2022届全国天一大联考新高三原创预测试卷(四)理科数学

- 1 - 2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（四）

理科数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.

已知集合{|{|0}A x y B x x ===≥，则A

B =（ ） A. [1,0]-

B. [0,1]

C. [0,3]

D. [1,3]

【答案】C

【解析】

【分析】

先利用一元二次不等式的解法，化简集合A ，再求交集.

【详解】因为2230x x -++≥，

- 2 - 所以()()130x x +-≤，

所以13x -≤≤，

所以[1,3]A =-，

又因为{|0}B x x =≥，

所以[0,3]A B =.

故选：C

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和集合和基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

2.已知i 是虚数单位，则2331i i i -??-= ?+??

（ ） A. 32i --

B. 33i --

C. 24i -+

D. 22i -- 【答案】B

【解析】

【分析】

根据虚数单位i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简． 【详解】22231i 3i 3i i i 12i i 33i 1i 2

故选B.

【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算．除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实数化．

3.等差数列{}n a 满足：810+>0a a ，若{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，则下列结论不正确的是（ ）

A. 0d >

B. 90a >

C. 170S >

D. 6120a a +>

【答案】A

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质，有81096122+==+a a a a a ，再根据810+>0a a 判断.

- 3 - 【详解】由等差数列的性质可知810961220a a a a a +==+>，

1178101717()17()022

a a a a S ++==>， 所以B ，C ，D 都正确，故A 错误.

故选：A

【点睛】本题主要考查等差数列的性质，还考查了转化问题求解的能力，属于中档题.

4.已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的离心率为12，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆为方程为（ ） A. 22

142

x y += B. 22184x y += C. 221164x y += D.

22

11612

x y += 【答案】D

【解析】

【分析】 利用已知条件求出a ，b ，即可求解椭圆方程．

【详解】设椭圆的焦距为2c ，由条件可得

12c a =，故2a c =，由椭圆的长轴与焦距之差为4可得24a c ，即2a c -=，所以，4a =，2c =，故22212b a c =-=，故该椭圆的方程为22

11612

x y +=. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法，是基本知识的考查．

5.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ）

A. 2280

B. 2120

C. 1440

D. 720 【答案】A

【解析】

分析】

- 4 - 整体上用间接法求解，先算出

1，4，1，5，9，2，6这7位数字随机排列的种数，注意里面有两个1，多了2

2A 倍，要除去，再减去小于3.14的种数，小于3.14的数只有小数点前两位为11或12，其他全排列.

【详解】由于1，4，1，5，9，2，6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可

以得到的不同情况有7722A A ， 而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有5

52A ，

故得到的数字大于3.14的不同情况有75752222280A A A -=. 故选：A

【点睛】本题主要考查数字的排列问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

6.运行如图所示的程序，输出的结果为（ ）

A. 8

B. 6

C. 5

D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】 由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】所给程序的运行过程如下：1b =，3a =；2b =，7a =；3b =，15a =；4b =，31a ，不满足30a ，输出b 的值为4.

故选D.

【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

7.已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

- 5 -

A. 6π

B. 8π

C. 6π+6

D. 8π+4

【答案】C

【解析】

【分析】 几三视图可知，该几何体是一个圆柱的，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入柱体的表面积公式计算即可．

【详解】三视图可知，该几何体是一个圆柱的

34，故表面积为232123213664.

故选C.

【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征及求相关几何量的数据是解答本题的关键．

8.已知直线1:1l y x =+与2:l y x m =+之间的距离为2，则直线2l 被圆()22:18C x y ++=截得的弦长为（ ）

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1 【答案】A

【解析】

【分析】

由条件可知，直线1l 过圆心:1,0C ，则圆心C 到直线2l 的距离等于直线1l 与2l 之间的距离2，

根据勾股定理可求直线2l 被圆()22:18C x y ++=截得的弦长

【详解】由条件可知，直线1l 过圆心:1,0C ，则圆心C 到直线2l 的距离等于直线1l 与2l 之间

的距离2，故直线2l 被圆C 截得的弦长为2844.

