安徽省江淮名校2019届高三12月联考数学（理科）试题-d

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绝密★启用前

【校级联考】安徽省江淮名校2019届高三12月联考数学（理

科）试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 得分 一 二 三 总分 ……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题

1．已知全集??=??，集合??= ?? ?? ???3 ≥0 ，??= ?? ??= 2??? ，则 ????? ∩??等于（ ） A． 0,2 B． 0,3 C． ? D． 0,2

2．复数z满足?3?2i?z?4?3i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 3．已知向量 ??= 1,3 ，?? = ??,1 ，若 ??//?? ，则??= （ ） A． ?1

1

3 B． 3 C． ?3 D． 3 4．已知函数?? ?? =

1

1

????+1

?2

，则?? ?? 是（ ）

A． 奇函数，且在??上是增函数 B． 偶函数，且在 0,+∞ 上是增函数 C． 奇函数，且在??上是减函数 D． 偶函数，且在 0,+∞ 上是减函数

5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（ ）

试卷第1页，总5页

………线…………○…………

A． 2 B． 3 C． 5 D． 2 3 6．已知等比数列 ???? 的前??项和为????，??1+??3=且??2+??4=，则5 （ ）

2

4

5

5

????5

A． 256 B． 255 C． 16 D． 31

7．把函数?? ?? =sin???cos??的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移，3

??得到函数?? ?? 的图象，则函数?? ?? 的一个单调递增区间为（ ） A． ?17??6

,?6 B． ?

5??5??7??6

,6

2??4??7??19??………线…………○………… C． ?

3

,3

D． 6

,

6

??????2≤0

8．若实数??，??满足约束条件 ??+2???7≥0 ，则??=??+1

的最小值为（ ）

???3≤0

??A． 214

3 B． 1 C． 2 D． 5 9．如图，在矩形????????中的曲线是??=sin??，??=cos??的一部分，点?? ??2

,0 ，?? 0,1 ，在

矩形????????内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A． 4

4

?? 3?1 B． ?? 2?1 C． 4 3?1 ?? D． 4 2?1 ??

10．????????????的斜边????等于4，点??在以??为圆心，1为半径的圆上，则 ?? ??· ?? ??的取值范围是（ ）

A． ?35

55

2,2 B． ?2,2 C． ?3,5 D． 1?2 3,1+2 3

11．体积为4??3的三棱锥?????????的顶点都在球??的球面上，????⊥平面??????，????=2，∠??????=2，则球??的表面积的最小值为（ ）

A． 8?? B． 9?? C． 12?? D． 16??

12．设函数?? ?? 的导数为??′ ?? ，且?? ?? +??????=????′ ?? ，?? 1 =???，?? 2 =???2，则当??>0时，?? ?? （ ）

A． 有极大值，无极小值 B． 无极大值，有极小值 C． 既有极大值又有极小值 D． 既无极大值又无极小值

试卷第2页，总5页

……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※不……※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………………线…………○………… ………线…………○…………

……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：…装名姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………试卷第3页，总5页

………线…………○…………

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

13．已知??: ????? <3，??: 2??? ???3 >0，若???是???的充分不必要条件，则??的取值范围为__________．

14．已知函数?? ?? =sin ????+3 ??>0 在 0,2 上恰有一个最大值点和最小值点，则??的??………线…………○………… 取值范围是__________．

15．已知正数??，??满足??+??=1，则

????+1

+

????+2

的最大值为__________．

16．在四边形????????中，????=7，????=6，cos∠??????=11

14

，????=6sin∠??????，则????的最大值为

______． 评卷人 得分 三、解答题

17．如图，在梯形????????中，????//????，????=????=????=1，∠??????=60°，四边形????????是正方形，且∠??????=??2

，点??在线段????上.

（Ⅰ）求证：????⊥平面????????；

（Ⅱ）当????//平面??????时，求四棱锥???????????的体积. 18．如图，????是????????的外平分线，且????=????.

（Ⅰ）求sin∠??sin∠??????；

（Ⅱ）若????=4，????=5，求????的长.

