，得pq?8，所以k2?8，所以y2? 2x11得A（4，2） ，得4k1?2,k1?，所以y1?x

22又S△BDO=

由??4k3?b?2?k3??2得?，所以y3??2x?10

5k?b?0b?10??31k?4，在第一象限，因此k2＝8；把点A的坐标代2（2）x??4或1?x?4．

【思路分析】（1）已知△BDO的面积为4，可知入y2?k21，得A（4，2）；由点A坐标可得y1?x；由点A、E坐标可得y3??2x?10；（2）由两个解x28析式y2?、y3??2x?10组成的方程组，可以求出另一个交点C的坐标（1，8），然后根据图象，找出

xy3的图象在y2的函数图象上方且y2的图象在y1的函数图象上方时的情况． 【方法规律】反比例函数图象上一点向坐标轴作垂线段，该点与垂足、原点构成的三角形面积为1k；2根据图象判断不等式的取值范围，应首先确定不等式所对应的函数，函数值大的图象在上方． 【易错点分析】不能准确观察图象，根据图象判断函数值的大小． 【关键词】反比例函数 【难度】★★★★☆ 【题型】变式题、压轴题

7．（2011重庆，22，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函

m(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为(6，n)，线段x4OA＝5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE＝．

5数y＝

(1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AOC的面积．

【解】(1)过A点作AD⊥x轴于点D，∵sin∠AOE＝∴在Rt△ADO中，∵sin∠AOE＝

4，OA＝5， 5

ADAD4 ＝＝， AO55∴AD＝4，DO＝OA2?DA2=3，又点A在第二象限∴点A的坐标为(－3，4)，

mm12，得4=∴m＝－12，∴该反比例函数的解析式为y＝?，

?3xx1212∵点B在反比例函数y＝?的图象上，∴n＝?＝－2，点B的坐标为(6，－2)，∵一次函数y＝kx

x6将A的坐标为(－3，4)代入y＝＋b(k≠0)的图象过A、B两点，

2???3k?b?4，?k??，∴，∴3． ??6k?b??2???b?22∴该一次函数解析式为y＝－x＋2．

3

(2)在y＝－

22x＋2中，令y＝0，即－x＋2=0，∴x=3， 33∴点C的坐标是（3，0），∴OC＝3， 又DA=4， ∴S△AOC＝

11×OC×AD＝×3×4＝6，所以△AOC的面积为6． 22m求得m的值，进而求出B的坐标，最x【思路分析】(1)利用坐标的意义先求出点的坐标，代入y＝

后求出一次函数解析式．

(2)先求点C的坐标，再根据面积的定义求△AOC的面积．

【方法规律】用待定系数法求函数解析式是最常见的方法之一．本题数形结合，运用待定系数法求得其函数解析式，利用坐标的意义求线段长度，从而求得三角形的面积．

【易错点分析】不会利用数学结合的方法分析，求不出点A的坐标．

【关键词】反比例函数，一次函数 【难度】★★★★☆ 【题型】常规题，易错题，综合题

8．（2011浙江省嘉兴，19，8分）如图，已知直线y1??2x经过点P（?2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数y2?k（k?0）的图象上． x（1）求点P′的坐标；

（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y2<2时自变量x的取值范围．

y 1O 1P P?P y2?x k x

【答案】（1）将P（－2，a）代入y??2x得a＝－2×(－2)＝4，∴P′（2，4）． (2) 将P′（2，4）代入y?

（第19题）

y1??2x

k8k

得4＝，解得k＝8，∴反比例函数的解析式为y?． x2x

自变量x的取值范围x<0或x>4．

【思路分析】由直线求出P点坐标，由对称求得P’的坐标，再求得反比例函数表达式．

【方法规律】本题利用了：1、两点关于y轴对称，则这两点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．2、用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．

【易错点分析】在求自变量x的取值范围，学生易出现漏答案的现象。 【关键词】一次函数 反比例函数 轴对称 取值范围 【推荐指数】★★★☆☆

【题型】常规题，好题，易错题，操作题

9．（2011浙江省嘉兴，23，12分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．

（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD

为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；

（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝?（0°＜?＜90°），

① 试用含?的代数式表示∠HAE； ② 求证：HE＝HG；

③ 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

HAEBCHDGHDGAEBEBACDGCF（第23题图1）

F（第23题图2）

F（第23题图3）

【答案】（1）四边形EFGH是正方形． (2) ①∠HAE＝90°＋a．

在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD＝180°－∠ADC＝180°－a； ∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，∴∠HAD＝∠EAB＝45°，

∴∠HAE＝360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a．

②∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，∴AE＝22AB，DG＝CD， 22在□ABCD中，AB＝CD，∴AE＝DG，∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形， ∴∠DHA＝∠CDG＝ 45°，∴∠HDG＝∠HAD＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE． ∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA＝HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE＝HG． ③四边形EFGH是正方形．

由②同理可得：GH＝GF，FG＝FE，∵HE＝HG（已证），∴GH＝GF＝FG＝FE，∴四边形EFGH是菱形；∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG＝∠AHE，又∵∠AHD＝∠AHG＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝∠AHG＋∠AHE＝90°，∴四边形EFGH是正方形．

