1-机械原理习题解答-2012.5.29-2

机械原理部分习题参考答案 题3－4图 求ω1/ω3。 ω1P 16P 13＝ω3P 36P 13，ω1/ω3＝P 36P 13/P 16P 13。

1 6

4

1

题3－14图

B

题3－7图 求V F /V 1。 V F /V 1＝3。

题3－14图 V B ＝L AB ω1＝30×10＝300 mm/s ，μL ＝1/1，μV ＝实际尺寸/ 图上尺寸＝10 (mm/s) / 1 (mm)，V C2＝172 mm/s ，V C2B2＝246 mm/s ，ω2＝V C2B2 / L CB ＝246/122.942＝2 rad/s ，V D ＝224.51 mm/s ， V E ＝171.266 mm/s 。

32322C C C B C B C V V V V V +=+=，。

r

C C k C C C t B C n B C B C a a a a a a a 32323222++=++=2221s /mm 30003010=×==AB B L a ω，，

22222s /mm 768.491942.1222=×==CB n B C L a ω232232s /mm 984246222=××=×=C C k C C V a ω，μa ＝实际尺寸/图上尺寸＝100 (mm/s 2) / 1 (mm)。

，a 222

2s /mm 7501005.7=×=?′′′=a t

B C c c a μD ＝p'd'×μa ＝26.49×100＝2 649 mm/s 2， a E ＝p'e'×μa ＝27.88×100＝2 788 mm/s 2，，。

B C t B C L a 222×=α2222s /rad 1.6942.122/750/===B C t

B C L a α

题3－16图 求ω2、α2。 1B 2B 1B 2B V V V +=，V B1=ω1L AB ＝10×15＝150 mm/s ，μV ＝10 mm/s/1 mm ，V B2=pb 2×μV ＝12.116 ×10＝121.16

题3－4图

P 16

23

P 14

P 24

P 25P 12

P 23P 36P 56

P 15

5

F

题3－7图

mm/s ，V B2B1 = b 1b 2×μV ＝12.26 4×10＝122.64 mm/s ，μL ＝2 mm /1 mm ，ω2＝V B2/ L DB ＝121.16/(26.1×2)＝2.321 rad/s 。μa ＝50 mm/s 2 /1 mm 。

r k n t n a a a a a a 1B 2B 1B 2B 1B 2B 2B 2B ++=+=，，

2

2DB 222B s /mm 2.28121.26321.2=××==L a n ω22AB 211B s /mm 15001510=×==L a n ω，。 21B 2B 21B 2B s /mm 295.56964.122321.222=××=×=V a k ω2a 222B s /mm 31.47750546.9=×=×′′′=μb b a t ，。

2

DB 2B 2s /rad 144.9)21.26/(31.477/=×==L a t α

题4－8图 ω1＝2πn 1/60＝2π×1500/60＝157.08 rad/s ，V B ＝L AB ω1＝100×157.08＝15 707.96 mm/s ，μL ＝

实际尺寸/图上尺寸＝100/10＝10，μV ＝实际尺寸/图上尺寸＝1 000 (mm/s) / 1 (mm)，V C ＝13.5×1000＝13 500 mm/s ，V S2＝13.96 ×1000＝13 960 mm/s ，ω2＝V CB / L CB ＝11.356×1000/330＝34.414 rad/s 。

2221s /mm 64.412467210008.157=×==AB B L a ω，

2222s /mm 72.826390330414.34=×=×=BC n

CB L a ωμa ＝实际尺寸/图上尺寸＝40000 (mm/s 2) / 1 (mm)，，

CB B C V V V +=t

CB n CB B C a a a a ++=a C ＝p'c'×μa ＝43.8×40000＝1 752 000 mm/s 2，a S 2＝p's'2×μa ＝52.502×40000＝2 100 095 mm/s 2，，，

222s /mm 206704140000605.42=×=?′′′=a t CB c c a μ22s /rad 1645330/1704206/===CB t

CB L a αF I3＝G 3/g×a C ＝21/9.81×1752＝3 750 N ，F I2＝G 2/g×a S 2＝25/9.81×2100＝5 351 N ， M I2＝J S 2×α2＝0.0425×5164＝219 N·m 。

题5－8图 图(a ) F 23sin(α－φ)≤F 23sin φ，α－φ≤φ，α

≤2φ。 图(b ) F 3cos(α2－φ)＝F 4cos(α1－φ)，F 3≈F 4，F 3sin(α2－φ)＋F 4sin(α1－φ)≤0，α＝α2＋α1≤2φ。

题5－9图 求d 的范围。φ＝arctan f ＝arctan0.08＝4.574°，

α≤2φ＝9.148°，(R －d )cos α＝h 。d ＝R －h /cos α＝50－40/cos4.574°＝9.4847 mm 。9.4847 mm ≤d ≤10 mm 。

题5－8图

F

3

(b) p

b c p'

c"

题4－8图

题3－16图

b 1

p

b 2

p'

b 1' b 2''

b 2'

k

2

3题6－5图 m 2r 2

m 3r 3

m 1r 1α

Ⅲ

30°

Ⅰ

Ⅱ 45° 200 O 100

题6－6图

m 2r 2m 3r 3

m 1r 1

m 31r 3 m 32r 3 2m 1m 3

m 313题6－5图 解：m 1＝(d 2π/4)×b ×ρ＝52×π/4×5×7.8＝765.763 g ＝0.765 763 kg ，m 1 r 1＝0.765 763×100＝76.5 763 kg·mm ；m 2 r 2＝0.5×200＝100 kg·mm ；m 3 r 3＝54.495×2＝109 kg·mm ，m ＝109/r 3＝109/200＝0.5449 kg 。 α＝17.404°。φ3＝270°－α＝252.596°。 d 3＝[4×m 3/(π×b ×ρ)]0.5＝[4×544.9/(π×5×7.8)]0.5＝4.2177 cm ＝42.177 mm 。 题6－6图 解：作图得m 3＝546.594 g ，φ＝44.926°；分解得m 31＝446 g ，φ31＝－30°；m 32＝608 g ，φ32＝＋90°。 题6－8图 滚筒与带轮同轴，m 1＝1 kg ，m 2＝3 kg ，m 3＝4kg ，(1) 求滚筒上两个端面Ⅰ、Ⅱ上应增加的平衡质量。