- 6 - 故选A. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交时的弦长问题，属于中档题． 9.已知实数,x y 满足不等式组10201x y x y x -+≥??+≥??≤?

，且目标函数3z x y =-的最小值为m ，最大值

为n ，则

2

351n

m

dx x -=?（ ） A. 15 B. 45 C. 53 D. 43

【答案】B

【解析】

【分析】

先画出不等式组10201x y x y x -+≥??+≥??≤?

表示的平面区域，变形目标函数3z x y =-为3y x z =-，平移

直线3y x =，当经过点C 时，在y 轴上的截距最小，

所以目标函数3z x y =-在此处取得最大值，当经过点A 时，在y 轴上的截距最大，所以目标函数3z x y =-在此处取得最小值，然后再计算定积分的值..

【详解】不等式组10201x y x y x -+≥??+≥??≤?

表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：

- 7 - 且点12(,),(1,2),(1,2)33A B C --，

变形目标函数3z x y =-为3y x z =-，平移直线3y x =，

当经过点C 时，在y 轴上的截距最小，

所以目标函数3z x y =-在此处取得最大值5，

当经过点A 时，在y 轴上的截距最大，

所以目标函数3z x y =-在此处取得最小值53

-

， 故553122151114d d ()|5n m

x x x x x -==-=??. 故选：B

【点睛】本题主要线性规划及定积分的计算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

10.在边长为1的正ABC ?中，点D 在边BC 上，点E 是AC 中点，若3·

16AD BE =-，则BD BC =（ ）

A. 14

B. 12

C. 34

D. 78

【答案】C

【解析】 【分析】

设AB a =，AC b =，BD BC λ=，则()1AD AB BD a b λλ=+=-+，

12

BE AE AB b a =-=-，则由3·16AD BE =-求出λ，即可得到BD BC . 【详解】设AB a =，AC b =，BD BC λ=，则()()1AD AB BD a b a a b λλλ=+=+-=-+，12

BE AE AB b a =-=-，则()()()()()()2211111312221133131142416

AD BE a b b a a b a b λλλλλλλλλ?????=-+?-=-?+-+ ?????=-+-+=-=-

故

3

4

λ=，即

3

4

BD

BC

=.

【点睛】本题考查向量的线性运算及向量的数量积的运算，属中档题.

11.已知定义在R上的函数()

f x，满足()()()

f m x f m x x

+=-∈R，且1

x≥时，2

()2x n

f x-+

=，图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A. ()()

f m f n

< B. 2()()()

f m f n f n

>-+

C. ()()

f n m f n

-< D. ()()

f m n f n

+>

【答案】B

【解析】

【分析】

根据()()()

f m x f m x x

+=-∈R，得到()

f x的图象关于直线x m

=对称，由图象可知，()

f x 的图象关于直线1

x=对称，得到1

m=，而(1)1

f=，解得2

n=，再根据图象，当1

x>时，()

()1

f x f

<求解.

【详解】因为()()()

f m x f m x x

+=-∈R

所以(2)()

-=

f m x f x

所以()

f x的图象关于直线x m

=对称，

由图象可知，()

f x的图象关于直线1

x=对称，

所以1

m=，而(1)1

f=，即2

21

n，

解之得2

n=，

并且由图象可知，当1

x>时，()

f x单调递减，则(1)

f为最大值，

故2()()()

f m f n f n

>-+，

故选：B

【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属

- 8 -

- 9 - 于中档题.