【思路分析】（1）通过观察图形可以得出答案，

（2）①利用“两直线平行，同旁内角互补”，两个等腰直角三角形，即可算出∠HAE。 ②通过证明△HAE≌△HDG，即可证明HE＝HG。

③通过②的方法，可证GH＝GF＝FG＝FE，∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形

【方法规律】利用等腰直角三角形的特征，还有三角形全等的性质。一般这类题目是由最基础的图形到复杂的图形的一个过程，但证明方法，可能是可以类推的。

【易错点分析】对于复杂的图形，学生不能抽丝拨茧般的理出基本图形。 【关键词】等腰直角三角形 正方形 平行四边形 三角形全等 【推荐指数】★★☆☆☆

【题型】常规题，新题，操作题，阅读题

10．（2011浙江省嘉兴，24，14分）已知直线y?kx?3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．

（1）当k??1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．

① 直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；

② 若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值． （2）当k??3时，设以C为顶点的抛物线y?(x?m)2?n与直线AB的另一交点为D（如图2）， 4① 求CD的长；

② 设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？ yyBCBDC1OP1Q1AxO1PAx（第24题图1） （第24题图2）

【答案】（1）①C（1，2），Q（2，0）．

②由题意得：P(t，0)，C(t，－ｔ＋3)，Q(3－t，0)， 分两种情形讨论：

情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC＝∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA， ∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ＝OP，即3－t＝t，∴t＝1.5．

情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ＝∠AOB＝90°，∵OＡ＝OＢ＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ是等腰直角三角形，∵CQ⊥OA，∴AQ＝2CP，即t ＝2（－t ＋3），∴t＝2．∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．

(2) ①由题意得：C(t，－由(x?t)?233t＋3)，∴以C为顶点的抛物线解析式是y?(x?t)2?t?3，

44333t?3??x?3，解得x1＝t，x2＝t?；过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC＝∠AOB444DECD?， AOBA＝90°，DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，∴△DEC∽△AOB，∴

3?533DE?BA415∵AO＝4，AB＝5，DE＝t－（ｔ－）＝．∴CD＝??．

44AO416153?412115129?．∴S△COD＝???．∴S△COD为定值； ②∵CD＝，CD边上的高＝

165521658要使OC边上的高h的值最大，只要OC最短． 因为当OC⊥AB时OC最短，此时OC的长为

12，∠BCO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠COP＝90°－∠BOC5＝∠OBA，又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB，

12?3OPOC3636OC?BO536?∴，OP＝??，即t＝，∴当t为秒时，h的值最大． BOBA2525BA525

E

【思路分析】（1）①直线AB：y??x?3，只需把x?1代入y??x?3即可求出C点，利用

OQ?OA?AQ，就可以算出Q点坐标。

②△AQC与△AOB相似，要分两种情况来考虑，∠AQC＝∠AOB＝90°和∠ACQ＝∠AOB＝90°。 （2）①过点D作DE⊥CP于点E，用t表示C 点坐标，利用两函数求交点求出D点，由△DEC∽△AOB，利用对应边即可求出CD的长度。

②由CD、CD上的高都为定值，可求出S△COD为定值，则当OC最短最短时，OC边上的高h的值最大。即求出结果。

【方法规律】本题主要考查了动点问题，相似三角形的性质以及二次函数等知识点的综合应用，弄清相关线段的大小和比例关系及分类讨论的思想是解题的关键．

【易错点分析】在求△AQC与△AOB相似时，学生易出现没有分类讨论的现象，在求最值时，可能找不到解题的关键。

【关键词】动点问题 相似三角形 二次函数 一次函数 最值 【推荐指数】★★★★★

【题型】新题，好题，难题，易错题，操作题，压轴题

11．（2011山东聊城，23，8分）如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交

?的中点，连接OD、AE，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P， 半圆于点D，点E是BD（1）求∠AOD的度数；

（2）求证：PD是半圆O的切线；

【答案】（1）∵点C是OA的中点，∴OC＝

11OA＝OD，∵CD⊥OA，∴∠OCD＝90°，在Rt△OCD22中，cos∠COD＝

OC1?，∴∠COD＝60°，即∠AOD＝60°， OD2（2）证明：连接OC，点E是BD弧的中点，DE弧＝BE弧，∴∠BOE＝∠DOE＝

11∠DOB＝ (180°22－∠COD)＝60°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，又∠EAO＋∠AEO＝∠EOB＝60°，∴∠EAO＝30°，∵

PD∥AE，∴∠P＝∠EAO＝30°，由（1）知∠AOD＝60°，∴∠PDO＝180°－(∠P＋∠POD)＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴PD是圆O的切线

【思路分析】（1）求∠AOD的度数可在Rt△OCD中利用锐角三角函数求得；（2）只要证明∠PDO＝90°即可

【方法规律】1、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；（2）在同圆或等圆中相等的弧

所对的圆心角相等

【关键词】圆中的计算 切线的判定 【难度】★★☆☆☆ 【题型】好题

12．（2011山东聊城，24，10分）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数y?图象于点A、B，交x轴于点C．

（1）求m的取值范围；

（2）若点A的坐标是（2，－4），且

4?2m（x>0）xBC1?，求m的值和一次函数的解析式； AB3

【答案】（1）因反比例函数的图象在第四象限，所以4－2m＜0，解得m＞2；（2）因点A(2，－4)

4?2m，解得m＝6，过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于2BNBC?点N，所以∠BNC＝∠AMC＝90°，又因为∠BCN＝∠AMC，所以△BCN∽△ACM，所以，因AMACBC1BC1BN1?，所以?，即?，因为AM＝4，所以BN＝1，所以点B的纵坐标为－1，因为为

AB3AC4AM4在反比例函数图象上，所以－4＝

点B在反比例函数的图象上，所以当y＝－1时，x＝8，所以点B的坐标为（8，－1），因为一次函数y＝

1??2k?b??4?k?kx＋b的图象过点A(2，－4)，B(8，－1)，所以?，解得?2，所以一次函数的解析式为y

?8k?b??1??b??51＝x－5 2【思路分析】（1）由反比例函数图象在第四象限，所以4－2m＜0即可求得m的取值范围；（2）过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于点N，根据相似三角形性质求得B点的坐标从而可求得一次函数的解析式

