含30度角的直角三角形的性质

含300角的直角三角形的性质

教学目标：⒈经历猜测、验证的过程，理解含300锐角直角三角形的性质。⒉学会应用含300锐角直角三角形的性质解决线段之间倍半关系的问题。

教学重点：含300角的直角三角形的性质的发现与应用 教学难点：⒈含300角的直角三角形性质的探索与证明； ⒉引导学生全面、周到地思考问题。 教学方法：探索发现法 教学工具：两个全等的含300角的三角尺；圆规

教学过程：一、回顾与思考

1．等边三角形有哪些性质？如何判定一个三角形是等边三角形？

2．问题情境：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得钭坡与水平面所成的角的度数是

30°,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?

图1

这个问题实际上可以归结为:在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m，求AB(如图1)。这个问题解决的关键是寻找: 之间的关系。 二、自主探究：[活动1]

⒈我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？

今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边具有什么性质

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⒉用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？ [活动2]

⒈请同学们准备好两个全等的含300角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法？

⒉探究：在这些图形中，轴对称图形有 个，其中三角形有 个，各是一个怎样的三角形？说说你的理由。

[活动3]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗?

⒈在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所角所对的直角边等于斜边的一半。其条件和结论分别是什么？如何用数学符

A号来表达？如何证明？

CBD已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°∠BAC=30° 求证：BC=1/2AB 证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°。 延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如下图) ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°． ∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．

∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角

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形)．

∴BC=BD=AB．

该性质适用范围是什么？运用该性质可求什么？ 三、含30角的直角三角形的性质：

⒈定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所角所对的直角边等于斜边的一半。

注：10定理满足的条件：⑴直角三角形；⑵有一个锐角等于30°；

0

121212数学语言：?Rt?ABC,?A?30,?BC?AB；

200,CD是AB的中线，则CD?30 Rt?ABC中1AB。 2BC40作用：计算和证明线段的倍分。

A50证明的方法：倍分法。 逆命题成立吗？

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°，（请同学们课后验证）

⒉逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°

1注：数学语言：?Rt?ABC,BC?AB,??A?300

2C四、例题评讲：

例1、如图，△ABC中，∠ACB=90°， B

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AD∠A=30°CD⊥AB，AB=4，则BC= ，∠BCD= ，BD= 例2、如图1，∠ABC=30°，AC⊥BC，AB=4cm，

（1） 求AC的长，如图2，若D是AB中点，连结DC，求DC的长 （2） 如图3，若D是AB中点，DE⊥BC，求DE的长

AADAD

BBBCCC如图1 E如图2 E如图3 例3、如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？

分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=1/2AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB．

121411解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，∴BC=AB，DE=AD，

22 ∴BC=×7．4=3．7(m)．

121又∵AD=AB，

211 ∴DE=AD=×3．7=1．85(m)．

22 答：立柱BC的长是3．7 m，DE的长是1．85 m．

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追问：（1）若D变成AB上使CD⊥AB于D的点，其它条件不变，如图a，你能分解出30°角的直角三角形吗？求出那些线段的长？ （2）如图a，BD与AB有何数量关系，此结论与AB的长度有关吗？（课后讨论） 五、习题选练：

DAEBC⒈下列结论正确的是（ ）⑴在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所所对的直角边等于另一直角边的一半． ⑵在一个三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所角所对的直角边等于斜边的一半

⑶在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． ⑷在一个直角三角形中，直角三角形的斜边是最小的直角边的2倍 A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（1）、（3） D．（2）、（4） ⒉填空：∵Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=（ ） ⒊Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度?边AB与BC之间有什么关系?

⒋小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200m，求山的高度

⒌已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC中点，DE⊥AB与E，求证：AE=AB．

14EADB5

C⒍已知直角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线

线把对边分成两条线段，求证：其中一条是另一条的2倍 已知：在Rt△ABC, ∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD是∠ABC的平分线 求证：CD=2AD

⒎三角形的三个角的度数之比为1:2:3， BADC它的最大边长等于16cm，求最小边的长。

⒏如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求证BD=AB ⒐如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，DC=6cm，求AC的长.

CMB14

BADN第3题C

D第2题A⒑如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=2cm．求BC的长．

⒒如图，已知Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，

求证：AD=2DC ⒓已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是

D腰AB上的高。求：CD的长．

ABC 6

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