初中数学能力提高试卷：中考数学拔高题精选.

初中数学能力提高试卷 一．单项选择。

1.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，M为AD中点，AB=2cm，BC=2cm，CD=0.5cm，点P在梯形的边上沿B?C?D?M运动，速度为1cm/s，则△BPM的面积ycm与点P经过的路程xcm之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）

2

A

B C D

2. 如图，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点．线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．则大致反映S与t变化关系的图象是（ ）

A B C D

3. 如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（ ）

A、

B、 C D、

4. 如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论：①∠AEDDE3

＝∠ADC；② ＝ ；③AC·BE＝12；④3BF＝4AC，其中结论正确的个数有（ ）

DA4

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5. 如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF、DE，EF与AC交于点O，DE与AB交于点G，连接

OG，若∠BAC=30°，下列结论：①△DBF≌△EFA；②AD=AE；③EF⊥AC；④AD=4AG；⑤△AOG与△EOG的面积比为1：4．其中正确结论的序号是（ ） A、①②③ B、①④⑤ C、①③⑤ D、①③④

6. 如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E、F，使DE=AD，DF=BD；BF分别交CD，CE于H、G点，连接DG，下列结论：①∠GDH=∠GHD；②△GDH为正三角形；③EG=CH；④EC=2DG；⑤S△CGH：S△DBH=1：2．其中正确的是（ ） A、①②③ B、②③④ C、③④⑤ D、①③⑤

7. 如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF= BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（ ） A、①②③④B、①②③C、①②④D、②③④

8. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE=∠ACD；②AC⊥ED；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为 ．其中，正确的结论是（ ） A、①②④B、①③⑤C、②③④D、①④⑤

9. 如图，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE+DC=DE．其中正确的是（ ） A、②④B、①④C、②③D、①③

10. 如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且HE?HB=

，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四

；④若BE平分∠DBC，

2

2

2

个结论：①BE⊥GD；②AF、GD所夹的锐角为45°；③GD= 则正方形ABCD的面积为4．其中正确的结论个数有（ ）

A、1个B、2个C、3个D、4个

11. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，连AE交BD于F，过F作FH⊥AE交BC于H，过H作GH⊥BD交BD于G，下列有四个结论：⑴AF=FH，⑵∠HAE=45°，⑶BD=2FG，⑷△CEH的周长为定值，其中正确的结论是( )

A．⑴⑵⑶ B．⑴⑵⑷ C．⑴⑶⑷ D．⑴⑵⑶⑷

12. 如图，已知边长为4的正方形ABCD中，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，FH⊥BC交BC于H，连接PH，则下列结论正确的是（ ） ①BE=CE；②sin ∠EBP=；③HP∥BE；④HF=1；⑤S△BFD=1． A、①④⑤B、①②③C、①②④D、①③④

13. .在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB上一点，AE=AD，且BF∥CD，AF⊥CE于F．连接DE交对角线AC于H．下列结论：①△ACD≌ACE；②AC垂直平分ED；③CE=2BF；④CE平分∠ACB．其中结论正确的是（ ）A、①②B、①②④ C、①②③ D、①②③④

14. 如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AB=AC，E为BC的中点，BD交AC于F，交AE于G，连接CG．下列结论中：

①AE平分∠BAC，②BG=CG，③CD=CG，④若BG=6，FG=4，则DF=5，⑤DC：AB=1：3，正确的有（ ）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

15. 已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过

点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝5 ．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2 ；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋6 ；⑤S正方形ABCD＝4＋6 ．其中正确结论的序号是（ ）

A．①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤

二．填空。

16. 如图，矩形ABCD中，AB?3cm，AD?6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF?2BE，则S△AFC? cm．

A

E F G

B

17. 如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P，P?，P 12，P3，2008的位置，则点P2008的横坐标为 ． y

P

A O P1

（第17题）

18. 如图，⊙O1、⊙O2内切于P点，连心线和⊙O1、⊙O2分别交于A、B两点，过P点的直线与⊙O1、⊙O2分别交于C、D两点，若∠BPC=60o，AB=2，则CD= .

P C?O1

?O2 A

B

2D

C

?? x D19. 已知:如图，直线MN切⊙O于点C，AB为⊙O的直径，延长BA交直线MN于M点， AE⊥MN，BF⊥MN，E、F分别为垂足，BF交⊙O于G，连结AC、BC，过点C作CD⊥AB， D为垂足,连结OC、CG. 下列结论：其中正确的有 .