解：P 1 = m 1ω2r 1，P 2 = m 2ω2r 2和P 3 = m 3ω2r 3，将它们分解到校正平面Ⅰ、Ⅱ 上。 校正平面Ⅰ 上的分量分别为，和。 L L L P P /)(101Ⅰ1+=L L P P /22Ⅰ2=L L L P P /)(33Ⅰ3?=校正平面上Ⅱ 的分量分别为，和。 Ⅰ11Ⅱ1P P P ?=Ⅰ22Ⅱ2P P P ?=Ⅰ33Ⅱ3P P P ?=1.1/0875.01.1/)2.015.0(25.01/)(2210121Ⅰ1ωωω×?=+××?=+?=L L L r m P ，方向与P 1相反， 1.1/135.01.1/15.03.03/222222Ⅰ2ωωω×=×××==L L r m P ，

1.1/76.01.1/)15.01.1(

2.04/)(/)(22332333Ⅰ3ωωω×=?××=?=?=L L L r m L L L P P 。

1.1/3625.0)1.1/0875.025.01()1.1/0875.0(2

2112Ⅰ11Ⅱ1×=+×=+=?=ωωωr m P P P ，

1.1/855.0)1.1/135.03.03()11/135.0(22222Ⅰ22Ⅱ2×=?×=?=?=ωωωr m P P P ， 1.1/1

2.0)1.1/76.02.04()1.1/76.0(22332Ⅰ33Ⅱ3×=?×=?=?=ωωωr m P P P 。

1.1/6225.0ⅠⅠ=r m ，kg ，φ415.1)4.01.1/(6225.0Ⅰ=×=m 1＝149.6°。 1.1/41696.0ⅡⅡ=r m ，kg ，φ9476.0)4.01.1/(41696.0Ⅱ=×=m 2＝258.097°。

(2) 求滚筒与带轮上两个端面Ⅰ、Ⅱ上应增加的平衡质量。 P 1 = m 1ω2r 1，P 2 = m 2ω2r 2和P 3 = m 3ω2r 3，

校正平面Ⅰ 上的分量分别为，， 0Ⅰ1=P )/()(102102Ⅰ2L L L L L L P P ++++=和。

)/()(103103Ⅰ3L L L L L L L P P ++?++=校正平面上Ⅱ 的分量分别为，和。

1Ⅱ1P P =Ⅰ22Ⅱ2P P P ?=Ⅰ33Ⅱ3P P P ?=0Ⅰ1=P ，

45.1/45.045.1/5.03.03)/()(2210210222Ⅰ2ωωω=×××=++++=L L L L L L r m P ， 45.1/04.145.1/3.12.04)/()(2210310323Ⅰ3ωωω=×××=++?++=L L L L L L L r m P 。

45.1/3625.025.01)0(22112Ⅰ11Ⅱ1×=××=?=?=ωωωr m P P P ，

45.1/855.0)45.1/45.03.03()45.1/45.0(22222Ⅰ22Ⅱ2×=?×=?=?=ωωωr m P P P ， 45.1/12.0)45.1/04.12.04()45.1/04.1(22332Ⅰ33Ⅱ3×=?×=?=?=ωωωr m P P P 。

题6－8(1)图

m 150

m 1Ⅰr 1Ⅰ

2Ⅰ

m 1Ⅱr 1m 3m Ⅱ

4

45.1/7883.0ⅠⅠ=r m ，kg ，φ359.1)4.045.1/(7883.0Ⅰ=×=m 1＝158.8°。 45.1/41696.0ⅡⅡ=r m ，kg ，φ7189.0)4.045.1/(41696.0Ⅱ=×=m 2＝258.097°。

5题7－12图 M d

D E φE φ

题7－12图 解：M r ·180°＝20°×200/2＋30°×200＋130°×200/2，M r ＝116.666 N·m 。

φD /20°＝116.666/200，φD ＝11.666°；

(φE －50°)/( 180°－φE )＝(200－116.666)/116.666＝0.7143， (φE －50°)＝0.7143( 180°－φE )，φE (1＋0.7143)＝0.7143× 180°＋50°，φE ＝104.167°。 W 1＝(11.666°×116.666/2)×π/180°＝－11.877 N·m ，

W 2＝[30°＋(104.167°－11.666°)]×(200－116.666)/2×π/180°＝89.086 N·m ，

题6－8(2)图

m 3150 150

m 2

L 2L 3

m 1Ⅱr 1m 3m Ⅱ

W 3＝[(180°－104.167°)×116.666]/2×π/180°＝－77.206 N·m

2' 1 O A

工件题8－14图 B 2

W 0＝0，W 0＋W 1＝－11.877 N·m ， W 0＋W 1＋W 2＝－11.877＋89.086＝77.209 N·m ， W 0＋W 1＋W 2＋W 3＝0。W max ＝77.209 N·m ，W min ＝－11.877 N·m ，ΔW max ＝89.086 N·m 。 ω1m = 2πn m1/60 = 2π×620/60 = 64.926 rad/s 。

113.20)01.0926.64/(086.89])[/(2e 2m 1max F =?×=?Δ≥J W J δω kgm 2。

题8－14图 实验用加热炉炉门起闭机构，炉门有两个位置，热面向炉膛与下方。

题8－15图 汽车车门开关机构。l BC ＝400 mm ，l C 1C 2＝550 mm ，e 1＝110 mm ，e 2＝160 mm ，α＝115°，AB 1∥C 1C 2。如题8－15图所示。解：l AB ＝413 mm 。

题8－16图 平面六杆机构的3位置设计。

首先设计曲柄摇杆机构，得到C 1、C 2、C 3点，由DC 1、DC 2、DC 3与F 1、F 2、F 3的对应关系，使用半角转动法得到相对转动极R 12、R 13，过R 12点作ψ12/2，过R 13点作ψ13/2，得交点E 1(相当于R 123)。E 1F 1为连杆的第一个位置，如题8－16图所示。

