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第九章 均匀试验设计

均匀试验设计是我国数学工作者、教授对试验设计技术的发的一大贡献。它是根据数论在多维数值积分中的应用原理，构造一套均匀设计表，用来进行均匀试验设计。均匀试验设计最初见文献[29]，以后陆续在文献资料[30][31][32]等都对这和中方法进行理论和实际应用的探讨。本章主要参考文献[14][15][29][31]。

§9.1 概述

9.1.1、.均匀性

均匀性原则是试验设计优化重要原则之一。在试验设计的方案设计中，使试验点按一定规律充分均匀地分布在试验区域内，每个试验点都具有一定的代表性，则称该方案具有均匀性。

如前所述，正交表是正交试验设计优化的基本工具。它是利用正交表来安排试验的。正交表具有“均衡分散，综合可比”的两大特点。均衡分散性即均匀性，可使试验点均匀地分布在试验范围内，每个试点都具有一定的代表性。这样，即使正交表各列均排满，也能得到比较满意的结果；综合可比性即整齐可比性，由于正交表具有正交性，任一列各水平出现的次数都相当，任两列间所有可能的组合出现的次数都相等，这样，使行每一因素所有水平的试验条件相同，可以综合比较各因素不同水平均数对试验指标的影响，从而可以分析各因素及其交互作用对指标的影响大小及变化规律。

在正交试验设计中，对任意两个因素来说，为保证综合可比性，必须是全面试验，而每个因素的水一产必须有重复，这样以来试验点在试验范围内就不可能充分地均匀分散，试验点的数目就不能过少。显然，用正交表安排试验，均匀性受到一定限制，因而试验点的代表性不够强。若在试验设计中，不考虑综合可比性的要求，完全满足均匀性的要求，让试验点在这种完全从均匀性出发的试验设计方法，称为均匀试验设计。 水平的试验来说，在正交试验设计中可选择L25?5具有均匀性特点的均匀试验的试验点的代表性很强，例如，对于5试验，即4因素5

64?正交表安排试验，试验次数最少做25次，

其水平重复数r?n/mj?5?次?。若每个水平只做一次，同样做25次试验，在试验范围内，将每个因素分成25个水平，则试验分布得更均匀。图9-1所示的是当试验因素N?2时，正交试验设计与均匀试验设计的比较。正交试验设计取5个水平，每个水平重复5次，而均匀试验设计取25个水平，每个水平只做1次。显然，均匀试验设计的试验点较之正交试验设计的试验点分布得更均匀，代表性更强。对于这项5试验，利用均匀设计表U5?5?安排试验，在使各因素的水平数不少于5的前提下，可以方便地安排试验次数n为5?n?25的均

44匀试验。图9-2表示，N?2,m?5,n?5的均匀试验。显然，均匀试验设计的试验点心代表性较正交试验设计的试验点强得多。

图9-1 正交试验与均匀试验比较 图9-2 正交试验与均匀试验比较 （试验点数相等） （试验点数不等）

9.1.2、均匀试验设计的优点

均匀试验设计相对于全面试验和正交试验设计的最主要的优点是大幅度地减少试验次数，缩短

4试验周期，从而大量节约人工和费用。对于4因素5水平即5试验，如果进行全面试验需做625次试验，利用正交表L25?56?安排试验至少要做25次试验，但用均匀设计表U5?54?安排试验，只需做5次试验即可。再如，对于76试验，若进行全面试验，需做117，649次试验，若进行正交试验设计，选取U7?76?均匀设计表，只需做7次试验即可，重复一次，也不过做14次试验。因此，对于试验因素较多，特别是对于因素的水一产多而又希望试验次数少的试验，对于筛选因素或收缩试验范围进行逐步择优的场合，对于复杂数学试验的择优计算等，均匀试验设计是非常有效的试验设计方法。