19．已知数列 ???? 的前??项的和????=??2+2??， ???? 是等差数列，且????=????+????+1. （Ⅰ）求数列 ???? 的通项公式；

试卷第4页，总5页

……○ …※○※……题※……※…答…※…订※内订…※……※线……※…※…订…○※※○…装……※※……在※……※…装要※装…※不……※……※请……※…○※○……………………内外……………………○○……………………………线…………○………… ………线…………○…………

（Ⅱ）令????=

????+1 ??+1

，求数列 ???? 的前??项和????. ????+1 ??20．在四棱锥???????????中，侧面??????⊥底面????????，????//????，????⊥????，????=????=????=1，

????=2，????= 3.

1

……○ __○…___…_…___……__…：…号…订考_订_…___……___……___……：级…○班_○…___…_…__…_…___……：名…装姓装_…__…_…___……___……_:校…○学○……………………外内……………………○○……………………（Ⅰ）求????与平面??????所成角的正弦值；

（Ⅱ）求平面??????与平面??????所成的锐二面角的余弦值. 21．已知?? ?? =??ln??. （Ⅰ）求?? ?? 的最小值；

（Ⅱ）若?? ?? ≥?????2 ??+1 ??∈?? 对任意??>2都成立，求整数??的最大值. 22．已知?? ?? =????，?? ?? =????+??，其中??，??∈??. （Ⅰ）当??=1是，求函数?? ?? =?? ?? ??? ?? 的单调区间； （Ⅱ）若?? ?? ≥?? ?? 恒成立，求??+??的最大值.

试卷第5页，总5页

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参考答案

1．D 【解析】 【分析】

解不等式得集合A，进而可得?????，求解函数定义域可得集合B，利用交集求解即可. 【详解】

因为集合?????= ?? ?? ???3 <0 = 0,3 ，??= ?∞,2 ，所以 ????? ∩??= 0,2 ， 故选D. 【点睛】

本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题. 2．A

4?3i?4?3i??3?2i?117i【解析】由题意得， z?，则复数z在复平面内对应的???3?2i?3?2i??3?2i?1313点位于第一象限，故选A. 3．B 【解析】 【分析】

利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可. 【详解】

= 1,3 ，?? = ?? //?? ，则1×1=3??向量??,1 ，若??，解得??=.

31

故选B. 【点睛】

本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】

先判断定义域是否关于原点对称，进而利用?? ??? +?? ?? =0可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.

答案第1页，总14页

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【详解】

定义域为R，关于原点对称，

?? ??? =

1

??????2=????+1?2，有?? ??? +?? ?? =0， +1

1

????1

所以?? ?? 是奇函数，

函数?? ?? =????+1?2，显然是减函数. 故选C. 【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】

还原几何体得四棱锥P?ABCD，其中PA⊥面ABCD，分别计算各侧面的面积即可得解. 【详解】

1

1

还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥P?ABCD，其中PA⊥面ABCD，

?????????=2?????????=1,?????????=2?????????=2,?????????=2?????????=

111

5. 2

???????中有????= 6,????= 2,????=2 2，由????2+????2=????2，所以∠??????=90°. 所以?????????=2?????????= 3.

所以面积最大值是????????的面积，等于2. 【点睛】

本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属

1

答案第2页，总14页

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于中档题. 6．D 【解析】 【分析】

由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n项和，从而可得??，令??=5求解即可. 【详解】

由??1+??3=，可得??1+??1??2=；

2

2

5

5

??????由??1??+??1??3=.

54

两式作比可得：可得??=2，??1=2， 所以????= 2 故选D. 【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式，属于公式运用的题目，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】

利用三角函数的图象变换可得函数?? ?? = 2sin?? 2?12 ，再由2?????2≤2?12≤2????+2，

????????????1???2

1

，????=4? 2 1???2

，????=2???1，所以??5=25?1=31.

??5

??????∈??，可解得单调增区间，即可得解.

【详解】

函数?? ?? =sin???cos??= 2sin?? ??? 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，

4可得??= 2sin?? 2?4 的图象，再向左平移3，

得到函数?? ?? = 2sin 2 ??+3 ?4 = 2sin?? 2?12 的图象. 由2?????2≤2?12≤2????+2，??∈??，得4?????当??=0时，函数?? ?? 的一个单调递增区间 ?