①CD=CF=CE； ②EF=4AE?BF; O? ③AD?DB=FG?FB； ④MC?CF=MA?BF. D A ECM 20. 如图，M为⊙O上的一点,⊙M与⊙O相交于A、B两点，P为⊙O上任意一点，

直线PA、PB分别交⊙M于C、D两点，直线CD交⊙O于E、F两点，连结PE、PF、BC， 下列结论：

2

①PE=PF； ②PE=PA·PC; ③EA·EB=EC·ED； P2

B GFNPBR?（其中R、r分别为⊙O、⊙M的半径）. ④BCrACEM· BD·O F

其中正确的有 . 三．解答题。

21.如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.

22. 已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（3，0）、C（0，4），点D的坐标为D（﹣5，0），点P是直线AC上的一动点，直线DP与y轴交于点M．问：

（1）当点P运动到何位置时，直线DP平分矩形OABC的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP的函数解析式；

（2）当点P沿直线AC移动时，是否存在使△DOM与△ABC相似的点M，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、半径长为R（R＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P．若设动圆P的直径长为AC，过点D作动圆P的两条切线，切点分别为点E、F．请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S，若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．

23. 如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝

3．D为射线BA上的点（点D不与10点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．

(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；

(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．

24. 如图1，已知A、B是线段MN上的两点，MN?4，MA?1，MB?1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB?x．

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？

25. 已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A，抛物线

y?ax2?bx?c经过O，A两点． ⑴试用含a的代数式表示b；

⑵设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；

⑶设点B是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否

4存在这样的点P，使得∠POA?∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存

3在，说明理由．

xBDPOEAy

参考答案 1. D

解：根据题意，分3个阶段；

①P在BC之间时，△BMP中，BP=t，为底，M到BC的距离，即中位线的长度为高，则高为 ，有三角形的面积公式可得，S= t；

②P在CD之间时，△BMP中，BM为底，P到BM的距离为高，有三角形的面积公式可得，S= （2-t），成一条线段；

③P在AM之间时，△BMP中，BM为底，P到BM的距离为高，有三角形的面积公式可得，S逐渐减小，且比②减小得快，是一条线段；分析可得：D符合；故选D．

2. A

解：过点C做CG⊥AB，∵MN=1，四边形MNQP为直角梯形，∴四边形MNQP的面积为S= MN×（PM+QN），∴N点从A到G点四边形MNQP的面积为S= MN×（PM+QN）中，PM，QN都在增大，所以面积也增大；

当QN=CG时，QN开始减小，但PM仍然增大，且PM+QN不变，∴四边形MNQP的面积不发生变化，当PM＜CG时，PM+QN开始减小，∴四边形MNQP的面积减小，故选A． 3 .C

解：在△ABE中，BE=

2

= ，∵ABCD是正方形，∴BE=MN，

2

2

∴S四边形MBNE= BE?MN= x+8，∴阴影部分的面积S=16-（ x+8）=- x+8．

根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，对称轴是Y轴，顶点是（0，8），自变量的取值范围是0＜x＜4．故选C． 4. C 解：①∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，∵∠EAD=∠DAC，∴∠AED=∠ADC．故本选项正确；

②∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：AC，但AC的值未知，故不一定正确；

③由①知∠AED=∠ADC，∴∠BED=∠BDA，又∵∠DBE=∠ABD， ∴△BED∽△BDA，∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC， ∴BE：BD=DC：AC，∴AC?BE=BD?DC=12．故本选项正确；

④连接DM，则DM=MA．∴∠MDA=∠MAD=∠DAC，∴DM∥BF∥AC，由DM∥BF得FM：MC=BD：DC=4：3；由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC=FM：MC=4：3，∴3BF=4AC．故本选项正确． 综上所述，①③④正确，共有3个．故选C．