9.1.3、均匀试验设计的应用与效果

由于均匀试验设计使试验周期大大缩短，能节省了大量的费用，所以均匀试验设计方法一出现就在工业生产中得到应用，也取得有效的成果。例如，苏州化工厂运用均匀试验设计法研制速淬火油取得明显的经济效益[32]。从方案设计、配方优化，直到产品技术标准有关指标制定等全过程进行优化设计，使快速淬火油不仅性能指标达到国外同类产品的水平，同时成本低廉，节省了外汇，仅上海宝钢一次用量126吨就节约35.82万元，节省外汇20.13万马

[31]

克。华北制药厂在青霉素球菌原材料配方中运用均匀试验设计法，使得优化后配方比原对照平均降低原材料消耗34%，平均提高发酵单位5%，每生产一批产品可获经济效益4500元，该厂一年生产几百批，取得显著经济效益。此外，国防工业上已在尺航导弹的设计中得到有效的应用。

§9.2 均匀设计表及其使用表

9.2.1 、均匀设计表与使用表

均匀设计是一种规格化的表格，是均匀试验设计的基本工具。均匀设计表仿照正交表以kUn?m?表示。表中U是均匀设计表代号，n表示横行数即试验次数，m表示每纵列中的不同字码的个数，即每个因素的水平数，k表示纵列数，即该均匀设计表最多安排的因素数。

6表7-1是一张U7?7?均匀设计表，可安排7个水平6个因素的试验，只做7次试验即可。表

6667-2也是一张均匀设计表。比较U7?7?和U6?U?可以看出，两表有一定的关系，即U6?6?66是将表L7?7?的最后一行划去而行的。表U7?7?称为水平数为奇数的均匀设计表，而表

69-2U6?6?称为水平数为偶数的均匀设计表。

表9.2.1 U 列号 试验号 1 2 7?7?

63 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 2 4 6 1 3 5 7 3 6 2 5 1 4 7 4 1 5 2 6 3 7 5 3 1 6 4 2 7 6 5 4 3 2 1 7

表9.2.2 U 列号 试验号 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 6?6?

63 3 6 2 5 1 4 64 4 1 5 2 6 3 5 5 3 1 6 4 2 6 6 5 4 3 2 1 均匀设计表任两列之间不是平等的。例如，表U6?6?的第1、第3列和1、6列各水平的组合分别画在平面格子上，如图9.2.3所示。由图看出，?a?图中点子分布均匀，而?b?图中的点子均匀性就较差。因此，在均匀试验设计时应选择均匀性比较好的列，应按均匀设计表的使用表来进行表头设计。使用表可帮助我们在均匀试验设计时，选择合适的列来安排试

66验因素。表9.2.3所示的是U7?U?的使用表。由表知，在选择U7?7?进行均匀试验设计时，若只有两个因素，安排在第1列、第3列；若有3个因素，安排在第1列、第2列、第3列；若有4、5个因素，则分别安排在第1、2、3、6列；最后，若有6个因素，则6列全安排。实际中使用的每个均匀设计表，都附带一个使用表，在均匀试验设计时，所选的因素只有按规定的列进行表头设计时，才能取得较好的效果。

表9.2.3 U因素数 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 3 3 3 3 7?7?的使用表

6列 6 4 4 6 5 6 附带说明，水平数为偶数不清的均匀设计表，其使用表与相应的水平数奇数的均匀设计表相同，例如，U6?6U554696??、U?9?及它们的使用表如表9.2.4至表9.2.7所示。常用的均匀设计表见附表Ⅲ。

?的使用表U?7?的使用表。

67

表9.2.4 U55 列号 试验号 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 4 1 3 5 ??

43 3 1 4 2 5 4 4 3 2 1 5 表9.2.5 U55因素数 2 3 4 1 1 1 ??的使用表

4列 号 2 2 2 表9.2.6 U列号 4 3 4 9?9?

6试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 4 6 8 1 3 5 7 9 3 4 8 3 7 2 6 1 5 9 4 5 1 6 2 7 3 8 4 9 65 7 5 3 1 2 6 4 2 9 6 8 7 6 5 4 3 2 1 9 表9.2.7 U因素数 2 3 4 1 1 1 列 3 3 2 9?9?

