中科大量子力学 微扰理论

Chatpe r. 5ertuPbrtainoTheory Caphte 5r微

扰理

论

ePrtrbatiuon heTory

1引 言

Capterh5. Pert ubatroi nTeohry前面讨了量子论力学基本理论的，并应薛定 用方格程得了求些一简问单题的。解:(如)一1维限深势阱问无； (2题)性谐线振问子题；( )势垒3贯问题穿 (;)4原子氢问。题 这些题都问出了问题给精的确析解解。在际微观实体中，由系于密顿哈符算复的杂性能， 求出定格方薛程精解确的问是题极少。例的一如氦个 子体原就难以系到得精解。因此确，在量子学中， 用力近似方法薛定格求方近似解就显得程尤重要为2。

C

aptehr 5 P.eturbariontThe ryo

近方似的出法发点:近方法似通常从简单问是的题精解确解(解) 出发，来求析复较问题杂的近似解(析)解 近似。法很多，方微扰法方和分变法是就其中 两种要的近重似方法。微扰方法又其哈视密顿算符是否与时间有关分 为定态扰微非和态定微两大扰。类3

授讲内容5.1非简并定 态微理论扰Cahpetr5. ePrtubrtiaon heToryNonde geenraet erptrbatuin otehor of ysattoinrye tatse5.2简 并况情的下扰理微论egeDnraete ertpurabion tteohr

y.53氢 原子的级斯一塔效应F克ist rrodreS arkt ffeetco fydhrgeo atonm5. 4变法分Vaiatrioanl eMthod5. 氦5原子态基roGnu Stdtaeto Hliemu tAmo5.6与 间时有的关微理扰P论etrubrtioan thoer yitwhti me

C4ahpetr5 . Perutbatroi nhTeroy

.6与5间有时关的微扰理论Petrubatiro tnehry oith twime

.57 迁几率跃rTasinitn orPoabblityi

56.与间有关的时扰微论理ertPrbauiontth eryow th iime

5t7 跃.几迁率Trnaiston Pribaoibilt

y5.8的发射光和吸收ight Lmiseson ain adsbrpoito

5.9选择n定则Selcetoin ulre

5

学要求习

C:apher t5 .ePrtubratoniTh oeyr1重.点握掌非并定态微简理论。要求掌扰非简并定握态微扰波 数一级修函和正能级一、级修二的计算。正2. 对简并于微扰论，的掌能握级零波数的函定确和一 能量修级的正计算 。3 了解定.态微论扰的适用围和条范件 ；4 .关与时间有于关的微扰要论求如下： a.了由解初 态i跃迁到 态 末 的f概率达式表 ，别特是常扰和周期性微微扰下表达的； 式b理.解由微扰矩阵 H 元f i 0可以确 定择选定则 c.理；能解与量时之间间不确的关定： E系 t~ h 。 .理d光解的射发吸与收爱的斯因坦系以数及原子内电 由 i子 态跃迁 f 到态辐的射强度均与阵元 r矩f i的模平成正比，由方可此确以偶定极迁跃中量子 角数和磁数量选的定则。 择5. 解了原氢子一斯级克塔效应及解释。其6

5. 非简并1态微扰理论定hCpater 5 .ertPruatibon hTery

一、基本方o程设 系体的哈密顿算符显含不时，间则定其薛态定格 程为 方H n En

(1n)

当 H

比较杂复方程(,1)求难时解，将H 写 ：成

其 H (0中) 基是部本分，它对应与的本值和本征征函数 以由下程方求出

H (0) H H

2)

(而 H 相对 很，小可为加视 在H( ) 0的上扰微。现的 在 和 n0 , 求相出的修应项正得到 任以务通是过H E 和 的近解似为此，引，入一个很的实小数 , 将并 H 表 示7为 ( 0) ()0 E(0) 0) H (nn n()3

5.1

简非定并微扰态理论(1续)

haCper 5t Perturb.taion heTryo应相,将地E n和 n 表实为数 参 的数级式形

: (H) 1 H(1 )n( ) 1n2

4()n EE E E E n 2 k n ()0n (0) n (2)n ( ) n k 2k( n )(k )(5) (6)