12.已知函数2()3sin cos 4cos (0)f x x x x ωωωω=->，其周期为π，1()2

f θ=，则()()24

f f ππθθ++-=（ ） A. 52- B. 92- C. 112- D. 132

- 【答案】D

【解析】

()23sin cos 4cos f x x x x ωωω=-35sin 22(1cos 2)sin(2)2,22

x x x ωωω?=-+=-- 其中4tan 3

?= ，所以212ππωω=∴= ，因为()12f θ=，所以51sin(2)222()22

k k Z θ?θ?π--=∴-=∈ 24f f ππθθ????++-= ? ?????555513sin(2)2cos(2)2sin 22cos 2222222

k k θ?θ?ππ------=----=- ，选D. 点睛：三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）

13.在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是11C D 的中点，则1A M 与AB 所成角的正切值为__________.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据异面直线所成角的定义可得11MA B ∠即为1A M 与AB 所成角，在1A MN 中计算即可.

- 10 - 【详解】11MA B ∠即为1A M 与AB 所成角，取11A B 中点N ，连接MN ，则11MN A B ⊥，则111

tan 2MN

MA B A N ∠==.

即答案为2.

【点睛】本题考查异面直线所成角的定义及计算，属基础题. 14.已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x 轴的直线被双曲线截得的弦长为m ，则

m a

=__________. 【答案】6

【解析】

【分析】 根据双曲线的离心率求出a 、b 的关系，再求出过右焦点

且垂直于x 轴的直线被双曲线截得的弦长m ，即可计算

m a

的值． 【详解】双曲线的焦距为2c ，则2c a

=，即2c a =，则b a =2x c a ==代入双曲线可得2b y a

=±，故22b m a =，所以，2226m b a a ==. 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质的应用问题，是中档题． 15.已知函数()()()()ln 0ln 0x x f x x x ?>?=?--<，且224a b +的最小值为m ，则()22log m ab +-=__________. 【答案】3 【解析】 【分析】 由题意，由()()()20,0f a f b a b =><可得ln ln 2a b ，即

21ab ，结合

- 11 - ()()()20,0f a f b a b =><，且224a b +的最小值为m ，即可求出()22log m ab +-的值．

【详解】由()()()20,0f a f b a b =><可得ln ln 2a b ，即21ab ， ∴12

ab =-，则2242242a b a b ab ≥，当且仅当122ab a b ?=-???=-?，即112a b =???=-??时，224a b +取得最小值2.故22212

log 2log 32m ab . 即答案为3. 【点睛】本题考查分段函数的运用，考查基本不等式的应用，考查学生的计算能力，属中档题．

16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =且11n n S n a +++=(*)n N ∈，数列1n n a ????+??

的前n

项和为n T ，不等式19

17321n n T m a ++-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是______________.

【答案】(,2]-∞

【解析】

【分析】

利用数列的通项与前n 项和的关系，当1n =时，由122S a +=及11a =解得23a =，当2n ≥时由11n n S n a +++=得，1n n S n a -+=，两式相减整理得121n n a a +=+，即112(1)n n a a ++=+，利用

等比数列的定义知{1}n a +是等比数列，求得12n n a +=，则12n n n n a =+，利用错位相减法求n T ，则19

17321n n T m a ++-+≥，转化为191323222n n m +-+-≥，设113222n n n

A +-=+，再求其最小值即可. 【详解】当1n =时，由122S a +=及11a =可得23a =，

由11n n S n a +++=①

可得2n ≥时，1n n S n a -+=②，

由①－②可得11n n n a a a ++=-，

即121n n a a +=+，

所以，112(1)n n a a ++=+，其中2n ≥，

- 12 - 当1n =时，21142(1)a a +==+，故1121n n a a ++=+对任意的

1n ≥总成立，

即{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，

故12n n a +=， 则12n n

n n a =+， 则231232222n n n T ③， 2341112322222n n n T +=++++④

由③-④可得2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++

+-=-=--， 所以，222n n n T +=-

， 由19

17321n n T m a ++-+≥，得191323222n n m +-+-≥， 设1

13222n n n A +-=+， 则122152n n n n A A ++--=， 易得{}n A 在7n ≤时递减，在8n ≥时递增，且7889132,222A A =-

=-， 故{}n A 的最小值为89322A =-

， 故9933222m --≥，

解得2m ≤.