5 3 5 号 5 6

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 9.2.2、均匀设计表的特点 均匀设计表具有以下的特点：

1、表中安排的因素及其水平的每个因素的每个水平只做一次试验，亦即每1列无水平重复数。

2、试验分点分布得比较均匀。图9-3?a?所列的U6?66?表就是表9-2的第1列和第3列各水平组合在平面格子点上的分布，每列每行都有1个点。

3、均匀设计表的试验次数与水平数相等，即n?m，因而水平数和试验次数是等量的确良增加，这和Ln?mk?型正交表大不相同。例如，水平数从7不平增加到8水平时，对于均匀试验设计，试验次数从7次增加到8次，但对于正交试验设计，则试验次数从49次增加到64次，按平方关系增加。均匀试验设计增加因素的水平，使试验工作量增加不多，这是均匀试验设计的最大优点。

4、均匀设计表中各列的字码次序不能随意改动，而只能依原来的次序进行平滑，即将原来的最后1个水平第1个水平衔接起来，构成一个封闭圈，再从任一开始定为第1水平，

10按原方向或反方和同排出第1水平、第3水平等，如图9-4表示U10?10?第1列因素水平的平滑。

9.2.3 均匀试验方案设计

均匀试验设计时主要根据因素水平来选用均匀设计表，并按均匀设计表的使用来安排试验方案。但要注意，方案设计时不考虑因素间的交互作用。

例9-1 羧甲基纤维钠是一种代替淀粉的化学原料。为寻找它的最佳生产条件，运用均匀试验设计技术进行53因素试验。

1、因素与水平的选取

根据专业理论联系实际知识的实践经验，选择影响试验结果的3个主要因素，并确定它们的变化范围：碱化时间：120~180min；烧碱浓度：25~29醚化时间：90~150min。将各因素均分为五个水平，其因素与水平如表9.2.8所示。

表9.2.8 因素不平表

因素 水平 A 碱化时间 （min） B 烧碱浓度 （°） C 醚化时间 （min） 3对于5因素试验，若进行全面试验需要做125次试验。因为无m?5的正交表，因此，

x1(12)?x2(12)?x3(12)?x4(12)?14141414[x1(3)?x1(4)?x1(7)?x1(8)]?14(0.6?0.6?0.6?0.6)?0.60001(0.1?0.1?0.27?0.22)?0.1725(0.27?0.22?0.1?0.1)?0.1725(0.03?0.08?0.03?0.08)?0.0550[x2(3)?x2(4)?x2(7)?x2(8)]?[x3(3)?x3(4)?x3(7)?x3(8)]?[x4(3)?x4(4)?x4(7)?x4(8)]?41414多面体总体的重心就是8个顶点坐标的平均值，即

x1(15)?0.5000，x2(15)?0.2225，x3(15)?0.2225，x4(15)?0.0550

用最小二乘法求得二次多项式回归方程

???1558x1?2351x2?2426x3?14372x4?8300x1x2?8076x1x3y

?6625x1x4?3213x2x3?16998x2x4?17127x3x4为求出闪光装置中，各化学成分最优百分比组合，需对下式给出的问题求条件极值：

??Maxy? ?x1,x2,x3,x4?0??x1?x2?x3?x4?1用非线性规划方法求得该问题的最优解（闪光最亮的配方）为 （0.5230,0.2296,0.1671,0.0800）

??397.48。 相应的预测亮度为y

?a0?a0x1?a0x2?a0x3?2?x1?x1?x1x2?x1x3 （11-5） ?2?x2?x2?x2x1?x2x3?x2?x?xx?xx33132?3将式（11-5）代入式（11-4），则有

??(a0?a1?a11)x1?(a0?a2?a22)x2?(a0?a3?a33)x3y ?(a12?a11?a22)x1x2?(a13?a11?a33)x1x3?(a23?a22?a33)x2x3（11-6）