6

7

图 平面六杆机构

题8－16

题8－17

题8－17图 已知S 1＝36 mm ，S 12＝8 mm ，S 13＝17 mm ，φ12＝25°，φ13＝60°，e ＝28 mm ，作图比例尺

μL ＝实际尺寸/ 图上尺寸＝0.5，如题8－17图所示。

解：a

＝44.457/2＝22.228 mm ，b ＝104.485/2＝52.124 mm 。

图 实现连架杆3个位置的机构设计方法

题8－18图 平面六杆机构2个位置的设计。已知φ12＝60°，ψ12＝45°，S 12＝20 mm ，AD ＝d ＝30 mm 。

解：作图比例尺μL ＝实际尺寸/ 图上尺寸＝1，前四杆机构的半角反转设计方法如题8－18(a)图所示，于是c ＝37.3 mm ，e ＝42.7 mm 。后四杆机构的半角反转设计方法如题8－18(b)图所示，于是a ＝10.1

mm ，b ＝58.708 mm 。

题8－23图 已知L CD ＝75 mm ，K ＝1.5，θ＝(K －1) 180°/ (K ＋1＝36°，L AD ＝75 mm ，ψ＝45°。

解：作图比例尺μL ＝实际尺寸/ 图上尺寸＝2，如题8－23图所示。解得曲柄a ＝11.157×2＝22.314 mm ，

连杆b ＝24.017×2＝48.034 mm ；曲柄a ＝24.723×2＝49.445 mm ，连杆b ＝60.075×2＝120.151 mm 。

题8－27图 令K 1、K 2、K 3分别为，，，

c K /11?=a K /12=)2/()1(2223c a c b a K ?++?=题8－18图 实现连架杆2个位置的机构设计方法

12

题8－23图 实现连架杆2个位置的机构设计方法

8

机构设计的基本方程为，已知条件为φ)cos(cos cos i i 3i 2i 1?ψψ??=++K K K 1＝35°，ψ1＝50°；φ2＝80°，ψ2＝75°；φ3＝125°，ψ3＝105°。代入3组数据得

题8－27图15cos )3550cos(50cos 35cos 321=?=++K K K (1)

)5cos()8075cos(75cos 80cos 321?=?=++K K K (2)

)20cos()125105cos(105cos 125cos 321?=?=++K K K (3)

式(1)－式(2)、式(1)－式(3)得

5cos 15cos )75cos 50(cos )80cos 35(cos 21?=?+?K K ，

20cos 15cos )105cos 50(cos )125cos 35(cos 21?=?+?K K ，

消去K 2得

)105cos 50)(cos 5cos 15(cos )105cos 50)(cos 75cos 50(cos )105cos 50)(cos 80cos 35(cos 21??=??+??K K )75cos 50)(cos 20cos 15(cos )75cos 50)(cos 105cos 50(cos )75cos 50)(cos 125cos 35(cos 21??=??+??K K )]75cos 50)(cos 125cos 35(cos )105cos 50)(cos 80cos 35[(cos 1?????K

)75cos 50)(cos 20cos 15(cos )105cos 50)(cos 5cos 15(cos ?????=

0.04722K 1＝－0.03736，于是K 1＝－0.79126，

为此，

25138.1)75cos 50/(cos )]80cos 35(cos )5cos 15[(cos 12=????=K K 8097.050cos 25138.135cos 79126.015cos 50cos 35cos 15cos 213=?+=??=K K K ，

d ＝1，，。

799.025138.1/1/12===K a 2638.1)79126.0/(1/11=??=?=K c 265.18097.02638.1799.0212638.1799.02122322=×××?++=???++=K c a c a b 。

a ＝1，

b ＝1.265/0.799＝1.583，

c ＝1.2638/0.799＝1.582，

d ＝1/0.799＝1.2515。

题9－6F1图 已知凸轮机构的凸轮从图示位置转45°，比例尺μL ＝实际尺寸/ 图上尺寸＝10，求转动前后的压力角α1、α2与位移S 2。作图解：α1＝4.713°，α2＝0°，S 2＝58 mm 。

题9－6F2图 偏心直动平底从动件盘形凸轮机构。在图示的坐标系中，当主动凸轮1转过δ角时，从动推杆2上升S ，推程阶段S ＝160sin(1.35δ) mm ，0≤δ≤80°，回程阶段S ＝160sin(1.15δ) mm ，0≤δ≤80°，凸轮1的角速度ω1＝12 rad/s 。

9

(1) 标注出凸轮1的基圆半径r 0 ；题9－6F1图

题9－6F2图

任意一点C 的坐标x 、y ； 有利； 解：(1) 基圆半径r 0如图所示δδδδδδδδδδδδsin )5.1cos(180cos )(sin )d /d (cos )(cos )5.1cos(180sin )(cos )d /d (sin )000S r S S r y S r S S ；

(4) (2) 该机构的压力角α ＝；

(3) 写出推程阶段凸轮轮廓上(4) 升程起始位置的速度V 0＝； (5) 偏心距e 的引入对受力是否(6) 平底的最小长度L min 。

；

(2) α＝0；

(3) +=(0r x ?

???+=?+=++=+)

0()

0(0d )]

35.1sin(160d[d d )0(===

=

==δδδδt t

S V V

s /mm 5922)025.1cos(1235.1160)35.1cos(35.11601　=××××=×=δω。

(5) 偏心距e 的引入不利；

(6) 平底的最小长度L min

mm

)75(400)75()0cos(15.1160)0cos(35.1160)

75()15.1cos(15.1160)35.1cos(35.1160)75(d )]

15.1sin(160d[d )]35.1sin(160d[)75()d d ()d (max +=推程S L d max min ?+=?+×+×=?+×+×=?++=

?+　　　　回程δδδδδδδδ

S

题9－6F3图 图示为一偏心圆盘组成的凸轮机构，圆盘的半径R ＝30 mm ，已知凸轮的回转中心为A 点，基圆半径r 0；r 0＝26 mm 程h ；h ＝2AO ＝28.284 mm 几何中心为O 点，AO ＝14.142 mm ，AO 与水平线的夹角为45°，偏心距e ＝10 mm ，滚子半径r T ＝10 mm 。试用作图法求：

(1) 凸轮的(2) 推杆的推程h ；h ＝28.8 mm

(3) 当偏心距e ＝0时，推杆的推(4) 标注出滚子与凸轮上C 点接触时的压力角αC ；αC ＝0 (5) 当推杆到达顶端时，该机构此时的压力角α。α＝10.6°

