2013年福建省数学质检卷（理）科数学word版

2013年福建省普通高中毕业班质量检查

理 科 数 学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)，第II卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共

5页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 s=11222??(x?x)?(x?x)?…?(x?x) V=Sh 12n?n?3

其中S为底面面积，h为高 球的表面积、体积公式

2其中x为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh

S?4?R，V?

43

?R3其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数z?1?i，z为z的共轭复数，则下列结论正确的是 A．z??1?i

2 B．z??1+i C．z?2 D．z?2 2．已知向量a?(m,4),b?(1,1)，则“m??2”是“a//b”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

1

3．函数f(x)?log1cosx(?2??x?)的图象大致是 22

?A B C D

4．执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2，则输出的x值为 A．3 B．126 C. 127 D. 128

5．设m,n是两条不同的直线，?,?是两个不同的平面．下列命题正确的是

A．若m//n,m??，则n?? B．若m//n,m//?，则n//? C．若m//?,m//?，则?//? D．若n??,n??，则???

6．已知函数f(x)?2sinx?23sinxcosx?1的图象关于点(?,0)对称，则?的值可以是 A．?2???? B． C．? D． 66121227．设抛物线y?6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA?l，垂足为A．如果?APF为正三角形，那么|PF|等于

A．43 B． 63 C． 6 D． 12

8．在矩形ABCD中，AB?1，AD?3，P为矩形内一点，且AP?3. 2若AP??AB??AD??,??R?，则??3?的最大值为

A.

63?36?323 B. C. D.

4242?x?kx2,x?0,?9．若函数f(x)??x?1有且只有2个不同的零点，则实数k的取值范围是

?x?0?lnx,Ａ．(?4,0) Ｂ．(??,0] Ｃ．(?4,0] Ｄ．(??,0)

2

10．设数集S??a,b,c,d?满足下列两个条件：

（1）?x,y?S,xy?S；（2）?x,y,z?S,若x?y,则xz?yz． 现给出如下论断：

①a,b,c,d中必有一个为0； ②a,b,c,d中必有一个为1；

③若x?S且xy?1，则y?S；④存在互不相等的x,y,z?S，使得x?y,y?z． 其中正确论断的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

22第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．(x?2)展开式中含x项的系数等于 ．

42?3x?y?1?0,?12．若变量x,y满足约束条件?3x?y?11?0,则z?2x?y的最大值为 ．

?y?2,?13．已知直线l：y??3(x?1)与圆O：x?y?1在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点A, 则

22?MOA的面积等于 ．

14．如图，A1,A2,?,Am?1?m?2?为区间?0,1?上的m等分点，直线x?0，x?1，

y?0和曲线y?ex所围成的区域为?1，图中m个矩形构成的阴影区域为?2，

在?1中任取一点，则该点取自?2的概率等于 ．

l010x,?15．定义两个实数间的一种新运算“*”：x?y?g1?y?x,y?R.

当x*x?y时，x?*y.对任意实数a,b,c，给出如下结论： ①?a*b?*c?a*?b*c?； ②?a*b??c??a?c?*?b?c?； ③a*b?b*a； ④*a*b?a?b. 2其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

3

16. (本小题满分13分)

某几何体ABC?A1B1C1的三视图和直观图如图所示． （Ⅰ）求证：A1C?平面AB1C1； （Ⅱ）求二面角C1?AB1?C的余弦值．

17．(本小题满分13分)

国Ⅳ标准规定：轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过80mg/km．根据这个标准，检测单位从某出租车公司运营的A、B两种型号的出租车中分别抽取5辆，对其氮氧化物的排放量进行检测，检测结果记录如下（单位：mg/km）

A B

由于表格被污损，数据x,y看不清，统计员只记得A、B两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等，方差也相等.

（Ⅰ）求表格中x与y的值；

（Ⅱ）从被检测的5辆B种型号的出租车中任取2辆，记“氮氧化物排放量超过80mg/km”的车辆数为?，求?的分布列和数学期望．

4

85 70 80 85 95 60 90 75 x y

18. (本小题满分13分)

如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东142海里处 .

（Ⅰ）求此时该外国船只与D岛的距离；

（Ⅱ）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行.

