小学数学奥数方法讲义40讲（一）

第一讲 观察法

广安岳池 姚文国

在解答数学题时，第一步是观察。观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。

观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。

观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。

*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学

第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。

解：现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。从横中行10+6+□=18会想到，18-10-6=2，在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）。

从竖右列7+2+□=18（图1-2）会想到，18-7-2=9，在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）。

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从正方形对角线上的9+6+□=18（图1-3）会想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）。

从正方形对角线上的7+6+□=18（图1-3）会想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。

从横上行3+□+7=18（图1-4）会想到，18-3-7=8，在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）。

又从横下行5+□+9=18（图1-4）会想到，18-5-9=4，在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）。

图1-5是填完数字后的幻方。

例2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。（适于二年级程度）

6、16、26、____、____、____、____。 9、18、27、____、____、____、____。 80、73、66、____、____、____、____。

解：观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一个数都比它前面的那个数大10。 观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。

观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一个数都比它前面的那个数小7。

这样可得到本题的答案是： 6、16、26、36、46、56、66。 9、18、27、36、45、54、63。

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80、73、66、59、52、45、38。

例3 将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。（适于三年级程度）

解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数1。再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。 所以，在左下角的那个方框中应填9，在它右邻的方框中应填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。

图1-7是填完数字的图形。

例4 从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？（适于三年级程度） 解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。”

我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么情况？

（1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图1-8）。 （2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图1-9）。 （3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，

剩下五个角（图1-10）。

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例5 甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少？（适于三年级程度）

解：首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。 甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。在阿拉伯数字中，只有0、1、6、8、9这五个数字正看、倒看都表示数。 这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。

如果这个数是666，当其中一个人看到的是666时，另一个人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以这个数是666，也可以是999。 *例6 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少？（适于三年级程度）

解：这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但因数字大，计算起来容易出错。

如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是1966，第二个数比它大10，第三个数比它大20，第四个数比它大30，第五个数比它大40。因此，这道题可以用下面的方法计算：

1966+1976+1986+1996+2006 =1966×5+10×（1+2+3+4） =9830+100 =9930

这五个数还有另一个特点：中间的数是1986，第一个数1966比中间的数1986小20，最后一个数2006比中间的数1986大20，1966和2006这两个数的平均数是1986。1976和1996的平均数也是1986。这样，中间的数1986是这五个数的平均数。所以，这道题还可以用下面的方法计算：

1966+1976+1986+1996+2006 =1986×5 =9930

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例7 你能从400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到启发，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得数吗？（适于四年级程度）

解：我们仔细观察一下算式：

400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16

不难看出，原来的被除数和除数都乘以4，目的是将除数变成1后面带有0的整百数。这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数（零除外），商不变”。

进行这种变化的好处就是当除数变成了1后面带有0的整百数以后，就可以很快求出商。按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。

（1）600÷25 （2）900÷25

=（600×4）÷（25×4） =（900×4）÷（25×4） =600×4÷100 =900×4÷100 =24 =36

（3）1400÷25 （4）1800÷25 =（1400×4）÷（25×4） =（1800×4）÷（25×4） =1400×4÷100 =1800×4÷100 =56 =72 （5）7250÷25

=（7250×4）÷（25×4） =29000÷100 =290

*例8 把1～1000的数字如图1-11那样排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87。如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是837，这六个数都是多少？（适于五年级程度） 解：（1）观察框内的六个数可知：第二个数比第一个数大1，第三个数比第一个数大2，第四个数比第一个数大7，第五个数比第一个数大8，第六个数比第一个数大9。

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假定不知道这几个数，而知道上面观察的结果，以及框内六个数的和是87，要求出这几个数，就要先求出六个数中的第一个数：

（87-1-2-7-8-9）÷6 ＝60÷6 =10

求出第一个数是10，往下的各数也就不难求了。

因为用同样的方法框出的六个数之和是837，这六个数之中后面的五个数也一定分别比第一个数大1、2、7、8、9，所以，这六个数中的第一个数是：

（837-1-2-7-8-9）÷6 ＝810÷6 =135

第二个数是：135+1=136 第三个数是：135+2=137 第四个数是：135+7=142 第五个数是：135+8=143 第六个数是：135+9=144 答略。