10

11

9－6F3图

r T

题10－21图 已知r b =50 mm ，求r K =65 mm 时，θK =，αK =，ρK =； 当θK =5°，αK =，

r K =。

－21图

0.087223

0.087925

0.08726646

θK

解

K b K /cos r r =α，，

o 715.39)65/50arccos()/arccos(K b K ===r r αK K K K tan inv αααθ?==　o o o o 878.7rad 1375.0180/π715.39715.39tan ==×?=， mm 533.41715.39sin 65sin K K K ===o αρ　r ；

K K K K tan 08726646.0180/π5inv αααθ?==×==o o 　

当αK =34°45'时，θK =0.087223；αK =34°50'时，θK =0.087925；当θK =0.08726646时，αK 为 )087223.0087925.0/()54340534()087223.008726646.0/()5434(K ?′?′=?′?o o o α， )087223.0087925.0/()087223.008726646.0)(54340534(5434K ??′?′+′=o o o α， )087223.0087925.0/()087223.008726646.0)(75.348333333.34(75.34K ???+=o o o α

815434755159.34′′′==o o 。

题10－22图 图示为齿轮的一个齿，当刀具外移xm 时，刀具的分度线从位置Ⅰ移动到位置Ⅱ，此时，被加工轮齿的齿厚s 增加了2xm tan α，与之对应，被加工轮齿的齿槽宽e 减少了2xm tan α，即分度圆上的齿厚s 与齿槽宽e 分别为αtan 22/πxm m s +=，αtan 22/πxm m e ?=。

任意圆周上的齿厚计算如图所示。设任意半径r K 上的齿厚为s K ，s K ＝r K ·δ，δ的大小为

题10－22图 齿轮任意圆周上的齿厚

题10－24图

)

inv inv (2/)(2/)(2K K ααθθδ??=

??=′′∠?′∠=r s r s K O B B BO 　　

于是，任意圆周上的齿厚s K 为

)inv inv (2K K K K αα??=r r

r

s s

在计算任意圆周上的齿厚时，若为标准齿轮，则s K 中的分度圆齿厚；若为变位齿轮，则分度圆上的齿厚2/πm s =αtan 22/πxm m s +=。，当r )/arccos(K b K r r =αK ＝r a 时，计算出齿顶厚s a ；当r K ＝r f 时，计算出齿根厚s f ；当r K ＝r b 时，计算出基圆上的齿厚s b 。

题10－24图 图示为齿轮传动，W k 表示跨k ＝3个齿的公法线，跨齿数k ＝α z /180o＋0.5，α为压力角，α＝20°，模数m ＝4，齿数z ＝18，通过测量W k ，可以检测标准齿轮分度圆上的齿厚。W k 的计算公式为W k ＝(k －1)p b ＋s b ＝m cos α[(k －0.5)π＋z inv α] ，inv α为渐开线函数，inv α＝tan α－α。设W 3的测量值W 3c ＝30.415 mm 。试利用该式计算理论公法线长度W 3，计算分度圆上的实际齿厚s 1c 与误差△s 1c 。

解：(1)理论公法线长度计算的一般公式

αcos πb m p =，

ααααinv )cos (cos )inv 0(2b b

b mz s r r

r s

s +=??=， αtan 22/πxm m s +=。

W k ＝(k －1)p b ＋s b ＝m cos α[(k －0.5)π＋z inv α]＋2xm sin α，x 为变位系数，此题的x ＝0。

(2) 计算基圆齿厚s b1

s ＝m π/2＝4×π/2＝6.283 mm ，r b1＝mz 1cos α/2＝4×18cos20°/2＝33.829 mm ，r 1＝mz 1/2＝4×18/2＝36 mm ，913.6)180/π2020(tan 658.6736

829.332π402inv 21b 11b 1b =×?×+×=+=o o o r r r s

s mm 。 (3) 计算理论公法线长度W 3

由W k ＝(k －1)p b ＋s b 得理论公法线长度W 3为

W 3＝(k －1)p b1＋s b1＝(k －1)m πcos α＋s b1＝(3－1)4πcos20°＋6.913＝30.530 mm 。 (4) 计算理论基圆齿距p b1

由公法线长度的公式(k －1)p b1＋s b1＝m cos α[(k －0.5)π＋z 1 inv α]得p b1为

p b1＝{m cos α [(k －0.5)π＋z 1 inv α]－s b1}/(k －1)

p b1＝{4cos20°[2.5π＋18(tan20°－20°×π/180)]－6.913}/2＝11.808 mm ；

12

或由基圆上周长的公式p b1×z 1＝d b1×π得p b1为

p b1＝d b1×π/ z 1＝67.658×π/ 18＝11.808 mm ；

或由基节的公式p b1＝m πcos α，得p b1＝m πcos α＝4×πcos20°＝11.808 mm 。

(5) 计算分度圆上的实际齿厚s 1c

通过测量W k ，得到分度圆的实际齿厚s 1c ，将W k ＝m cos α[(k －0.5)π＋z inv α]的两边同时乘以π/2得

W k (π/2)＝m (π/2) cos α [(k －0.5)π＋z inv α]＝s cos α[(k －0.5)π＋z inv α] 将上式中的W k 代入测量值30.415 mm 得分度圆上的实际齿厚s 1c 为

s 1c ＝(W k π/2)/{cos α [(k －0.5)π＋z 1 inv α]}

＝30.415×π/2/{cos20° [(3－0.5)π＋18 inv20°]}＝6.260 mm 。

(6) 计算分度圆上齿厚的误差△s 1c

s 1的理论值为s 1＝m π/2＝4×π/2＝6.283 mm

分度圆上的齿厚误差△s 1c ＝实际齿厚s 1c －理论齿厚s 1，△s 1c 为

△s 1c ＝s 1c －s 1＝6.260－6.283＝－0.023 mm 。

题10－32图 图示为用测量棒测量齿轮的几何精度。r p ＝NC －NB ，L ＝2(OC ＋r p )。

NB 为NB ＝r sin α，

分度圆上的齿间宽)tan 22/π(αx m e ?=，分度圆上齿间宽的夹角r e /=δ，∠CBA ＝180°－[(90°－α)＋(90°－δ/2)]＝α＋δ/2，NC 为NC ＝r b tan(α＋δ/2)。

r p ＝r b tan(α＋δ/2)－r sin α＝[mz cos α tan(α＋δ/2)－mz sin α]/2。 OC ＝r b /cos(α＋δ/2)，L ＝2(OC ＋r p )＝2[(mz cos α)/2/cos(α＋δ/2)＋r p )。