5. D

解：Rt△ABC中，若∠BAC=30°，设BC=2，则AC=2

，AB=4；∴AF=2，AE=2

， =

∵∠BAC+∠OAE=30°+60°=90°，即△FAE是直角三角形，∴tan∠AEF=

，即∠AEF=30°，EF平分∠AEC，根据等边三角形三线合一的性质知：EF⊥AC，且O是AC的中点；故③正确

①∵F是AB的中点，∴AF=BF；∵∠BAC=30°，∴∠AFO=90°-∠BAC=60°，即∠DBF=∠AFE=60°；∵∠FAE=30°+60°=90°=∠BFD，∴△DBF≌△FEA，故①正确； ②在Rt△ABC中，AB＞AC，故AD＞AE，②错误；

④由①得全等三角形知：DF=AE，又∵∠DFG=∠GAE=90°，∠DGF=∠AGE，∴△DFG≌△EAG，即AG=GF，∴AD=2AF=4AG，故④正确；

⑤由④知：G是AF中点，∴S△OEG= OE?（ OA）= ×3× ?AG?sin60°= ×1×

=

=

；又S△AGO= ?（ AB）

，故△AOG与△EOG的面积比为1：3，⑤错误；因此正确

的结论是①③④，故选D． 6. D

解：（1）∵选项都有③，故可确定EG=CH．（2）有题意可得四边形BCED为平行四边形，进而推出△DHB∽△CHG，

=

=

，∵面积比等于相似比的平方∴S△CGH：

= 所以OD=1-

=

可求得，又

S△DBH=1：2．（3）先看①设正方形边长为1．则 CH= =

=

，

=

=

=

=

∴DH= ．DO=DH-OH=1- ∴可得DO=OH，△DGH为

等腰三角形，即得∠GDH=∠GHD，①正确 故选D． 7. A

解：如下图所示：连接AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q，延长CD交AB于P． ∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB ∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC 点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM⊥AC．

由中位线定理可得EF∥AC，EF= AC∴BD⊥EF，故①正确．

∵∠DBQ+∠DCA=45°∠DCA+∠CAQ=45°∴∠DBQ=∠CAQ ∵∠A=∠ABC∴AQ=BQ

∵∠BQD=∠AQC=90° ∴根据以上条件得△AQC≌△BQD∴BD=AC∴EF= AC，故②正确．

∵∠A=∠ABC=∠C=45° ∴∠DAC+∠DCA=180°-（∠A+∠ABC+∠C）=45° ∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠DCA）=135°=∠BEF+∠BFE=180°-∠ABC 故：③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立由以上求出条件可得出△ABQ≌△CBP∴AB=BC∵又BM⊥AC∴M为AC中点∴△ADM≌△CDM∴AD=CD，故④正确．故选A．

8. D

解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，∴AB=AC= ∠DEC=∠DCE=45°；

①∵∠ACB=∠DCE=45°，∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACD；即∠ECB=∠DCA；故①正确； ②当B、E重合时，A、D重合，此时DE⊥AC；当B、E不重合时，A、D也不重合，由于∠BAC、∠EDC都是直角，则∠AFE、∠DFC必为锐角；故②不完全正确； ④∵

，∴

；由①知∠ECB=∠DCA，∴△BEC∽△ADC；∴∠

BC=

，CD=DE=

CE；∠B=∠ACB=

DAC=∠B=45°；∴∠DAC=∠BCA=45°，即AD∥BC，故④正确；

③由④知：∠DAC=45°，则∠EAD=135°；∠BEC=∠EAC+∠ECA=90°+∠ECA；∵∠ECA＜45°，∴∠BEC＜135°，即∠BEC＜∠EAD；因此△EAD与△BEC不相似，故③错误；

⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=

，AD=1；

故S梯形ABCD= （1+2）×1= ，故⑤正确；因此本题正确的结论是①④⑤，故选D． 9. B

解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，

∴AD=AF，∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°-∠DAE=45°，∴∠DAE=∠FAE，AE为△AED和△AEF的公共边，∴△AED≌△AEF∴ED=FE 在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，又∵∠ACB=∠ABF，∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，∴在Rt△FBE中BE+BF=FE，∴BE+DC=DE③显然是不成立的．故正确的有①④，不正确的有③，②不一定正确．故选B

2

2

2

2

2

2

10. D

解：①正确，证明如下：∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，∴△BEC≌△DGC，∴∠EBC=∠CDG，∵∠BDC+∠BDH+∠EBC=90°，∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正确； ②由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五点都在以BD为直径的圆上；由圆周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故②正确；

③由②知：A、B、C、D、H五点共圆，则∠BAH=∠BDH；又∵∠ABD=∠DBG=45°，∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：

，即DG=

AM；故③正确；

④过H作HN⊥CD于N，连接NG；若BH平分∠DBG，且BH⊥DG，易知：BH垂直平分DG；得DE=EG，H是DG中点，HN为△DCG的中位线；设CG=1，则：HN= ，EG=DE= +1；易证得△BEC∽△HEN，则：BE：EH=BC：HN=2 =4-2

，即BE?BH=4

，即

+2，即EH=

，DC=BC=

；∴HE?BH=BH?