为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（参考数据：sin3652'?0.6，sin5308'?0.8）

19. (本小题满分13分)

oox2y2?3?如图1，椭圆E:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为A1,A2，T?1,?ab?2?为椭圆上一点，且TF2垂直于x轴. （Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）给出命题：“已知P是椭圆E上异于A1,A2的一点，直线A1P,A2P分别交直线l：x?t（t为常数）于不同两点M、N，点Q在直线l上. 若直线

PQ与椭圆E有且只有一个公共点P，则Q为线段MN的中点”，写出此命

题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明;

（Ⅲ）试研究（Ⅱ）的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双曲线有且只有一个公共点S的直线m，并写出作图步骤. 注意：所作的直线不能与双曲线的渐近线平行.

5

所以我海监船速度v?AE102??20海里/小时。 12分 t22所以我海监船要以北偏东90-3652'?5308的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截。 13分

(注：取“=”扣1分)

解法三：以A点为原点，以AD所在的直线为x轴建立直角坐标系，如图。

o0o'0）（Ⅰ）依题意，D(142，，|AB|?16，?BAD?45, 82）（142-82）?（82）?200. 所以B(82，,|DB|?此时该外国船只距与D岛距离DB?102海里 5分

2220（x-142)?y?144 （Ⅱ）以点D为圆心，以12为半径作圆D，则圆D的方程为：

在?ABD中作B C?DA于点C，则直线B C的方程为：x?82 7分 设直线B C与圆D在第一象限的交点为点E ，联接EA。

22?（?x-142)?y?144，联立?解得E(82,62)， 8分

??x?82，22所以|AE|?(82)2?(62)2?102，|BE|?82-62?22，

所以tan?EAC?kAC?6282?330，所以sin?EAD?,?EAD?3652'。 45国为该外国船只到达点E的时间t?|BE|222??小时， 10分 442所以我海监船速度v?|AE|102??20海里/小时。 12分 t22所以我海监船要以北偏东90-3652'?5308的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截。 13分

19．本小题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分． 解法一：（Ⅰ）因为T?1,o0o'53?3?TF?TFFTF?TF?为椭圆上一点，垂直于轴，所以在中，，，x21212?22?2? 11

??a?2,?TF1?TF2?2a,F1F2?2，又因为?所以?所以b?3，

FF?2c,c?1,??12?x2y2所以椭圆E的方程为??1.????????????????4分

43（Ⅱ）逆命题：“已知P是椭圆E上一点，直线A1P、A2P分别交直线l：x?t（t为常数）于M、N两点，若Q为线段MN的中点，则直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P”，为真命题.?????6分 证明如下：

22x0y0设P?x0,y0?，则??1，

43又lA1P:y??y0?t?2???y0?t?2??y0y0Mt,Nx?2l:y?x?2，，所以，??A2P?????t,?，

x0?2?x0?2?x0?2x0?2??y0?t?2?y0?t?2??y?xt?4?x0?2x0?2?020设MN的中点Q(x1,y1)，则x1?t，y1?，

x0?422??3?x0t?4??y0?x0t?4??3?x0t?4??4y0Q?又因为x?4?，所以y1?，即点?t,?，???8分 24y0x0?44y03??20所以kPQ?3?x0t?4??y022?3?x0t?4??4y04y03x0?3x0t?3x0????，

4y0?t?x0?t?x04y0?t?x0?4y03x?3x03?x?x0??y0，即y??0x?.

4y0y04y0则lPQ:y??x2y2??1,?323x033?4x?x??1?0， ?????9分 联立方程?，消y并化简得：2223x34y2yy000?y??0x?,?4y0y0?22?3x0??3??3?9x0?12y0?36?4?1??0， 所以?????????22244y0?2y0??4y0??y0?2所以直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P.???????10分 （Ⅲ）如图，①任作一条直线n垂直于实轴；②作直线A1S、A2S分别交直线n于I、J两点；③作线段IJ的中点V，则直线SV即为所求的直

12

线m.?????????????????????13分 解法二：（Ⅰ）因为T?1,?3??为椭圆上一点，TF2垂直于x轴， ?2?c?1,?a2?b2?1,??2?22?a?4,??3???3?所以?即? 解得?2

??2??2b?3,??1??2??1,?1?2???1,??b2?a2b2?a2x2y2所以椭圆E的方程为??1. ????????????????4分

43（Ⅱ）（Ⅲ）同解法一.