若令

?b1?a0?a1?a11?b?a0?a2?a22?2??b3?a0?a3?a33 （11-7） ?b?a?a?a121122?12?b?a?a?a13131133???b23?a23?a22?a33即令

bi?a0?ai?aii (i?1,2,3)bij?aij?aii?ajj (i?j) （11-8）

则可知，混料试验设计中三分量二次多项式回归方程成为式（11-3）的形式。 通常混料试验设计的p分量d次多项式回归方程，其Scheffé式项式（或称规范多项式）为

一次式（d?1）

p?? y?bxii?1pi （11-9）

二次式（d?2）

?? y?bi?1ixi??bi?jijxixj （11-10）

三次式（d?3）

p??y?bxii?1i??bi?jijxixj??ri?jijxixj(xi?xj)??bi?j?kijkxixjxk（11-11）

式（11-11）中，rij为三次项xixj(xi?xj)的回归系数。

由此看来，混料试验设计(p,d)的Scheffé多项式回归方程中待估计的回归系数的个数，比一般的p之d次多项式回归方程要少。例如，对于混料试验设计（p,2）的回归方程（11-10），无常数项和二次项。于是，就减少了p?1个回归系数。求该方程时，至少可少做p?1次试验。

混料试验设计自1958年由H.Scheffé首选提出，至今已有三十多年。由于这种试验设计方法及工农业生产及科学试验有密切的关系，所以不论在理论研究上，还是实际应用上都有很大的发展。在工业试验方面，合金、混凝土、陶瓷、油漆、混纺纤维、医药、食品等的配

方和生产制造都广泛的应用混料试验设计方法。

混料试验设计方法比较多，本章介绍几种常用的方法，主要参考文献[34][36][37][15]。

§11.2 单纯形格子设计 11.2.1、引言

在混料试验设计方法中，单纯形格子设计是最早出现的，是Scheffé于1958年提出的。它是混料试验设计中最基本的方法，其他一些方法都要用到单纯形格子设计。

在混料问题中，各分量xi(i?1,2,?,p)的变化范围受混料条件（11-1）制约。在几何上，各分量xi(i?1,2,?,p)的变化范围可由一个p?1维正规单纯表示。在单纯形上，顶点代表单一成分的混料，棱上点代表两种成分组成的混料，面上点代表多于两种少于p种成分组成的混料，而内点代表全部p种成分组成的混料。

在p?1维正规单纯形上，若p个坐标中有1个坐标为1，则其余的p?1个坐标为0，这种点子称为单纯形顶点，故p因素的混料模型中，单纯形的顶点有p个。

现以分量数p?3为例讨论单纯形上点的坐标问题。 取空间直角坐标系0?x1x2x3（图11-1（a）），分别在三个坐标轴上取三个点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，由于受混料条件（11-1）的限制，各混料分量xi(i?1,2,3)只能在?ABC内取值，亦即满足条件（11-1）的试验点只能取在二维正规单纯形（等边三角形）上。为简便起见，使用时不再画出三个坐标轴，只画出一个等边（正）三角形（图11-1（b））。取此等边（正）三角形的高为1，则?ABC内任一点F到三个边距离之和为1，即FA??FB??FC??1

这样，可以把FA?、FB?、FC?的长度分别看成是F点的x1、x2、x3的坐标值，在等边三角形上建立起二维正规单纯形坐标系。同样，可以在三维（或多维）空间内取一个高为1的正夫单纯形，则此正规单纯形内任一点一各个面的距离之和是1，可以所此点到各个面的距离分别视为相应的坐标，建立起三维（或多维）正规单纯形坐标系。四因素混料试验的单纯形是一个四面体（图11-1（c）），所建立起的是三维正规单纯形坐标系。用类似的方法可建立p因素混料试验的正规单纯形坐标系。

