第二章 从Maxwell方程组到光波导理论
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第二章 从Maxwell方程组到光波导理论
光是一种特殊波段的电磁波,它在波导中传输满足电磁场的基本方程——Maxwell方程组。这一章中,我们将从Maxwell方程组出发,建立光在波导中传输的电磁波理论与几何光学理论,进而讨论光在波导中的传输行为。
§2.1 Maxwell方程组
19世纪60年代,英国物理学家麦克斯韦(James Clerk Maxwell,1831~1879)在法拉第、高斯等人对电磁现象深入研究的基础上,加上他自己对电磁现象与力学的类比,提出了涡旋电场和位移电流假设,建立起一组完整的定量描述宏观电磁现象的基本方程,即著名的
Maxwell方程组。根据这组基本方程,麦克斯韦预言了电磁波的存在,并指出光波就是波长极短的电磁波,从而使人类对光的本质的认识向前迈进了一大步,也在物理学发展史上建立了一座新的里程碑。迄今为止,除了光发射与吸收必须用量子理论才能圆满解释外,麦克斯韦的经典电磁理论仍是分析光波传输问题的理论基础。
2.1.1 Maxwell方程组
宏观电磁现象可以用电磁场来描述。真空中的电磁场由电场强度E和磁感应强度B来描
述。而为描述场对物质的作用,如光在透明介质中传播,则需再引入电位移矢量D和磁场强
度H。在电磁场中每一点,这些矢量随时间和空间的变化关系由Maxwell方程组给出
D H j
t
(2.1.1a)
B
E t
(2.1.1b)
B 0
(2.1.1c) (2.1.1d)
D
式中,j为介质中的传导电流密度; 为自由电荷密度。(2.1.1)式中四个方程不是独立的,
如果认为电流连续方程
j 0
t
(2.1.2)
是独立方程,则c、d两式可由a、b两式推出。为了从(2.1.1)式完全确定电磁场量,尚需给
出D、B与E、H的关系,即物质方程
j E
(2.1.3a) (2.1.3b) (2.1.3c)
D 0E P
B 0H M
式中, 为介质的电导率,对良好介质可以认为近似为零; 0和 0分别为真空的介电常数和磁导率;P称为介质的极化强度;M称为介质的磁化强度。
对于电各向异性介质,电极化强度可以写成
(i)
P 0 (1) E 0 (2):EE 0 (3) EEE
是i+1阶张量。如果除
(1)
(2.1.4)
其中 外,其余
(i)
的元素均为零,则称此介质为线性介质,否
则为非线性介质。对于各向异性线性介质,总可以选择合适的坐标系使
(1)
1 0 0
2
0
0 3
(2.1.5)
若 1、 2、 3均不相等,称为双轴晶体;若其中只有两个相等,称为单轴晶体;若三个都相等,即 1 2 3 ,
(1)
可以用标量 表示,从而得到
(2.1.6) (2.1.7)
P 0 E
D 0(1 )E 0 rE
其中 r 1 为相对介电常数。
由于一般传光介质均为非磁性介质,M 0,从而
B 0H
(2.1.8)
满足(2.1.7)及(2.1.8)式的介质称为各向同性线性介质,如未作特殊说明,本书所涉及的介质均为此种介质。 通过上面的讲述我们可以看出,Maxwell方程组虽然给出了电磁场的基本规律,但由于介质和场量的复杂性,使得求解并不容易。考虑物质方程,可以降低求解难度。首先,通过线性各向同性介质假设降低了介质的复杂程度;其次,通过物质方程可以使求解的场量由4个
(E、H、D、B)变为2个(E、H)。但是,介质和场量均是时间t与空间位置(x,y,
z)的函数,方程仍很复杂。
先在时间上将场量简化。引入傅里叶变换
(x,y,z,t) (x,y,z, )ej td
(2.1.9a)
(x,y,z, )
12
(x,y,z,t)e j td
(2.1.9b)
式中, (x,y,z,t)可代表所有场分量的时域表达式; (x,y,z, )则为其频域表达式。从(2.1.9b)式可以看出,任意时域场分量都可以分解成多个频域分量。在良好介质(j 0,,则各个频率的场量均满足频域中的 0)中,且介质的性质不随时间变化(定态假设)Maxwell方程组
H j 0 rE E j 0H
(2.1.10a) (2.1.10b) (2.1.10c) (2.1.10d)
H 0
( 0 rE) 0
若不涉及色散或非线性传输等与频率有关的现象,对于某一工作频率 ,式中E、H仅是空
