统计学计算题

6.1 调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为?盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差

??1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。 解：总体方差知道的情况下，均值的抽样分布服从Nz=??,?n的正态分布，由正态分布，标准化得到标准正态分布：

2?x??～N?0,1?，因此，样本均值不超过总体均值的概率P为：

?n?x????0.3x??0.3?0.3?P?x???0.3?=P??P??=???

??n?n??19?n19?=P??0.9?z?0.9?=2??0.9?-1，查标准正态分布表得??0.9?=0.8159 因此，Px???0.3=0.6318

7.4 从总体中抽取一个n=100的简单随机样本,得到x=81，s=12。

要求：

大样本，样本均值服从正态分布：x????2?N??,?或xn???s2?N??,? ?n?置信区间为：?x?z?2???s12ss?，==1.2 ,x?z?2??100nnn?(1)构建?的90％的置信区间。

z?2=z0.05=1.645，置信区间为：?81?1.645?1.2,81?1.645?1.2?=（79.03，82.97）

(2)构建?的95％的置信区间。

z?2=z0.025=1.96，置信区间为：?81?1.96?1.2,81?1.96?1.2?=（78.65，83.35）

(3)构建?的99％的置信区间。

z?2=z0.005=2.576，置信区间为：?81?2.576?1.2,81?2.576?1.2?=（77.91，84.09）

7．28 某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以95％的置

信水平估计每个顾客平均购物金额的置信区间，并要求边际误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本? 解：n?22z?2???2x，1??=0.95，z?2=z0.025=1.96，

n?22z?2???2x1.962?1202=138.3，取n=139或者140，或者150。 ?220

8．2 一种元件，要求其使用寿命不得低于700小时。现从一批这种元件中随机抽取36件，测得其平均寿命为680小时。已知该元件寿命服从正态分布，?＝60小时，试在显著性水平0．05下确定这批元件是否合格。 解：H0：μ≥700；H1：μ＜700

已知：x＝680 ?＝60

由于n=36＞30，大样本，因此检验统计量：

z?x??0sn＝680?700＝-2

6036当α＝0.05，查表得z?＝1.645。因为z＜-z?，故拒绝原假设，接受备择假设，说明这批产品不合格。

8.1 已知某炼铁厂的含碳量服从正态分布N（4.55,0.1082），现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484。如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含量为4.55（α=0.05）？ 解：已知：μ=4.55，,σ2=0.1082，N=9， =4.484 双侧检验小样本，σ已知，∴用Z统计量 H0:μ=4.55 H1:μ≠4.55

α=0.05，α/2=0.025，查表得：Z0025=1.96 计算检验统计量： =（4.484-4.55(x??)）/(0.108/3)=-1.833

Z? ?/n

8．4 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量是100千克。每天开工后需要检验一次打包机工作是否正常。某日开工后测得9包重量(单位：千克)如下：

99．3 98．7 100．5 101．2 98．3 99．7 99．5 102．1 100．5 已知包重服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常(a＝0．05)? 解：H0：μ＝100；H1：μ≠100

经计算得：x＝99.9778 S＝1.21221 检验统计量：

t?x??0sn＝99.9778?100＝-0.055

1.2122192当α＝0.05，自由度n－1＝9时，查表得t?绝备择假设，说明打包机工作正常。

?9?＝2.262。因为t＜t?2，样本统计量落在接受区域，故接受原假设，拒

8．5 某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250克。今从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250克。若规定不符合标准的比例超过5％就不得出厂，问该批食品能否出厂(a＝0．05)? 解：解：H0：π≤0.05；H1：π＞0.05 已知： p＝6/50=0.12 检验统计量：

Z?p??0?0?1??0?n＝0.12?0.050.05??1?0.05?50＝2.271

当α＝0.05，查表得z?＝1.645。因为z＞z?，样本统计量落在拒绝区域，故拒绝原假设，接受备择假设，说明该批食品

不能出厂。

8．7 某种电子元件的寿命x(单位：小时)服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170

问是否有理由认为元件的平均寿命显著地大于225小时(a＝0．05)? 解：H0：μ≤225；H1：μ＞225 经计算知：x＝241.5 s＝98.726 检验统计量：

t?x??0sn＝241.5?225＝0.669

98.72616当α＝0.05，自由度n－1＝15时，查表得t??15?＝1.753。因为t＜t?，样本统计量落在接受区域，故接受原假设，拒绝备择假设，说明元件寿命没有显著大于225小时。

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