题10－32图

题10－33图 图示为用测量棒测量内齿轮的几何精度。L ＝2R L －d p (偶数个齿)。L ＝2R L cos(0.5π/z )－d p (奇数个齿)。R L ＝d cos α/(2cos αL )，。

)2/(π/tan 2/inv inv b p L z z x d d ++?=ααα解：设圆棒圆心在一条渐开线上，渐开线的展角为θL ；

13

δ1为真实渐开线的起点与过圆棒圆心的渐开线的起点在基圆上对应的圆心角，δ1＝s bj /r b ＝0.5d p /r b ， δ2为分度圆上半个齿厚对应的圆心角，δ2＝s /(2r )＝(m π/2)/(mz )＝π/(2z )，

δ3为分度圆上半个齿厚与半个齿间所对应的圆心角，δ3＝(s ＋e )/2/r ＝s /r ＝(m π/2)/(mz /2)＝π/z ， 渐开线在分度圆上的展角为θ，

过圆棒圆心的渐开线在圆棒圆心处的渐开线展角θL (＝inv αL )为θL ＝inv αL ＝δ3－δ2＋θ－δ1。

inv αL ＝π/z －π/(2z )＋inv α－0.5d p /r b ＝π/z －m π/(2mz )＋inv α－0.5d p /r b ＝π/z －s /d ＋inv α－d p /d b 对于内变位齿轮，αtan 22/πxm m s ?=，

)2/(π/tan 2/inv )/()tan 22/π(/inv /πinv b p b p z z x d d mz xm m d d z L +??=???+=ααααα 一个齿厚对称中心线与相邻齿槽对称中心线的圆心角ψ＝2π/z /2＝π/z ，对于奇数个齿，

L ＝2R L cos(0.5ψ)－d p ＝2R L cos(0.5π/z )－d p 。

题10－34F 图 图示为当标准齿条的齿廓与被测量的外齿轮的齿廓对称相切时，两切点之间的距离AB 称为固定弦齿厚，以s c 表示，固定弦至齿顶的距离称为固定弦齿高，以h c 表示。试证明，h α2cos s s c =c ＝h a －(s /4)sin(2α)。固定弦齿厚s c 用于检测齿厚误差。

题10－34F 图 固定弦齿厚与固定弦齿高

P

B s c h c

α

A a b

d

解：

αααcos )cos (2cos 2aP AP AB s c ===ααα2cos cos )cos 5.0(2s s =?=，

αααsin cos )2/(sin s h AP h Pd h h a a a c ?=?=?= α2sin )4/(s h a ?=。

题10－41 一对渐开线标准直齿圆柱齿轮标准中心距安装，传动比i 12＝3.6，模数m ＝6 mm ，压力角α＝20°，中心距a ＝345 mm ，求小齿轮的齿数z 1，分度圆直径d 1，基圆直径d b1，齿厚s 与齿槽宽e ，基圆齿厚s b1。

解：

(1) 计算小齿轮的齿数

由a ＝m (z 1+z 2)/2＝m z 1 (1+i 12)/2＝6 z 1 (1+3.6)/2＝345 mm 得z 1＝25，z 2＝25×3.6＝90

(2) 计算小齿轮的分度圆直径 d 1＝mz 1＝6×25＝150 mm

(3) 计算小齿轮的基圆直径 d b1＝d 1cos α＝150 cos20°＝140.954 mm (4) 计算小齿轮的齿厚 s ＝m π/2＝6×π/2＝9.425 mm (5) 计算小齿轮的齿槽宽 e ＝m π/2＝6×π/2＝9.425 mm

(6) 计算小齿轮的基圆齿厚

)inv inv (2K K K K αα??=r r

r s s ，αααinv 2)inv inv (21b 11b 1b 1b 11b 1b r r r

s r r r s s +=??=

mm 957.10)180/π2020(tan 954.140150954.140425.902inv 21b 11b 1b =×?×+=+=o o o r r r s s

题10－42 一对渐开线标准斜齿轮在标准中心距下传动，已知模数m n ＝8，齿数z 1＝25、z 2＝67，螺旋角β＝20o，齿宽b ＝65 mm ，试求重合度εγ。

解：

14

　，， βααcos /tan tan n t =o o o 173.21)20cos /20arctan(tan )cos /arctan(tan n t ===　βααβcos t n m m =，mm ，

513.820cos /8cos /n t ===o βm m t at n an m h m h ??=，　，，

m c m c t at n an ??=9397.0513.8/81/t n an at =×==??m m h h 2349.0513.8/825.0/t n an at =×==??m m c 　c ，

d b1＝d 1cos αt ＝m t z 1cos αt ＝8.513×25cos21.173°＝198.458 mm ，

d b2＝d 2cos α＝m t z 2cos αt ＝8.513×67cos21.173°＝531.868 mm ，

d a1＝(z 1+2) m *at h t ＝(25＋2×0.9397) 8.513＝228.824 mm ，

d a2＝(z 2+2) m *at h t ＝(67＋2×0.9397) 8.513＝586.370 mm ，

αat1＝arccos(r b1/r a1)，αat2＝arccos(r b2/r a2)，

αat1＝arccos(r b1/r a1)＝arccos(198.458/228.824)＝29.854，

αa2＝arccos(r b2/r a2)＝arccos(531.868/586.370)＝24.899，

βαγεεε+=)π/(sin )π2/()]tan (tan )tan (tan [n t 2at 2t 1at 1m b z z βαααα+′?+′?=， βαγεεε+=)π8/(20sin 65)π2/()]20tan 899.24(tan 67)20tan 854.29(tan 25[o o o +?+?=， βαγεεε+=＝[5.2497＋6.7129]/(2π)＋0.8845＝1.9139＋0.8845＝2.788。 题10－43 一对等顶隙型直齿圆锥齿轮传动，已知模数m ＝6 mm ，齿数z 1＝21、z 2＝62，齿宽b ＝45 mm ，试计算小圆锥齿轮大端分度圆直径d 1，大端齿顶高h a1，大端齿根高h f1，大端齿全高h 1，大端齿顶圆直径d a1，大端齿根圆直径d f1，锥距R ，齿顶角θa1，齿根角θf1，顶锥角δa1，根锥角δf1。