；∵∠DBH=∠CBE，且∠BHD=∠BCE=90°，∴△DBH∽△CBE，得：BC=4

2

DB?BC=BE?BH=4 ，得：BC=4，即正方形ABCD的面积为4；故④正确；

2

因此四个结论都正确，故选D 11. D

解：（1）连接HE，FC，延长HF交AD于点L，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ADB=∠CDF=45°．∵AD=CD，DF=DF，∴△ADF≌CDF．∴FC=AF，∠ECF=∠DAF．∵∠ALH+∠LAF=90°，∴∠LHC+∠DAF=90°．∵∠ECF=∠DAF，∴∠FHC=∠FCH，∴FH=FC．∴FH=AF．

（2）∵FH⊥AE，FH=AF，∴∠HAE=45°．

（3）连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA，∵∠AFO+∠GFH=∠GHF+∠GFH，∴∠AFO=∠GHF．

∵AF=HF，∠AOF=∠FGH=90°，∴△AOF≌△FGH．∴OA=GF．∵BD=2OA，∴BD=2FG．

（4）延长AD至点M，使AD=DM，过点C作CI∥HL，则：LI=HC，根据△MEC≌△MIC，可得：CE=IM，同理，可得：AL=HE，∴HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8．∴△CEM的周长为8，为定值．故（1）（2）（3）（4）结论都正确．故选D． 12. A

解：由于AB=CD，AE=DE，∠BAE=∠CDE，所以△BAE≌△CDE，BE=CE，所以①正确．由于△EBC不是等边三角形而是等腰三角形，而P是EC中点，所以BP并不垂直于EC，BE=2EP，只有当∠BPE=90°时sin∠EBP= ，但∠EBP并不等于90°，所以②不正确，由此排除B、C选项．由于P是EC中点，假如HP∥EB，则HP是一条中位线，即H是BC中点，有三角形的性质：各边中线的交点到各顶点的距离是本条中线长度的三分之二，由此可知F并不是各中线的交点，而E向BC的垂线就是中线，所以H并不是BC中点，故HP并不是平行于BE，所以③错误，由排除法可知选项A正确，故选A． 13. D

证明：∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°．∵AB=CB，∴∠BAC=45°， ∴∠DAC=45°．又∵AC=AC，∴△AEC≌△ADC．∴①△ACD≌ACE正确． ∵△AEC≌△ADC，∴DC=CE．又∵AD=AE，∴AC是DE的垂直平分线． 即AC垂直平分ED．∴②AC垂直平分ED正确．

取CF的中点O连接BO，∵AF⊥CF，∴∠AFC=90°．∵∠ABC=90°，∠AEF=∠CEB，∴∠FAB=∠BCE．∵AD=AE，∠EAD=90°，∴∠AED=∠ADE=45°．∴∠DEB=135°，∴∠HEC+∠BEC=135°．∵AB=AC∠ABC=90°，∴∠ACE+∠BCE=45°．∵△AEC≌△ADC，∴∠DCH=∠ECH，∴∠DCH+∠BCE=45°．∵四边形DEBC四个角的和是360°，∴∠EDC+∠BCD=360°-90°-135°=135°．∴∠BCE=∠ECH．即CE平分∠ACB．∴④CE平分∠ACB正确．