【方法规律】1、反比例函数y?似比

【易错点分析】对反比例函数y?k图象在第二、四象限，则k＜0；2、相似三角形的对应边的等于相xk的图象与k的关系不清从而易求错k的取值范围 x【关键词】反比例函数的图象与性质，一次函数

【难度】★★★☆☆☆ 【题型】综合题 13．（2011山东泰安，26 ，10分）如图，一次函数y＝k1x＋b的图象经过A（0，－2），B（1，0）两点，

与反比例函数y＝

k2的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2。 x（1）求一次函数和反比例函数的表达式。

（2）在x轴上存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。

【答案】（1）∵直线y＝k1x＋b过A（0，－2），B（1，0） ∴?

?b??2?k1?b?0b??2 ∴? ?k?2?1∴一次函数的表达式为y＝2x－2 设M（m，n），作MD⊥x轴于点D ∵S△OBM＝2 ∴

11OB·MD＝2 ∴n＝2 22k2 ∴k2＝12 312 xOA2?＝2 OB1∴n＝4

将M（m，4）代入y＝2x－2得：4＝2m－2 ∴m＝3 ∵4＝

所以反比例函数的表达式为y＝

(2)过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P ∵MD⊥BP ∴∠PMD＝∠MBD＝∠ABO ∴taan∠PMD＝ taan∠MBD＝ taan∠ABO＝∴在Rt△PDM中，

PD＝2 ∴PD＝2MD＝8 MD∴PO＝OD＋PD＝11

∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）【思路分析】（1）设这个一次函数的解析式为y?kx?b，根据“直线y＝k1x＋b过A（0，－2），B（1，0）”，可列出关于k，b的二元一次方程组，解这个方程组就可得一次函数的解析式；根据面积求出反比例函数图象上一点的坐标，就可求出反比例函数的解析式．（2）先假定存在，作出图形，并计算可以验证是否存在.

【方法规律】考查了一次函数与反比例函数的解析式的求法．

【易错点分析】 第（2）题，有些同学常会以为不存在，而没有继续做. 【关键词】一次函数，反比例函数 【推荐指数】★☆☆

【题型】好题，难题，易错题．

14. （2011山东烟台，22，8分）

k如图，已知反比例函数y1?1（k1＞0）与一次函数y2?k2x?1(k2?0)相交于A、B两点，AC⊥x轴于

x点C. 若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 . （1）求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？

【解】（1）在Rt△OAC中，设OC＝m.

AC∵tan∠AOC＝＝2，∴AC＝2×OC＝2m.

OC11∵S△OAC＝×OC×AC＝×m×2m＝1，∴m2＝1. ∴m＝1（负值舍去）.

22∴A点的坐标为（1，2）.

k把A点的坐标代入y1?1中，得k1＝2.

x2∴反比例函数的表达式为y1?.

x把A点的坐标代入y2?k2x?1中，得k2＋1＝2，∴k2＝1.

∴一次函数的表达式y2?x?1. （2）B点的坐标为（－2，－1）. 当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2. 【思路分析】（1）由“△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2”可求得点A的坐标，从而利用待定系数法求出两函数的关系式. （2）联立两函数关系式，通过解方程组可求得点B的坐标；反比例函数y1的值大于一次函数y2的值时的x值，即y1在y2的上方是时，所对应图象上点的横坐标的取值范围. 注意分象限讨论.

【方法规律】此题主要考查一次函数与反比例函数，及其与方程、不等式的关系. 解答此题需全面掌握相关知识. 尤其是能够数形结合地观察图象，能从纵、横两个角度观察两函数图象的关系，知道上、下对应y值的大、小；左，右对应x值的小、大.

【易错点分析】不会数形结合地观察图象，或忽略分类讨论，从而错找或找不全（2） 题中x的取值范围.

【关键词】一次函数，反比例函数 【难度】★★★☆☆ 【题型】常规题

m（x＞0）交于点B(2，xmm1)，过点P(p，p－1)（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝（x＞0）和y＝－（x＜0）于M，N两

xx15.（2011江苏南通，28，14分）如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y＝

点.

（1）求m的值及直线l的解析式；

（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA； （3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，条件的p的值；若不存在，请说明理由.

【解】（1）∵点B(2，1)在双曲线y＝mx上，

∴1?m2，得m＝2.

设直线l的解析式为y＝kx＋b ∵直线l过A(1，0)和B(2，1) ∴??k?b?0?k?1?2k?b?1，解得??b??1

∴直线l的解析式为y＝x－1.

(2) 证明：当x＝p时，y＝p－1，点P(p，p－1)（p＞1）

在直线l上，如右图.

∵P(p，p－1)（p＞1）在直线y＝2上，

∴p－1＝2，解得p＝3 ∴P(3，2)

∵PN∥x轴，∴P、M、N的纵坐标都等于2

把y＝2分别代入双曲线y＝2x和y＝?2x得M(1，

，

∴

PMMN?3?11?(?1)?1，即M是PN的中点， 同理：B是PA的中点， ∴BM∥AN

∴△PMB∽△PNA.

