大学物理(一)答案

大学物理（一）练习册 参考解答

第1章 质点运动学

一、选择题

1(D)，2(D)，3(B)，4(D)，5(B)，6(D)，7(D)，8(E)，9(B)，10(B)， 二、填空题 (1).

12?2n?1??? (n = 0,1,… ), ?A?2sin?t

(2). 8 m，10 m. (3). 23 m/s. (4). 16Rt2 ?

(5). 4t3-3t2 (rad/s)，12t2-6t (m/s2). (6).

13ct，2ct，ct/R.

324

(7). 2.24 m/s2，104o

??(8). 50(?sin5ti?cos5tj)m/s，0，圆. (9). xmax?mv0/K (10).

1v?kt22?1v0

三、计算题

1. 有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t2 – 2 t3 (SI) ．试求：

(1) 第2秒内的平均速度；

(2) 第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程．

解：(1) v??x/?t??0.5 m/s

(2) v = d x/d t = 9t - 6t2, v(2) =-6 m/s. (3) S = |x(1.5)-x(1)| + |x(2)-x(1.5)| = 2.25 m.

2. 一质点沿半径为R的圆周运动．质点所经过的弧长与时间的关系为S?bt?12ct 其中

2b、c是大于零的常量，求从t?0开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间．

解： v?dS/dt?b?ct at?dv/dt?c an??b?ct?/R

2根据题意： at = an

1

即 c??b?ct?/R

2解得 t?Rc?bc

3. 一质点沿x轴运动，其加速度为a ? 4t (SI)，已知t ? 0时，质点位于x ??10 m处，初速度v??? 0．试求其位置和时间的关系式．

解： a?dv /dt?4t ， dv ?4t dt

?v0dv??t04tdt v = 2t

2

2

v?dx /d t?2t

?xx0dx??t02tdt

2 x?2 t3 /3+x0 (SI)

4. 一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为a??ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标. 假定振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式．

解： a?

dtdydtdy又 a??ky ∴ -ky?v dv / dy

?dvdvdy?vdv ??kydy??vdv , ?1212ky22?1212v22?C

已知 y?y0 ，v?v0 则 C?? v22v0?2ky0

2?v0?k(y0?y)

5. 一飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以60 km/h的速度由东向西刮来，如果飞机的航速（在静止空气中的速率）为 180 km/h，试问驾驶员应取什么航向？飞机相对于地面的速率为多少？试用矢量图说明．

解：设下标A指飞机，F指空气，E指地面，由题可知：

vFE =60 km/h 正西方向 vAF =180 km/h 方向未知

vAE 大小未知， 正北方向

???北由相对速度关系有： vAE?vAF?vFE

????vFEvAE、 vAF、vEE构成直角三角形，可得 ??vAE???vAF?1?2???vFE西?2?170 km/h

vAE??tg?vFE/vAE??19.4?

?v?v??vAF?v（飞机应取向北偏东19.4?的航向）．

2

四 研讨题

1. 在下列各图中质点M作曲线运动，指出哪些运动是不可能的？

参考解答：

(1)、(3)、(4)是不可能的．

(1) 曲线运动有法向加速度，加速度不可能为零；

?? a?0 v M M (1) v v (3) v ?? a ? a ?(2) M ? a ?M (3) 曲线运动法向加速度要指向曲率圆心； (4) 曲线运动法向加速度不可能为零.

2. 设质点的运动方程为x?x(t)，y?y(t)在计算质点的速度和加速度时： 第一种方法是，先求出r?x?y22(4)

，然后根据 v?drdt及 a?drdt22而求得结果；

第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v?(dxdt)?(2dydt)和 a?2(dxdt22)?(2dydt22)2.

你认为两种方法中哪种方法正确？

参考解答：

第二种方法是正确的。因为速度和加速度都是矢量，根据定义，

???drddx?v??(xi?yj)?dtdtdt?dvddx?dy??a??(i?j)?dtdtdtdt(dxdt)?(2?dy?i?j

dt22dx?dy?i?j 22dtdt所以 v?dydt2)， a?(dxdt22)?(2dydt22).

2第一种方法是错误的，问题的关键在于位移、速度、加速度的矢量性

??0d?drdr0dr0?)???r?0为r方向的单位矢量）v??(r?r （r， rdtdtdtdt?220?0?dr0drdrdr?dv??2a??r??r. 22dtdtdtdtdt问题的关键：

?dr0dt??

在第二种方法中，

?didt?0,如果在第一种方法的讨论中，

?0drdt?0,那么

??0ddr0?drdr0drdr0?)??,则v???r?(r?rrr v?=?也成立！

dtdtdtdtdtdt注意：若

?dr0dt?必须是大小与方向均不随时间改变的常矢量。根据?0,则r0?0大质点的运动方程为x?x(t)，y?y(t)，质点作平面曲线运动，如图所示，r小不变，但方向改变！

所以

?dr0dt?0,即第一种方法是错误的！

3

?0???drdi?0?i（显然i是大小与方向均不随时间改变的常矢量）只有在直线运动中，r??0,dtdt速度的大小才等于

drdt.对加速度的大小a?drdt22也可以用同样方法加以讨论.