间位置(x,y,z)的函数,而时域中的电磁场量可根据(2.1.9a)式叠加而成。
再考虑场量在空间上能否简化。若介质均匀,即 r不随空间位置(x,y,z)变化,则(2.1.10d)
式可化为 E 0,问题显然简单了很多。但大多数情况是, r仅在某一局域为常数,因此
我们接下来讨论电磁场的边界条件,即两局域交界面处电磁场的联系。
2.1.2 电磁场边界条件
Maxwell方程组(2.1.1)式描述的是电磁性质 r、 r为位置坐标的连续函数的介质中电磁场的基本规律。而当介质的性质发生突变时,由于导数不存在,所以(2.1.1)式不再适用。此时需将(2.1.1)式改成积分形式
D H dl j ds L S S t ds B LE dl S t ds B ds 0
S
(2.1.11a)
(2.1.11b) (2.1.11c) (2.1.11d)
D ds dv
S
V
式中E和H的积分路径L分别为(2.1.11a)和(2.1.11b)两式右端面积分区域S的边界;而B
和D在闭合曲面上面积分的积分区域S分别为(2.1.11c)和(2.1.11d)两式右端体积分区域V
的外表面。将(2.1.11a)和(2.1.11b)式应用于图2.1.1(a)所示的窄条型回路,可得到
n (H1 H2) js
(2.1.12a) (2.1.12b)
n (E1 E2) 0
(2.1.12)式说明,两介质分界面处电场强度E切向连续,而磁场强度H的切向分量在边界面
上的突变取决于界面上的传导面电流密度js。
E2
2
1
11(a)切向边条件
2 1
B1、D1
(b)法向边条件
图2.1.1 确定电磁场边条件的几何区域
再将(2.1.11c)和(2.1.11d)式应用于图2.1.1(b)所示的扁平区域,可得到
n (B1 B2) 0
(2.1.13a) (2.1.13b)
n (D1 D2) s
上式说明,两介质分界面处磁感应强度B的法向分量连续,而电位移矢量D的法向分量突变
取决于界面上的自由面电荷密度 s。
对于非导电介质,其表面面电荷密度 s 0,面电流密度js 0,因而可将(2.1.12)和
(2.1.13)式合并写成
n (H1 H2) 0
n (E1 E2) 0
n (B1 B2) 0
(2.1.14a) (2.1.14b) (2.1.14c) (2.1.14d)
n (D1 D2) 0
即电场强度E和磁场强度H切向连续,磁感应强度B和电位移矢量D法向连续。
根据Maxwell方程组、物质方程及边界条件即可以确定所有电磁场量。由于Maxwell方
程组是偏微分方程组,还需要在适当的条件下进一步消元,化简为偏微分方程。
2.1.3 波动方程和Helmholtz方程
良好介质中j 0、 0,如果介质为均匀、各向同性、线性介质,则 r为常数。在上
述两条件下,将(2.1.1a)和(2.1.1b)式取旋度,并注意到 B 0 H 0,
D 0 r E 0,可得
22 n E
2E 2 0 2
c t 22 n H
2H 2 0
c t2
(2.1.15a)
(2.1.15b)
式中,c 1/0 0为真空中光速;n r为介质的折射率。(2.1.15)式即为线性、均匀、
各向同性介质中的波动方程,它的解即为波速为v c/n的电磁波。
在频域中,所有场量都是以角频率 振荡的正弦量,因而其波动方程为
式中
2k0 n2/c2 2 0 0
22
E k0nE 0
2
(2.1.16a) (2.1.16b)
22 2H k0nH 0
(2.1.17)
(2.1.16)式称为Helmholtz方程。对于非均匀的各向同性线性介质,因为
D 0 r E 0 r E 0 r E 0
(2.1.18)
可得
E r E
r
(2.1.19)
从而得到
r22
E k0nE E
r
2 0
(2.1.20a)
r 2H k02n2H ( H) 0
r
(2.1.20b)
式中, r n是位置的函数,如果介质的折射率或相对介电常数随位置变化得较为缓慢,即满足
2
r
r
1,则称这种介质为缓变介质,于是(2.1.20)可化简为 22
E k0nE 0
2
(2.1.21a)
22
H k0nH 0
2
(2.1.21b)
上式虽然形式上与(2.1.16)式相同,但二者有着重要区别,即(2.1.21)式中的折射率n是空间位置的函数,因而其求解也就要困难得多。