（3）由于PN∥x轴，P(p，p－1)（p＞1）， ∴M、N、P的纵坐标都是p－1（p＞1）

把y＝p－1分别代入双曲线y＝2x（x＞0）和y＝－

2x得M的横坐标x＝2p?1和N的横坐标x＝－

2p?1∵S△AMN＝4S△APM且P、M、N在同一直线上，

∴S?AMNMNS?PM?4，得MN=4PM ?APM即

4p?1＝4p?2p?1（见（3）两幅图） 整理得：p2－p－3＝0或p2－p－1＝0

解得：p＝1?131?52或p＝2

由于p＞1，∴负值舍去

∴p＝1?131?52或2

经检验p＝1?131?52和2是原题的解，

请求出所有满足2)，N(-1，2)

（x＜0）， （其中p＞1）

∴存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM，

1?131?5p的值为或. 22【思路分析】第（2）问发现点P其实是在射线AB上的一动点，当y=2时，点P(3，2)，这样可以发现直角三角形PAN，问题获得突破．第（3）问的关键在于“MN=4PM”，构造关于p 的方程． 【方法规律】此类问题主要考查数形结合思想、分类讨论思想．

【易错分析】主要错误有第（2）问未说明点P在直线AB上，第（3）问最主要的是漏解或未舍却负根．

【关键词】曲线，三角形的面积，相似三角形【难度】★★★★★【题型】新题，探究题，好题

16. (2011四川达州，18，6分) 给出下列命题： 命题1：直线y?x与双曲线y?1有一个交点是（1，1）； x命题2：直线y?8x与双曲线y?21有一个交点是（，4）；

2x31有一个交点是（，9）；

3x41有一个交点是（，16）；

4x命题3：直线y?27x与双曲线y?命题4：直线y?64x与双曲线y?????????????????????

（1）请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n（n为正整数）； （2）请验证你猜想的命题n是真命题．

3【答案】解：（1）命题n：直线y?nx与双曲线y?n12有一个交点是（，n）

nx （2）将（

113222，n）代入直线y?n3x得：右边=n??n，左边=n， nn12，n）在直线y?n3x上， n∴左边=右边，∴点（

同理可证：点（

1n2，n）在双曲线y?上， nxn12有一个交点是（，n）

nx∴直线y?n3x与双曲线y?【思路分析】直线y?x；直线y?8x；直线y?27x；直线y?64x；

3所以：命题n：直线y?nx；与双曲线y?1有一个交点是（1，1）； x与直线y?8x与双曲线y?21有一个交点是（，4）；

2x31有一个交点是（，9）；

3x与直线y?27x与双曲线y?

41有一个交点是（，16）；

4xn12所以：双曲线y?有一个交点是（，n）

nx与直线y?64x与双曲线y?【方法规律】通过分析找出规律。

【易错点分析】不知道如何验证你猜想的命题n是真命题 【关键词】直线，双曲线，命题 【推荐指数】★★★☆☆ 【题型】 新题，好题，

17. （2011北京市，17，5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y??2x的图象与反比例函数

k

的图象的一个交点为A（?1，n）． x

k（1）求反比例函数y?的解析式；

x（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA?OA，直接写出点P的坐标． y?

【答案】解：（1）∵点A（-1，n）在一次函数y=-2x的图象上，

∴n=-2×(-1)=2

∴点A的坐标为(-1,2)

∵点A 在反比例函数y?∴k=-2

∴反比例函数的解析式为y=-

k的图象上， x2 x(2)点P的坐标为（-2，0）或（0，4）

【思路分析】由一次函数的解析式求得A点的坐标，代入反比例函数求得反比例函数解析式，分别以点A、O为圆心，AO为半径画圆，与坐标轴的交点即为点P。

【方法规律】点在图象上，点的坐标符合解析式；待定系数法求函数的解析式；根据圆心与半径确定圆。 【易错点分析】不能找到所有符合条件的点P。 【关键词】反比例函数，等腰三角形 【推荐指数】★★★☆☆

【题型】常规题，好题，难题，易错题

18. （2011山东临沂，24，10分)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝

（－3，n）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式kx＋b＞

m的图象交于A（2，3），Bxm的解集______________； x（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．

【解】（1）∵点A（2，3）在y＝

m的图象上， x

∴m＝6，?????????????????????????????（ 1分） ∴反比例函数的解析式为y＝∴n＝

6， x6＝－2，??????????????????????????（2分） ﹣3∵点A（2，3），B（－3，－2）在y＝kx＋b的图象上，

?3＝2k＋b，

﹣2＝-3k＋b，?1，?k＝∴?

b＝1，?∴?∴一次函数的解析式为y＝x＋1．???????????????????（4分） （2）－3＜x＜0或x＞2；???????????????????????（7分） （3）方法一：设AB交x轴于点D，则D的坐标为（－1,0），

∴CD＝2，???????????????????????????（ 8分） ∴S△ABC＝S△BCD＋S△ACD ＝

113232＋3233＝5．?????????????????（ 10分） 22方法二：以BC为底，则BC边上的高为3＋2＝5，???????（ 8分）

13235＝5．??????????????????（ 10分） 2m【思路分析】（1）把点A（2，3）代入到y=中，m=6,即可确定反比例函数的解析式；把B（-3，n）

x∴S△ABC＝

代入所求得的反比例函数的解析式中，求出点n的值，把点A、B两点的坐标代入到y=kx＋b中，利用待定系数法就可以求出此直线的函数表达式；（2）（如图）欲使kx+b＞

m 只需直线在双曲线的上方，观察x

图形即可找出取值范围；（3）欲求△ABC的面积只需找到底和高，可以BC为底，作出BC边上的高线，进而求得三角形的面积.