将以几式代入上()1得式 ： ( H (0) H (1 ))( ( )0 (1 ) 2 2)( )nn n (0 ) (1 )()2 E((0n En()) 1 2 E(n) 2 ) n( n 2 n )( 7)将式此展开，便得到一个两均边为 幂的级等 数，此等式式立的成件条两边是 次幂的同数应相 系，于等是到得一列程方：8

5. 非1简并定态扰微理论续(2)

Caphert 5. ePrutbraitn oTehor

y : 1 :( H 0)( En 0()) n 1)( ( H 1) ( En () 1 )n 0)(0 ( (H0) En(0 ) )n (0 )0

:2

( H ( )0 n(0) E ) (2)n ( H 1)( nE1() ) n( 1 ) E (n)2 n0)( 8 9 1 0

k ()0

:(H En 0( )) n( k ) ( H ( )1 E n()1) n( 1) k nE2) ( n( k 2) E n(k ) (0n)

(11)

这由方程可组以逐求得级各其级修项，正求即能 量和波函数的得似近解 . 的引 只入为是从了方程7()按数量 分出(级8、())、9(1 ) 1 等 程，方到达此 目的 后，便省去 可 。程方5)和(6)(便写成9

51.非简并定态微扰 论理(续)3

hCatpr e.5 PeturbartinoThe oyr(0)(1) ()2 nE En En En E (nk (0)) 1)( 2)( n n nn ( n k ) (12) 1(3)(14) H(1) H nE 、 n 一级为修，1正 1 nE2 、

2n 二级为正修En

k 、

kn k 为修级正二、一级修正 当 E0n非简并 时 0 属，E 于0 本征的函数只有一个，它 H 就 波是函数的级近似零 n0 。 ( 设 0 已n归化一。)10

n

5.1 简非定态微并扰论理续4)(

Cahtep 5r.Perturb taon Thiero

为y求En 0 1 ,以 左 (乘)9两式边，并对空积分间：n

()0*n

0( )() 00) ( E) 1( d) E (1) n(0)n* (0 )d ()0 H * n d H (n nn n 0 是厄算米，符E 0 是实 ，数 注有意 到Hn

1()5 0 n

0

n

H n d H n n d E 0 1

0 0

1

0 n

n 1 d

注再 n意的正交 归一，性(15)由得式(( ( En)1 n 0)*H n )0 d nHn( ( (( n )*0 ( H( ) 0 E( n) 0 n1) d) [(H ()0 E n 0)( ) n0) ]* 1)nd 0

0

在 ()态中的0均平。值 量的一能修级正 E 等值 H 于(n1 )11n

.5 1非并简定态扰微理论(5)续() n1( )1 n

hCapter5 . Pretruabitno Tehor

y( n1 ) 已知。E 后 由，(9式)可波求数函的一修正级 0) 的(本征数函系 (0l)展 将 开 H按

(1)

n a l 1 (1) l

(0 )l根据迭态原加理展，系开数a l1)可为(任意常，数 故 (可以取选 (1)a 0 ,使 得开展式不中含 n 0 项，即)使 n(1)( ) 0a 0 则上展开式，改可写为nn a () n l1 n 1)(l

(0 l)ro

(1)

lna ( ) 1 ()0 l

l(1)6入代9)式(得21

5.

1 非并简态微扰定理论(6续)haptCe r. Pe5rturbtiona hTeory

E l0()a (1 ) 0) (E ( )0l l ln l

a1( )() 0 E(1) ( ) 0 (H) 0 ll n n n()0*以 mm( n )乘，并左积，分并意注 l(0) 正的交归( 0*) 一性 m l0(d) m l得 到:

l

( El(( )0 En 0) (al()) 1lm m 0* ) H n( )0d (1) (718)

微扰矩令阵 元则:

( ( H m n m0)* H0 ) dn ( E E)a mHn( 0)n ()0m 1)(m

H mn a (0 )( )0E n Em (1)m (9)11

3.15非简并定 态扰微论(理续7

)haCpetr5 P.reutbarton Tiheryo

入代16)式(得，波函的数级一修正

(1)

n nm

Hm n ( m) 0(E n (0) Em0)(02)三、级高修(能量的正级修二正)(2 ) n a (2)l (0)l作展开：

2

将(21)1 入代(01),式得到可l

E ( 2 ) n( 0)* n (1)d H n 2m

m | H nm | ( 0)( 0 E)n E m mHn ( n(0)*H m ) d0 ( 0 ( 0) )E n Em1

4

.15非 并定态微简理论扰(续)