11.2.2、单纯形格了点的概念

对于由混料条件（11-1）构成的正规单纯形因素空间，当采有（11-10）、（11-1）等完全型规范多项式回归模型时，试验点可以取在正规单纯形的格子点上，构成单纯形格子设计。

当格子点集p?3的情形时，其单纯形是一个高为1的等边三角形，它的三个顶点的全体称为一阶格子点集，记为{3，1}，如图11-2（a）所示。

将高为1的等边三角形三条边各二等分，则该三角形的三个顶点与三个边的中点的全体称二阶格子点集，记为{3，2}，如图11-2（b）所示，其中共6个点，各点坐标见表11-1。

将等边三角形各边三等分，对应分点连成的与一边平行的直线，在等边三角形上形成许多格子，则这些格了顶点的全体称为三阶格子点集，记为{3，3}，如图11-2（c）所示。其中共有10个点，各点坐标见表11-2。

格子点集{4，2}中有10个点，各点坐标见表11-3。 推而广这，可作出其他格子点集，一般记为{p,d}，其中p为单纯形顶点的个数，d表示将单纯形边长等分段数。

对于{p,d}中各格子点的正规单纯形坐标的计算方法见[34][36][37]。 11.2.3、单纯形格子设计法 在单纯形格子设计中，在p分量系统的各分量xi(i?1,2,?,p)的变化范围满足混料条

d件11-1，当采用d阶完全型规范多项式回归模型，试验点为{p,d}的Cp?d?1个格子点。这

Cp?d?1个点，恰好与所采用的d阶完全型规范我项式回归方程中待估的回归系数的个数相

d等，因而单纯形格子设计是饱和设计，是一种优化设计。

单纯形格子设计的试验点数与相应的完全型规范多项式回归方程阶数d的关系见表11-4。

点 号 1 2 3 4 5 6 表11-1 {3，2}各点坐标 坐 标 x1 1 0 0 x2 0 1 0 x3 0 0 1 12120 120 0 1212 12 点 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 表11-2 {3，3}各点坐标 坐 标 x1 1 0 0 x2 0 1 0 x3 0 0 1 231323130 0 13230 0 0 0 1323131313 2323 10 131311.2.4、回归系数的计算 单纯形格子设计中，每个回归系数的值只取决于所对于的一些格子上的观测值，而与其他设计点上的观测值无关，故使得用最小二乘法计算回归系数变得很简单，各回归系数均可

表达为相应设计点上观测值的简单线性组合。

点 号 表11- {4，2}各点坐标 坐 标 x1 1 0 0 0 x2 0 1 0 0 x3 0 0 1 0 x4 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1212120 0 120 0 0 0 0 120 12 0 12120 120 12 10 0 1212 表11-4 单纯形格子设计的试验点数 p 3 4 5 6 8 10 d 2 6 10 15 21 36 55 3 10 20 35 56 120 220 4 15 35 70 126 330 715 现以三分量混料试验设计的二阶多项式回归方程为例，说明怎样由试验结果计算各回归系数。

三分量二阶多项式回归的规范形式为

??b1x1?b1x2?b3x3?b12x1x2?b13x1x3?b23x2x3 （11-12） y单纯形格子设计及试验结果如表11-5所示。 设：各试验点的观测值为

yi——xi为1而其余分量均为零的格子点的观测值；

yij——xi为

12，xj12，其余各分量均为零的格子点的观测值；

yiij——xi为

试验点 1 2 3 4 5 6 23，xj13，其余各分量均为零的格子点的观测值；

表11-5 单纯形格子{3，2}设计及试验结果

x1 1 0 0 x2 0 1 0 x3 0 0 1 试验结果 y1 y2 y3 12120 120 0 y12 1212y13 y23 1214 yiiij——xi为

34，xj为

，其余各分量均为零的格子点的观测值，等等。

若令（11-12）中，x1?1,x2?x3?0，则 b1?y1

12若令（11-12）中，x1?x2?b12?4y12?2(y1?y2)