解：

(1) 计算小圆锥齿轮大端分度圆直径 d 1＝mz 1＝6×21＝126 mm

(2) 计算小圆锥齿轮大端齿顶高 h a1＝m ＝1×6＝6 mm

*a h (3) 计算小圆锥齿轮大端齿根高 h f1＝(+)m ＝(1 +0.2)6＝7.2 mm

*a h ?c (4) 计算小圆锥齿轮大端齿全高 h 1＝(2+)m ＝(2×1 +0.2)6＝13.2 mm

*a h ?c (5) 计算小圆锥齿轮分度锥角 δ1＝arctan(1/i 12)＝arctan(z 1/ z 2)＝arctan(21/62)＝18.7117°

(6) 计算小圆锥齿轮大端齿顶圆直径 d a1＝d 1+2h a1cos δ1＝126 + 2×6cos18.7117°＝137.366 mm

(7) 计算小圆锥齿轮大端齿根圆直径 d f1＝d 1－2h f1cos δ1＝126－2×7.2cos18.7117°＝112.361 mm

(8) 计算锥距 222221622165.05.0+×=+=z z m R ＝196.380 mm

(9) 计算小圆锥齿轮齿顶角 θa1＝arctan(h a /R )＝arctan(6/196.380)＝1.750°

(10) 计算小圆锥齿轮齿根角 θf1＝arctan(h f /R )＝arctan(7.2/196.380)＝2.0997° （θf2＝θf1）

(11) 计算小圆锥齿轮顶锥角 δa1＝δ1+θf2＝18.7117°＋2.0997°＝20.8144°

(12) 计算小圆锥齿轮根锥角 δf1＝δ1－θf1＝18.7117°－2.0997°＝16.612°

题10－44 一圆柱蜗杆传动，已知蜗杆的齿数z 1＝1，蜗轮的齿数z 2＝42，蜗杆的分度圆直径d 1＝80 mm ，蜗轮的分度圆直径d 2＝336 mm ，试计算： ①蜗轮的端面模数m t2与蜗杆的轴向模数m a1，② 蜗杆的轴向齿距p a1， ③导程L ，④ 蜗杆的直径系数q ； ⑤蜗杆传动的标准中心距a ， ⑥导程角λ1。

解：

(1) 计算蜗轮的端面模数与蜗杆的轴向模数

d 2＝mz 2＝42m ＝336 mm ，m ＝336/42＝8 mm ，m t2＝m a1＝m ＝8 mm ，

(2) 计算蜗杆的轴向齿距 p a1＝p t2＝m a1π＝8π＝25.133 mm ，

(3) 计算蜗杆的导程 L ＝z 1 p a1＝25.133 mm ，

(4) 计算蜗杆的直径系数 q ＝d 1/m ＝80/8＝10，

15

(5) 计算蜗杆传动的标准中心距 a ＝m (q +z 2)/2＝8(10+42)/2＝208 mm ，

(6) 计算导程角 arctan()arctan()πarctan()πarctan(1111a 11

1a 111d m z d m z d p z d L ====λ， )8081arctan()arctan(1

11×==d m z λ＝5.711°。

题11－14图

题11－14图 在图所示的电动螺丝拧紧轮系中，已知z 1＝z 4＝7，z 3＝z 6＝39，若中心轮1的转速n 1＝3000 r/min ，试求系杆H 2的转速。

解：7

39013441H13H11H113?=?=??=??=z z i ωωωωωωω， 441739ωωω=?，41746ωω=，1446

7ωω=； 7

39046H2H24H26H24H246?=?=??=??=z z i ωωωωωωω， H2H24739ωωω=?，H24746ωω=，4H246

7ωω=； min /r 47.69300046746746746746714H2=××=×==n n n 。 题11－15图 在图所示的轮系中，已知z 1＝99，z 2＝100，若中心轮1的转速n 1＝3000 r/min ，试求系杆H 2的转速。

解：99100)1(01

232132H 2H H 2H 1H 12==?=??=??=z z z z z z i ωωωωωωω，)(99100H 2H ωωω?=?，，，。

2H H 10010099ωωω=+?2H 100ωω=100/12=n 题11－16图 在图a 、b 所示的轮系中，已知z 1＝20，z 2＝24，z 2'＝30，z 3＝40，若中心轮1的转速n 1＝200 r/min ，中心轮3的转速n 3＝－100 r/min ，试求系杆n H 。

解：图a ：6.130

4020242312H 3H 1H 13===??=′z z z z i ωωωω，，， )(6.1H 3H 1n n n n ?=?)100(6.1200H H n n ??=?H H 6.1160200n n ??=?，，。

3606.0H ?=n min /r 6006.0/360H ?=?=n 图b ：6.130

4020242312H 3H 1

H 13?=?=?=??=′z z z z i ωωωω，，， )(6.1H 3H 1n n n n ??=?)100(6.1200H H n n ???=?H H 6.1160200n n +=?，，。 406.2H =n min /r 385.156.2/40H ==n 题11－18图 在图所示的轮系中，已知z 1＝z 2'＝10，z 2＝20，z 3＝40，η1＝0.98，η2＝0.97，G ＝10 kN ，试求链轮(齿轮1)上应施加多大的圆周力F 。

解： 810

401020023124414341

413?=?=?=??=??=′z z z z i ωωωωωωω，，，。 4418ωωω=?419ωω=9/14ωω=42112/08.02/32.0ωηηω××=××××G F ，， 42112/08.02/32.0ωηηω××=××××G F kN 292.0)97.098.0916.0/(04.010)2/32.0/(2/08.02114=××××=×××××=ηηωωG F 。 题11－19图 在图所示的轮系中，已知z 1＝30，z 2＝25，z 3＝z 4＝24，z 5＝18，z 6＝121，n 1＝40～200 r/min ，n H ＝316 r/min 试求齿轮6的n 6。

解： 18

121651812124243025)1(5634122H 6H 1H 16==?=??=z z z z z z n n n n i ，)(1812165H 6H 1n n n n ?=?， H 16)11812165(1812165n n n ?+=，])118

12165([1215186H 16n n n ?+××= 16

min /r 730.266]316)1186121

5(40[1215186])11812165([1215186H 16=?××+××=?+××=n n n ， min /r 293.295]316)118

6121

5(200[1215186])11812165([1215186H 16=?××+××=?+××=

n n n 。 题11－20图 图所示的轮系中，已知z 1＝z 3＝17，z 2＝z 4＝39，z 5＝18，z 7＝152，n 1＝1450 r/min ，n H ＝