????????5??6

1

????????????????≤??≤4????+6，??∈??.

7??5??7??6

,6 ，

答案第3页，总14页

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故选B. 【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x的系数提出，属于中档题. 8．A 【解析】 【分析】

作出不等式的可行域，??=斜率的最大值即可得解. 【详解】

作出不等式组构成的区域，??=

??+1

的几何意义是可行域内的点与点?? ?1,0 连线的斜率的倒??1+12??+2???7=0 ??=1

得 ，所以?? 1,3 ，此时??=3=3.

??=3??=3

??+1

的几何意义是可行域内的点与点 ?1,0 连线的斜率的倒数，由??数，由图象知????的斜率最大，由 故选A.

【点睛】

常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：

??= ????+????+?? 的几何意义为可行域内的点到直线A??+????+??=0的距离的 ??2+??2倍 ??=(?????)2+(???b)2的几何意义为可行域内的点到点(a,b)的距离的平方。 ??=?????的几何意义为可行域内的点到点(a,b)的直线的斜率.

9．B 【解析】 【分析】

由几何概型可知??=????阴影?????????????，再利用定积分求阴影面积即可.

答案第4页，总14页

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【详解】

由几何概型，可得??=【点睛】

本题主要考查了几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于中档题. 10．C 【解析】 【分析】

?? ·?? 结合三角形及圆的特征可得????·????=1+ ????+????，进而利用数量积运算可得最值，从而得解. 【详解】

?? · ?? =?? ?? ·?? ?? . ????·????= ????+??????+????+ ????+ ???? ·????+?? ?? ·?? ?? =0，?? ?? =4. 注意????=1， ????+?? ?? ·?? ????·????=1+ ????+????

所以当 ????与 ????+ ????同向时取最大值5，反向时取小值-3. 故选C. 【点睛】

本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问题的求解.属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】

把三棱锥放在长方体中，由面积公式及基本不等式可得????2≥8，进而有????2=????2+????2≥12，结合????=2??即可得最值. 【详解】

把三棱锥放在长方体中，由已知条件容易得到??????????=2????×????=2，所以????2=????2+????2≥2×????×????=8，因此????2=????2+????2≥12，注意????=2??，所以球??的表面积的最小值是12??.

答案第5页，总14页

1

2

2

??阴影??????????=

42 0?? cos???sin?? ??????2

×1

=× sin??+cos?? |4

0=?? 2?1 . ??4

??4

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故选C. 【点睛】

本题考查空间几何体的外接球问题，利用四面体构造长方体是解题的关键，利用长方体的体对角线等于球的直径是本题的突破点． 12．B 【解析】 【分析】

由题设??′ ?? =????+

?? ??

，结合条件可得存在??0??∈ 1,2 使得??′ ??0 =0，再由??′′ ?? >0，可得

??′ ?? 在 0,+∞ 上单调递增，分析导数的正负，即可得原函数的极值情况.

【详解】

由题设??′ ?? =????+

?? ?? ′

1 ，所以????=??+

?? 1 1

=?????<0，??′ 2 =??+

????′ ?? ??? ??

??2?? 2 2

=??2?4>0，所

??以存在??0∈ 1,2 使得??′ ??0 =0，又??′′ ?? =????+上单调递增.

=????+

??????>0，所以??′ ?? 在 0,+∞

所以当??∈ 0,??0 时，??′ ?? <0，?? ?? 单调递减，当??∈ ??0,+∞ 时，??′ ?? >0，?? ?? 单调递增.

因此，当??=??0时，?? ?? 取极小值，但无极大值，故选B. 【点睛】

本题主要考查了函数导数的应用：研究函数的极值，但函数一次求导后导函数的单调性不明确时，仍可以继续求导，即二次求导，属于常见的处理方式，考查了学生的分析问题的能力，属于难题. 13． 0,5 【解析】

答案第6页，总14页

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【分析】

由???是???的充分不必要条件，可得??是??的充分不必要条件，从而得?????且??≠??，列不等式求解即可. 【详解】

??:??= ?? ???3

由题意???是???的充分不必要条件，等价于??是??的充分不必要条件，即?????，

???3≤2

于是?????且??≠??，得 ?0≤??≤5，经检验??≠??.

