2012年上海高考理科数学试卷及答案

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理）

一、填空题（56分）：

3 i。 i为虚数单位）1 i

2．若集合A {x|2x 1 0}，B {x||x 1| 2}，则A B 。

2　　　cosx3．函数f(x) 的值域是。 sinx　　 11．计算：

4．若 ( 2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）。

26)的二项展开式中，常数项等于 x

16．有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2， ，Vn， ，则2

lim(V1 V2 Vn) 。 5．在(x n

7．已知函数f(x) e|x a|（a为常数）。若f(x)在区间[1, )上是增函数，则a的取值范围是。

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2 的半圆面，则该圆锥的体积为

9．已知y f(x) x2是奇函数，且f(1) 1，若g(x) f(x) 2，则g( 1) 。

10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角

6，

若将l的极坐标方程写成 f( )的形式，则f( ) 。

11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）。

12．在平行四边形ABCD中， A

3，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD 的取值范围是

13．已知函数y f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)、B(,5)、C(1,0)，

函数y xf(x)（0 x 1）的图象与x轴围成的图形的面积为 。

14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC 2，若AD 2c，

且AB BD AC CD 2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最

大值是 。

二、选择题（20分）： 12

15．若1 2i是关于x的实系数方程x bx c 0的一个复数根，则（ ）

A．b 2,c 3 B．b 2,c 3 C．b 2,c 1 D．b 2,c 1

16．在 ABC中，若sinA sinB sinC，则 ABC的形状是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2222

17．设10 x1 x2 x3 x4 10，x5 10，随机变量 1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量 2取值45x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x1的概率也均为0.2，若记D 1、D 2分别为22222

18．设an 1、 2的方差，则（ ） A．D 1 D 2 B．D 1 D 2 C．D 1 D 2 D．D 1与D 2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 1n

nsin25

A．25 B．50 C．75 D．100 ，Sn a1 a2 an，在S1,S2, ,S100中，正数的个数是（ ）

三、解答题（74分）：

19．（6+6=12分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA

底面ABCD，E是PC的中点，已知AB 2，AD 22，PA 2，求：

（1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小。

20．（6+8=14分）已知函数f(x) lg(x 1)．

（1）若0 f(1 2x) f(x) 1，求x的取值范围；

（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0 x 1时，有g(x) f(x)，求函数y g(x)（x [1,2]）的反函数。

21．（6+8=14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图．现122x；②定位后救援船即刻沿 49

直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t．

（1）当t 0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y

救援船速度的大小和方向；

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

22．（4+6+6=16分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2 y2 1．

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2 y2 1相切，求证：OP OQ；

（3）设椭圆C2：4x2 y2 1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM ON，求证：O到直线MN的距离是定值。

，x1，x2， ，xn}，其中0 x1 x2 xn，n 2，定义向量23．（4+6+8=18分）对于数集X { 1

集Y {a|a (s,t),s X,t X}，若对任意a1 Y，存在a2 Y，使得a1 a2 0，则称X具有性质P．例如{ 1,1,2}具有性质P．

（1）若x 2，且{ 1,1,2,x}具有性质P，求x的值；

（2）若X具有性质P，求证：1 X，且当xn 1时，x1 1；

，xn的通项公式。 （3）若X具有性质P，且x1 1、x2 q（q为常数），求有穷数列x1，x2，

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