【方法规律】读懂图象上每一条线段的含义是解答此题的关键。而待定系数法是求函数解析式最常用的方法。

【关键词】一次函数，反比例函数，三角形面积，取值范围 综合题，好题

19. （2011湖南湘潭市，23，8分）（本题满分8分）

【难度】★★★★☆ 【题型】

如图，已知一次函数y?kx?b?k?0?的图像与x轴，y轴分别交于A（1，0）、B（0，－1）两点，且又与反比例函数y?m?m?0?的图像在第一象限交于C点，C点的横坐标为2. x⑴ 求一次函数的解析式；

⑵ 求C点坐标及反比例函数的解析式.

【答案】解：（1）由题意得：??k?b?0?k?1,，解得?，

?b??1?b??1.所以一次函数的解析式为y=x-1．

（2）当x=2时，y=2-1=1，所以C点坐标为（2,1）；又C点在反比例函数y?解得m=2，所以反比例函数的解析式为：y?

m?m?0?图象上，所以1?m，x22

． x

【思路分析】因为点A与B满足y?kx?b?k?0?，所以将A点坐标、B点的坐标代入这个一次函数的解析式就可以确定k、b的值，然后确定出一次函数的解析式；由题意可知，C点的横坐标为x＝2，将x＝2代入y?kx?b?k?0?，得出C点的纵坐标y＝1．又因为C点在反比例函数y?点C(2,1)，代入y?m?m?0?的图象上，将xm?m?0?，求出m的值，进而得出反比例函数的解析式． x【方法规律】本题是考查一次函数和反比例函数解析式的求法，利用函数图像上点满足函数解析式，以及题目中一次函数与反比例函数的关系代值求解．

【易错点分析】没能正确理解函数图像上点满足函数解析式这一条件，导致错误． 【关键词】、一次函数、反比例函数 【推荐指数】★★☆☆☆ 【题型】好题

20. （2011湖北襄阳，18，5分）

已知直线y??3x与双曲线y?（1）求m的值；

（2）若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在双曲线y?m?5上，且x1?x2?0，试比较y1，y2的大小. xm?5交于点P（－1，n）. x【答案】

（1）∵点P（－1，n）在直线y??3x上，∴n??3?(?1)?3. ·························· 1分

m?5∵点P（－1，n）在双曲线y?上，∴m?5??3，即m＝2. ··············· 3分

x（2）∵m?5??3?0，∴当x＜0时，y随x的增大而增大

m?5又∵点A(x1,y1)，B(x2,y2)在双曲线y?上，且x1?x2?0，

x∴y1＜y2. ········································································································ 5分 【思路分析】

（1）因为点P为两个函数图象的交点，所以点P的坐标同时满足两个函数解析式，先将点P的坐标

m?5代入y??3x 可求得n的值，再将点P的坐标代入y?可求得m的值.

xm?5（2）因为点A(x1,y1)，B(x2,y2)在双曲线y?上，且x1?x2?0，所以可知点A，B在双曲线的

x同一分支上（在同一个象限内），而m?5??3?0，根据反比例函数的性质可知，此时y随x的增大而增大，因为x1?x2，所以y1＜y2.

【方法规律】掌握函数图象上的点的坐标与函数解析式之间的对应关系，以及反比例函数的性质（特别的，要说明点A，B在双曲线的同一分支上），这是解题的关键 .

【易错点分析】忽略了对条件x1?x2?0的强调而直接比较y1，y2的大小. 【关键词】反比例函数 【难度】★★☆☆☆

【题型】常规题 易错题

21. （2011四川宜宾，21，7分）如图，一次函数的图象与反比例函数y1??3（x＜0）的图象相交于Ax点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0），当x＜－1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞－1时，一次函数值小于反比例函数值． （1）求一次函数的解析式； （2）设函数y2?a3a（x＞0）的图象与y1??（x＜0）的图象关于y轴对称，在y2?（x＞0）的xxx图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P点作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于

2，求P点的坐标．

y y1 y2 A B P O C Q x （21题图） 【解】⑴∵当x??1时，一次函数值大于反比例函数值，当x??1时，一次函数值小于反比例函数值，∴A点的横坐标是－1，∴A（－1，3）. 设一次函数解析式为y?kx?b，因直线过A、C，则???k?b?3，?k??1，解得?∴一次函数的解析式为

?2k?b?0.?b?2.y??x?2．

a33(x?0)的图象与y1??(x?0)的图象关于y轴对称，∴y2?(x?0). ⑵∵y2?xxx∵B点是直线y??x?2与y轴的交点，∴B（0，2）.

13153设P(n，)，n?2，S四边形BCQP＝S梯形BOQP－S△BOC＝2，∴(2?)n??2?2?2，n?.

n2n2256∴P（，）.

25【思路分析】⑴先根据反比例函数的增减性，确定B点的横坐标，再由反比例函数的解析式求出B点的纵坐标，进而求得B点的坐标，然后由已知A、C两点的坐标确定一次函数的解析式； ⑵先根据对称性求出函数y2?a的解析式，进而确定P点横、纵坐标的关系，设出其坐标，再由一次函数y??x?2求x出点B的坐标，于是点P、Q、C、O、B为已知，或可用P点的坐标来表示，为利用“四边形BCQP的面积等于2”求解创造了条件.然后再由S四边形BCQP＝S梯形BOQP－S△BOC＝2列方程，便可求出点P的坐标.

【方法规律】⑴解答有关函数问题，应注意运用数形结合法，此时，应特别关注其增减性，对称性等，以简化计算；⑵求函数解析式，一般先根据题意，求出图像上的相关点，用待定系数法列方程求解；⑶在坐标系中求多边形的面积，一般将坐标转化为长度，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算.