第2章 质点力学的运动定律 守恒定律

一、选择题

1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(C)，7(B)，8(C)，9(C)，10(B)，11(C)，12(D)，13(B) 二、填空题 (1). 12rad/s. (2). 290J (3). 3J (4). 18 N2s

??(5). 2t3i?2tj (SI)

3(6). 16 N2s， 176 J (7). 16 N2s ，176 J (8). l0k/M，

Ml0M?nmkM

??(9). i?5j

(10). 2mv， 指向正西南或南偏西45°

三、计算题

1. 已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即f??k/x，k是比例常数．设质点在 x=A时的速度为零，求质点在x=A /4处的速度的大小．

解：根据牛顿第二定律 f??kx22?mdvdt2?mvdvdx?dxdtA/4?mvdvdx

∴ vdv??k

12v2dxmx?km,(4?vdv??0?Akmx2dx

A?1A)?3mAk

∴ v?6k/(mA)

2. 飞机降落时的着地速度大小v =90 km/h，方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数??=0.10，迎面空气阻力为Cxv2，升力为Cyv2(v是飞机在跑道上的滑行速度，Cx和Cy为某两常量)．已知飞机的升阻比K=Cy /Cx=5，求飞机从着地到停止这段时间所滑行的距离．(设飞机刚着地时对地面无压力)

解：以飞机着地点为坐标原点，飞机滑行方向为x轴正向．设飞机质量为m，着地后地面对飞机的支持力为N．在竖直方向上

4

N?Cyv?mg?0 ∴ N?mg?Cyv 飞机受到地面的摩擦力 f??N??(mg?Cyv)

222在水平方向上 ??(mg?Cyv2)?Cxv即

2?mdvdt?mvdvdx

mvdv?mg?(Cx??Cy)v2??dx

x = 0时，v?v0?90km/h?25m/s．x =S（滑行距离）时，v＝0

0

v0??mg1mmvdv?(Cx??Cy)v02S???dx??S

0

2Cx??Cyv0?d[?mg?(Cx??Cy)v]2?mg?(Cx??Cy)v2??S

解得

2m?mg?(Cx??Cy)v02 S?lnCx??Cy?mg1∵ 飞机刚着地前瞬间，所受重力等于升力，即 mg?Cyv0 ∴ Cy?mgv022 , Cx?CyK?mg5v02

代入S表达式中并化简，然后代入数据 S?5v022g(1?5?)ln15??221 m

3.若质量为m1以速率v10运动的物体A与质量为m2的静止物体B发生对心完全弹性碰撞，如何选择m2的大小，使得m2在碰撞后具有最大的动能？又此最大动能是多少？

解：在对心完全弹性碰撞中，若v20 = 0，则有

(m2?m1)v20?2m1v102m1v10? v2?

m1?m2m1?m2物体B的动能 EK2?由

dEK2dm22212m2v2?22123m2(22m1v10m1?m2)

2?(m2?m1)2m1v10(m1?m2)2?0 得 m1?m2

又

dEK2dm2m2?m1?2m1v1023m2?4m1(m1?m2)4m2?m1?0

故 m2?m1 时，m2的动能有最大值．此最大值是 EK2?

4.一辆水平运动的装煤车，以速率v0从煤斗下面通过，每单位 v0

5

12m1v10．

2

4.物体A和B叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接，如图所示．今用大小为F的水平力拉A．设A、B和滑轮的质量都为m，滑轮的半径为R，对轴的转动惯量J＝

12mR．AB之间、A与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都

B A 2可以忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑动且绳不可伸长．已R 知F＝10 N，m＝8.0 kg，R＝0.050 m．求：

(1) 滑轮的角加速度； (2) 物体A与滑轮之间的绳中的张力； (3) 物体B与滑轮之间的绳中的张力．

解：各物体受力情况如图． F－T＝ma T?＝ma (T?T?)R＝

12mR?

T ’2?F

a T ’ B a＝R?

由上述方程组解得： ? T a

-2

T ??＝2F / (5mR)＝10 rad2s F A T＝3F / 5＝6.0 N T?＝2F / 5＝4.0 N

5.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O转动．棒的质量为m = 1.5 kg，长度为l = 1.0 m，对轴的转动惯量为J =

13ml．初始时棒静止．今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的

2 O m, l 另一端，并留在棒中，如图所示．子弹的质量为m?= 0.020 kg，v m? -1

速率为v = 400 m2s．试问： (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度?有多大？

(2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 N2m的恒定阻力矩作用，棒能转过多大的角度?？

解：(1) 角动量守恒：

m?vl??∴ ???1?3m?vml22??m?l??

??1??m?m??l?3?122 (2) 由转动定律，得： －Mr＝(ml＋m?l)?

3?2

0－?＝2??

?1?2?m?m??l??3?2Mr2＝15.4 rad2s-1

∴ ??