在分析光波导中光波的传播时,我们既会遇到均匀介质,又会遇到非均匀介质,但光波导中介质的非均匀性总满足缓变条件。因而(2.1.16)和(2.1.21)式是我们分析光波导中光波传播的基础。
Helmholtz方程是一元二阶偏微分方程,与Maxwell方程组相比要简化了许多。但由于场量E和H都是矢量,所以每一个矢量方程都相当于三个标量方程,即Helmholtz方程仍有简化的可能。一方面,我们可以根据介质的对称性,选择合适的坐标系,利用各分量之间的关系,将Helmholtz方程化简为标量方程,如第2.2节和第3章。另一方面,我们可以将一个矢量函数在合理的情况下简化为常矢量和标量函数的乘积,进而将Helmholtz方程化简为标量方程,下面就主要对此进行论述。
2.1.4 均匀平面电磁波
根据定态波假设,电磁波的振幅仅是空间位置的函数,相位是时间和空间的线性函数
j( t k r )U(r,t) U0(r)e
j t
(2.1.22)
式中U0是波的振幅矢量。略去e
后
(2.1.23a) (2.1.23b)
jk r E E0e jk r H H0e
式中,k称为波矢,方向为波的相速方向,大小为k k0n 2 n/ ,即波的相位常数;E0
和H0分别是波的电场和磁场振幅矢量,与E和H一样,仅是空间位置的函数。尤其在无界
均匀各向同性线性介质中,对于均匀平面电磁波,E0、H0和k都是常矢量。令
k r kxx kyy kzz C
(2.1.24)
式中C为任意常数。上式在空间描述出一组平面,称为波的等相位面。 (1)均匀平面电磁波是TEM波
将(2.1.23)式代入(2.1.10)式,得
E0 ek H0
(2.1.25a)
1
H0 ek E0
(2.1.25b)
k E0 0
k H0 0
(2.1.25c) (2.1.25d)
式中, 0/ 为介质的波阻抗,ek为波矢k的单位矢量。上式说明无界介质中的均匀
平面电磁波是TEM波,E0、H0和k三者相互垂直,E0和H0相位始终一致。
(2)均匀平面电磁波的相速和群速 平面电磁波相位传播的速度称为相速
vp
(2.1.26)
而能量传播的速度称为群速
vg
d d
(2.1.27)
对于均匀平面波, k0n 0 n/c。如果介质折射率n与频率 无关,则
vp vg
c n
(2.1.28)
即对于均匀无色散介质,其中传播的平面电磁波的相速与群速相等,且与波源的频率无关,仅与介质的折射率有关。
(3)均匀平面电磁波的偏振态 平面电磁波的偏振态是指电场强度矢量或磁场强度矢量的空间取向随时间的变化情况。平面电磁波的偏振态包括:自然光、部分偏振光、线偏振光、椭圆偏振光和圆偏振光,共5种。其中,线偏振光、椭圆偏振光和圆偏振光统称为完全偏振光,自然光也称为非偏振光。自然光和部分偏振光都可以看成多个完全偏振光的混合,因此下面我们着重讨论完全偏振光。 任意场矢量总可以写成沿两个特征方向的分矢量之和,即
E e1E1ej 1 e2E2ej 2
(2.1.29)
式中,e1、e2为与波传播方向ek垂直的两个相互正交的单位矢量,e1 e2 ek;E1和E2分
1和 2分别为e1和e2方向上的相位因子。别为e1和e2方向上的振幅;当 1 2 0, 时
分别为一、三和二、四象限的线偏振态。当 /2,3 /2且E1 E2时分别为右旋和左旋圆偏振态。更一般的情况下,波呈椭圆偏振态,0 时为右旋偏振态,而 2 时
为左旋偏振态。需要指出,这里关于旋向的定义与工程电磁理论中的规定一致,而与一般的光学教科书中的刚好相反。
(2.1.29)式说明,任何一种完全偏振态都可以看成两个具有确定相位差和振幅比的线偏振态的叠加。同样,在研究旋光现象时,我们也可以将它看成是两个旋向相反的圆偏振光的叠加,即
E EL(e1 je2) ER(e1 je2)
(2.1.30)
式中,EL、ER分别为左旋和右旋圆偏振态的振幅。若EL ER,则代表线偏振态;若
EL ER,则代表椭圆偏振态;若EL、ER其中之一为零,则为圆偏振态。
为了方便,在研究偏振态时,常引进Stokes参数。四个Stokes参数的定义是
2
S0 E12 E2
(2.1.31a) (2.1.31b) (2.1.31c) (2.1.31d)
2
S1 E12 E2
S2 2E1E2cos( 2 1) S3 2E1E2sin( 2 1)