【易错点分析】求B点的坐标时，忽视横纵坐标的关系；或将坐标转化为长度，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算时出现计算性错误.

【关键词】一次函数与反比例函数. 【推荐指数】★★★☆☆

【题型】新题，好题.

22．（呼和浩特，21，8分）在同一直角坐标系中反比例函数y＝

m的图象与一次函数y＝kx＋b的图象相x交，且其中一个交点A的坐标为（－2，3），若一次函数的图象又与x轴相交于点B，且△AOB的面积为6（点O为坐标原点）．求一次函数与反比例函数的解析式． 【解】∵双曲线y＝

m过点A（－2，3） x6． x ∴m＝－233＝－6

∴所求反比例函数的解析式为y＝－

设点B（a，0），由△AOB的面积为6，得B（4，0）或B（－4，0）．

∵直线y＝kx＋b过点A、B

11OB?yA?6，故a?3?6，解得a＝±4，因此22?4k?b?0??4k?b?0或?

?2k?b?3?2k?b?3??1?3?

?k???k? 解得?2或?2

???b?2?b?613 ∴所求一次函数的解析式为y＝－x＋2或y＝x＋6．

22 ∴?【思路分析】由已知点A的坐标及△AOB的面积，先求得x轴上的点B的坐标是解题的关键，但要分

类讨论，即点B在y轴的左侧与右侧两种情况，因此点B的坐标有两个，也就意谓着一次函数的解析式有两个；而求反比例函数的解析式时，只要将点A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得．

【方法规律】本题用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，这是中考考查函数解析式的高频考题，在中考试题中也属于中档题．

【易错点分析】在求一次函数解析式时，如何正确的求出点B的坐标是解题关键，也正因为如此，不少考生因考虑问题不周，导致丢解． 【关键词】反比例函数、一次函数的解析式求法【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题，中档题，易错题

m23．（2011重庆潼南）（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与反比例函数y=

x(m≠0)的图像相交于A、B两点。 求：（1）根据图像写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图像写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值.

【答案】（1）

??m?m?2?2?1??1?解：根据题意，得?2k?b?1解得?k?

2??k?b??1??1?b?????2111和y＝x－； x22（2）观察图像得，当－1＜x＜0或x＞2时，一次函数值大于反比例函数值.

【思路分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入两个函数解析式，可以转化为解方程组的问题；（2）－1，0，2将自变量x分为四个范围，在每一个范围，一次函数图像位于上方的x的范围即为（2）的答案.

【方法规律】位于上方的函数图像的函数值较大. 【易错点分析】不考虑0是自变量的一个分界点 【关键词】一次函数，反比例函数. 【推荐指数】★★★☆☆

【题型】常规题，好题，易错题.

∴反比例函数和一次函数的解析式分别为y＝

24.（2011广西贵港，20，8分）如图所示，反比例函数y?4的图象与一次函数y?kx?3 的图象在第x一象限内相交于点A（4，m）。

（1）求m的值及一次函数的解析式；

（2）若直线x?2与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B、C，求线段BC的长。 y x=2 y=kx－3 B A O C y?4xx

【答案】（1）∵点A（4，m）在反比例函数y?

4

的图象上，∴m＝1，∴A（4，1） x

把A（4，1）代入一次函数y?kx?3，得4k?3?1，∴k?1

∴一次函数的解析式为y＝x－3

（2）∵直线x＝2与反比例函数的图象和一次函数的图象分别交于点B，C

4?2，yC?2?3??1 2∴线段BC的长为yB?yC?2?(?1)?3

∴当x＝2时，yB?【思路分析】（1）把A（4，m）代入y?

4

，求出m＝1，则A（4，1），再代入y?kx?3，求出k?1；x

（2）把x=2代入两个解析式，求出BC两个点的坐标，则线段BC的长可求

【方法规律】如果点在图像上，则点的坐标满足解析式．

【易错点分析】没有易错点，除非不会做，或者发生计算错误。 【关键词】一次函数，反比例函数 【推荐指数】★★★☆☆ 【题型】常规题

1. （2011四川泸州，24，7分）如图，已知函数y?

（1，m），B（n，2）两点． （1）求一次函数的解析式；

（2）将一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数y?

6

（x>0）的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点Ax

6

（x>0）的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标． x

【答案】解：（1）∵点A（1，m），B（n，2）在反比例函数的图象上，

6?m?，??m?6.?1∴ ? 解得?

6n?3.??2?.?n?∴一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，6），B（3，2）两点． ∴??6?k?b?k??2 解得? ∴一次函数的解析式是y=﹣2x+8；

?2?3k?b?b?8（2）一次函数y=-2x+8的图象沿x轴负方向平移a（a＞0）个单位长度得到新图象的解析式是 y=﹣2

?y??2?x?a??8,?（x+a）+8．根据题意，得 ? 6?y?.x?∴x+（a+4）x+3=0；∴这个新图象与函数y?2

2

6（x>0）的图象只有一个交点， x∴△=（a+4）﹣12=0，解得，a=﹣4±23；

??x?3①当a=-4-23时，解方程组，得?，∴M（3，23）；

??y?23??x??3②当a??4?23时，解方程组，得? ∴M（﹣3，﹣23）．

??y??23综上所述，a=﹣4±23，M（3，23）或M（﹣3，﹣23）．

【思路分析】（1）将点A（1，m），B（n，2）代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，然后将其代入一次函数解析式，即用待定系数法求一次函数解析式；

（2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图象的解析式，然后根据根的判别式求得a值．最后将a值代入其中，求得M的坐标即可．

【方法规律】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．

【易错点分析】对一次函数的图象沿x轴左右平移的规律不熟悉，不能列出平移后的函数关系式,以至于不能顺利解题.