3≤??+3

故答案为： 0,5 . 【点睛】

逻辑联结词，且：全真为真，一假为假；或：一真为真，全假为假；非：真假相反.本题中￢??是￢??的充分不必要条件，也可以考虑逆否命题来解决. 14． ,

127??13??12

【解析】 【分析】

根据条件得????+3的范围，由条件可知右端点2??+3应该在第一个最小值后第二个最大值前，即得<2??+≤

2

3

3????????5??2

，解不等式即可得解.

【详解】

由题设

3

3

3

3

3??2

????????<2??+3≤

??5??，得12

12

7??13??，所以??的取值范围是 12,12

7??13??12

.

故答案为： 12,【点睛】

7??13?? .

本题考查三角函数图象的性质，考查学生的计算能力，属于中档题.在应用函数y=Asin（ω x +φ ）的图像和性质研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x. 15．

5?2 24

【解析】

答案第7页，总14页

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【分析】

令??=??+1，??=??+2则??+??=4，可得式求最值即可. 【详解】

令??=??+1，??=??+2则??+??=4，

所以??+1+??+2=2? ??+?? =2?4 ??+?? ??+?? =2?4 3+??+?? ≤2?当且仅当=可以取到最大值

??????2??5?2 24

????+1

+

=2? ??+?? + ，再利用基本不等??+24??????112

????121121

??2??3+2 24

=

5?2 24

，

，此时??=4 2?5,??=6?4 2.

故答案为：【点睛】

5?2 24

.

本题主要考查了均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的正确应用，属于基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 16．8 【解析】

试题分析：由????=6sin∠??????，可得????⊥????,所以点??在以????为直径的圆上（去掉??,??,??），所以当????经过????的中点??时取最大值，????2=32+72?2×3×7cos∠??????=25，解得????=5，所以

????的最大值=5+2????=8．

考点：正弦定理与余弦定理的应用．

【方法点晴】本题主要考查了正弦定理与余弦定理、解三角形的相关知识的应用，其中根据题意得????=6sin∠??????，可得????⊥????，得到点??在以????为直径的圆上，得当????经过????的中点??时取最大值，利用余弦定理列出方程是解答本题的关键，着重考查了学生分析为和解答问题的能力，属于中档试题． 17．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）6. 【解析】 【分析】

5

1

答案第8页，总14页

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（Ⅰ）分析梯形????????的角度可得∠??????=，即得????⊥????，又????⊥????，从而得证；

2

??（Ⅱ）设对角线????，????交于点??，连接????，易得四边形????????是平行四边形，得????=????=????，由

3

2

梯形面积公式可得底面积，高为????，利用椎体的体积公式即可得解. 【详解】

（Ⅰ）由题设易得∠??????=∠??????=，所以∠??????=，∠??????=，????= 3，????=2（第2问用）

6

6

2

??????因此????⊥????，又????⊥????，????和????为平面????????内两条相交直线， 所以????⊥平面????????

（Ⅱ）设对角线????，????交于点??，连接????，则由????//平面?????? 可得????//????，进而四边形????????是平行四边形， 所以????=????=????=

32

2 33

.

12

5

四棱锥???????????的底面积是??= 3+ 3 × 3=.

232由（Ⅰ）知四棱锥?????????????的高是????=1 所以体积??=3????=3×2×1=6.

1

1

5

5

【点睛】

本题主要考查了线面垂直的证明及线面平行的性质，还有椎体的体积公式，考查一定的空间想象力，属于中档题.

18．（Ⅰ）；（Ⅱ）????=2 17.