（2）观察框内的六个数可知：①上、下两数之差都是7；②方框中间坚行的11和18，分别是上横行与下横行三个数的中间数。

11=（10+11+12）÷3 18=（17+18+19）÷3

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所以上横行与下横行两个中间数的和是：

87÷3＝29

由此可得，和是837的六个数中，横向排列的上、下两行两个中间数的和是：

837÷3＝279

因为上、下两个数之差是7，所以假定上面的数是x，则下面的数是x+7。 x+（x+7）=279 2x+7=279 2x=279-7 =272 x=272÷2 =136 x+7=136+7 =143

因为上一横行中间的数是136，所以，第一个数是：136-1=135 第三个数是：135+2=137

因为下一横行中间的数是143，所以， 第四个数是：143-1=142 第六个数是：142+2=144 答略。

*例9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？（适于五年级程度）

解：（1）锯去一个顶点（图1-12），因为正方体原来有8个顶点，锯去一个顶点后，增加了三个顶点，所以，

8-1+3=10

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即锯去一个顶点后还有10个顶点。

（2）如果锯开的截面通过长方体的一个顶点，则剩下的顶点是8-1+2=9（个）（图1-13）。

（3）如果锯开的截面通过长方体的两个顶点，则剩下的顶点是8-1+1=8（个）（图1-14）。

（4）如果锯开的截面通过长方体的三个顶点，则剩下的顶点是8-1=7（个）（图1-15）。

例10 将高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体（图1-16），求这个物体的表面积S。（适于六年级程度）

解：我们知道，底面半径为γ，高为h的圆柱体的表面积是2πγ+2πγh。

2

本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积，再把三个圆柱的表面积加在一起，然后减去重叠部分的面积，才能得到这个物体的表面积，这种计算方法很麻烦。这是以一般的观察方法去解题。

如果我们改变观察的方法，从这个物体的正上方向下俯视这个物体，会看到这个物体上面的面积就像图1-17那样。这三个圆的面积，就是底面半径是1.5米的那个圆柱的底面积。所以，这个物体的表面积，就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。

（2π×1.5+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1）

2

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=（4.5π+3π）+2π+π =7.5π+3π =10.5π =10.5×3.14 =32.97（平方米） 答略。

*例11 如图1-18所示，某铸件的横截面是扇形，半径是15厘米，圆心角是72°，铸件长20厘米。求它的表面积和体积。（适于六年级程度）

解：遇到这样的题目，不但要注意计算的技巧，还要注意观察的全面性，不可漏掉某一侧面。图1-18表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉，因而在解题时要仔细。

求表面积的方法1：

＝3.14×45×2+600+120×3.14 =3.14×90+3.14×120+600 =3.14×（90+120）+600 =659.4+600

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=1259.4（平方厘米） 求表面积的方法2：

=3.14×210+600 =659.4+600

=1259.4（平方厘米） 铸件的体积：

=3.14×225×4 =3.14×900 =2826（立方厘米） 答略。

第二讲 尝试法

解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过尝试，探索规律，从而获得解题方法，叫做尝试法。尝试法也叫“尝试探索法”。

一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜想，都要目的明确，尽可能恰当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，从而减少尝试的次数，提高解题的效率。

- 10 -

112÷14=8（天）

因为王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，两人合起来共剪了8天，并且李平剪的天数多，所以假定李平剪了5天。则：

12×5+20×（8-5）=120（只）

120＞112，李平不是剪了5天，而是剪的天数多于5天。 假定李平剪了6天，则：

12×6+20×（8-6）=112（只）

所以按李平剪6天计算，正满足题中条件。 答：李平剪了6天。

*例8 一名学生读一本书，用一天读80页的速度，需要5天读完，用一天读90页的速度，需要4天读完。现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数相等，每天应该读多少页？（适于五年级程度）

解：解这道题的关键是要求出一本书的总页数。因为每天读的页数乘以读的天数等于一本书的总页数，又因为每天读的页数与读完此书的天数相等，所以知道了总页数就可以解题了。

根据“用一天读80页的速度，需要5天读完”，是否能够认为总页数就是 80×5=400（页）呢？不能。

因为5天不一定每天都读80页，所以只能理解为：每天读80页，读了4天还有余下的，留到第五天才读完。这也就是说，这本书超过了80×4=320（页），最多不会超过：

90×4=360（页）

根据以上分析，可知这本书的页数在321～360页之间。知道总页数在这个范围之内，往下就不难想到什么数自身相乘，积在321～360之间。

因为17×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321～360之间，所以只有每天读18页才符合题意，18天看完，全书324页。