316 r/min 当制动器B 制动、A 放松时，转鼓H 转动，试求n H 。

解： 17

3917393412H 4H 1H

14=

=??=z z z z n n n n i ， 题11－20图

1815206

756H H 5H 7H 5H

57

?=?=??=??=z z z z n n n n n n n i ， H H 4H 518

152

n n n n n =?=?，n 4＝n 5，

H 2H 4H 118152

)1739()(17391739n n n n n =?=?，

H 21]18

152

)1739(1[n n +=，

min /r 91.31]18

152)1739(1[14501

2H =+=?n 。

题11－21图 在图所示的轮系中，已知z 1＝z 2'＝z 3'＝z 6'＝20，z 2＝z 4＝z 6＝z 7＝40，n 1＝980 r/min ，试求

z 3＝，z 5＝，n 3与n 5。

解：12232

222z m

z m z m z m ++=′，，

802040201223=++=++=′z z z z 3452

2′+=z m

mz z m ，。 100204022345=+×=+=′z z z 820802040231253515

13?=?

=?=??=′z z z z n n n n i ，520

10045345335?=?=?==′z z z z n n i )(85351n n n n ??=?，，。

555149)15(8n n n n =+???=min /r 2049/98049/15===n n )5/(85/3331n n n n +?=+，，，。 331)15(85n n n +?=+31495n n ?=min /r 10049/980549/513=×?=?=n n 题11－22图 在图所示的轮系中，已知z 1＝30，z 2＝85，z 3＝32，z 4＝21，z 5＝38，z 6＝97，z 7＝147，m ＝10 mm ，n 1＝1000 r/min ，试求V A 。

题11－22图

O O 1

23解： (1) 32147

03

7663H 7H 3H 37==??=

??=

z z n n n n n n n i ，关于轴线O 1O 1； (2) 30851

26261H 2H 1H

12?=?=??=??=

z z

n n n n n n n n i ，关于轴线O 1O 1；

17

(3) 21975

6453632h 6h 4h 46?=?=??=??=z z z z n n n n n n n n i ，关于轴线O 4O 4； (4) 21384

53532h 5h 4h 45?=?=??=??=z z n n n n n n n n i ，关于轴线O 4O 4； n H ＝n 6，n 2＝n 4，n h ＝n 3。n 7＝0。 由式(1)得66332147n n n ?=?， 66332

115)321471(n n n ?=?=； 由式(2)得)(30856261n n n n ??=?，)(85

306162n n n n ??=?，61661285115853085308530n n n n n n +?=++?=； 由式(3)得)(21973632n n n n ??=?，666362672

16674321152111821973232)21971(2197n n n n n n ?=??=++?=， 又n 2的两个关系得661267216674851158530n n n n =+?

=，168530)8511567216674(n n ?=?， min /r 044.1501504466.0)8511567216674/(8530116?=?=??

=n n n 。 min /r 0666.54)044.15(321153211563=?×?=?

=n n ， min /r 279.373)044.15(672

166746721667462=??=?=n n ， 由式(4)得)(38213235n n n n ??

=?，3325)(3821n n n n +??=，325)13821(3821n n n ++?=， min /r 340.1220666.5438

59279.373382138593821325?=×+×?=+?=n n n ，关于轴线O 2O 2； s /mm 5.2465)]8530(5044.15)3821(5)044.150666.54(200)0666.5434.122[(60π2]22)()[(60π22

/)(2/)()()(21654635352165463535Amax ?=+×?+×++×??=+++?+?=+++?+?=　　　　

z z m n z z m n n r n n z z m z z m r V ωωωωω

题11－25图 在图示为行星轮系，z 1＝14，z 2＝14，z 3＝40，z 4＝42，m ＝2，求i 14＝，齿轮1、2、4为标准齿轮，轮3的变位系数x 3，各个齿轮的节圆大小，行星轮的个数，轮2有几个节圆。

解：(1) 144002

312H H 1H 3H 1H 13?=?=??=??=z z z z i ωωωωωωω， H 3 2

1 4(2) 14422412H 4H 1H 14?=?=??=z z z z i ωωωω， 由式(1)得H H 11440ωωω=?，H 114

401(ωω+=，1H 5414ωω=， 由式(2)得)(1442H 4H 1ωωωω??=?， 题11－25图

H 4H 4114

561442)14421(1442ωωωωω+?=++?=， 将ωH 代入得14H 4154141456144214561442ωωωωω+?=+?

= 18

化简得41114425456ωωω?=?，411442542ωω=，812

5414424114===ωωi 。 标准齿轮1、2、3、4的中心距a 12、a 24、a 23分别为

mm 282/)1414(22/)(2112=+=+=z z m a ，，

mm 282/)1442(22/)(2424=?=?=z z m a mm 262/)1440(22/)(2323=?=?=z z m a ，mm 282423

==′a a 。 αα′′=cos cos 2323a a ，，。 28/20cos 26/cos cos 23

23o =′=′a a ααo 24112.29=′α内啮合无侧隙啮合方程为，x αααinv )/()(tan 2inv 2323+??=′z z x x 2＝0，

)tan 2/())(inv (inv 233αααz z x ??′=，

齿轮3的变位系数

)tan 2/())](inv ()(tan [233αααααz z x ???′?′=23457.1)20tan 2/()1440)](180/π2020(tan )180/π24112.2924112.29[(tan =?×??×?=o o o o o 。 mm 077.4324112.29cos /20cos 40)cos /(cos 2/cos /cos 333==′=′=′ααααmz r r ，，

mm 402/33==mz r mm 422/444==′=mz r r ，，， mm 142/224

24==′=mz r r mm 142/223==mz r mm 077.1524112.29cos /20cos 14)cos /(cos 2/cos /cos 2223

==′=′=′ααααmz r r ， mm 28077.15077.432323

3=?=′=′?′a r r 。 齿轮1、2、4均匀安装k 个行星轮的条件，

k k k z z N /56/)4214(/)(41124=+=+=齿轮1、2、3均匀安装k 个行星轮的条件，

k k k z z N /54/)4014(/)(31123=+=+=56/2＝28，56/4＝14；54/2＝27，54/4＝13.5，k ＝2。

题11－26图 图示为平动行星轮系，求自由度F 与i 14＝。；O 141525323H L =×?×?×=??=P P n F 1此时的作用为高副，即只限制垂直方向的位移，水平方向的位移被左右的高副已经约束。