故答案为：(,2]-∞

【点睛】本题主要考查数列的通项与前n 项和的关系，错位相减法和数列不等式恒成立，还考查了运算求解的能力，属于难题.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知ABC 的三个内角所对的边分别为,,a b c ，若sin 3sin B A =.

（1）若3B π

=，求a c

； （2）若ABC 的面积为21sin 5

c B ，求cos B 的值.

- 13 - 【答案】（1）331a c -=（2

）720- 【解析】

【分析】 (1)根据sin 3sin B A =由正弦定理可得3b a =，再由余弦定得2229a a c ac =+-求解.

（2）根据ABC 的面积为21sin 5c B ，可得211

sin sin 25ab C c B =，再由正弦定理把角转化为边21125

abc c b =，即 52c a =，然后由余弦定理求解. 【详解】(1)因为sin 3sin B A =

由正弦定理可得3b a =，

由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-

所以2229a a c ac =+-，

解得331a

c -= （2）因为ABC 的面积为21sin 5

c B 可得21

1sin sin 25

ab C c B =， 由正弦定理可得21

125

abc c b =， ∴52

c a =， 由余弦定理可得22222225974cos =522022

a a a a c

b B a a

c a +-+-==-?. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

18.如图，三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA PB =，且AB PC ⊥.

（1）求证：CA CB =；

（2）若2,11PA PB AB PC ====A PC B --的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）

13

35

【解析】

【分析】

（1）取AB的中点O，连接,

PO PC.根据PA PB

=，得PO AB

⊥，再由AB PC

⊥，根据线面垂直的判定定理得AB⊥平面POC，则AB OC

⊥，再利用三线合一证明.

（2）由,,

PO AB CO三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC和平面PBC 的一个法向量，再利用二面角的向量法公式求解.

【详解】（1）取AB的中点O，连接,

PO PC.

PA PB

=，∴PO AB

⊥，

,,,

AB PC PC PO P PC PO

⊥=?平面POC，

∴AB⊥平面POC，

又OC?平面POC，∴AB OC

⊥，

而O是AB的中点，∴CA CB

=.

（2）平面PAB⊥平面ABC，PO?平面PAB，

平面PAB?平面ABC AB

=，

∴PO⊥平面ABC，

再由（1）可知,,

PO AB CO三条直线两两垂直.

以,,

OA OC OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

由条件可得3

PO=，2222

OC PC PO

-.

则(1,0,0),3),(0,22,0),(1,0,0)

A P C B-，

∴(0,22,3)

PC=-，(1,22,0)

AC=-，(1,22,0)

BC=.

设平面PAC的一个法向量为

1

111

(,,)

n x y z

=，

- 14 -

- 15 - 由1100n PC n AC

??=???=??可得 11112230220

y z x y ?-=??-+=??， 令13y =，则1(62,3,26)=n .

同理可得平面PBC 的一个法向量为2(62,3,26)=-n ，

则12121213cos ,35||||7292472924

?<>===-?++?++n n n n n n . 由图易知，二面角A PC B --为锐角，

∴二面角A PC B --的余弦值为1335

. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.

19.某搜索引擎广告按照付费价格对搜索结果进行排名，点击一次付费价格排名越靠前，被点击的次数也可能会提高，已知某关键词被甲、乙等多个公司竞争，其中甲、乙付费情况与每小时点击量结果绘制成如下的折线图.

（1）若甲公司计划从这10次竞价中随机抽取3次竞价进行调研，其中每小时点击次数超过7次的竞价抽取次数记为X ，求X 的分布列与数学期望；

（2）若把乙公司设置的每次点击价格为x ，每小时点击次数为y ，则点(,)x y 近似在一条直线附近.试根据前5次价格与每小时点击次数的关系，求y 关于x 的回归直线y bx a =+.（附：

回归方程系数公式：1

22

1???,n i i

i n i i x y nxy b a y bx x

nx ==-==--∑∑）.