答：每天应该读18页。

*例9 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。这个数有许多约数是两位数。这些两位数的约数中，最大的是几？（适于六年级程度）

解：两位数按从大到小的顺序排列为：

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99、98、97、96??11、10

以上两位数分解后，它的质因数只能是2、3、5、7，并且在它的质因数分解中2的个数不超过5，3的个数不超过3，5的个数不超过2，7的个数不超过1。

经尝试，99不符合要求，因为它有质因数11；98的分解式中有两个7，也不符合要求；质数97当然更不会符合要求。而，

96=2×2×2×2×2×3

所以在这些两位数的约数中，最大的是96。 答略。

*例10 从一个油罐里要称出6千克油来，但现在只有两个桶，一个能容4千克，另一个能容9千克。求怎样才能称出这6千克油？（适于六年级程度）

解：这道题单靠计算不行，我们尝试一些做法，看能不能把问题解决。 已知大桶可装9千克油，要称出6千克油，先把能容9千克油的桶倒满，再设法倒出9千克油中的3千克，为达到这一目的，我们应使小桶中正好有1千克油。

怎样才能使小桶里装1千克油呢？ （1）把能容9千克油的大桶倒满油。

（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。

（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。

（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒满小桶，则大桶里剩下1千克油。 （5）把小桶中现存的4千克油倒回油罐。此时油罐外，只有大桶里有1千克油。

（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。 （7）往大桶倒满油。

（8）从大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒满。 （9）大桶里剩下6千克油。

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第三讲 列举法

解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。

用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。

例1 一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？（适于三年级程度）

解：把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。

个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。 十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。

10+10=20（个）

答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。

*例2 从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。从A市经过B市到C市有几种走法？（适于三年级程度）

解：作图3-1，然后把每一种走法一一列举出来。

第一种走法：A ① B ④ C 第二种走法：A ① B ⑤ C 第三种走法：A ② B ④ C 第四种走法：A ② B ⑤ C 第五种走法：A ③ B ④ C 第六种走法：A ③ B ⑤ C

答：从A市经过B市到C市共有6种走法。*例3 9○13○7=100

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14○2○5=□

把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（适于四年级程度）

解：把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。

先看第一个式子：9○13○7=100

如果在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号，也不能同时填“+”、“-”号。

要是在等式的一个圆圈中填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入“+”和“×”号，就会凑出100了。

9+13×7=100

再看第二个式子：14○2○5=□

上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和“-”号了。如果在第一个圆圈内填上“÷”号， 14÷2得到整数，所以：

14÷2-5=2

即长方形中的数是2。

*例4 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？（适于四年级程度）

解：（1）数码一共有10个：0、1、2??8、9。0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。

（2）页码是两位数的从第10页到第99页。因为99-9=90，所以，页码是两位数的页有90页，用数码：

2×90=180（个）

（3）还剩下的数码：

1890-9-180=1701（个）

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（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900，而剩下的1701个数码除以3时，商不足600，即商小于900。所以页码最高是3位数，不必考虑是4位数了。往下要看1701个数码可以排多少页。

1701÷3=567（页）

（5）这本书的页数：

9+90+567=666（页）

答略。

*例5 用一根80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是5的倍数。哪一种方法围成的长方形面积最大？（适于四年级程度）

解：要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比较。因为长方形的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米。列表3-1：

表3-1

表3-1中，长、宽的数字都是5的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积最大，第四种围法围出的是正方形，所以第四种围法应舍去。

前三种围法的长方形面积 分别是：

35×5=175（平方厘米） 30×10=300（平方厘米） 25×15=375（平方厘米）

答：当长方形的长是25厘米，宽是15厘米时，长方形的面积最大。 例6 如图3-2，有三张卡片，每一张上写有一个数字1、2、3，从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的质数都写出来。（适于五年级程度）

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要求出会合点（在甲队的一侧）距离甲队开凿点的距离，实际就是求甲队开凿的米数。要求甲队开凿的米数，就要知道甲队（或乙队）每天开凿的米数（已知）和开凿的天数（分析法）。甲队每天开凿20米已知，开凿的天数不知道。 要求出开凿的天数，需要知道隧道的全长（已知）和两队每天共开凿多少米（分析法）。