显然,四个Stokes参数不是独立的,
22
S0 S12 S2 S32
(2.1.32)
如果以S1、S2、S3为直角坐标系中的x、y、z坐标,则当S0为常数时,决定了一个球
面,这个球面称为Poincaré球。Poincaré球面上的点与完全偏振态一一对应,如图2.1.2所示。
如果测得Stokes参数的变化规律,则可确定光波的偏振态变化规律,这为测定单模光纤传输系统的偏振态色散提供了理论基础。
2.1.5 平面电磁波的反射和折射
与2.1.2类似,当介质的性质发生突变时,平面电磁波将在不同介质分界面处发生反射和折射,如图2.1.3所示。根据分界面两侧满足的边界条件,可得两种介质中入射波、反射波和折射波之间的运动学关系:
(1)入射光、反射光和折射光共面,即ki、kr和kt共面;
(2)反射角等于入射角,即 r i;
(3)Snell定律:n1sin i n2sin t,其中n1、n2为两种介质的折射率。
图2.1.3 平面电磁波的反射和折射
入射波、反射波和折射波之间的动力学关系:
(1)对于平行偏振态,即电场矢量与入射面平行的线偏振态,其振幅反射和透射率分别为
rp
EprEpiEptEpi
n2cos i n1cos ttan( i t)
n2cos i n1cos ttan( i t)
(2.1.33a)
tp
2n1cos i2sin tcos i
n2cos i n1cos tsin( i t)cos( i t)
(2.1.33b)
(2)对于垂直偏振态,即电场矢量与入射面垂直的线偏振态,其振幅反射和透射率分别为
rs
Esrn1cos i n2cos tsin( i t) Esin1cos i n2cos tsin( i t)
(2.1.34a)
ts
Est2n1cos i2sin tcos i
Esin1cos i n2cos tsin( i t)
(2.1.34b)
(2.1.33)和(2.1.34)式统称为Fresnel公式。s分量始终垂直纸面向内,p、s、k成右手系。
由Snell定律可知,当n1 n2时,折射角 t大于入射角 i,有可能发生全反射。全反射
的临界角
c sin 1(n2/n1)
(2.1.35)
当 i c时, t /2,折射光将与界面平行;当 i c时,折射光消失,从而发生全反射。
由(2.1.33a)式可知,如果以Brewster角入射
i B tan 1(n2/n1)
(2.1.36)
则平行偏振态的反射率为零,即无论入射光的偏振态如何,均只有垂直偏振态反射。即以Brewster角入射时,反射光总为线偏振光,因此Brewster角又称为起偏角。
2.1.6 电磁波理论的短波长极限——几何光学理论
光波是频率极高的电磁波,即波长极短。在光纤通信与光纤传感中常用近红外光波作为
信号的载体,其频率在3 1014Hz左右,波长在1μm左右。这种近红外光波的波长比起一般光学系统的尺寸要小很多,因而可以可以忽略光波波长的有限大小的尺度,近似认为光沿光线传播,从而形成研究光传播规律的另一分支——几何光学。
几何光学的理论早在古希腊时期就已形成,其历史与欧几里得几何一样悠久,要远早于波动光学。几何光学的基本方程——程函方程(eikonal equation)也完全可以从变分原理得到,而不必借助Maxwell电磁理论。本书中为了将光的传播理论统一在电磁理论的框架之内,将几何光学理论看成电磁波理论的短波长极限。几何光学的优点是:理论模型简单直观、物理概念清晰、易于理解,所以对于初学者理解光在波导中传输及分析多模光波导都有着重要意义。但因为几何光学是电磁波理论的短波长极限,所以几何光学所得到的结果具有局限性,仅适于分析几何尺度远大于波长的情形。具体地说,几何光学理论只能用来分析多模光波导;而横向尺度与工作波长可比拟的单模光波导就只能波动理论才能得到正确的结果。
(1)几何光学基本规律——程函方程
程函方程描述了光波的几何波阵面的运动规律。在各向同性的非磁性介质中,频域中的Maxwell方程组为
H j E E j 0H
(2.1.37a) (2.1.37b) (2.1.37c) (2.1.37d)
H 0
( E) 0
在各向同性均匀介质中,均匀平面电磁波的电场和磁场强度可表为
E E0exp( jk r)
H H0exp( jk r)