【答案】（1）详见解析（2） 1.4 1.2y x =+

【解析】

- 16 - 【分析】

（1）根据折线图，甲公司每小时点击次数为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，X 的取值可能为0，1，2，3，再求出相应的概率，写出分布列求期望.

（2）根据折线图列出x ，y 的数据，求得12345246873, 5.455

++++++++====x y ，代入公式5152215==-=-∑∑i i

i i i x y xy b x

nx 求解.

【详解】（1）由题图可知，甲公司每小时点击次数为9，5，7，8，7，6，8，6，7，7， 由条件可知，X 的取值可能为0，1，2，3，且

31221373737333331010101072171(0),(1),(2),(3)244040120

C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============， 所以，X 的分布列为

X 的数学期望为72171

01230.9244040120EX =?+?+?+?=.

（2）根据折线图可得数据如下：

则12345246873, 5.455

++++++++====x y ，

则

5

1

52

2

1

5

?

1.4, 1.2

i i

i

i

i

x y x y

b a

x nx

=

=

-

===

-

∑

∑

，

∴所求回归直线方程为： 1.4 1.2

y x

=+.

【点睛】本题主要考查离散性随机变量的分布列以及回归直线方程的求法，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.

20.如图，直线:210

l x y

++=与y轴交于点A，与抛物线2

:2(0)

C x py p

=>交于,P Q，点B与点A关于x轴对称，连接,

QB BP并延长分别与x轴交于点,

M N.

（1）若43

PQ=，求抛物线C的方程；

（2）若直线,

BN BM的斜率分别为12

,k k.

①求证：12

k k

+为定值；

②若

23

MN=，求12

k k

-.

【答案】（1）24

x y

=（2）①证明见解析②

12

||23

k k

-=

【解析】

【分析】

（1）由

2

210

2

x y

x py

++=

=

??

可得22220

x p

++=，再由弦长公式

2

121212

||12|3()4

PQ x x x x x x

+-+-22

38826()43

--

p p p p.

（2）①根据斜率公式

2

1

22

1111212

1

1111

1

12

2

==

222

x

y x p x x x x x

p

k

x x px px p

-

----

===

.

2

2

22

2221221

2

2222

1

12

2

==

222

x

y x p x x x x x

p

k

x x px px p

-

----

===

，再计算

- 17 -

- 18 - 12k k +.

②设直线BN 的方程为：11y k x =+，直线BM 的方程为：21y k x =+，得到1211

(,0),(,0)N M k k --，

则12211211||||||||k k MN k k k k -=-=，再利用120k k +=求解.

【详解】（1

）由2102y x py

++==??

可得220x p ++=， 设点1122(,),(,)P x y Q x y

，则2)80p ?->，即1p >

.

1212,2x x x x p +=-=，

故12|||PQ x x -

.

由2p =（舍去负值），

∴抛物线C 的方程为24x y =.

（2）①由条件可得21221111212111111122==222x y x p x x x x x p k x x px px p

-----===.

22222221221222221122==222x y x p x x x x x p k x x px px p

-----===， ∴120k k +=（定值）.

②直线BN 的方程为：11y k x =+，直线BM 的方程为：21y k x =+， 则1211(,0),(,0)N M k k --

，则12211211||||||||k k MN k k k k -=-=，

由120k k +=可得12k k =-，

∴121|2|||k k ，

∴1||k

∴2||k 120k k<，

∴12||k k -=【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

21.已知函数2

()ln(1)(1)()f x x a x a =+++∈R .

- 19 - （1）若()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行，求()f x 的极值；

（2）当0a ≤或18

a ≥

时，试讨论方程()+2f x x =实数根的个数. 【答案】（1）极大值1ln 22-，无极小值（2）当0a ≤时，方程()2f x x =+没有实数根；当18a ≥时，方程()2f x x =+有1个实数根

【解析】

【分析】

（1

）2()ln(1)(1)f x x a x =+++，∴1()2(1)(1)1f x a x x x '=

++>-+，根据()y f x =在1x =处的切线与x 轴平行，则1

(1)402f a '=+=，解得18a =-，然后求极值.