＝15.4 rad

11

6.如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，设两轮的转动惯量分别为 J＝10 kg2m2 和 J＝20 kg2m2．开始时，A轮转速为600 rev/min，B轮静

AB止．C为摩擦啮合器，其转动惯量可忽略不计．A、B分别与

C的左、右两个组件相连，当C的左右组件啮合时，B轮得到C加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止．设轴光滑，求： (1) 两轮啮合后的转速n； ?A (2) 两轮各自所受的冲量矩．

解：(1) 选择A、B两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，故系统角动量守恒

JA?A＋JB?B = (JA＋JB)?，

又?B＝0得： ???? JA?A / (JA＋JB) = 20.9 rad / s 转速 n?200 rev/min (2) A轮受的冲量矩

?MAdt= JA(JA＋JB) = ?4.19310 2 N2m2s

?负号表示与?A方向相反． B轮受的冲量矩

?MBdt= JB(? - 0) = 4.19310N2m2s

?方向与?A相同．

7.一匀质细棒长为2L，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0在1L 光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰2撞．碰撞点位于棒中心的一侧

1212

v0 O L处，如图所示．求棒在碰撞后的瞬

2L L 时绕O点转动的角速度?．(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为

13ml，式中的m和l分别为棒的质量和长度．)

2v0

解：碰撞前瞬时，杆对O点的角动量为

?3L/20?v0xdx??L/20?v0xdx??v0L?212mv0L

式中?为杆的线密度．碰撞后瞬时，杆对O点的角动量为

221?3?3?1?1??72mL? J???m?L??m?L????3?4?2??12?4?2??因碰撞前后角动量守恒，所以 7mL?/12?212mv0L

∴ ? = 6v0 / (7L)

8.如图所示，一长为l质量为M的匀质竖直杆可绕通过杆上端的固定水平轴O无摩擦地转动．一质量为m的泥团在垂直于轴O的图面内以水平速度v0打在杆的中点并粘住，求杆摆起的最大角度．

解：选泥团和杆为系统，在打击过程中，系统所受外力对O轴的合力矩为零， 对定轴O的角动量守恒，设刚打击后两者一起摆起的角速度为?，则有

Omv0M12l

12

 1lmv0?1lmv?J? ①

22其中 v???l/2 ②

在泥团、杆上摆过程中，选杆、泥团、地球为系统，有机械能守恒．当杆摆到最大角度

??时有

22 ?M?m?g1l?1?cos???1mv?1J? ③

222联立解以上三式可得 ??cos四 研讨题

1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。

参考解答： 不能．

因为刚体的转动惯量?ri?mi与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为

12mR，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴

2?122??3mv0?1??

????M?m3m?4Mgl??2的转动惯量为零．

2. 刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？

参考解答：

根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。

由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。

非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。

3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？

参考解答：

分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力 Fr的 方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度vc 逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度?逐渐变小．

当质心平动的速度vc= 0而角速度? ?0 时，乒乓球将返回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度?0的大小应满足一定的关系． 解题：由质心运动定理:?Fr?m

dvcdt

13

因Fr?? mg, 得 vc?vc0??g (1)

由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律M?I?

?RFr?(23mR)2d?dt, 得 ???0?32R?gt (2)

由(1),(2)两式可得 ???0?可得 ?0?3vc.2R3vc.?vc2R, 令 vc?0 ； ??0

这说明当vc= 0和?0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．

第3章 狭义相对论 一、选择题

1(B)，2(C)，3(C)，4(B)，5(B)，6(D)，7(C)，10(D)，11(D)，12(C) 二、填空题 (1). c

(2). 4.33310-8s (3).?? ?x/v , (?x/v)1?(v/c)2 (4). c (5). 0.99c (6). 0.99c

(7). 8.89310-8 s (8).

12mlS3c

(9). 5.8310-13, 8.04310-2 (10).

,

25m9lS

三、计算题

1.在惯性系K中，有两个事件同时发生在 x轴上相距1000 m的两点，而在另一惯性系K′（沿x轴方向相对于Ｋ系运动）中测得这两个事件发生的地点相距2000 m．求在K＇系中测得这两个事件的时间间隔．

解：根据洛仑兹变换公式: x????可得 x2x?vt1?(v/c)2 ，t???? ，x1t?vx/c22

1?(v/c)x2?vt21?(v/c)2x1?vt11?(v/c)2在K系，两事件同时发生，t1 = t2，则

x2?x1??x?x? 2 ， 121?(v/c)∴ 1?(v/c)2??x1?)??(x2?x1)/(x212

14

解得 v?3c/2．

22?时刻， ?和 t2在K′系上述两事件不同时发生，设分别发生于t1则 t1????由此得 t1??t2t1?vx1/c1?(v/c)??，t22t2?vx2/c1?(v/c)－6

22

v(x2?x1)/c1?(v/c)2=5.77×10 s

6-2

2.在K惯性系中，相距?x = 5310 m的两个地方发生两事件，时间间隔?t = 10 s；而在相对于K系沿正x方向匀速运动的K＇系中观测到这两事件却是同时发生的．试计算在K＇系中发生这两事件的地点间的距离?x＇是多少？

解：设两系的相对速度为v．根据洛仑兹变换， 对于两事件，有

?x??v?t? ?x?