(2.1.38a) (2.1.38b)
上式描述了一个沿k方向传播的均匀平面波,其波阵面是与k垂直的平面族。
更一般的情况下,介质的电磁性质不均匀,即其折射率是空间位置的函数。一般说来,在此情况下,已不存在均匀平面波解。非均匀介质中Maxwell方程组的试探解可以写成
E E0(r)exp[ jk0 (r)] H H0(r)exp[ jk0 (r)]
(2.1.39a) (2.1.39b)
E(r)H式中振幅矢量0和0(r)都是位置的函数,而 (r)称为光程函数。(2.1.39)式代入
(2.1.37)式得
n2 j
H0 E0 H0
0k0
(2.1.40a)
j
E0 0H0 E0
k0
(2.1.40b)
j
H0 H0
k0
(2.1.40c)
jj
E0 ln E0 E0
k0k0
(2.1.40d)
2
式中n r, 0 0/ 0是自由空间的波阻抗。
在电磁波的波长趋于零,即k0趋于无穷的短波长极限情形下,(2.1.40)的右端都可以忽
略,从而有
n2
H0 E0 0
0
(2.1.41a)
E0 0H0 0
(2.1.41b) (2.1.41c) (2.1.41d)
H0 0
E0 0
由(2.1.41c)和(2.1.41d)式可以看出,电场强度矢量E和磁场强度矢量H都与 矢
量相垂直。如果令 常数,则可以得到一系列曲面,这些曲面就是波的等相位面或等程函
面。由于E和H都与等程函面法向垂直,且E和H也相互垂直,所以在折射率不均匀的介质
中波长极短的电磁波仍是横电磁波,即TEM波。 将(2.1.41b)式代入(2.1.41a)式,得
2
( E0) nE0 0
(2.1.42)
利用矢量恒等式A (B C) (A C)B (A B)C及(2.1.41d)式,得
( )E0 n2E0 0
(2.1.43)
由于电场强度矢量E0不能处处为零,因而有
n2
(2.1.44)
上式即为程函方程,它是几何光学的基本方程。 另外,程函方程也可由费马原理得到。费马原理指出,介质中任意两点间的光线的实际传播路径为这两点间光程变分为零的路径。即P1、P2两点间实际路径所满足的方程必是变分问题
nds 0
P1
P2
(2.1.45)
的Hamilton-Jacobi方程,即程函方程。详细的推导可参阅M.Born与E.Wolf合著的《光学原理》第3章。
(2)光线的传播路径——射线方程
前面我们定义了等相位面,与之正交的轨迹称为光线。即
dr ds
(2.1.46)
dr式中是光线传播路径切线方向上的单位矢量,即光线的传播方向,如图2.1.4所示。根据
ds
程函方程(2.1.44)式,又可以得到 n,于是
drn ds
(2.1.47)
将上式对路程s求导,得
d dr d
n ds ds ds d dr d
n
ds ds ds
(2.1.48)
交换右端的求导次序,得
(2.1.49)
由于
d dx dz dz
,故
ds xds zds zds
d dr dr n
ds ds ds
d dr
n n ds ds
(2.1.50)
再利用(2.1.47)式,得
(2.1.51)
上式即为折射率分布为n(r)的介质中的射线方程。射线方程在研究其它波线乃至流线中都有着广泛的应用,因此也称流线方程或射流方程。
z
dr
路径
dr
y
x
图2.1.4 光线传播路径示意图
(3)应用举例
例1 光线在均匀介质中传播。
【解】均匀介质中n=常数,因而 n 0,所以
d2r
0 ds2
(2.1.52)
积分上式即可解得
r sc1 c2
(2.1.53)
式中c1和c2是两个常矢量,s是路径的长度。(2.1.53)式是一个直线方程,说明光线在均匀介质中沿直线传播。矢量c2表示光线的起始位置,矢量c1表示光的传播方向,如图2.1.5所示。
图2.1.5 均匀介质中光线路径
例2 光线在球对称折射率分布介质中传播
【解】所谓球对称分布是指在球坐标系下,折射率仅是r的函数,即 所以
n n(r)
(2.1.54)
rdn
n
rdr
(2.1.55)
再由射线方程(2.1.51)式,得
d dr rdn
n
ds ds rdr
将上式两端 r得
d dr rdn
r 0 n r
ds ds rdr
(2.1.56)
(2.1.57)
dr dr由于 n 0,故
dsds
即
d dr d dr dr dr
0 n r n r n
