高等数学(上) 第2版教案6.1

教案

任课教师：NO:授课日期班级学生年限 3 课题名称第一节微分方程的基本概念分离变量法授课时数 2

教学目标与要

求1.掌握微分方程的基本概念；

2.掌握可分离变量的微分方程的解法

教学难点与重点1、微分方程的基本概念；

2、可分离变量的微分方程的解法

教学方法和手

段

案例教学法讲练结合

作业

P159.1.（1），（2），（5），（6）

教学内容及过程时间分配

一、课程导入

1、一条曲线过点)3,1(，且在这条曲线上任一点)

,

(y

x

p处切线的斜率等于该点横坐标的两倍，求该曲线的方程。

2、一物体以等加速度2

/

4s

m做直线运动，已知s

m

v/

5

)0(=，

)0(=

s，求物体的运动方程)(t s

s=。

二、微分方程的定义

1、含有未知函数的导数或微分的等式，叫作微分方程。

2、如果微分方程中未知函数只含有一个自变量，则此微分方程称为

常微分方程。

3、如果微分方程中未知函数只含有两个或两个以上自变量，则此微

分方程称为偏微分方程。

4、微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶。

例1、指出下列微分方程的阶数。

第 页 （1）y y y x ln =' （2）043=+'+''y y y

三、 微分方程的解

微分方程的主要问题：求出其中的未知函数。

1、如果把一个函数代入微分方程中，能使方程变为恒等式，这个函

数就称为微分方程的解。

2、求微分方程解的过程，叫作解微分方程。

例2、（1）x e y =是方程y y ='的解；

（2）x y sin =是方程0=+''y y 的解；

（3）x C x C y sin cos 21+=)(21是任意常数，C C 也是0=+''y y 的解。

3、如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个

数与微分方程的阶数相同，则称为微分方程的通解。

4、在通解中，若使任意常数取某一定值，或由附加条件求出任意常

数的值后得到的微分方程的解称为特解。

5、用来确定通解中任意常数的附加条件，称为初始条件。 例3、求下列微分方程的通解。

（1）23x y = （2）0=+'x xe y

四、 可分离变量的微分方程

1、形如：)()(y g x f dx

dy =的微分方程叫作可分离变量的微分方程，其中)(x f 、)(y g 在某个范围内为连续函数，且0)(≠y g 。

2、求解步骤：

（1）分离变量：dx x f y g dy )()

(= （2）两边积分：??

=dx x f y g dy )()(

第 页

得通解C x F y G +=)()(，其中)(y G ，)(x F 分别是

)

(1

y g ，)(x f 的原函数；C 为任意常数。

（3）若需要求特解，则由初始条件确定出任意常数C 。 以上方法称为分离变量法。

例4、求微分方程0sin 2=+x y dx dy

的通解。

例5、求微分方程x y

dx dy =的通解。

例6、求微分方程dx xy y x dy )1(2

2

+++=的通解。

例7、求微分方程y x y x dx dy )1()

1(2

2++=满足初始条件10==x y 的特解。 五、 课堂小结

1、微分方程的解、通解、阶、初始条件、特解；

2、可分离变量微分方程的解法：

（1）分离变量；（2）两边积分；（3）求特解 六、 布置作业

P159:1.（1），（2），（5），（6）

教学反思

第 页 板书设计

主 板

副 板 一、微分方程的基本概念

例1、求微分方程x y dx dy =的通解。 1、微分方程: 含有未知函数的导数或微分的等式。

例2、求微分方程dx xy y x dy )1(22+++=的通解。 2、微分方程的阶

3、微分方程???量有两个或两个以上自变偏微分方程：未知函数只有一个自变量

常微分方程：未知函数 例3、求微分方程y x y x dx dy )1()1(22++=满足初始条件10==x y 的特解。 4、微分方程的解???????=微分方程的解

求出任意常数后得到的一定值或由附加条件特解：使任意常数取某微分方程的阶数

常数的个数

通解：相互独立的任意 二、可分离变量微分方程的解法

1、分离变量dx x f y g dy

)()(=；2、两边积分??=dx x f y g dy

)()(；

3、若需要求特解，则由初始条件确定出任意常数C 。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o7j1.html