函数极限理论的归纳与解题方法的总结

目 录

引 言 ········································································································· 1 一、基本概念与基本理论 ············································································ 2 (一)函数极限 ··························································································· 2 (二)重要极限 ··························································································· 9 (三)函数的上极限与下极限 ·································································· 10 (四)Stolz定理的推广定理 ···································································· 11 二、习题类型与其解题方法归纳 ······························································ 11 (一) 根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。 ················· 12 (二)根据定义与极限性质证题的方法 ·················································· 14 (三)求函数极限方法 ············································································· 15 (四)判断函数极限存在与不存在的方法 ·············································· 20 参考文献： ································································································· 24

函数极限理论的归纳与解题方法的总结

薛昌涛

(渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国)

摘要：宇宙中的任何事物都是不断运动变化、相互联系、相互制约的。“函数”的产生正是为了满足刻划这种关系的需要，函数极限理论可谓函数理论重中之重。极限定义24个，性质60个，习题更是千变万化，看上去似乎很繁杂，但经过深入浅出的分析就会很明了。本文旨在化繁为简、总结规律，启示方法。 关键词：函数、极限、方法

The Conclusion of Theory of Function Limit and Methods

Summary

（Department of math bohai university liaoning jinzhou 121000）

Xue Changtao

Abstract: Everything in the universe is always moving, varying, intergrating or restricting each other. Function emerged for the need of describing this relation. The thory of function limit plays a key role in function theory. There are Twenty – four definitions to limit, sixty qualties, and the exercises are ever changing. It seems complex very much, but it will be clear after delicate analysis. This text aim at changing complex to simple, suming up the regulars, enlightening the methods. Key words: Function Limit Method

引 言

“函数”一词是微积分的创始人之一莱布尼兹(Leibniz)最先使用的，并且把x的函数记为f(x),?(x)等，但是，直到19世纪初，人们还是把函数理解为“变量和常数组成的解析表达式”。直到1834年，狄里克莱(Dirichlet)指出，函数y与变量x的关系不但不必用统一的法则在全区间上给出，而且不必用解析式给出。至此，函数才被赋予了单值对应的意义。

1

在整个宇宙中，我们找不出不在运动变化的事物，但各个事物的变化，又绝非彼此孤立隔绝，而是相互联的，相互制约的。“函数”无论在理论研究还是现实的科学探索，都发挥着举足轻重的作用，而极限问题可谓函数问题之重点，所以搞清函数极限的相关问题是尤为重要的。

一、基本概念与基本理论

（一）函数极限

1．函数正常极限与非正常极限定义共4?6?24个，它们的形式是：

x?x0?x?x0?x?x0x??x???x???lim?A(A为有限数)

?????可见函数正常极数定义共6个，非正常极数定义共18个，比数列正常极限定义1个、非正常极限定义3个(两者总共4个)多了20个定义，而此24个定义是整部数学分析的基础。对它们的理解与记忆按下述程序进行：先理解与记忆4个基本定义，再推及其它而总观24个定义。

(1)四个基本定义

定义1 (??M定义) 设f是定义在[a,??)上的函数，A是一个确定的数，若???0，?M?0，当x?M时，有f(x)?A??，则称函数f当

x???时以A为极限，记作limf(x)?A，或f(x)?A(x???)，或

x???f(??)?A。

此时也称A为f在正无穷远处的极限。

注1 此??M定义，是数列极限limxn?a之??N定义的推广，只

n??需将??N定义中之n换为x，N换为M即可，这是由于，数列是以自然数集为定义域的函数，故n,N均为自然数集的成员，而函数f(x)的定义

2

域为实数集，因而改为R中之x，m来描述。

注2 定义1是在正无穷远点处函数的极限，现将正无穷远点改为有限点x0处，其函数极限即为下述定义2，即只要将正无穷远邻域的描述x?M改为x0的空心邻域的描述0?x?x0??即可，因变量刻划相同。

定义2 (双侧极限???定义)设函数f在点x0的某个空心邻域

U0(x0,??)内有定义，A是一个确定的数。若???0,???0,(????)，当0?x?x0??时，有f(x)?A??，则称f当x趋于x0时以A为极限，记

作limf(x)?A，或f(x)?A(x?x0)。

x?x0问题1 在limf(x)?A的定义中，为什么限定x?x0?0(即x?x0)？

x?x0如果把此条件去掉，写作“当x?x0??时，有f(x)?A??”是否可以？［3］

答：不可以，极限limf(x)?A的意义是：当自变量x趋于x0时，对

x?x0应的函数值f(x)无限接近常数A。f(x)在x0的情况，包括f(x)在x0是否有定义，有定义时，f(x0)等于什么都不影响x?x0时，f(x)的变化趋势，故应把x?x0这一点排除在外。如果把此条件去掉，把limf(x)?A的定义

x?x0写作“???0，???0，当x?x0??时，有f(x)?A??”，则当x?x0时，也有f(x)?A??，由?的任意性，要使此不等式成立，必定有f(x)?A，这个条件显然与x?x0时，f(x)的变化趋势是不相干的。