ds dsdsdsdsds
(2.1.58)
dr
n r 常矢量 ds
(2.1.59)
上式说明:
dr
(1)光线的传播方向与位置矢量r构成一个平面,而光线的路径始终处于此平面内。即
ds
光线路径是平面曲线,而非空间曲线。 (2)每条光线都对应一个不变量
(2.1.60) rnsin nd 常数
式中 为位置矢量r与光线传播方向之间的夹角,d为原点到该点切向的距离,n为该点的折
射率,如图2.1.6所示。
图2.1.6 折射率球对称分布介
质中光线的传播路径
或
为进一步讨论光线的走向,将(2.1.56)式展开,得
d2rdndr dn
n2 er
dsdsdsdr
(2.1.61)
d2r1 dndndr
er ds2n drdsds
(2.1.62)
式中er为位置矢量r的单位矢量。由微分几何可知,曲率矢量
d2r1 K 2 e
ds
(2.1.63)
其中 为曲率半径,e 为曲线的主法线方向,如图2.1.7所示。(2.1.62)式 e 得
11dn K e e
ndr r
z
(2.1.64)
e er
r/ds
z
er r/ds e
y 光线
y
x
(a)n n
x
(b)n n
图2.1.7 光线的路径总是弯向折射率大的一侧
由于曲率半径 0,因而上式右端必为正值。即当
dn
e 与er的夹角小于 /2, 0时,
dr
如图2.1.7(a)所示;而当
dn
0时,e 与er的夹角大于 /2,如图2.1.7(b)所示。说明光线的dr
路径总是弯向折射率大的一侧。这个结论虽然是从折射率球对称分布的特例中得到的,但它具有普遍性,一般的结果与折射定律相吻合。运用这一结论,会为定性分析光的传播路径等问题带来很大的方便,希望读者能够记住。
例3 折射定律和反射定律的证明
【证】前两个例子中折射率不变或连续变化,而在此例中,光线的反射和折射发生在介质的分界面处,这里的折射率发生突变,射线方程中 n不存在。因此需从几何光学的基本方程出发。由光线的定义,即等程函面的正交轨线,有
dr
n
ds dr
即矢量n可以看成是标量光程函数 的梯度,因而
ds
dr
nds dl 0
(2.1.65)
(2.1.66)
令两种介质的折射率分别为n1、n2,由介质1指向介质2的分界面的法向单位矢量为n12。取
dr
如图2.1.8所示的扁平回路。光线传播方向的单位矢量在介质1、2中分别用s1、s2表示。
ds
假设扁平回路的长l比宽h大得多,即l>>h。此时上面的积分近似为
n1ls1 t1 n2ls2 t2 0
(2.1.67)
式中t1、t2分别为扁平回路位于介质1、2中的变的切向单位矢量,且t1 t2。设b为扁平
t n bt n b回路的法向单位矢量,则1,2,从而得 1212
即
n1s1 (n12 b) n2s2 (n12 b) 0
b (n1s1 n12) b (n2s2 n12) 0
(2.1.68)
(2.1.69)
由于回路的可以以n12为轴任意选取,即b为垂直n12的任意矢量。故
n1s1 n12 n2s2 n12
(2.1.70)
图2.1.1 两介质界面上的扁平回路积分
上式说明,入射光线s1、折射光线s2、法线n12三者共面。令s1与n12之间的夹角为 1,s2与
n12之间的夹角为 2,则有
n1sin 1 n2sin 2
(2.1.71)
这就是折射定律或Snell定律。
对于反射光线,只需令n2 n1(负号表示反射光与入射光的法向刚好相反,入射光由
介质1射向介质2时,反射光由介质2射向介质1),则
1 2
(2.1.72)
这就是反射定律。上式的表述与通常的反射定律略有不同,这跟几何光学的符号规定有关,即由法向逆时针转向光线的角度为正,而由法向顺时针转向光线的角度为负。 本节着重讨论了光在介质中传播所遵从的基本规律——电磁波理论和几何光学理论,是以后分析波导中光的传播规律的理论基础。两者的主要区别在于,几何光学理论直观、简单,但适用范围仅限于多模波导;电磁波理论则更为精确、复杂,对于多模和单模波导均适用。在下一节中,我们将应用这些基本理论解决一些光波导的简单模型。
§2 光波导理论
广义地讲,凡是能稳定持续传输光信号的结构都可以称为光波导。从形状上,光波导可分为薄膜波导、条形波导、圆柱形波导(光纤)等;从芯区折射率分布上,又可分为均匀介质波导和渐变介质波导。本节所涉及的光波导特指薄膜波导、条形波导等具有平移对称性波导结构,此类波导只需在直角坐标系下进行分析,相对比较简单。而光纤具有轴对称性,需在柱坐标系下进行分析,我们留在下一章详细介绍。