,x3?0，则

同理可得 bi?yi

bij?4yij?2(yi?yj), (i?j,i,j?1,2,3) （11-13）

一般地p分量系统，与二阶单纯形格子设计相对应的二阶典型多项式回归方程的系数计算公式为

?bi?yi (i?1,2,?,p) （11-14） ?b?4y?2(y?y), (i?j,i,j?1,2,3)ijij?ij类似地，式（11-11）的系数计算公式

①

?1?(a2?a3)??? a2 ????? a3?? a1???1?(a2?a3) ????? a3?? a1??? a2 ????1?(a2?a3)???1???0 ????0???0???1 ????0???0???0 ????1??②

③

这样，设计区域内任一点关于自然空间和编码空间的坐标变换式为

????x1?x1??1?(a2?a3) a1 a1??????x2? a2 1?(a2?a3) a2x? （11-29）

??2????????x3????x3?? a3 a3 1?(a2?a3)???上式经整理可变成

???a1??x1?????a?i??x2????a2? （11-30） i?1?????x3???a3??一般地，对于p分量存在下界约束的混料问题，设计区域中任一点的坐标关于自然空间和编码空间之间的变换式为

?x1????x??1??2????x?3?3?X???1??式中

p?i?1??ai??X?a ? （11-31）

???x1??x1?a1????????x2a2x2???? ??? X?a?X?????????????????xx?????p???ap???p?于是，各分量的变换式为 ?xi???1??或者

p?i?1??ai??xi?ai （11-32） ?p?x??(xi?ai)/??1???i?1?ai?? （11-33） ?这样，自然空间与编码空间建立了一一对应的关系。

通过以上变换公式，将混料的实际成分变成变码成分，使存在下界约束的混料问题变换为无下界约束的混料问题，然后进行单纯形重心设计，求得回归方程。

11.4.2、存在下界约束条件的混料设计实例

[15][36][37]

例11-3 试制某种喷气剂，三种混料成分有下界约束

?粘合剂 x1?0.2??氧化剂 x2?0.4 ??燃 料 x3?0.2本试验的目的是要找出使弹性模数大于3000的混料，且粘合剂用量越少越好。

显然，这是存在下界约束的混料问题。其试验区域是大正三角形内的一个小正三角形。已知，a1?0.2,a2?0.4,a3?0.2，而

31??ai?1i?1?(0.2?0.4?0.2)?0.2

故试验区域内任意一点的坐标关于自然空间与编码空间的变换关系式为

???0.2??x1??x1???????0.4? x2?0.2x2 （11-34）

???????????0.2???x3???x3??本例采用三阶单纯形重心设计，试验次数N?2p?1?7（次）。利用上式计算出七个试验的实际配料比，氢此进行试验，试验方案及结果如表11-9所示。

根据式（11-21）式（11-22）可计算出各回归系数，例如 b123?27y123?12(y12?y13?y23)?3(y1?y2?y3) ?27?3000?12?(2400?2750?2950)?3?(2350?2450?2650) ?6150最后，得到指标y关于小正三角形坐标系的回归方程

??2450x2??2650x3??1000x1?x3??1600x2?x3??6150x1?x2?x3?（11-35） ??2350x1y经过控制点的适宜性检验（见图11-5），认为用方程（11-35）可描述该三分量混料系统

是适宜的。

为满足试验要求，还应求出在条件

表11-9 试验方案及结果

大三角形坐标系（实际成分） 小三角形坐标系（编码成分） 试验号 1 2 3 4 5 6 x1 粘合剂 0.4 0.2 0.2 0.3 0.3 0.2 x2 氧化剂 0.4 0.6 0.4 0.5 0.4 0.5 x3 燃 料 0.2 0.2 0.4 0.2 0.3 0.3 ? x11 0 0 ? x20 1 0 ? x30 0 1 弹性模数y y1?2350 y2?2450 y3?2650 12120 120 0 y12?2400 1212y13?2750 y23?2950 12 7 0.266 0.466 0.266 13 13 13 y23?3000 ?xi??0?3???xi??1 (i?1,2,3) ?i?1?x??x?Min1?1???3000?y的约束下合适的配料比。利用式（11-35）画出指标估计值y，估?的等高线（见图11-5）计出的较好的混料点为