21?(v/c) ?t??t??(v/c)?x?22

1?(v/c)由题意： ?t??0

可得 ?t?(v/c2)?x 及 ?x???x1?(v/c)2 由上两式可得 ?x??[(?x)2?(c2?t/c)2]1/2?[?x2?c2?t2]1/2= 43106 m

3. 一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如图．设想一列车以极高的速度v沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观测，

d/2hL (1) 隧道的尺寸如何？ v d (2) 设列车的长度为l0，它全部通过隧道的时间是多少？

解：(1) 从列车上观察，隧道的长度缩短，其它尺寸均不变。 隧道长度为 L??L1?vc22

(2) 从列车上观察，隧道以速度v经过列车，它经过列车全长所需时间为 t??L?vv这也即列车全部通过隧道的时间.

?l0 ?L1?(v/c)v2?l0

4. 在惯性系S中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生?t =2s；而在另一惯性系S＇中，观测第二事件比第一事件晚发生?t?=3s．那么在S＇系中发生两事件的地点之间的距离是多少？

解：令S＇系与S系的相对速度为v，有

15

∴ 该平面简谐波的表达式为 y?0.1cos[7?t?或 y?0.1cos[7?t?

6．相干波源S1和S1，相距11 m，S1的相位比S2超前

12?．这两个相干波在S1 、S2连线和

?x0.12?x0.12??17313?] (SI)

?] (SI)

延长线上传播时可看成两等幅的平面余弦波，它们的频率都等于100 Hz， 波速都等于400 m/s．试求在S1、S2的连线上及延长线上，因干涉而静止不动的各

POP′Q点位置．

S1S2x (m)

l解：取S1、S2连线及延长线为x轴，向右为正，以S1为坐标原点．令

S1S2?l．

(1) 先考虑x < 0的各点干涉情况．取P点如图．从S1、S2分别传播来的两波在P点的

相位差为

?1??2??10?2??|x|?[?20?2??(l?|x|)]

?l= 6 ?

?u∴ x < 0各点干涉加强．

(2) 再考虑x > l各点的干涉情况．取Q点如图．则从S1、S2分别传播的两波在Q点的

??10??20?2?l ??10??20?2?相位差为 ?1??2??10?2??x?[?20?2?2??(x?l)]

2? ??10??20??u∴ x > l各点为干涉静止点．

(3) 最后考虑0≤x≤11 m范围内各点的干涉情况．取P′点如图．从S1、S2分别传播来的两波在P′点的相位差为

l??10??20??l= 5 ?

?1??2??10?2??x?[?20?2?u2??2?(l?x)]??10??20?4??x?2??l

??10??20?由干涉静止的条件可得

?2??x?11?2?x???l??2??x?11?2

?(2k?1)? ( k = 0，±1，±2，?)

∴ x = 5-2k ( -3≤k≤2 )

即 x = 1，3，5，7，9，11 m 为干涉静止点． 综上分析．干涉静止点的坐标是x = 1，3，5，7，9，11 m及x >11 m 各点．

7.如图7所示，一平面简谐波沿x轴正方向传播，BC为波密媒质的反射面．波由P点反射，

B 入射 OP = 3? /4，DP = ? 6．在t = 0时，O处质点的合振动是经过平

x 衡位置向负方向运动．求D点处入射波与反射波的合振动方程．（设O D P 反射 入射波和反射波的振幅皆为A，频率为?．） C

解：选O点为坐标原点，设入射波表达式为 图7

26

y1?Acos2[?(?t?x/?)??] 则反射波的表达式是 y2?Acos2[?(?t?OP?DP?x合成波表达式（驻波）为 y?2Acos(2?x/?)cos(2??t??) 在t = 0时，x = 0处的质点y0 = 0， (?y0/?t)?0， 故得 ??12?)????]

?

因此，D点处的合成振动方程是

3?/4??/6?y?2Acos(2?)cos(2??t?)?3Asin2??t

?2

(　?)　(SI),现有另一列波8．一列横波在绳索上传播，其表达式为y1?0.05cos?2π　（振?0.054???tx?幅也是0.05m）与上述已知横波在绳索上形成驻波，设这一横波在X=0 处与已知横波同位

相，写出该波的方程。写出绳索上的驻波方程；求出各波节的位置坐标表达式；并写出离原

点最近的4个波节的坐标数值。

解：(1) 由形成驻波的条件．可知待求波的频率和波长均与已知波相同，传播方向为x轴的

负方向．又知 x = 0处待求波与已知波同相位，∴待求波的表达式为 y2?0.05cos[2?( (2) 驻波表达式 y?y1?y2 ∴ y?0.10cos(波节位置由下式求出． ?x/2?1212?x)cos(40?t) (SI)

t0.05?x4)]

?(2k?1) k = 0，±1，±2，?

∴ x = 2k + 1 k = 0，±1，±2，? 离原点最近的四个波节的坐标是 x = 1 m、-1 m、3 m、-3 m.