【关键词】反比例函数与一次函数的交点，方程组，根的判别式 【推荐指数】★★★☆☆ 【题型】常规题，好题，难题 2. （2011山东青岛，8，3分）已知一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是( ) .

k在同一直角坐标系中的图象如图x

A.x＜﹣1或0＜x＜3 B. ﹣1＜x＜0或x＞3 C. ﹣1＜x＜0 D. x＞3

【答案】B

【思路分析】观察图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞3时，直线在双曲线的下方，故当1＜x＜0或x＞3时y1＜y2．

【方法规律】借助函数图象解方程（组）和不等式直观、形象．

【易错点分析】由于不知道函数图象与不等式的解集的关系，所以不能借助函数图象求得不等式的解集.

【关键词】一次函数，反比例函数 【推荐指数】★★★☆☆ 【题型】常规题

（2011湖北潜江天门仙桃江汉油田，21，8分）如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y?于A（3，

k交x20）、B（-5，a）两点.AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E. 3（1）求点B的坐标及直线AB的解析式； （2）判断四边形CBED的形状，并说明理由.

【答案】解：（1）∵双曲线y?k2020过A（3，），∴k?20.把B（-5，a）代入y?, x3x得a??4. ∴点B的坐标是（-5，-4）.

设直线AB的解析式为y?mx?n，

将 A（3，

20）、B（-5，-4）代入得， 3?2048??3m?n， 解得：. m?,n??333???4??5m?n∴直线AB的解析式为：y?48x?. 33（2）四边形CBED是菱形.理由如下:

点D的坐标是（3,0），点C的坐标是（-2,0）. ∵ BE∥x轴， ∴点E的坐标是（0,-4）.

而CD =5， BE=5， 且BE∥CD. ∴四边形CBED是平行四边形.

[来源:学|科|网]在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2， ∴ ED＝32?42＝5，∴ED＝CD. ∴□CBED是菱形.

【思路分析】（1）首先根据待定系数法求出反比例函数的解析式，然后再根据点在双曲线上求出点B的坐标，然后再次根据待定系数法求出直线AB的解析式；（2）可以根据一组邻边相等的平行四边形判断为菱形．

【关键词】反比例函数、一次函数、平行四边形的判定方法、矩形的判定方法 【难度】★★★★☆

（2011福建泉州，23. 9分）如图，在方格纸中建立直角坐标系，已知一次函数y1??x?b的图象与反比例函数y2?k的图象相交于点A（5，1）和A1. x（1）求这两个函数的关系式；（2）由反比例函数y2?k的图象的特征可知：点A和A1关于直线y?x对x称.请你根据图象，填写点A1的坐标及y1?y2时x的取值范围.

【解】（1）点A（5，1）是一次函数y1??x?b图象与反比例函数y2?∴?5?b?1,k图象的交点， xk5?1,∴b?6,k?5，∴y1??x?6，y2?. 5x（2）由函数图象可知：A1（1，5）；当0?x?1或x?5时，y1?y2.

【思路解析】（1）由于点A（5，1）是一次函数y1??x?b图象与反比例函数y2?k图象的交点，xk图象上，代入即可求出一次函数与反x比例函数的解析式。（2）由图象可知当y1?y2时，x的取值范围是：0?x?1或x?5

所以A点即在一次函数y1??x?b图象上，也在反比例函数y2?【方法规律】从代数的角度讲，本题应该是一个含有分式的不等式，对于初中学生来讲有些超纲，但从几何角数来讲，本题可以通过图象清晰地判定当0?x?1或x?5时，y1?y2.体现了数形结合的思想。这也是本类题目反复出现在各类试题中的原因所在。同学们在平时的学习过程中要特别注意这个问题。

【易错点分析】不能很好的运用数形结合思想解决取值范围问题。 【关键词】一次函数，反比例函数 【难度】★★☆☆☆ 【题型】综合题，易错题

（2011天津，20,8分）

已知一次函数y1?x?b（b为常数）的图像与反比例函数y2?于点p（3,1）.

（Ⅰ）求这两个函数的解析式.

（Ⅱ）当x＞3时，试判断y1与y2的大小，并说明理由. 【答案】解（Ⅰ）∵点p（3,1）在一次函数y1?x?b的图像上 ∴1=3+b，解得b=2.

∴一次函数的解析式为y1?x?2 ∵点p（3,1）在反比例函数y2?k（k为常数，且k≠0）的图像相交xk的图像上， x∴1?k，解得k=3. 33 x∴反比例函数的解析式为y2?（Ⅱ）y1＞y2.理由如下： 当x=3时，y1?y2?1.

又当x＞3时，一次函数y1岁x的增大而增大，反比例函数y2随x的增大而减小， ∴当x＞3时，y1＞y2.