??0.05,x2??0.41,x3??0.54 x1于是，实际成分的混料点为 ?x1??0.05??0.2???????x2?0.20.41?0.4??????????0.54????0.2???x3???0.210?0.482???0.308?? ???即合理的喷气剂合适的配方为：粘合剂21%，氧化剂48.2%，燃料30.8%。用这一配方的喷气剂，实测的弹性模量为3010，并且粘合剂用量接近下界。

§11.5极端顶点设计 11.5.1、引言

有些混料问题，常常会同时兼有上、下界约束条件的限制，其混料条件为

?0?ai?xi?bi (i?1,2,?,p,ai,bi均为常数) （11-36） ??x1?x2???xp?1这类问题有几种设计方法，现仅介绍一种简便的极端顶点的设计法。

对于单纯形坐标系，满足（11-36）约束条件的点的总体，就是（p?1）维正单纯形上的一个（p?1）维凸面体。该多面体的（p?2）维边界面分别与相应坐标面（xi?0的面,i?1,2,?,p）平行。极端顶点设计就是把试验点取在该凸多面体的顶点及各个（p?2）维边界面的重心上，或者再加上各顶点的重心，构成兼有上、下界约束的混料问题的极端顶点设计。现以实例说明极端顶点设计的具体方法。

11.5.2、极端顶点设计实例

例11-4 闪光装置的混料试验[15][34][36][37]

某闪光装置中，其化学成分受到如下条件的约束：

镁x1 0.40?x1?0.60 硝酸钠x2 0.10?x2?0.50 硝酸锶x3 0.10?x3?0.50 交光剂x4 0.03?x4?0.08

本试验的目的是寻找交光亮度最强的配方，考核指标是闪光亮度（单位1000烛光）。 极端顶点设计分如下两个步骤：

步骤一：寻找以上界或下界为成分值的极端顶点

由于每一点的成分总和必须等于1，在四个成分中，最 多只能有三个成分取其上界或下界为值，为此必须留出一个空档，当其他三个成分确定后，再在空中填入合适的数值使成分之和等于1。由表11-10所列看出：

1—8号组合是取x1x2x3的边界值构成的； 9—16号组合是取x1x2x4的边界值构成的； 17—24号组合是取x1x3x4的边界值构成的； 25—32号组合是取x2x3x4的边界值构成的。

对于1—8号组合来说，0.03?0.4?0.08，任何一个组合的（x1?x2?x3）再加上[0.03，0.08]上的一个值都不等于1，因而这8个组合都不是顶点；对于9—16号组合来说，

（x1?x2?x3）再加上[0.1，0.5]的一个值为1的组合是9号、10号、130.1?x3?0.5，

号和14号，相应的顶点分别用①、②、③、④表示。同样地，对于17—24号组合，可以求出顶点⑤、⑥、⑦、⑧的坐标。

步骤二：找出全部边界面重心试验点

将由表11-10求得的8个顶点的坐标填入表11-11的前8行，然后找出所有界面及其相应的重心（每个边界面重心的坐标是该边界面上各顶点坐标的平均值）。同一个二维面上的点有一个坐标值相同。

对x1和x4来说，有相同坐标的顶点有两组，分别是

表11-10 混料凸多面体的顶点 组合号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (p?1)个成分边界值（上界和下界）的所有组合数列出来，共有p?1p?1p?14?1Cp?2?p?2?4?2?32个，如表11-10所示。