20．本题考查函数的导数、导数的应用、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、分类讨论思想等.满分14分.

2ax2?2abx解法一：(Ⅰ)依题意，f(x)?，????????????????1分 2(2x?b)/?8a?4ab?0,2??f/(2)?0,?a?1,?(4?b)由?可得?解得?

b??2.f(2)?2,4a????2,??4?b2x2?4xx2/所以f?x??，f(x)?.????????????????3分 2(2x?2)2x?2当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表： x /(??,0) + 0 0 0 (0,1) _ (1,2) - 2 0 2 (2,??) + f/(x) f(x) ? ? ? ? 所以，函数f(x)的单调递增区间为(??,0)，(2,??)，单调递减区间为(0,1)，(1,2). ???5分 (Ⅱ)与直线y?11x平行的直线设为y?x?m， 22?y?f(x),?1?2m?x?2m?01?由?得f(x)?x?m，即 ①????6分 12x?12y?x?m????212m时，方程①有唯一解x?，此时曲线与直线有公共点； 21?2m1当m?时，方程①无解，此时直线与曲线没有公共点.

2当m?

13

故存在直线y?11x?与曲线y?f?x?没有公共点. ??????????????8分 222an(Ⅲ)an?1?，

2an?2下面先用数学归纳法证明：当??2时，an?2. 证： ①当n=1时，a1??>2不等式成立. ② 假设当n=k时，不等式成立，即ak?2.

2ak(ak?2)2?2??0，于是ak?1?2. 则ak?1?2?2ak?22ak?2故当n=k+1时，不等式成立.

*根据①②可知，对于n?N,有an?2.????????????????10分 2ana(2?an)?an?n?0， 于是an?1?an?2an?22an?2所以an?1?an，即{an}是单调递减数列.

当1???2时，a1??，由（Ⅰ）知，a2?f(a1)?f(?)?f(2)?2, 于是有a3?a2，故{an}不是单调数列.

?2?0. 当0???1时，a1??<0，a2?2??2所以a3?a2?a2(2?a2)?0，于是a3?a2，故{an}不是单调数列.

2a2?22an?2?0，又因为an?1?当??0时，a1??，a2?，于是an?0.

2an?22??2所以an?1?an?an(2?an)?0，故an?1?an。故{an}是单调递增数列.

2an?2当??0时，an?0.故{an}不是单调数列. 当??2时，an?2.故{an}不是单调数列.

综上，?的取值范围是(??,0)?(2,??).????????????????14分 解法二：（Ⅰ）、(Ⅱ)同解法一

（Ⅲ）当?＞1时，由于a1??,an?1?f?an?，

14

由（Ⅰ）知：当x＞1时，有f?x??2，且f?2??2,x?2时，f?x?＞2. 所以，当??2时，有an?2，数列?an?不单调；当??2且n?2时，an＞2.

2ana?2?an??an?n因为an?1?an?，

????2an?12an?1则当n?2时，有an?1＜an. 又a2?a1???2???， 2???1?当1＜?＜2时，有a2＞a1，数列?an?不单调； 当?＞2时，有a2＜a1，数列?an?单调递减. 所以，当?＞2时，数列?an?单调递减； 当1＜??2时，数列?an?不单调.

当?＜1时，同理可证：当?＜0时，数列?an?单调递增；当0??＜1时，数列?an?不单调. 综上可知：当?＜0或?＞2时，数列?an?是单调数列； 当0??＜1或1＜??2时，数列?an?不是单调数列. 21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．

解法一 : (Ⅰ)矩阵M的特征多项式为f(?)???3??2， 令f(?)?0，解得?1?1,?2?2,

2?1??3?当?1?1时，得?????,当?2?2时，得?????. ?????????3分

?1??2??m?3n?7（Ⅱ）由??m???n??得?，解得m?1,n?2.

m?2n?5??1??49?3?3?所以M??M(???2??)?M???2M???????2???????2?2?????

?1??2??33?33333132 ?????????7分 解法二: (Ⅰ)同解法一.

15

?4?3??4?3??10?9?（Ⅱ）因为M????????,

2?12?16?5??????2?10?9??4?3??22?21? M????????