光纤主要承担信号传输的任务,而光源、接收器、探测器、中继等也是光纤通信与光纤传感系统中不可缺少的重要组成部分。这些器件的形状往往与这一节所分析的波导结构相近,这也就是我们分析此类波导的意义所在。
2.2.1 薄膜波导的几何光学分析方法
图2.2.1 薄膜波导结构示意图
均匀介质薄膜波导结构如图2.2.1所示。中间一层厚度为d(一般为几微米),折射率为n1,光线主要在此进行传播,称为芯区。上下两层沿x方向的尺度远大于芯区,可认为半无限大。下层折射率为n2,称为衬底。上层折射率为n3,称为敷层。为了保证光线在芯区中传播,必须有n1 n2,n1 n3。薄膜波导y、z方向的尺寸远大于x方向的尺寸,因此往往认为y、z方向上是无限大的,这样就使问题简化为一维情况。可见,薄膜波导是光波导中最简单的情
形,关于它的讨论也将为以后分析条形波导和光纤打下基础。
(1)均匀介质薄膜波导中光线的传播
传播路径:均匀介质薄膜波导中芯区折射率n1、衬底折射率n2、敷层折射率n3均为常数。因而光线在芯区沿直线传播,在上下两界面发生反射和折射,如图2.2.2所示。若在上下两界面发生全反射,光线将被束缚在芯区,形成锯齿状的传播路径。
图2.2.2 均匀介质薄膜波导界面上的反射和折射
光线分类:根据衬底和敷层中是否存在折射光线,我们将波导内的光线分成折射光线和束缚光线两类。若光线在两界面上都满足全反射条件,光线完全被束缚在芯区内,则称之为束缚光线。若光线在某一界面或两界面上同时不满足全反射条件,从而导致光线穿过界面进入衬底或敷层,则称之为折射光线。显然只有束缚光线才能在波导中沿确定方向进行远传,而折射光线由于能量进入到衬底或敷层,不能远传。
光线在芯区与衬底及芯区与敷层的界面上的全反射临界角分别为
c12 sin 1 c13 sin 1
n2
n1n3
n1
(2.2.1a)
(2.2.1b)
不妨设n2 n3,则 12 13,这表明成为束缚光线的必要条件为 i 12。为了讨论方便,我们常用光线与波导轴z轴之间的夹角 z来表示光线的方向,它与入射角互余,即
z 90o i。于是根据 z可将光线分类为:
束缚光线
0 z cos 1
n2
n1
(2.2.2a)
只存在衬底辐射的折射光线
cos 1
nn2
z cos 13 n1n1
(2.2.2b)
同时存在衬底辐射和敷层辐射的折射光线
cos 1
n3 z n12
(2.2.2c)
消失光线
z
2
(2.2.2d)
这里所谓的消失光线是指,垂直于z轴传播的光线,即光线在z轴分量为零。而光通信的目的是使信号沿z轴传播,因此讨论这种光线意义不大。在以后的各种波导中将不再讨论。
光线不变量:由 z 90 i及折射定律可知,在光线传播过程中
o
nicos zi
(2.2.3)
是个常数。其中脚标i=1,2,3,分别表示3种介质。可将 nicos zi称为光线不变量,它实际上是光波沿z轴方向的归一化相位常数,即
kz/k0 /k0 ncos z
(2.2.4)
用光线不变量也可对光线进行分类。 束缚光线
n2 n1
(2.2.5a)
只存在衬底辐射的折射光线
n3 n2
(2.2.5b)
同时存在衬底辐射和敷层辐射的折射光线
0 n3
(2.2.5c)
消失光线
0
(2.2.5d)
传播时延:沿z轴传播单位距离所需的时间称为光线的传播时延。在均匀介质薄膜波导中,束缚光线在芯区的传播速度为
v c/n1
(2.2.6)
其中c为真空中的光速,n1为芯区折射率。由于传播路径为锯齿状,如图2.2.3所示,光线沿z轴传播距离z时,走过的实际路径长度及光程为
L z/cos z
(2.2.7a) (2.2.7b)
Lo n1z/cos z
图2.2.2 均匀介质薄膜波导中光线的传播路径
需要的时间为
t L/v Lo/c n1z/(c cos z)
(2.2.8)
根据定义,传播时延
tn1n12
zc cos zc (2.2.9)
时延差:如果在芯区中有两条束缚光线,其路径不同,与z轴的夹角分别为 z1和 z2。
则沿z轴传播单位距离时,传播时延不同,其差值称为时延差,记为
2 1
n111
ccos z2cos z1