x1 0.4 0.4 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 0.6 x2 0.1 0.1 0.5 0.5 0.1 0.1 0.5 0.5 0.1 0.1 0.5 0.5 0.1 0.1 0.5 0.5 0.47 0.42 0.27 0.22 x3 0.1 0.5 0.1 0.5 0.1 0.5 0.1 0.5 0.47 0.42 0.27 0.22 0.1 0.1 0.5 0.5 0.1 0.1 0.5 0.5 x4 0.03 0.08 0.03 0.08 0.03 0.08 0.03 0.08 0.03 0.08 0.03 0.08 0.03 0.08 0.03 0.08 x1?x2?x3 0.6 1.0 1.0 1.4 0.8 1.2 1.2 1.6 顶点号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ x1?x2?x4 0.53 0.58 0.93 0.98 0.73 0.78 1.13 1.18 x1?x3?x4 0.53 0.58 0.93 0.98 0.73 0.78 1.13 1.18 x2?x3?x4 25 26 27 28 29 30 31 32 试验号 0.1 0.1 0.1 0.1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.1 0.03 0.1 0.08 0.5 0.03 0.5 0.08 0.1 0.03 0.1 0.08 0.5 0.03 0.5 0.08 表11-11 极端顶点设计方案及结果 0.23 0.28 0.63 0.68 0.63 0.68 1.03 1.08 x1 0.4 0.4 0.6 0.6 0.4 0.4 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.6 0.5 0.5 x2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.47 0.42 0.27 0.22 0.1 0.345 0.2725 0.1725 0.2350 0.21 x3 0.47 0.42 0.27 0.22 0.1 0.1 0.1 0.1 0.345 0.1 0.2725 0.1725 0.2350 0.21 x4 0.03 0.08 0.03 0.08 0.03 0.08 0.03 0.08 y 75 180 195 300 145 230 220 350 ?1?2?顶3??4? 5?点?6?7?8? 构成边界面的顶点号 ① ⑤ ① ③ ① ② ② ⑥ ② ④ ③ ④ ③ ⑦ ⑤ ⑦ ⑤ ⑥ ④ ⑧ ⑥ ⑧ ⑦ ⑧ 220 260 190 310 260 410 边界面重心?9?10??11? 12??13??14???15 ??0.055 0.055 0.055 0.055 0.03 0.08 8顶点重心0.5 0.2225 0.2225 0.055 425 ①、②、⑤、⑥ ③、④、⑦、⑧

和

①、③、⑤、⑦ ②、④、⑥、⑧

对x2和x3来说，有相同坐标的顶点只有一组，分别是

①、②、③、④和⑤、⑥、⑦、⑧

对于上述6组点，求出每组各点坐标的平均值，即6个边界面重心坐标，最后求出整个多面体的重心坐标（8个顶点坐标的平均值），填入表11-11中，构成了一个15点的试验方案，其中8个顶点，6个边界面重心以及1个总体重心。

例如，12号试验点的坐标是

x1(12)?x2(12)?x3(12)?x4(12)?14141414[x1(3)?x1(4)?x1(7)?x1(8)]?14(0.6?0.6?0.6?0.6)?0.60001(0.1?0.1?0.27?0.22)?0.1725(0.27?0.22?0.1?0.1)?0.1725(0.03?0.08?0.03?0.08)?0.0550[x2(3)?x2(4)?x2(7)?x2(8)]?[x3(3)?x3(4)?x3(7)?x3(8)]?[x4(3)?x4(4)?x4(7)?x4(8)]?41414多面体总体的重心就是8个顶点坐标的平均值，即

x1(15)?0.5000，x2(15)?0.2225，x3(15)?0.2225，x4(15)?0.0550

用最小二乘法求得二次多项式回归方程

???1558x1?2351x2?2426x3?14372x4?8300x1x2?8076x1x3y

?6625x1x4?3213x2x3?16998x2x4?17127x3x4为求出闪光装置中，各化学成分最优百分比组合，需对下式给出的问题求条件极值：

??Maxy? ?x1,x2,x3,x4?0??x1?x2?x3?x4?1用非线性规划方法求得该问题的最优解（闪光最亮的配方）为 （0.5230,0.2296,0.1671,0.0800）

??397.48。 相应的预测亮度为y

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