21

【解析】 【分析】

????????（Ⅰ）由角平分线及互补的关系可得sin∠??????=sin∠??????，可得sin∠===，??????????????·????·sin∠????????????????sin∠??????????·????·sin∠????????从而得解；

（Ⅱ）在?ABD和?ACD中，分别用余弦定理表示????2和????2，再利用????2=4????2，解方程即可

答案第9页，总14页

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得解. 【详解】

（Ⅰ）由题设??????????=2??????????，sin∠??????=sin?(???∠??????)=sin∠??????， 所以

sin∠??sin∠??????=

????????·????·sin∠????????==????????????????·????·sin∠????????????????= 2

1

（Ⅱ）在?ABD中，由余弦定理????2=42+102?2×4×10×cos∠??????， 在?ACD中，????2=42+52?2×4×5×cos∠?????? 又????2=4????2，所以cos∠??????=，进而????=2 17.

53

【点睛】

本题主要考查了正余弦定理的灵活应用，需要对图形的几何特征进行分析，需要一定的能力，属于中档题.

19．（Ⅰ）????=??；（Ⅱ）????=??·2??+2. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）由??1=??1及??>1时，????=??????????1可得????，再由 ???? 是等差数列，利用基本量运算求解即可；

（Ⅱ）由????= ??+1 ×2??+1，利用错位相减法求和即可. 【详解】

（Ⅰ）??1=??1=3，??>1时，????=??????????1=??2+2??? ???1 2+2 ???1 =2??+1，??=1也符合此式，所以????=2??+1.又??1+??2=??1=3，??2+??3=??2=5，可得??3???1=2??=2?

??=1，??1=1，所以????=??

（Ⅱ）????=

????+1 ??+1 ????+1 ??=

2??+2 ??+1

??+1 ??= ??+1 ×2??+1，

所以????=2×22+3×23+?+ ??+1 ×2??+1，所以2????=2×23+3×24+?+ ??+1 ×2??+2，

错位相减得?????=2×22+23+?+2??+1? ??+1 ×2??+2，所以????=??·2??+2 【点睛】

这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知????和????的关系，求????表达式，一般是写出?????1做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.

答案第10页，总14页

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20．（Ⅰ）【解析】 【分析】

10 10；（Ⅱ）. 205

（Ⅰ）在平面??????内作????⊥????交????于点??，可得????⊥平面????????，以点??为原点，????，????，????所 ， ?? ， >|即可在直线分别为??，??，??轴，通过解方程求得平面??????的法向量??利用sin??=|cos< ????得解；

，通过求解|cos< ， >|即可得二面角锐角的余弦值. （Ⅱ）求得平面??????的法向量 ??????【详解】

在平面??????内作????⊥????交????于点??，又侧面??????⊥底面????????，所以????⊥平面????????，以点??为原点，????，????，????所在直线分别为??，??，??轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

易得?? 1,0,0 ，?? ,1,0 ，?? 0,1,0 ，?? 0,0,0 .

21

由已知条件，cos∠??????=所以点??坐标为 0,?,

1+1?32×1×1

=?，得∠??????=

2

12??3

，

1 3 22

= 1,1,? 3 ，?? = 1,3,? 3 ， ?? = 0,3,? 3 ，?? = 0,1,? 3 所以向量??????????222222222 = ??,??,?? ，（Ⅰ）设平面??????的法向量 ??则 ??·????=0 ?

13 ·?? =0??????+???

2

2

??+2???

1

3??2 32

=0

??=0

? = 6,3, 3 ，??55

= ??2 305

93

?1022 30 3×5

?? ，?? >|= 设求????与平面??????所成角为??，则sin??=|cos< ?? ·?? =0 ?? = ??,??,?? 则 ??（Ⅱ）设平面??????的法向量 ??? ·?? ????=0 =2 3 ?? ，?? >|=所以|cos

+3522 3× 305

=

10 20

??+2???

12

1

3??2

=0

??=0

? = 0,3, 3 ，??=

10. 5

答案第11页，总14页

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平面??????与平面??????所成的锐二面角的余弦值等于【点睛】

10 5

空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 21．（Ⅰ）最小值?? ?? =???；（Ⅱ）3. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）通过求导分析 函数单调性即可得最小值； （Ⅱ）由条件可得??≤

??ln??+2

对任意?????21

1

>2都成立，记?? ?? =

??ln??+2

，通过求导分析函数单调性???2

可得存在唯一的??0∈ 8,10 ，?? ?? 在??0取唯一的极小值也是最小值?? ??0 ，结合极值的等量关系可得?? ??0 = ??0?2 ∈ 3,4 ，从而得解.