9．一声源S的振动频率为?S = 1000 Hz，相对于空气以vS = 30 m/s的速度向右运动，如图．在其运动方向的前方有一反射面M，它相对于空气以v = 60 m/s的速度向左运动．假设声波在空气中的传播速度为u = 330 m/s，求：

(1) 在声源S右方空气中S发射的声波的波长； (2) 每秒钟到达反射面的波的数目； (3) 反射波的波长．

解：(1) 设一接收器R静止于空气中，声源S以vS速率接近接收器R，则由多普勒效应公式可知，R接收到的声波频率 ??uu?vSSvSvM?S?330330?30?1000?1100 Hz

则 ??u/??330/1100 = 0.30 m

(2) 每秒钟到达反射面处波的数目在数值上等于反射面处接收到的波的频率??．由多普

27

勒效应公式有： ???u?vu?vS?S?330?60330?30u?1000?1300 Hz

(3) 接收器接收到反射面的反射波的频率 ?R?反射波的波长 ?R

四 研讨题

1. 波传播时，介质的质元并不随波迁移。但水面上有波形成时，可以看到漂在水面上的树叶沿水波前进的方向移动。这是为什么？ 参考解答：

如图所示，当水面上有波形成时，表面上水的质元是在平行于波传播方向的竖直平面内做圆周运动（不是上下的简谐运动）。这是因为，水波传过时，波峰处的水面比原来高了，波谷处的水面比原

来低了，波峰处增加的水量必定是由临近的波谷处移来的。 这样，水面上的质元就有了沿水波传播方向的纵向振动，纵向振动和横向振动的合成就使得水面质元做圆周运动。

正是由于水面质元的圆周运动（或说是由于质元有沿水波传播方向的纵向振动），使得水面上的树叶等漂浮物沿水波前进的方向移动。

2. 如果地震发生时，你站在地面上，先感到哪种摇晃？

参考解答：

地震波在地球内部的传播有纵波（P 波）和横波（S 波）两种形式，并且纵波（P波）的传播速度比横波（S波）的传播速度快（前者的速度在地壳内是 5 km /s，在地幔深处是14 km /s，而后者的速度是 3 km /s～ 8 km /s）。当地震发生时，如果人站在震源正上方的地面上，会感觉到先上下颠（纵波引起的感觉）然后横向摇（横波引起的感觉），这中间的时间差在日本被称为“自救时间”.

3. 为什么在没有看见火车也没有听到火车鸣笛的声音的情况下，把耳朵贴靠在铁轨上可以判断远处是否有火车驶来？

参考解答：

从传播速度来看，声波在铁轨中的传播速度远远大于声波在空气中的传播速度。低碳钢棒中纵波的速度为5200 m /s，而空气中纵波的速度为331 m /s. 从声音的强度来看，因为波的强度为

I?12u?vuu?v330?60????0.21 m ?R??1300??

?u?A

22其中，铁轨的密度ρ及u都分别远远大于空气的ρ及u，在ω，A分别相同的情况下，铁轨中传播的声波的强度也远比空气中声波的强度大。

综合以上两个因素可知，把耳朵贴靠在铁轨上就容易判断出远处是否有火车驶来。

28

4. 沿波的传播方向，各质元的振动位相逐一落后，具体位相差的公式是：???析相位干涉仪如何利用这一特征，测定来波方向.

参考解答：

相位干涉仪就是利用这一特征，测定来波的方向。

在军事上常常需要确定雷达信号的来波方向,称为无源测向. 相位干涉测向仪是一种常用的测向系统,其基本结构与工作原理如图所示.两个天线单元A和B相隔一定距离d,水平放置，当雷达电磁波平行传输过来，到达A天线比到达B天线多经过的路程为：

a?dsin?

2???x,请分

式中θ是来波方向与天线轴线的夹角,也就是方位角. 则两天线信号的相位差为： ???2?2?d?a??sin?

式中λ是雷达信号的波长. 相位干涉仪一般采用超外差接收机,首先确定信号波长λ,然后根据测出的A、B 天线信号的相位差Δφ,就可以利用上式计算出方位角θ.

5. 利用干涉原理制成干涉消声器可以降低内燃机、压缩机等排放高速气流时产生的低频噪声,请查阅资料说明干涉消声器控制噪声的工作原理.

参考解答：

利用干涉原理制成干涉消声器可以降低内燃机、压缩机等排放高速气流时产生的低频噪声,其原理如图所示.

波长为λ的声波沿管道向右传播,在A处分成两束相干波,它们分别通过r1和r2的路程后再在B处相遇,若Δr = r2 - r1 恰好等于声波半波长λ/2 的奇数倍,则干涉

相消,从而达到控制噪声的目的.为了使这类消声器在

低频范围内具有较宽的消声频率,一般将多个这样的消声单元串联起来,并且使每一个单元的Δr不等,就可以对不同波长的噪声加以控制.

第6章 光的干涉 一、选择题

1(C)，2(A)，3(A)，4(B)，5(A)，6(B)，7(B)，8(C)，9(D)，10(D) 二、填空题

(1). 使两缝间距变小；使屏与双缝之间的距离变大. (2). DN (3). 0.75

(4). 3?，1.33 (5). ?(2L) (6). 113 (7). 1.2

29

(8). 2d / ?