题11－26图 内啮合平动行星轮系

122112z z i ==ωω，，2/2/)(55542B A 54P m z m z z V V V ωω=?===54552z z z ?=ωω，54512522115z z z z z i ??==ωωωω。 内齿轮4上任意一点的速度V 4＝ω4r 4(相对于O 4)＋ω2r O 2A (O 4相对于O 5)＝0＋m (z 4－z 5)/2。

§12－2槽轮机构

槽轮机构如图12－11(a)所示，图中构件1为带有锁止弧的主动杆，构件2为槽轮，槽数z = 4，构件3为机架。当主动杆1作转动时，槽轮2作单向间歇运动。槽数z = 4的槽轮机构的运动规律如图12－11(b)所示，图中ω2 = d ψ/d t 、α2 = d 2ψ/d t 2，由12－11(b)可见，在槽轮运动的起点与终止点，槽轮2的加速度α2、加速度的一、二次变化率d α2/d t 、d 2α2/d t 2均较大。

在槽轮机构中，若主动销只有一个，主动销转一圈的时间为T ，槽轮运动的时间为t d ，则称t d 与T 之比为槽轮机构的运动系数，并以k 表示，即k = t d /T 。

当主动销作匀速运转时，T 对应2π，t d 对应2φ0，2φ0 = π－2ψB = π2π/z ，为此，槽轮机构的运动系数k 与槽数z 的关系为k = 2φ－0/(2π) = (π2π/z )/(2π) = 0.5－1/z 。

－ 19

由于k 应大于零，所以z 应大于等于3。k 总小于0.5。

22334t 4

ω1

R 1

R 2φ0

0 O 1

δ

φ

1

图12－11 槽轮机构

当有n 个均匀分布的主动销时，槽轮机构的运动系数k n = nk ，由于k n ≤1，所以n ≤2z /(z －2)。 槽轮机构的位置方程及其解δ、S 3分别为

图12－11(c) 槽轮机构运动分析

)1641(?　　

sin sin cos cos 3131?

??

==+　　　　　　　　　　δ?δ?S r S L r )]cos /(sin [2arctan 11+=　　　L r r ??δ )1651(?

)1661(?　　　　　　　　)cos ()sin (21213++=L r r S ??)sin(d /d 1332L ?==　　　　　　　　　

?δ?r S V /)cos(d /d 31L3?==S r ?δ?δω

对式(1－165)、式(1－166)求关于φ的一阶导数，得类速度

V L23、类角速度ωL3分别为

)1671(? 　　　　　　　　)1681(?

对式(1－167)、式(1－168)求关于φ的一阶导数，得类加速度a L23、类角加速度αL3分别为

)1691()cos(d d (

d d 132

2

3232L ???==

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?δ?

δ?r S S a )1701(/]d d d d 2)sin([d d 331223L ???=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝S S r ?δ??δ?

δ

α

对式(1－169)、式(1－170)求关于φ的一阶导数，得类加速度的一次变化率q L23、类角加速度的一次

变化率j L3分别为

)1711()d d 1)(sin(d d )d d (d d d d 2d d 1323

223333

2L ????+==　　　　　　　　　　　　?δ?δ??δ?δ?δ?

r S S S q )1721(/]d d d d 3d d d d 2)1d d )(cos([d d 32232321333

L ?????==　　　　　　　　　　　　S S S r j ?δ??

δ??δ

?δ?δ

对式(1－171)、式(1－172)求关于φ的一阶导数，得类加速度的二次变化率q ′L23、类角加速度的二次

变化率j ′L3分别为

+++==′??δ?δ?δ?δ?

δ?d d d d d d 4

d d d d 2)d d (2d d 3

22333322243432L

S S S S q )1731(d d )sin()d d 1)(cos(d d )d d (221212322??+??+　　　　　　　　　?

δ

?δ?δ?δ??δr r S

20

??+???==′2

211443L d d )cos()1d d )(sin([d d ?δ?δ?δ?δ?δr r j

)1741(/d d d d 4d d d d 5d d d d 233332

2232333???　　　　　　　　　　　　　　S S S S ?

δ

??δ??δ? §12－9万向联轴节

单万向联轴节如图12－43所示，其对应的机构运动分析简图如图12－44(a)所示，设输出轴在xOy 平面里，设[，[分别表示绕x 轴转动φ],1x R ?+,z R α?,1x R ?+]1角、绕z 轴转动–α角的坐标变换，[，分别为

]][,z R α?图12－43 单万向联轴节

1

32

4

(a) 机构运动分析简图 (b) 单万向联轴节传动比特征

0.8

1.01.21.4α=10° α=10°

α=30°

φ1

02π

π

i 31

图12－44 单万向联轴节与传动比特征

)111(cos sin 0sin cos 00

01

][1111

,1?????

?

??????=　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　?????x R )211(1000)cos()sin(0)sin()cos(][,?????

?

??????????=?　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　αααααz R 输入轴上单位矢量u 绕x 轴转动φ1角后的位置矢量为

)311(sin cos 0010cos sin 0sin cos 0001

010][111111,1???????????=?????????????????????=??????????=　　　　　　　　　　　　　　　　　???????x R u 输出轴上单位矢量v 绕p 轴转动φ3角后的位置矢量为

[]T

,,,100]][][[3z x z R R R r α?α+?=

)411(cos sin cos sin sin 10010

00cos sin 0sin cos cos sin 0sin cos 00

01

1000)cos()sin(0)sin()cos(3333333?????

?

???????=????

?????????????

???????????

???????????????????=　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　??α?αα

ααα

????αααα

由u ·r ＝(0i ＋cos φ1 j ＋sin φ1k )·(－sin αsin φ3i －cos αsin φ3 j ＋cos φ3k )＝0得－cos φ1cos αsin φ3＋sin φ1cos φ3＝0，于是得位移方程为

)511(cos /tan tan 13?=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　α??

对式（11－5）求关于时间t 的1阶导数，令d φ3/d t ＝ω3、d φ1/d t ＝ω1，得速度方程与传动比i 31分别为

21

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o6wq.html