8Chptaer 5.P ertrbuaitnoTheory

是，能于的量级二似近 En E nH n (0) n m

| Hn |m(0 )0( )En Em

222)(波数的函一级似近

n (0 n)

m H mn ( )0 (0 )0) (mE nm l E(0)

(2l3)波数的函级二修正 将 1( )n a (1) ll

(0 l()2)

l

( 2) n a l

Hln l () 0n(0E ) lE0(

)24)((2)551

5.

1非简并 定微扰理论态续()9

hCapert5. Per urbttiao Thnoery

入(1代0),式可

得l

( 1) (2 )()0( )1 2)((0 )( ) (0) 00()a l(H E n ) l al H(

En ) l E n n 中其l nl用

(0*)

(m m n )乘上以，再积分式 l

=0 (2 0 ) 0) (0( (0) ) la (Hm E n )l d (1 ) 0 ( 1 )(2 (0)) 0 ( 0) al m ( E n )H l d E n m n dl( 0 *) (0)ml

利 用 d l 后，上式m写成可 2)( 0( ) 1( (0)) () 1 a l E(l E n )m l a l Hm l E nllm l 16

5.1 非并定态简扰理论微(1续)

0haptCe 5r. Peturbraito Theonry

a(E

a 2) (m() m2(0)m

E0)( n

) l (1 ) 1) (()1 la mH l m E an(1 (1) 1 a ) m ( E1n ()0 ) (0) l aHml ( 0 ) ( 0) En E m Elm E n

l E (n()0

H m l lHn nH Hnm n( )0( 0)( 0 ()) 0()0 E m)E n( E l) ( En E )2m

(2) n

(2 )0() am mm

m

l

Hml l Hn(0) 0()( E n()0 mE ( En) E(l) 0

) ( 0)m m

() 0 (m0 ()0) (n E E m2) H mnH n

5n.1非 并简态微定理论扰续1()1Chater p.5 erPutratibn oTeohyr

四、扰理微适论的条用件不能 别级数是否判收敛，不知因级的数一项,般要 故求项远后小于项前，

即 Hmn 1 () 0(0)E n mE

(E E ) ()0 (n 0 m

(2))

618

Cahtpe 5.rP eturbrtaino heTro

y x 2微扰( 的 实参为 x. 设E维谐振一受子 H 数，且到 1 ,用微)法求扰能的一量修正。级P2 1 2m x2 Slvoe :哈密量顿 H 2m 201 2 x22

征函数 本 ( x N)ne (0) nHn ( x )

m 递 关系 Hn 推1( ) 2 nH () nHn2 1( ) 0 2

Nn n 2n

!1 2

( )

x方一：用法微公式扰求解 ( : 能 量一级正 修n1)E于等微算扰H 符 在微无扰征 本(0)函 数n x 的中均值平19:

.1 非简5定并微扰态理(续论12)Chapte 5.r PretrubtaionTh eoryE

1( n)( ( n0 *) H 0)ndx 2

2 N n 22 22 2 Nn 2x e2 H xn ( x)xd 3 H ne ( )d n2N 1 1 () 1nE 3 e Hn ( ) Hn2 ( ) d ( ) n eH n ( ) nH ( ) d 4 22 21 1 2Hn () Hn 2 ( ) (n )H n () n( n ) 1 H n 2( )递由推系 4 关

2(n 1) en nH( ) H n 2 ( d ) 2

e 2

mH x H n x xd nm 正交2归一件条: m x n xd x NmN n e H m xH n x d x mn 025

.1 非并定简微态理扰(论1续)3

hapCte 5.rP ertrbautio Tnhoeyr

1 2 22 E (n ) 3 N e Hnn ( )d

2 1 1 n 2 n 2 2 m 1) n(1()

波n数函一级的正修： (x) m

Hnm ( m0 )( ) (x( E n)0 Em0)( ( 0)m* (x) x 2n ) 0 ()dx Hx mn

(m )

Nn mN ne

2x2

Hm (x) x n (H x) xd

212 2 3 N m N n H me ) (2H n( d )

5.1

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