已知甲队每天开凿20米，乙队每天比甲队多开凿5米，这样可以求出乙队每天开凿多少米，从而求出甲、乙两队一天共开凿多少米（综合法）。

分析到此，这道题的问题就得到解决了。

此题用分步列式的方法计算时，还得从上面分析过程的后面往前推理。 （1）乙队每天开凿多少米？

20+5=25（米）

（2）甲乙两队一天共开凿多少米？

20+25=45（米）

（3）甲乙两队共同开凿这个隧道用多少天？

2160÷45=48（天）

（4）甲队开凿了多少米？（会合点与甲队开凿点的距离）

20×48=960（米）

（5）甲队到中点的距离是多少米？

2160÷2=1080（米）

（6）会合点与中点间的距离是多少米？

1080-960=120（米）

综合算式：

2160÷2-20×[2160÷（20+20+5）]

=1080-20×48 =1080-960

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=120（米） 答略。

*例4某中队三个小队的少先队员采集树种。第一小队8名队员共采集11.6千克，第二小队6名队员比第一小队少采集2.8千克，第三小队10名

克？（适于五年级程度）

解：如果先用综合法分析，虽然已知数量间存在着一定的关系，但不容易选择出与所求数量有直接联系的数量关系。而用分析法分析，能立即找到与所求数量有直接联系的数量关系，找到解题所需要的数量后，再用综合法分析。 要求出三个小队平均每名队员采集多少千克，必需知道“三个小队共采集树种多少千克”和“全体队员的人数”（图6-6）。

要求“三个小队共采集多少千克”，必须知道一、二、三这三个小队各采集多少千克；要求“全体队员人数”必须知道各小队的人数（图6-6）。 三个小队的人数都已经知道，第一小队采集11.6千克也已知，只是第二、三小队各采集多少还不知道。

往下可用综合法得出二、三小队各采集多少千克（图6-6）。

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由“第一小队共采集11.6千克”和“第二小队比第一小队少采集2.8千克”，可求出第二小队采集多少千克；由“第二小队采集的重量”和“第

往下可由三个小队各采集多少千克之和，求出三个小队共采集多少千克；也可以由各小队的人数之和求出“全体队员的人数”。

到此本题就可以解出来了。 本题分步列式解答的方法是： （1）第二小队采集多少千克？

11.6-2.8=8.8（千克）

（2）第三小队采集多少千克？

（3）三个小队共采集多少千克？

11.6+8.8+13.2=33.6（千克）

（4）三个小队有多少队员？

8+6+10=24（人）

（5）平均每人采集多少千克？

33.6÷24=1.4（千克）

综合算式：

=33.6÷24 =1.4（千克）

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答略。

*例5甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行车15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇。这时快车开到甲城还需要多少小时？（适于六年级程度）

解：运用分析法和综合法，分析此题的思路是：

先用分析法来思考。要求出“快车开到甲城还需要多少小时”，必须知道两个条件（图6-7）：①相遇地点到甲城的距离；②快车每小时行多少千米。这两个条件题目中都没给出，应把它们分别作为中间问题。

接着思考，要求相遇地点到甲城的路程必须具备哪两个条件？要求快车每小时行多少千米必须具备哪两个条件？??如果思路不“卡壳”，就一直思考下去，直到解答出所求问题。如果思路“卡壳”了，就改用综合法思考。另画一个思路图（图6-8）。

图6-8中慢车已行的路程，就是快车从相遇点到甲城的路程。这段路程是：

快车已行的路程是：

210-90=120（千米）

快车每小时所行的路程是：

- 49 -

120÷2=60（千米）

到此，我们可以把慢车走过的路程除以快车的速度，得到快车开到甲城还需要的时间是：

90÷60=1.5（小时）

综合算式：

答略。

第七讲 归一法

先求出单位数量（如单价、工效、单位面积的产量等），再以单位数量为标准，计算出所求数量的解题方法叫做归一法。

归一法分为一次直进归一法、一次逆反归一法、二次直进归一法、二次逆反归一法。

用归一法一般是解答整数、小数应用题，但也可以解答分数应用题。有些应用题用其它方法解答比较麻烦，不易懂，用归一法解则简单，容易懂。

（一）一次直进归一法

通过一步运算求出单位数量之后，再求出若干个单位数量和的解题方法叫做一次直进归一法。

1.解整数、小数应用题

例1某零件加工小组，5天加工零件1500个。照这样计算，14天加工零件多少个？（适于三年级程度）

解：（1）一天加工零件多少个？

1500÷5=300（个）

（2）14天加工零件多少个？

300×14=4200（个）

综合算式：

- 50 -

解：任意抽一张，可得到三个一位数：1、2、3，其中2和3是质数； 任意抽两张排列，一共可得到六个不同的两位数：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是质数；