定义3 (单侧极限???定义)设函数f在?x0,x0????［或?x0???,x0?］内有定义，A是一个确定的数，若???0,???0(????)，使当

0?x?x0??(或0?x0?x??)时，有f(x)?A??，则称f在x趋于x0?(x0?)时以A为右(左)极限，记作limf(x)?A，或f(x0?0)?A(limf(x)?A或

x?x0?x?x0? 3

f(x0?0)?A)。

注3 定义3中右极限(左极限)，则x?x0?x?x0；f定义在x0的右侧，对于左极限，f定义在x0的左侧，则x?x0?x0?x，于是定义2是关键，只要考虑到“单侧”这一特点。

定义4 (无穷大量G??定义)函数f定义在x0的某个空心临域

U0(x0,??)内，若?G?0，使当0?x?x0??时，有f(x)?G，???0(????)，

则称f当x趋于x0时有非正常极限?，或称f当x趋于x0时为无穷大量(或发散到无穷大)，记作limf(x)??或f(x)??(x?x0)。

x?x0(2)由自变量变化趋势刻划六种与因变量变化趋势刻划四种搭配成正常极限与非正常极限共24个定义的方法。

自变量变化趋势及其刻划六种 ：

x?x0?x?x0?x?x0x??x???x???0?x?x0?????0?x?x0???(???0)?0?x0?x???? x?M??x?M?(?M?0)x??M??因变量变化趋势及其刻划四种：

f(x)?Af(x)??f(x)???f(x)???f(x)?A??(???0)f(x)?G? ?f(x)?G?(?G?0)f(x)??G??将自变量与因变量的变化趋势刻划互相搭配，而构成24种，每一种均按前述四个基本定义的标准叙述法叙述，即得24个定义。

2、正常极限性质(共48个或60个)

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极限；有些三角函数在特殊点的左、右极限不一样。例如，tanx在x??2的左右极限不一样；有些反三角函数、指数函数也有类似情形，例如，

1arctan,ex在x?0处的左、右极限都不一样。

x1(三)函数的上极限与下极限

1、概念 设函数f在x0的某个空心临域U0(x0,?)内有定义，则定义

x?x0limf(x)?lim?sup?f(x)??M，limf(x)?lim?inf?f(x)??m

??0x?U0(x0,?)x?x0??0x?U0(x0,?)其中M,m为有限数或??或??，特别当f在U0(x0,?)内有界时，［1］ M,m均为有限数。

2、性质 (1)上极限性质

设limf(x)?M,M为有限数，则(I)???0,???0,当0?x?x0??时，

x?x0有f(x)?M??；(II)???0，在x0的每一个空心临域内，必有x?，使得

f(x?)?M??

(2)下极限性质

设limf(x)?m,m为有限数，则(I)???0,???0，使当0?x?x0??时，

x?x0有f(x)?m??；(II)???0，在x0的每一空心临域内，必有x?，使得

f(x?)?m??。

3、函数上(下)极限与函数值数列上(下)极限的关系。

?xn?为此邻域内的任意定理 设函数f在x0的某空心临域内有定义，

点列，xn?x0(n??)，则对应于一切这种点列?xn?，limf(xn)??所成数

n??集???必有最大值(包括??或??)，limf(xn)??所成数集???必有最小值

n?? 10

(包括??或??)，f在x0的上(下)极限即为这最大(小)值。

4、上(下)极限与极限的关系。

x?x0limf(x)?l?limf(x)?limf(x)?l，l为有限数或??或??。

x?x0x?x0(四)Stolz定理的推广定理

定理 设(i)函数f，g定义于[a,??)，且均在[a,??)的任意子区间有界。

(ii)对一切x?[a,??),g(x?T)?g(x)，其中T为一正常数， (iii)limg(x)???，

x???(iv)limx???f(x?T)?f(x)f(x)?l(有限数或??或??)，则lim?l。［5］

x???g(x?T)?g(x)g(x)可见，(ii)、(iii)两条是stolz第二定理之“bn???”的推广，(iv)是“liman?an?1?l”之推广。

n??b?bnn?1而此stolz定理的推广定理与罗比达法则不同点是：后者为

lim?型及?x??f?(x)存在，而在这里，f只要定义于[a,??)，且在[a,??)上的任意子g?(x)f(x?T)?f(x)?l即可。

g(x?T)?g(x)区间上有界，g(x)???(x???)，及limx???二、习题类型与其解题方法归纳

关于函数极限的习题类型大致有：

(一)根据定义证明函数正常极限与非正常极限。 (二)根据极限定义与极限性质证题。 (三)求函数极限。

(四)判断函数极限存在与不存在。

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此外，还有诸如无穷小(无穷大)的阶的比较等，本文将不涉及。 关于上述四种类型习题的解题方法在下文给出。 (一) 根据定义证明函数正常极限与非正常极限的方法。