6?52?114?13??????3?22?21??7??49? 所以M????????? ?????????????7分

14?13???5??33?3??（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程

本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分． 解：（Ⅰ）如图，设圆C上任意一点的极坐标D??,??.连结OD，BD，在Rt?OBD中，因为OD?OBcos?BOD,所以??2cos?.?????3分

??x??1?tcos,??6（Ⅱ）由?

?y?tsin?,?6?得直线l的普通方程为y?3?x?1?, 3 即直线l的普通方程为 x?3y?1?0，

由??2cos?，得圆C的直角坐标方程为?x?1??y?1，

22因为圆心到直线l的距离为d?1?1?3?0?12?1 ，

所以直线l与圆C的相切.????7分 （3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲

本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．

解：（Ⅰ）由柯西不等式得(2x?5?x)?(2?1)[所以f(x)?2x?5?x?5.

222?x???25?x]?25，

?2当且仅当x5?x?，即x?4时，等号成立. ???????????????3分. 21（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?5，又不等式f(x)?|m?2|恒成立， 所以|m?2|?5， 解得m?7或m??3.

16

故m的取值范围为(??,?3]?[7,??). ??????????7分

附：2013年福建省质量检查部分选择、填空详解过程(理数)

（福建安溪俊民中学吴小龙：质检当天做一做，然后利用晚上时间把部分选择跟填空的详解过程写出来，花了我两个小时的时间，呵呵。因为有些题目比较简单，我就没有详解了，我只把一些同学觉得比较难的题目详细解答过程写出来，（只有6、7、8、9、10、14、15题）希望对你有帮助，也希望同行们批评指正，谢谢！

?解：方法一：代入法使f()?0即可；

12方法二：

f(x)?2sin2x?23sinxcosx?1?????????(2sin2x?1)?3sin2x???3sin2x?cos2x?????????2(令2x?31?sin2x?cos2x)?2sin(2x?)226?k?,k?Z

?6解得:x?所以选D

?12?k?,k?Z2

解：方法一：??PAF是等边三角形,

作FB?AP，显然B为AP中点，

B?|AP|?2|AB|?2|BF|?6.

方法二：

??PAF是等边三角形

??BAF?30 ∴?FAP?60,????

17

??

又∵BF?P?3,???AB?BF3??33. ?tan30339?. 62p93∴PF?AP?xp????6.

222∴xp

33???2

方法一：

?????????????AB??AD?AP????????2????2?(?AB??AD)?AP????2????????????2????222??AB?2??AB?AD??AD?AP????????????????3???3?????(?AB?AD,?AB?AD?0)422

???3??(??3?)2??2?3?2?23????????2?3?2?(?2?3?2)???(?23????2?3?2)?????2(?2?3?2)?36?.2222方法二：∵??3?22??????3??1，令??得：?314?????443sin?2 1cos?2∴??3??

336?6sin??cos??sin(??)?. 22242

解：（1）当x?0时，y?lnx与x轴有一个交点，即：

x?0，f(x)有一个零点；

18

（2）方法一：依题意y?x?kx2(x?0)也要有一个零点，即： x?1x?kx2?0?(x?0)只能只有一个解； x?1x即：?kx2?(x?0)只有一个解，

x?1 两边除掉一个x(这本身就是一个解x?0)得到

1?kx， x?11?kx?kx2?kx?1?0在x?0时无解即可， x?11?h(x)?kx2?kx?1的对称轴x?，

2?只要让

① 若k?0，则当x?0时，h(x)?kx?kx?1必须要大于0，而h(0)??1?0矛盾，

所以，k?0不成立；

②若k?0，则当x?0时，h(x)?kx?kx?1必须要小于0，而h(0)??1?0恒成立， 所以k?0满足题意 .

方法二：依题意y?22x?kx2(x?0)也要有一个零点，即： x?1x?kx2?0?(x?0)只能只有一个解； x?1

x???h(x)?令?x?1???两函数图像在x?0只能有一个交点； ?g(x)?kx2??????若k?0，显然h(x)?显然k?0不符合；

x2与g(x)?kx?在x?0区间有两个交点A与原点O（如下图所示）,x?1 19

若k?0，h(x)?x2与g(x)?kx?在x?0区间只有一个交点：原点O（如下图所示）, x?1? k?0成立；

方法三：求导，过程麻烦，不写了.

解：

20

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o7jf.html