三张卡片可排列成六个不同的三位数，但每个三位数数码的和都是1+2+3=6，即它们都是3的倍数，所以都不是质数。

综上所说，所能得到的质数是2、3、13、23、31，共五个。

*例7 在一条笔直的公路上，每隔10千米建有一个粮站。一号粮站存有10吨粮食，2号粮站存有20吨粮食，3号粮站存有30吨粮食，4号粮站是空的，5号粮站存有40吨粮食。现在要把全部粮食集中放在一个粮站里，如果每吨1千米的运费是0.5元，那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少（图3-3）？（适于五年级程度）

解：看图3-3，可以断定粮食不能集中在1号和2号粮站。 下面将运到3号、4号、5号粮站时所用的运费一一列举，并比较。 （1）如果运到3号粮站，所用运费是：

0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10） =100+100+400 =600（元）

（2）如果运到4号粮站，所用运费是：

0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10 =150+200+150+200 =700（元）

（3）如果运到5号粮站，所用费用是：

- 21 -

0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10） =200+300+300 =800（元） 800＞700＞600

答：集中到第三号粮站所用运费最少。

*例8 小明有10个1分硬币，5个2分硬币，2个5分硬币。要拿出1角钱买1支铅笔，问可以有几种拿法？用算式表达出来。（适于五年级程度）

解：（1）只拿出一种硬币的方法： ①全拿1分的：

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）

②全拿2分的：

2+2+2+2+2=1（角）

③全拿5分的：

5+5=1（角）

只拿出一种硬币，有3种方法。 （2）只拿两种硬币的方法： ①拿8枚1分的，1枚2分的：

1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）

②拿6枚1分的，2枚2分的：

1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）

③拿4枚1分的，3枚2分的：

1+1+1+1+2+2+2=1（角）

④拿2枚1分的，4枚2分的：

1+1+2+2+2+2=1（角）

- 22 -

⑤拿5枚1分的，1枚5分的：

1+1+1+1+1+5=1（角）

只拿出两种硬币，有5种方法。 （3）拿三种硬币的方法：

①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：

1+1+1+2+5=1（角）

②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：

1+2+2+5=1（角）

拿出三种硬币，有2种方法。 共有：

3+5+2=10（种）

答：共有10种拿法。

*例9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘。问小强赛了几盘？（适于五年级程度）

解：作表3-2。 表3-2

甲已经赛了4盘，就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，在甲与乙、丙、丁、小强相交的那些格里都打上√；乙赛的盘数，就是除了与甲赛的那一盘，又与丙和小强各赛一盘，在乙与丙、小强相交的那两个格中都打上√；丙赛了两盘，就是丙与甲、乙各赛一盘，打上√；丁与甲赛的那一盘也打上√。

丁未与乙、丙、小强赛过，在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。

- 23 -

根据条件分析，填完表格以后，可明显地看出，小强与甲、乙各赛一盘，未与丙、丁赛，共赛2盘。

答：小强赛了2盘。

*例10 商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顾客要买9千克饼干，为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种发货方式？（适于五年级程度）

解：作表3-3列举发货方式。 表3-3

答：不开箱有7种发货方式。

*例11 运输队有30辆汽车，按1～30的编号顺序横排停在院子里。第一次陆续开走的全部是单号车，以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。到第几次时汽车全部开走？最后开走的是第几号车？（适于五年级程度）

解：按题意画出表3-4列举各次哪些车开走。 表3-4

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从表3-4中看得出，第三次开走后剩下的是第8号、16号、24号车。按题意，第四次8号、24号车开走。到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。

答：到第五次时汽车全部开走，最后开走的是第16号车。

*例12 在甲、乙两个仓库存放大米，甲仓存90袋，乙仓存50袋，甲仓每次运出12袋，乙仓每次运出4袋。运出几次后，两仓库剩下大米的袋数相等？（适于五年级程度）

解：根据题意列表3-5。 表3-5

从表3-5可以看出，原来甲乙两仓库所存大米相差40袋；第一次运走后，两仓剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次运走后，两仓剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次运走后，两仓剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次运走后，两仓剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次运走后，两仓剩下的大米袋数相等。

40-32=8 32-24=8 24-16=8 ??