（2）将方程()+2f x x =实数根的个数，转化为2ln(1)(1)20+++--=x a x x 实数根的个数，令2()ln(1)(1)2g x x a x x =+++--，转化为函数的零点问题，分0a =， 0a <，18a ≥，三种情况，利用导数法进行分类讨论.

【详解】（1）2()ln(1)(1)f x x a x =+++，∴1()2(1)(1)1

f x a x x x '=++>-+， 由条件可得1(1)402f a '=+=，解之得18

a =-， ∴21()ln(1)(1)8

f x x x =+-+，11(1)(3)()(1)(1)144(1)x x f x x x x x --+'=-+=>-++， 令()0f x '=可得1x =或3x =-（舍去）.

当11x -<<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.

即()f x 在(1,1)-上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，

故()f x 有极大值1(1)ln 22

f =-，无极小值；

（2）设2()ln(1)(1)2g x x a x x =+++--， 则212(41)2()2(1)111ax a x a g x a x x x +-+'=++-=++(1)x >-. ①当0a =时，()1x g x x '=-+，当10x -<<时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<， 故()g x 有极大值(0)2<0g =-，此时，方程()2f x x =+没有实数根；

- 20 - ②当0a <时，由()0g x '=可得22(41)2=0ax a x a +-+*

由22=(41)16180a a a ?--=->可知，*有两个实数根，

不妨设为1212,()x x x x <， 则121212221

x x a x x ?+=-<-???=?，则必有121,10x x <--<<， 且当21x x -<<时()0g x '>，当2x x >时，()<0g x '，

即()g x 在2(1,)x -上单调递增，在2(,)x +∞上单调递减，

故()g x 有极大值22222()ln(1)(1)200120g x x a x x =+++--<++-<，

∴方程()2f x x =+没有实数根. ③当18a ≥

时，=180a ?-≤，()0g x '≥，即()g x 在(1,)-+∞上单调递增，

1)112g =-=

18

a ≥，

∴1<， 设()ln x x x ?=-，则1

()1?'=-x x ，

当01x <<时，()0?'>x ，所以()x ?在(0,1)上递增，且(1)10?=-<，

故1)<0g . 当0x >时，2()(1)2=[((1)](1)1g x a x x ax a x >+--+-+-，

222()(21)(1)120g a a a a a

>+-+-=++>，

即21)()<0g g a ?，∴方程()2f x x =+有1个实数根.

综上可知，当0a ≤时，方程()2f x x =+没有实数根， 当18

a ≥时，方程()2f x x =+有1个实数根. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.

选修4—4坐标系与参数方程

- 21 - 22.以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为

()253cos28ρθ-=，直线l

的参数方程为22x m y t ?=-????=??

（其中t 为参数）.

（1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；

（2）若直线l 与曲线C 有两个公共点，求实数m 的取值范围.

【答案】（1）2

214x y +=（2

）( 【解析】

【分析】

（1）曲线C 的极坐标方程化为4ρ2-3ρ2cos 2θ=4，由此能求出曲线C 的普通方程．

（2

）把22x m y ?=-????=??代入2214x y +=，得5x 2-8mx+4m 2-4=0，由直线l 与曲线C 有两个公共点，能求出实数m 的取值范围．

【详解】（1）方程

()253cos28ρθ-=可化为()22532cos 18ρθ??--=??，即22243cos 4ρρθ-=，把222x y cos x

ρρθ?=+?=?代入可得()222434x y x +-=，整理可得2

214

x y +=. （2

）把22x m t y t ?=-????=??代入2214x y +=

可得225280t m -+-=

，由条件可得()()

2220280m ?=--->

，解之得m <

的取值范围是(. 【点睛】本题考查曲线的普通方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查根据的判别式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

选修4—5不等式选讲

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