∵∠ABC=90°，OE=OC，∴BO=CO= CE ∴∠OCB=∠OBC．∵∠FOB=∠OCB+∠OBC，

∴∠FOB=2∠OCB．∵BF∥CD，∴∠BFO=∠DCF．∵∠BFO=∠DCF=∠OCB，∴∠BFO=2

∠OCB．

∴BF=OB．∴BF= CE，即CE=2BF，∴③CE=2BF正确．故答案选D. 14. B

解：∵梯形ABCD中，DC∥AB，AB=AC，E为BC的中点，∴①AE平分∠BAC，正确；∵AB=AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC，AE是BC的垂直平分线，∴②BG=CG，正确；延长CG与AB相交于H，∵CG=GB，∴∠HCB=∠DBC，∵AB=AB，∴∠ACB=∠ABC，∴∠ACH=∠ABG，∵BG=CG，∠FGC=∠BGH，∴△CGF≌BGH，∴GH=FG=5，CG=6， ∵AB∥CD，∴△DCG∽△BGH，∴ 确．而③⑤无法判断，故选B． 15. D

【分析】△APD绕点A旋转90°后与△AEB重合，所以△APD≌△AEB；且有∠APD＝∠AEB＝135°因为EA⊥AP，AE＝AP＝1，所以△APE为等腰直角三角形，有勾股定理可得AE＝2 ，∠APE＝∠AEP＝45°， 所以∠BEP＝∠AEB－∠AEP＝135°－45°＝90°，所以△BPE为直角三角形，PB＝5 ，AE＝2 ，所以EB＝3，易证△BFE为等腰直角

=

，即

= ，解得DF=5，故④正

三角形，所以BF＝FE＝

666，在直角三角形BFA中BF＝，AF＝AE＋EF＝1＋，222由勾股定理可得AB＝4+6，所以正方形的面积为4＋6 ，S△APD＋S△APB＝四边形AEBP的面积＝S△AEP＋S△EPB＝

1?6，所以正确的是①③⑤． 2 16.9 17.2008 18.1

提示：连接AC，BD， 19.①②③④

①由MN与圆O相切于点C，根据弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，又由AB为圆O直径，可得AC⊥BC，则可证得Rt△AEC≌Rt△ADC，同理可得Rt△BCD≌Rt△BCF，根据全等三角形的对应边相等，即可得CD=CF=CE；

②由①可证得Rt△ACE∽Rt△CBF，根据相似三角形的对应边成比例，与CE=CF= 1 2

EF，即可证得EF2=4AE?BF；

③由Rt△BCD≌Rt△BCF与Rt△ACE≌Rt△GCF即可证得AD?DB=FG?FB；

④由△AME∽△CMD与Rt△ACD∽Rt△BCF．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得MC?CF=MA?BF．

20.①②③④

提示：利用圆周角定理以及三角形的外角证明∠F=∠PEF，即可得出PE=PF，再利用圆周角定理证明△

PAE∽△PEC，得出PE2=PA?PC，作直径CH，PN，得出△BCH∽△BPN 21. 解：（1）设所求抛物线的解析式为：y?a(x?1)2?4，依题意，将点B（3，0）代入，

得：

2 a(3?1)?4? 0 解得：a＝－1

∴所求抛物线的解析式为：y??(x?1)2?4

（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，

在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………① 设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0）， ∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y??(x?1)2?4，得

2 y??(2?1)?4? 3 ∴点E坐标为（2，3）

又∵抛物线y??(x?1)?4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D

∴当y＝0时，?(x?1)?4?0，∴x＝－1或x＝3 当x＝0时，y＝－1＋4＝3, ∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3） 又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，

∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………② 分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：

22 ???k?b?0

?2k?b?3?k?1 ?b?1 解得： ?过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1 ∴当x＝0时，y＝1

∴点F坐标为（0，1） ∴DF=2………………………………………③ 又∵点F与点I关于x轴对称， ∴点I坐标为（0，－1） ∴EI?DE2?DI2?22?42?25………④

又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值， ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可

由图形的对称性和①、②、③，可知， DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小

设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y?k1x?b1(k1?0)，

分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y?k1x?b1，得：

?2k1?b1?3 ?b??1?1 解得：??k1?2

?b1??1 过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1

1； 21 ∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）

2 ∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝

∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI 由③和④，可知： DF＋EI＝2?25 ∴四边形DFHG的周长最小为2?25。 （3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，

要使，△DNM∽△BMD，只要使

2NMMD?即可， MDBD 即：MD?NM?BD………………………………⑤

设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD， ∴

再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝32，AB＝4

NMAM? BDAB ∴ MN?2AM?BD(1?a)?3232??(1?a)

AB44222 ∵MD?OD?OM?a?9， ∴⑤式可写成： a?9?解得：

232(1?a)?32 43或a?3（不合题意，舍去） 23∴点M的坐标为（，0）

2 a?又∵点T在抛物线y??(x?1)?4图像上，

2315时，y＝ 22315 ∴点T的坐标为（，）.

