三角形四边形的综合

襄阳市第四十七中学九年级数学组

三角形及四边形综合题

1、 （2010湘潭）Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30、60角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．

（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；

（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A?B?C?位置，直线B?C?与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想．

(3)在(2)的条件下,指出当旋转角至少为多少度时,四边形PCQB为菱形(不要求证明).

A'C'C(E)FC(E)QOA图(一)B(D)A图(二)PB'B(D)Fo

o

2．如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ． （1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； ．．．． （2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．

AAA

DEDNED ·E·

BMNFCBM· B FC· F

C

图①

图②

图③

1

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3、如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD．

（1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；

（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明． 图1 图2

图3

4、在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°),得△A1BC1，

交AC于点E，AC分别交A1C1、BC于D、F两点．

（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）如图②，当?=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求ED的长． C C

C1 D C1 F D F A1 A1

E E B A B A 图② 图① 5、（2009年黄石）如图， △ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交?BCA的平分线于点E，交?BCA的外角平分线于点F． （1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；

（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；

（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？

2

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A

E F M N O B D

C

6、如图。已知正方形ABCD在直线MN的上方，CB在直线在MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG,连接GD,FC. (1)求证：△ADG∽△ABE

(2)观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由。

（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a，b为常数），E是线段BC上一动点（不含断电B,C）以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上，判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若不变，用含a，b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生变化，请举例说明。

G G

A DAD FF

MNMN EBCCBE图1 图2

7、如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB

上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积； （2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；

若不存在，请说明理由； （3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求

出此时BE的长；若不存在，请说明理由.

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8. 如图，已知?ABC中，?A?90?，AB?6,AC?8，D是AB上一动点，DE∥BC，交AC于

E，将四边形BDEC沿DE向上翻折，得四边形B?DEC?，B?C?与AB、AC分别交于点M、N. （1）证明：?ADE ∽△ABC；

（2）设AD为x，梯形MDEN的面积为y，试求y与x的函数关系式. 当x为何值时y有最大

值？ A

NB'MC' DEBC

9．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

3?1A D

N E M

B C

10．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保

持与AB长相等，问在E、F移动过程中：

（1）∠EAF的大小是否有变化？请说明理由． （2）△ECF的周长是否有变化？请说明理由．

4

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11.如图10，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M. ①求证：AG⊥CH;

②当AD=4，DG=2时，求CH的长。

G H

A D G F D A D M A F

E E

E F

C B B B C C

图12 图 110 图11

12．已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点．

（1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP?OQ；

（2）如图乙，连结AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若

?，求AS和OR的长． AD?4，∠DCB?60,BS?10

13．（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．

DA

NE

PB MC

图1

[来源:学*科*网]

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o765.html