(2.2.10)
最大时延差:所有束缚光线中,路径最短的是沿z轴传播的光线,其 z 0。而路径最长的是接近全反射临界角的光线,其 z cos延差,记为
1
n2
。这两条光线的时延差最大,称为最大时n1
max
n1n1 n2
cn2
(2.2.11)
由上式可以看出, max正比于相对折射率差
n1 n2
。而在以后我们将看到,时延差越n2
大,多径色散越严重。所以实际光波导中相对折射率差不宜过大。一般芯区和衬底往往是一种材料,只是掺杂浓度不同,导致n1略大于n2,即满足所谓的弱导条件
n1 n2
1 n2
(2.2.12)
相对折射率差:为了使最大时延差的表述更简洁,我们引入相对折射率差。相对折射率差的严格定义为
2
n12 n2
2n12
(2.2.13)
这与上面的
n1 n2
不同,但在弱导近似下 n2
(2.2.14)
2
n12 n2n1 n2n1 n2 1
2n12n1n2
两者近似相等。之所以不同是由于几何光学理论本身并不严格,而 的严格定义是在电磁理
论的严格推导下得到的。但对于多模波导,在弱导近似下
max
n1
c
(2.2.15)
仍不失为多径色散导致光脉冲展宽的一个很好的估计。
(2)芯层折射率渐变的介质薄膜波导中光线的传播
前面分析的均匀介质薄膜波导虽然结构简单、容易分析,但其多径色散效应严重。为了解决这一问题,可以将芯区的折射率改进为渐变的,使其中心折射率最大,向两侧单调下降至衬底的折射率,如图2.2.4所示。下面就对这种结构更复杂的介质薄膜波导进行分析。
图2.2.4 对称薄膜波导折射率分布
为简单起见,假设芯区两侧折射率对称分布,则折射率函数可表为
n1(x) n1( x)n(x)
n2 n1(x a)
x ax a
(2.2.16)
x
(c)沿不同路径传播的束缚光线
首先进行定性讨论。如图2.2.5(a)所示,假设某时刻光线传播至轴线上一点O,且与z轴
图2.2.5 芯区折射率渐变的薄膜波导中光线的传播路径
的夹角为 z(0)。下一时刻光线将偏离轴线,但由于折射率向两侧单调下降,故光线同时也向轴线方向发生弯曲。因此,芯区的传播路径一般曲线,且偏离轴线的距离x越远其切向方向与轴线的夹角 z(x)越小。若光线传播至xtp (0,a)且使 z(xtp) 0,光线接下来将向接近z轴的方向传播。由对称性及光路可逆知,光线将被束缚在( xtp,xtp)区域,形成束缚光线,xtp称为折返点。若光线一直传播至x a处也未出现 z(x) 0的点,由于衬底及敷层折射率不变,则光线将沿a点处路径的切向传播至衬底及敷层区域,形成折射光线,如图2.2.5(b)所示。对
于沿不同路径传播的束缚光线,如图2.2.5(c)所示,其传播路径越长,则其经过区域的折射率相对越小。因为传播时间正比于光程,所以路径越长的光线未必时延越大。下面就对路径方程、光线分类及传播时延等问题进行定量分析。
路径方程:在芯区中光线传播的路径方程由射线方程(2.1.51)式可以具体化为
d dr dn1(x) n1(x) ex ds ds ds
(2.2.17)
由于n1(x)与y、z无关,故光线路径为平面曲线。总可以选取合适的坐标系,使光线的传播路径在xz平面内。曲线上任意一点的矢径为
r xex zez
(2.2.18)
将上式代入到(2.2.17)式,并写成分量形式,有
d dx dn1(x)
n(x) 1 ds dsds d dz
n(x) 0 1 ds ds
(2.2.19a)
(2.2.19b)
图2.2.6 传播路径上的几何关系
z
由如图2.2.6所示的几何关系可知
ds dx2 dz2
(2.2.20a) (2.2.20b) (2.2.20c)
dx
sin z(x) dsdz
cos z(x) ds
积分(2.2.19b)式可得
n1(x)
dz
n1(x)cos z(x) n1(0)cos z(0) ds
(2.2.21)
即前面提到的光线不变量——归一化的z方向相位常数。也就是说光线传播的归一化的z方向相位常数在整个传播过程中始终保持不变,其值仅由光线的初始状态决定。由于折返点处
z(xtp) 0,故折返点坐标xtp是下面方程的解
n1(xtp) n1(0)cos z(0)
(2.2.22a)
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