(9). 2(n – 1)h

?(N2?N1) (10). 2L三、计算题

?1.一双缝，缝距d?0.4mm，两缝宽度都是a?0.080mm，用波长为??4800A的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f?2.0m的透镜。求： (1)在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距?x；

(2)在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N。

解：双缝干涉条纹：

(1) 第k级亮纹条件： d sin??=k?

第k级亮条纹位置：xk = f tg??≈f sin??≈kf? / d

相邻两亮纹的间距：?x = xk+1－xk=(k＋1)f? / d－kf? / d=f? / d

=2.4310 m=2.4 mm (2) 单缝衍射第一暗纹： a sin?1 = ?

单缝衍射中央亮纹半宽度：?x0 = f tg?1≈f sin?1≈f? / a＝12 mm

?x0?/??x =5

∴ 双缝干涉第±5极主级大缺级． ∴ 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9

-3

分别为 k = 0，±1，±2，±3，±4级亮纹 或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第±5级主大，同样得该结论．

2.用白光垂直照射置于空气中的厚度为0.50μm的玻璃片．玻璃片的折射率为1.50，在可见

??光范围内(4000A～7600A)哪些波长的反射光有最大限度的增强?

解：加强， 2ne+ ??12??= k?，

2nek?12?4ne2k?1?30002k?1 nm

k = 1， ?1 = 3000 nm， k = 2， ?2 = 1000 nm， k = 3， ?3 = 600 nm， k = 4， ?4 = 428.6 nm，

k = 5， ?5 = 333.3 nm． ∴ 在可见光范围内，干涉加强的光的波长是 ?＝600 nm 和?＝428.6 nm．

?3.白光垂直照射到空气中一厚度为e?3800A的肥皂膜上，肥皂膜的折射率n?1.33，在可

??见光的范围内(4000A～7600A)，哪些波长的光在反射中增强?

解：若反射加强，则光程差应满足条件：

2ne??/2?k? ??4ne/(2k?1) (k?1,2...)

30

在可见光范围内，有

k?2 ?2?4ne/(2k?1)?6739A k?3 ?3?4ne/(2k?1)?4043A

oo

-9

4.用波长为?＝600 nm (1 nm＝10 m)的光垂直照射由两块平玻璃板构成的空气劈形膜，劈尖角?＝2310-4 rad．改变劈尖角，相邻两明条纹间距缩小了?l＝1.0 mm，求劈尖角的改变量??．

解：原间距 l1＝? / 2?＝1.5 mm 改变后， l2＝l1－?l＝0.5 mm ??改变后， ?2＝? / 2l2＝6310-4 rad 改变量 ??＝?2－?＝4.0310-4 rad

5.用波长??500nm(1nm?10-9m)的单色光垂直照射在由两块玻璃板(一端刚好接触成为劈棱)构成的空气劈尖上。劈尖角??2?10?4rad，如果劈尖内充满折射率为n?1.40的液体。求从劈棱数起第五个明条纹在充入液体前后移动的距离。

解：设第五个明纹处膜厚为e，则有2ne＋? / 2＝5 ? 设该处至劈棱的距离为l，则有近似关系e＝l?，

由上两式得 2nl?＝9 ? / 2，l＝9? / 4n? 充入液体前第五个明纹位置 l1＝9???? 4? 充入液体后第五个明纹位置 l2＝9???? 4n? 充入液体前后第五个明纹移动的距离

?l＝l1 – l2＝9?????????????n??? 4?＝1.61 mm

6.如图所示，牛顿环装置的平凸透镜与平板玻璃有一小缝隙e0，现用波长为?的单色光垂直照射，已知平凸透镜的曲率半径为R，求反射光形成的牛顿环的各暗环半径。

解：设某暗环半径为r，由图可知，根据几何关系，近似有 e?r/?2R? ① 再根据干涉减弱条件有

2 e R r e0 2e?2e0?12??12

?2k?1?? ②

式中ｋ为大于零的整数．把式①代入式②可得 r?R?k??2e0?

(k为整数，且k＞2e0 / ?)

31

7. 在如图所示的瑞利干涉仪中，T1、T2是两个长度都是l的气室，波长为?的单色光的缝光源S放在透镜L1的前焦面上，在双缝S1和S2处形成两个同相位的相干光源，用目镜E观察透镜L2焦平面C上的干涉条纹．当两气室均为真空时，观察到一组干涉条纹．在向气室T2中充入一定量的某种气体的过程中，观察到干涉条纹移动了M条．试求出该气体的折射率n (用

?S2T2 lSL1S1T1L2CEO

已知量M，?和l表示出来）．

解：当T1和T2都是真空时，从S1和S2来的两束相干光在O点的光程差为零．

当T1中充入一定量的某种气体后，从S1和S2来的两束相干光在O点的光程差为(n – 1)l． 在T2充入气体的过程中，观察到M条干涉条纹移过O点，即两光束在O点的光程差改变了M?．故有