【思路分析】（Ⅰ）将点p（3,1）直接代入两解析式中确定待定系数，可得解析式 （Ⅱ）由于x=3时两函数值相等，所以可以在此基础上利用函数的增减性判断。

【方法规律】一般情况下，一次函数与反比例函数的交点已知时，要先确定反比例函数解析式，因为反比例函数解析式中只有一个，而一次函数有两个待定系数。

【易错点分析】由于本题没给出图像，容易出现判断上的错误，一般要画出草图，可以很直观的判断大小问题，不至于出错。

【关键词】一次函数的图像与反比例函数相交、两个函数的解析式、. y1与y2的大小

【推荐指数】★★☆☆☆ 【题型】常规题

（2011广西梧州，20，6分）已知B（2，n）是正比例函数y＝2x图象上的点．

（1）求点B的坐标；

（2）若某个反比例函数图象经过点B，求这个反比例函数的解析式． 【解】（1）把B（2，n）代入y＝2x得：n＝2×2＝4∴B点坐标为（2，4）

kk（2）设过B点的反比例函数解析式为y?，把B（2，4）代入有4?，k＝8．∴所求的反比例函数解析

2x8式为y?．

x【思路分析】问题（1）中点B（2，n）在正比例函数y=2x图象上，将B（2，n）代入y=2x k

得到n值，（2）问将（1）中得到B点坐标代入反比例函数解析式y=x求出k值即可． 【方法规律】点在函数图像上，这个点的坐标一定满足这个函数图像的解析式． 【易错点分析】设错反比例函数解析式．

【关键词】正比例函数，反比例函数 【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题

(2011年岳阳市)如图，一次函数图象与x轴相交于点B，与反比例函数图象相交A（1，-6），△AOB的面积为6．求一次函数和反比例函数的解析式． y Bx O A x （第20题图）

【答案】点B坐标为（-2，0）。把点A（1，-6），B（-2，0）分别代入反比例函数y?kk中，得?6?，

1x??6?k?b?6k??6，所以y?。把点A（1，-6），B（-2，0）分别代入一次函数y=kx+b，得?，解得

x0??2k?b??k??2，所以y=-2x-4。 ??b??4

【思路分析】由A点坐标在反比例函数上，可以利用待定系数法求出反比例函数解析式，再由A点距离x轴为6，△AOB的面积为6可以求出OB＝2，进而求出B点坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式．

【方法规律】求解析式的基本方法是待定系数法，这需要寻找点的坐标．

【易错点分析】思路混乱，先后次序寻找不力；对面积的应用不好导致解题困难． 【关键词】反比例函数；一次函数；待定系数法 【难度】★★☆☆☆ 【题型】常规题

（2011吉林长春，19,6分）如图，平面直角坐标系中，直线y?11kx?与x轴交于点A，与双曲线y?22x

在第一象限内交于点B，BC⊥x轴于点C，OC=2AO，求双曲线的解析式。

yBAOCx11x?与x轴交于点A， 22可知点A的坐标为??1,0?，∴OA=1

【解】由直线y?又∵OC=2AO，∴OC=2∴点B的横坐标为2，代入直线y?得y?

11x?， 223?3?

，∴B?2,? 2?2?

33

?3∴双曲线的解析式为y? 2x11【思路分析】先求得直线y?x?与x轴的交点A的坐标为（-1，0），得到OA=1，从而OC=2，即

22k?xy?2?∵点B在双曲线上，∴

点B的横坐标为2，代入直线y?11k?3?x?，求得点B坐标为?2,?，由点B又在双曲线y?上，所以22x?2?33k?xy?2??3，从而得到双曲线的解析式为y?.

2x【方法规律】点在函数图象上，则点的坐标就应满足函数解析式，可用待定系数法使问题获解.

【易错点分析】求不出点B的坐标，从而无法求得双曲线的解析式.

【关键词】直线 双曲线 【难度】★★★☆☆ 【题型】常规题 易错题

（2011内蒙古包头，18，3分）如图3，已知A（－1，m）与B（2，m+33）是反比例函数y?的两个点，点C是直线AB与x轴的交点，则点C的坐标是 .

y B O A 图3 【答案】（1，0）

C x k

图象上x

【思路分析】由题意?1?m?2?(m?33)，解得m=－23，则A（－1，－23），B（2，3）；设???a?3??a?b??23直线AB：y=ax+b则有?，解得?，故直线AB：y?3x?3令y=0，解得x=1，所以

???b??3?2a?b?3C（1，0）

【方法规律】反比例函数、一次函数求解析式，一次函数与两坐标轴的交点 【易错点分析】不能够灵活运用函数解决实际问题 【关键词】反比例函数 【推荐指数】★★★☆☆ 【题型】综合题，好题

填空题

1．（2011新疆乌鲁木齐，13，4分）正比例函数y?kx的图象与反比例函数y?m的图象有一个交点的x坐标是（-1，-2），则另一个交点的坐标是 ． 【答案】（1，2）

【思路分析】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称，∵一个交点的坐标是（-1，-2），∴另一个交点的坐标是（1，2）．

【方法规律】本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．

【易错点分析】不理解函数的对称性，错写成（-2，-1） 【关键词】反比例函数 【推荐指数】★★☆☆☆ 【题型】常规题，好题

8. （2011广西崇左，8，2分）若一次函数的图象经过反比例函数y??2），则这个一次函数的解析式是___________.

【答案】y =－2x－2

4图象上的两点（1，m）和（n，x

【思路分析】把点（1，m）和（n，2）代入y??所以两点为(1，-4)和(-2，2). 设一次函数的解析式为y=kx+b，则有?4可得m=-4，n=-2， x??4?k?b,?k??2,解得?

?2??2k?b.?b??2.所以这个一次函数的解析式是y =－2x－2.

【方法规律】求一次函数的解析式常用的方法是用待定系数法.待定系数法解题的一般步骤是：第一步：设，设出函数的一般形式；第二步：代，把已知点代入解析式得出方程或方程组；第三步：求，通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值； 第四步：写，写出该函数的解析式.

【易错点分析】不理解待定系数法求一次函数，构造不出方程组.

【关键词】反比例函数 一次函数 【难度】★★★☆☆ 【题型】常规题

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