这里是指根据24个定义证明函数的正常极限与非正常极限的方法，属根据定义证题术——扣住定义而证，解题思路均是：???0(或?G?0)，找??0(或M?0)，使当满足自变量的变化趋势刻划时，有因变量变化趋势之刻划，解题关键是找?或M，找法如下。

1、当f以具体形式给出时，扣住 因变量变化趋势之刻划

f(x)?Gf(x)?Gf(x)f(x)f(x)?A??,?f(x)?G，分析并对f(x)?A,?f(x)进行恒等变形或加强不

等式，使之变成f(x)?A?y(x)，

f(x)?z(x)?f(x)?z?x?，其中y为正无穷小量，z为正无穷大量，令y(x)??，f(x)?z?x?0?x?x0??,x?M或z(x)?G；再扣住 自变量变化趋势之刻划。0?x?x0??,?x?M对不

0?x0?x??,x?Mx?x0??(?)等式g(x)??或不等式z(x)?G，关于x?x0解之，解得x?x0??(?)，取

x0?x??(?)xx??(G)???(?)或关于?x，解之，解得?x??(G)，取M??(G)。

xx??(G)2．抽象论证找?或找M法

f(x)当f是以抽象形式给出时，与1类似，对f(x)?A,?f(x)进行恒等变

f(x)

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f(x)?z(x)形或加强不等式，使之变成f(x)?A?y(x)，?f(x)?z(x)，其中y为已知

f(x)?z(x)正无穷小量，z为已知正无穷大量，利用此y或z确定抽象的?或M。确定?或M的具体方法与技巧是：(I)根据已知极限或无穷大量确定?或M。(II)根据已知极限的性质或无穷大量确定?或M。(III)三角不等式及其它。

可见，与数列的此部分方法完全类似，只是比之更复杂些，下面举一些例子。

例1、设f在任一有限区间上Riemann可积，且limf(x)?A，证明

x???1xlimf(t)dt?A，(上海交大1987)。 x???x?0?x分析 要证：???0,?M?0，当x?M时，有I??f(t)dt?A??，

x01x1x1x1x而I??f(t)dt??Adt??(f(t)?A)dt??f(t)?Adt；由f(x)?A不

x0x0x0x0难联想到已知limf(t)?A，于是??1?0,?M0?0当t?M0时，有

t???f(t)?A??1，而，由于I1?0(x???)，则??2?0,?M1?M0，当x?M1时，

1x?有I1??2；又由于I1???1dt??1，再考虑要证I??，则取?1??2?及

2x0取M?M1。

证明：???0，因limf(t)?A，则?M0?0，当t?M0时，有

t???f(t)?A??2。

M0因f 任一有限区间上Riemann可积，则

?0f(t)?Adt为定数，于是

1limx???x

M0?0f(t)?Adt?0，因而?M?M0，当x?M时有

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1I1?xI1?M0?0xf(t)?Adt??2,x11??x?M0?f(t)?Adt?dt?????xM0xM022x2

由此有：当x?M时，

1x1x1xf(t)dt?A??f(t)dt??Adt?x0x0x01x1x??(f(t)?A)dt??f(t)?Adt x0x0?I1?I2??2??2??1x即lim?f(t)dt?A x???x0——抽象法证找M法(利用已知极限分段处理)。 (二)根据定义与极限性质证题的方法

这里是指根据24个定义和48个性质等证题，其方法为：遇到正常极限与非正常极限符号，就用???,G??等语言表达出来；深入分析题目，联想相关性质；再将之有机结合起来而找到证题方法。

例2 设f在?0,???内满足f(x)?f(x2)，且有

x?0?limf(x)?limf(x)?f(1)。

x???证明：f(x)?f(1),0?x???。

分析 证明恒等问题，首选反证法，如何找矛盾？扣住已恬

f(x)?f(x2)，不难得到：当x?1是，x2???(n???)，当0?x?1时，x2?0(n??)而找矛盾。

nn证明 反正法

假设f(x)?f(1)，则至少存在一点x0?0,???，使f(x0)?f(1)，则

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