(n－1)l－0 = M? n＝1＋M? / l．

四 研讨题

1. 如果S1和S2为两个普通的独立的单色线光源，用照相机能否拍出干涉条纹照片？如果曝光时间比10-8s短得多，是否有可能拍得干涉条纹照片？

参考解答：

如果S1和S2为两个普通的独立的单色线光源，用照相机不能拍得干涉条纹照片；如果曝光时间比10-8s短得多，有可能拍得干涉条纹照片。

所谓干涉就是在观察的时间内，叠加区有一稳定的强度分布。一般的实验中观察时间都

-8

远比原子发光的时间10s长得多，所以要维持各点强度稳定，就得要求叠加区内各点每时刻相遇的两条光线除了频率相同、振动方向相同之外，还必须相位差恒定。

由发光的特点可知，在我们观察的时间内，两个独立光源不可能保证两条光线在确定的点有恒定的相位差。但每时刻，两独立光源发出的两条光线在各点都有一定的相差，即有一确定的谐振叠加结果，只不过在观察的时间内，各种合成结果都会出现，从而得到的观察结果是非相干的。

用普通相机只能拍得平均结果，所以无法拍得两个独立的光源的“干涉条纹”照片。 如果曝光时间比10-8s短得多，即短到一个原子一次发光的时间，那么就把两个原子发光的某一次的叠加结果记录下来，当然就有一个确定的强度分布。因此可以说，这样的相机有可能拍得干涉条纹。

2. 用白色线光源做双缝干涉实验时，若在缝S1后面放一红色滤光片，S2后面放一绿色滤光片，问能否观察到干涉条纹？为什么？

参考解答：

不能观察到干涉条纹。

判断是否能看到干涉条纹应从两个方面考虑。 首先是产生相干叠加的条件，即相干光必须频率相同，在叠加区必须有振动方向相同的分量及有恒定的相位差。

2其次还要从技术上考虑，如对两光强之比（及两光束光强之比R?I1/I2?A12/A2）、光源的非单色性及光源的线度等都有一定的要求，以保证获得清晰的干涉条纹。

32

若在两个缝上分别放置红色和绿色滤波片，不满足频率相同的相干条件，所以不可能看到干涉条纹。

3. 在煤矿的井下生产中,即时准确地监测井下气体的甲烷浓度变化,对确保安全生产极其重要.请利用所学的知识设计一检测仪监测矿井甲烷浓度.

参考解答：

介绍瑞利干涉仪监测矿井甲烷浓度。

在煤矿的井下生产中,即时准确地监测井下气体的甲烷浓度变化,对确保安全生产极其重要. 根据甲烷和纯净空气的折射率不同,运用双光束干涉,通过观察干涉条纹的变化,可以实现对井下空气中甲烷浓度的监测.

瑞利干涉仪的结构如图所示,S为狭缝光源,经透镜L1后成为平行光,再由双缝S1、S2 分离出两束相干光,分别让它们通过长度相等的两个气室T1、T2 后,由透镜L2 会聚到其焦平面上形成干涉条纹. 若两气室T1、T2内气体相同,则两束光在0点处干涉相

长,形成零级明条纹. 若将气室T1内充入纯净空气,其折射率用n0表示;将气室T2内充入井下气体,其折射率用n′ 表示,则两束光到达0点的光程差为：

??n?L?n0L?(n??n0)L?k?????(1)

式中,L为气室的长度；λ为光的波长；k为0点处干涉明条纹的级次. 假设井下气体中甲烷浓度为x %,则其折射率n′与纯净空气的折射率n0以及纯甲烷气体的折射率n有如下关系：

n??nx100?n0100?x100x100

将其整理为

n??n0?(n?n0)由式(1)和式(2)可得: x?100k?(n?n0)L????(2)

即为0点处干涉明条纹的级次k与气室中井下气体的甲烷浓度x%之间的关系式. 实际应用中,需要使两气室内的气体具有相同的压强和温度,利用读数显微镜可较方便地确定0处干涉明条纹的级次k ,在已知波长λ和纯净空气折射率n0以及纯甲烷气体的折射率n的情况下,即可计算出井下气体的甲烷浓度.

4. 薄膜尤其是光学薄膜厚度测控技术不断完善,就其测量原理而言,主要有光电极值法、干涉法、石英晶体振荡法椭偏仪法，请查阅相关文献说明薄膜厚度测控技术中的干涉法的物理原理。

参考解答：

干涉法是纯光学方法的主要内容，比如测量玻璃基底上的膜层厚度, 就可采用迈克尔逊干涉仪来测量，在迈克尔逊干涉仪的基本光路中,将固定反射镜置换成待测样品（右上图）,并与另一反射镜形成楔状空气劈而产生等厚干涉。由于是台阶状样品,

33

因而产生的干涉条纹（右下图），当膜厚增加半波长时,两组干涉条纹便错动一个条纹宽度,因此膜厚可表示为：

?b??d???m?

?a?2式中?为单色光波长,a为干涉条纹宽度,b为两组条纹错开的距离,m为错开的条纹数目取值为零或正整数。

考虑到光束在玻璃和薄膜上反射,相位改变并不相同,因此上式应写为： d???b?a??1??22????m?