22 ∴当x＝

22.

考点：一次函数综合题。 专题：动点型；探究型。 分析：（1）根据矩形的性质（经过矩形中心的直线把矩形分成面积相等的两个部分）可知，连接BO与AC交于点H，则当点P运动到点H时，直线DP平分矩形OABC的面积．先求出点P的坐标为P（，2），结合点D坐标利用待定系数法求直线DP的函数解析式为：y=

x+

．（2）根据题意可知存在点M使得△DOM与△ABC相似，设直线DP与y轴的

正半轴交于点M（0，ym）．可利用相似中的相似比分别列出关于点M的坐标有关的方程，求解即可．注意：共有3种情况，要考虑周全．

（3）过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为画圆，过点D分别作⊙P的切线DE、DF，点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P1，半径长为画圆，过点D分别作

⊙P的切线DE1、DF1，点E1、F1是切点．在△DEP和△DFP中，△DPE≌△DPF．所以S

四边形DEPF

=2S△DPE=DE．可知当DE取最小值时，S四边形DEPF的值最小．所以当DE是D点

．

与切点所连线段长的最小值．利用相似求得DE的长，再求得S四边形DEPF=

解答：解： （1）连接BO与AC交于点H，则当点P运动到点H时，直线DP平分矩形OABC的面积．理由如下：

∵矩形是中心对称图形，且点H为矩形的对称中心．

又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，

因为直线DP过矩形OABC的对称中心点H，所以直线DP平分矩形OABC的面积．（2分） 由已知可得此时点P的坐标为P（，2）． 设直线DP的函数解析式为y=kx+b． 则有

，解得k=

，b=

．

所以，直线DP的函数解析式为：y=x+．（5分）

（2）存在点M使得△DOM与△ABC相似．

如图，不妨设直线DP与y轴的正半轴交于点M（0，ym）． 因为∠DOM=∠ABC，若△DOM与△ABC相似，则有

或

．

当时，即，解得

．所以点M1（0，

）满足条件．

当时，即，解得

．所以点M2（0，

）也满足条件．

）满足条件．

由对称性知，点M3（0，﹣

综上所述，满足使△DOM与△ABC相似的点M有3个， 分别为M1（0，

（3）如图，过D作DP⊥AC于点P，以P为圆心，半径长为画圆，

过点D分别作⊙P的切线DE、DF，点E、F是切点．除P点外在直线AC上任取一点P1，半径长为画圆，

过点D分别作⊙P的切线DE1、DF1，点E1、F1是切点． 在△DEP和△DFP中，∠PED=∠PFD，PF=PE，PD=PD， ∴Rt△DPE≌Rt△DPF．

）、M2（0，

）、M3（0，﹣

）．

∴S四边形DEPF=2S△DPE=2××DE?PE=DE?PE=DE．

∴当DE取最小值时，S四边形DEPF的值最小．

222222

∵DE=DP﹣PE，DE1=DP1﹣P1E1，

2222

∴DE1﹣DE=DP1﹣DP．

22

∵DP1＞DP，∴DE1﹣DE＞0．

∴DE1＞DE．由P1点的任意性知：DE是D点与切点所连线段长的最小值．（12分） 在△ADP与△AOC中，∠DPA=∠AOC， ∠DAP=∠CAO，∴△ADP∽△AOC． ∴∴DP=∴

∴S四边形DEPF=

，即S=

，即．

．

．（14分）

．

23.