从这里可以看出，每运走一次，两仓库剩下大米袋数的相差数就减少8袋。由此可以看出，两仓库原存大米袋数的差，除以每次运出的袋数差就得出运几次后两个仓库剩下大米的袋数相等。

（90-50）÷（12-4）=5（次）

答：运出5次后两个仓库剩下大米的袋数相等。

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例6 一个服装厂计划加工2480套服装，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套。提高工作效率后，还要加工多少天才能完成任务？（适于四年级程度）

解：根据每天加工100套，加工20天，可求出已经加工多少套（图4-6）。

100×20=2000（套）

根据计划加工2480套和加工了2000套，可求出还要加工多少套（图4-6）。

2480-2000=480（套）

根据原来每天加工100套，现在每天多加工20套，可求出现在每天加工多少套（图4-6）。

100+20=120（套）

根据还要加工480套，现在每天加工120套，可求出还要加工多少天（图4-6）。

48O÷120=4（天）

综合算式：

（2480-100×20）÷（100+20）

=480÷120 =4（天） 答略。

刚开始学习以综合法解应用题时，一定要画思路图，当对综合法的解题方法已经很熟悉时，就可以不再画思路图，而直接解答应用题了。

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解：此题先后出现了两个标准量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。

=49.5（千克） 答略。

解：此题先后出现两个标准量：“甲块地产高粱的重量”和“乙块地产高粱的重量”。

将题中已知条件的顺序变更一下：丙块地产高粱450千克，丙块地比乙

条件，可求出乙块地产高粱是：

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（这里乙块地的产量是标准量1）

（这里甲块地的产量是标准量1） 综合算式：

=546（千克） 答略。

第五讲 分析法

从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导，一直到问题得到解决的解题方法叫分析法。

用分析法解应用题时，如果解题所需要的两个条件，（或其中的一个条件）是未知的，就要分别求解找出这两个（或一个）条件，一直到所需要的条件都是已知的为止。

分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。

例1 玩具厂计划每天生产200件玩具，已经生产了6天，共生产1260件。问平均每天超过计划多少件？（适于三年级程度）

解：这道题是求平均每天超过计划多少件。要求平均每天超过计划多少件，必须具备两个条件（图5-1）：①实际每天生产多少件；②计划每天生产多少件。

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计划每天生产200件是已知条件。实际每天生产多少件，题中没有直接告诉，需要求出来。

要求实际每天生产多少件，必须具备两个条件（图5-1）：①一共生产了多少件；②已经生产了多少天。这两个条件都是已知的：①一共生产了1260件；②已经生产了6天。

分析到这里，问题就得到解决了。 此题分步列式计算就是： （1）实际每天生产多少件？

1260÷6=210（件）

（2）平均每天超过计划多少件？

210-200=10（件）

综合算式：

1260÷6-200

=210-200

=10（件）例2 四月上旬，甲车间制造了257个机器零件，乙车间制造的机器零件是甲车间的2倍。四月上旬两个车间共制造多少个机器零件？（适于三年级程度）

解：要求两个车间共制造多少个机器零件，必须具备两个条件（图5-2）：①甲车间制造多少个零件；②乙车间制造多少个零件。已知甲车间制造257个零件，乙车间制造多少个零件未知。

下面需要把“乙车间制造多少个零件”作为一个问题，并找出解答这个问题所需要的两个条件。

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这两个条件（图5-2）是：①甲车间制造多少个零件；②乙车间制造的零件是甲车间的几倍。这两个条件都是已知的：①甲车间制造257个，乙车间制造的零件数是甲车间的2倍。

分析到此，问题就得到解决了。

此题分步列式计算就是： （1）乙车间制造零件多少个？

257×2=514（个）

（2）两个车间共制造零件多少个？

257+514=771（个）

综合算式：

257+257×2

=257+514 =771（个） 答略。

例3 某车间要生产180个机器零件，已经工作了3天，平均每天生产20个。剩下的如果每天生产30个，还需要几天才能完成？（适于四年级程度） 解：要求还需要几天才能完成，必须具备两个条件（图5-3）：①还剩下多少个零件；②每天生产多少个零件。在这两个条件中，每天生产30个零件是已知条件，还剩多少个零件未知。

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