ch13 能量法(3rd)

第十三章 能量法

13-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板件厚度为?，长度为l，左、右端

的截面宽度分别为b1与b2，材料的弹性模量为E，试用能量法计算板件的轴向变形。

题13-2图

解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为

由图可知，截面x的宽度为

2FNV??dx?02EA(x)?l?2FNdx

02E?b(x)l(a)

b(x)?b1?b2?b1x l代入式（a）,并考虑到FN?F,于是得

b1F2F2l Vε?dx?ln2

02E?b?b2Eδ(b2?b1)b1δ?b1?21x??l??设板的轴向变形为?l，则根据能量守恒定律可知，

? l 由此得

bFΔlF2l?ln2 22Eδ(b2?b1)b1Δl?bFlln2

Eδ(b2?b1)b113-4图示结构，承受铅垂载荷F作用。已知杆BC与DG为刚性杆，杆1与2为弹性杆，

且各横截面的拉压刚度均为EA，试用能量法计算节点D的铅垂位移。

题13-4图

1

解： 1. 轴力计算

未知支反力四个，未知轴力两个，即未知力共六个，而独立或有效平衡方程也为六个，故为一静定问题。设杆1与杆2均受拉，则刚性杆BC与DG的受力如图b所示。 由平衡方程 得

2. 铅垂位移计算 结构的应变能为

22222??10F2lFNlFlFl42????1N2Vε??? ?????????2EA2EA2EA?339EA????????MB?0, FN1?a?FN2?2a?0 ?MG?0, F?2a?FN1?2a?FN2?a?0

FN1?4F2F， FN2?? 33设节点D的铅垂位移?Dy与载荷F同向，因此，载荷F所作的功为

FΔDyW?

2根据能量守恒定律，于是有

FΔDy10F2l? 29EA由此得节点D的铅垂位移为

ΔDy?20Fl ? 9EA??13-5 图a所示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F作用。试用能量法证明弹簧的轴向

变形为

8FD3n?2Gsin2????cos??? 4?Ecos?Gd??式中：D为弹簧的平均直径，d为弹簧丝的直径，n为弹簧的圈数，?为螺旋升角，E为弹性模量，G为切变模量。

题13-5图

2

解：由图b可知，s截面的弯矩与扭矩分别为

M?s??MFsin??据能量守恒定律，有

W?Vε

其中，

W?而

Vε? 式中，l为簧丝总长，其值为

l? （b）

FDFDsin?, T?s??MFcos??cos? （a） 22F? 2 lM2 （c）

? lT2?s? 02GIPds???s? 02EIds （d）

πDn cos? （e）

将式（a）代入式（d），并注意到式（e），得

2GIPsin?F2D3nπ Vε?(co?s?)

8GIPEIco?s（f）

最后，将式（c）和（f）代入式（b），于是得

8FD3n2Gsin2???(cos??) 4Ecos?Gd13-6 图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为F的横向力作用。设截面宽度为b、

拉压刚度为EA，材料的泊松比为?。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为

?l??bFEA

题13-6图

解：设该杆两端承受轴向拉力F1作用，杆的横向变形为

?b????b???根据功的互等定理，于是有

F1?Fbb??1 EAEA?F1b?F1?Δl?F????

?EA?由此得

Δl??bFEA

3

13-8 图示桁架，在节点B承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用卡

氏定理计算该节点的铅垂位移?B。

题13-8图

解：根据卡氏定理，有

?F1ΔB?FNiliNi

EAi?1?F?5各杆编号示如图13-8。

图13-8

求ΔB的运算过程示如下表：

l li FNi 2F 22F 21F 2?FNi ?F?2 22 21 2FNili?FNi ?F1 2a ??2Fa 22Fa 21Fa 42 2a a ???3 4 a 1F 2F 1 21 1Fa 4Fa 5 a 4

?

由此得

3?22Fa 2ΔB??3?22?Fa （↓）

2EA13-9 图示刚架，承受载荷F作用。设弯曲刚度EI为常数，试用卡氏定理计算截面C的

转角。

题13-9图

解：在截面C处假想附加一矩为MC的力偶（见图13-9），由图可得

M?x1??(F?MC?M(x1)x1)x1 , ? a?MCa?M(x2)M(x2)?Fx2?MC , ?1

?MC

图13-9

根据卡氏定理，得

1?C?[EI?x(Fx1)(1)dx1? 0a a?5Fa2(Fx2)(1)dx2]? （?） 06EI a13-10 图示各梁，弯曲刚度EI均为常数，试用卡氏定理计算横截面A的挠度?与转角?。

A

A

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