（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝所以AH＝

AH3?，AB1031＝AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5． 22因为DE//BC，所以

ABAC5?，即5?3．于是得到y?x，（x?0）．

3DBECyx（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以

DEAEMNANDE|3?x|??，，即，?BCACBCAC531|3?x|MN2．因此DE?5|3?x|，圆心距MN?5|6?x|． ?3653

图2 图3 图4

11511BD?y?x，在⊙N中，rN?CE?x． 2262251305|6?x|①当两圆外切时，x?x?．解得x?或者x??10．

62136305(3?x)15如图5，符合题意的解为x?，此时DE??．

13313515|6?x|②当两圆内切时，x?x?．

626305(x?3)15当x＜6时，解得x?，如图6，此时E在CA的延长线上，DE??；

737在⊙M中，rM?当x＞6时，解得x?10，如图7，此时E在CA的延长线上，DE?5(x?3)35． ?33

图5 图6 图7

（3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形．

如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF＝4.1．

如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时

BF?125． 34

图8 图9 图10 图11

考点伸展

第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是△ABC的高，D、E、F为△ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形． 24.

（1）在△ABC中，AC?1，AB?x，BC?3?x，所以??1?x?3?x, 解得1?x?2．

1?3?x?x.?（2）①若AC为斜边，则1?x2?(3?x)2，即x2?3x?4?0，此方程无实根． ②若AB为斜边，则x2?(3?x)2?1，解得x?③若BC为斜边，则(3?x)2?1?x2，解得x?因此当x?5，满足1?x?2． 34，满足1?x?2． 354或x?时，△ABC是直角三角形． 33（3）在△ABC中，作CD?AB于D，设CD?h，△ABC的面积为S，则S?1xh． 2①如图2，若点D在线段AB上，则1?h2?(3?x)2?h2?x．移项，得

(3?x)2?h2?x?1?h2．两边平方，得(3?x)2?h2?x2?2x1?h2?1?h2．整理，

得x1?h2?3x?4．两边平方，得x2(1?h2)?9x2?24x?16．整理，得x2h2??8x2?24x?16

所以S2?431122． xh??2x2?6x?4??2(x?)2?（≤x?2）

2243当x?4231时（满足≤x?2），S2取最大值，从而S取最大值．

2223

图2 图3

②如图3，若点D在线段MA上，则(3?x)2?h2?1?h2?x． 同理可得，S2?易知此时S?

431122． xh??2x2?6x?4??2(x?)2?（1?x≤）

22432． 2

综合①②得，△ABC的最大面积为

2． 2考点伸展

第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设AD?a， 例如在图2中，由AC?AD?BC?BD列方程1?a2?(3?x)2?(x?a)2． 整理，得a?22223x?4．所以 x?8x2?24x?16?3x?4?1?a?1??． ??2x?x?22因此

S2?12x(1?a2)??2x2?6x?4． 425. （1）解法一：∵一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0）

∵抛物线

16a?4b?0?b??4a 解法二：∵一次函数y?ax2?bx?c经过O、A两点?c?0，y?kx?4k的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 ∴

抛物线的对称轴为直线x?2?x??b?2 2a（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为

y?ax2?4ax∴点D的坐标为（2，?4a） ①当a?0时， 如图1，设⊙D被x轴分

得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D\' ∴点D\'与点D也关于x轴对称

∵点O在⊙D\'上，且OD与⊙D\'相切 ∴点O为切点∴D\'O⊥OD ∴∠DOA＝∠D\'OA＝45°∴△

⌒⌒⌒??4a??2ADO为等腰直角三角形?OD?22∴点D的纵坐标为?2 ∴1?a?，b??4a??2212抛物线的解析式为y?x?2x ②当a?0时， 同理可得：OD?22 抛物

21212线的解析式为y??x?2x 综上，⊙D半径的长为22，抛物线的解析式为y?x?2x或

221y??x2?2x

24（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA?∠OBA 设点P的坐标为（x，

3y），且y＞0 ①当点P在抛物线

y?12x?2x上时（如图2） ∵点B是⊙D的优弧2上的一点 ?∠OBA?14∠ADO?45? ?∠POA?∠OBA?60? 过点23EPOEP作PE⊥x

?tan∠POE?轴于点E ?y?tan60?x?y?3x点P的坐标为

?y?3x??x1?4?23?x2?0?， 由?解得：（舍去） ∴??12y?0??y?x?2x?y1?6?43?22??4?23，6?43 ②当点P在抛物线y???12x?2x上时（如图3） 同理可得，2?y?3x??x1?4?23?x2?0?，解得：（舍去） ∴点P的坐标为y?3x 由???12y?0??y??x?2x?y1??6?43?22??4?2?4?2

3，?6?43 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为 4?23，6?43或3，?6?43

????

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