21

【详解】

（Ⅰ）?? ?? 的定义域是 0,+∞ ，令??′ ?? =ln??+1=0???=，

??1

所以?? ?? 在 0,?? 上单调递减，在 ??,+∞ 上单调递增， 在??=??处取唯一的极小值，也是最小值?? ?? =??? （Ⅱ）?? ?? ≥?????2 ??+1 ???≤

??ln??+2

（注意?????2

2

1

1

1

11

>2），记?? ?? =

??ln??+2′

?? ，则?????2

=

???2ln???4

???2 2

考查函数?? ?? =???2ln???4，??′ ?? =1???>0 ??>2 ，?? ?? 在定义域上单调递增. 显然有?? 8 =4?2ln8<0，?? 10 =6?2ln10>0，所以存在唯一的??0∈ 8,10 使得

?? ??0 =??0?2ln??0+4=0.

在 2,??0 上?? ?? <0，??′ ?? <0，?? ?? 单调递减；在 ??0,+∞ 上?? ?? >0，??′ ?? >0，?? ?? 单调递增.

所以?? ?? 在??0取唯一的极小值也是最小值?? ??0 =

??0ln??0+2

，注意此时?? ??0 ??0?2

=0?ln??0=

??0?42

，

答案第12页，总14页

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??0?42所以?? ??0 =【点睛】

??0×

+2

??0?2

=2 ??0?2 ∈ 3,4 ，所以整数??的最大值可以取3

1

本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查了用变量分离求新函数的最值解决恒成立问题的等价转化，也考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 22．（Ⅰ）?? ?? 在 ?∞,0 上单调递减，在 0,+∞ 上单调递增；（Ⅱ）??. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）求函数导数,利用导数可研究函数的单调性;

（Ⅱ）由条件可得?? ?? =?????????+??≥??+??在??上恒成立, 求导得??′ ?? =???????,分别讨论

??<0,??=0和??>0三种情况,研究?? ?? 的最小值的取值情况,从而即可得解.

【详解】

（Ⅰ）??=1时，?? ?? =??????????，定义域是全体实数，求导得??′ ?? =?????1， 令??′ ?? =0???=0，所以?? ?? 在 ?∞,0 上单调递减，在 0,+∞ 上单调递增

（Ⅱ）令?? ?? ??? ?? =????????????≥0在??上恒成立，则?? ?? =?????????+??≥??+??在??上恒成立

求导得??′ ?? =???????.

若??<0，显然?? ?? 可以任意小，不符合题意. 若??=0，则??最大也只能取0.

当??>0时，令??′ ?? =???????=0???=ln??，

于是?? ?? 在 ?∞,ln?? 上单调递减，在 ln??,+∞ 单调递增，在??=ln??取唯一的极小值也是最小值

?? ln?? =??ln?????ln??+??=2?????ln??，

令?? ?? =2?????ln?? ??>0 ，则??′ ?? =1?ln??， 令??′ ?? =0???=??.

所以?? ?? =2?????ln?? ??>0 在 0,?? 上单调递增，在 ??,+∞ 单调递减，

在??=??取唯一极大值也是最大值?? ?? =??，此时??=??，??=0，所以??+??的最大值等于??. 备注一：结合图象，指数函数在直线的上方，斜率??≥0显然，再讨论??>0的情况. 备注二：考虑到?? ?? ??? ?? =????????????≥0在??上恒成立，令??=1即得??+??≤??.取??=??，

??=0

答案第13页，总14页

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证明????≥????在??上恒成立也给满分. 【点睛】

导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若?? ?? >0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为

?? ?? min>0，若?? ?? <0恒成立??? ?? max<0；

（3）若?? ?? >?? ?? 恒成立，可转化为?? ?? min>?? ?? max（需在同一处取得最值）.

答案第14页，总14页

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