?2式中?1和?2分别为玻璃和薄膜的相位变化，对玻璃而言?1 = ?. 在测量时不必确定?2,只需根据前一式子,用两个不同波长的单色光分别测定a、b值而得到d.

第7章 光的衍射 一、选择题

1(D)，2(B)，3(D)，4(B)，5(D)，6(B)，7(D)，8(B)，9(D)，10(B) 二、填空题

(1)． 1.2mm，3.6mm (2)． 500nm (或5?10?4mm) (3)． 一 三 (4)． 0，?1，?3 (5)． 5 (6)． 更窄更亮 (7)． 0.025

(8)． 照射光波长，圆孔的直径 (9)． 2.24310 (10)． 13.9 三、计算题

1.某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽a = 0.15 mm．缝后放一个焦距f = 400 mm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为8.0 mm，求入射光的波长．

解：设第三级暗纹在?3方向上，则有 a sin?3 = 3??????????????? 此暗纹到中心的距离为 x3 = f tg?3 因为?3很小，可认为tg?3≈sin?3，所以 x3≈3f ? / a ． 两侧第三级暗纹的距离是 2 x3 = 6f ? / a = 8.0mm

∴ ? = (2x3) a / 6f = 500 nm

2.在夫琅禾费单缝衍射实验中，如果缝宽a与入射光波长?的比值分别为(1) 1，(2) 10，(3) 100，试分别计算中央明条纹边缘的衍射角．再讨论计算结果说明什么问题．

34

-4

解：(1) a=?，sin? =????=1 , ? =90°

(2) a=10?，sin? =?/10??=0.1 ? =5?44? (3) a=100?，sin? =?/100??=0.01 ? =34?

这说明，比值? /a变小的时候，所求的衍射角变小，中央明纹变窄(其它明纹也相应地变为更靠近中心点)，衍射效应越来越不明显．

(? /a)→0的极限情形即几何光学的情形: 光线沿直传播,无衍射效应．

3.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长?1和?2，垂直入射于单缝上．假如?1的第一级衍射极小与?2的第二级衍射极小相重合，试问 (1) 这两种波长之间有何关系？

(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？

解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得

asin?1?1?1 asin?2?2?2 由题意可知 ?1??2 , sin?1?sin?2

代入上式可得 ?1?2?2 (2) asin?1?k1?1?2k1?2 (k1 = 1, 2, ??) sin?1?2k1?2/a

asin?2?k2?2 (k2 = 1, 2, ??) sin?2?k2?2/a

若k2 = 2k1，则?1 = ?2，即?1的任一k1级极小都有?2的2k1级极小与之重合．

4.氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长??=0.668?m的谱线的衍射角为

?=20°．如果在同样?角处出现波长?2=0.447?m的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是

多少？

解：由光栅公式得

sin?= k1?? 1 / (a+b) = k2?? 2 / (a+b)，k1?? 1 = k2?? 2

k2?? k1 = ? 1/?? 2=0.668 / 0.447 将k2?? k1约化为整数比k2?? k1=3 / 2=6 / 4=12 / 8 ......

取最小的k1和k2?， k1=2，k2?=3， 则对应的光栅常数(a + b) = k1?? 1 / sin? =3.92 ?m.

5.一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的光，?1=440 nm，?2=660 nm (1 nm

-9

= 10 m)．实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角?=60°的方向上．求此光栅的光栅常数d．

解：由光栅衍射主极大公式得 dsin?1?k1?1 dsin?2?k2?2

sin?1sin?2?k1?1k2?2?k1?440k2?660?2k13k2

当两谱线重合时有 ?1=??2

35

即

k1k2?32?64?96

两谱线第二次重合即是

k6 1?， k1=6， k2=4

k24由光栅公式可知 d sin60°=6?1

6?1-3

d?=3.05310 mm ?sin60

6.以波长400 nm─760 nm (1 nm＝10-9 m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围．

解：令第三级光谱中?=400 nm的光与第二级光谱中波长为???的光对应的衍射角都为?， 则 d sin??=3?， d sin??=2?? ??= (d sin? / )2=

32??600nm

∴第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm----760 nm

7.用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱．已知红谱线波长?R在 0.63─0.76 ?m范围内，蓝谱线波长?B在0.43─0.49 ?m范围内．当光垂直入射到光栅时，发现在衍射角为24.46°处，红蓝两谱线同时出现． (1) 在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？ (2) 在什么角度下只有红谱线出现？

解：∵ a+b= (1 / 300) mm = 3.33 ?m

(1) (a + b) sin??=k?，????∴ k?= (a + b) sin24.46°= 1.38 ?m ∵ ?R=0.63─0.76 ?m； ?B＝0.43─0.49 ?m

对于红光，取k=2 , 则 ?R=0.69 ?m； 对于蓝光，取k=3,??则 ?B=0.46??m. 红光最大级次 kmax= (a + b) / ?R=4.8,

取kmax=4则红光的第4级与蓝光的第6级还会重合．设重合处的衍射角为?? , 则 sin???4?R/?a?b??0.828，∴ ??=55.9°

(2) 红光的第二、四级与蓝光重合，且最多只能看到四级，所以纯红光谱的第一、三级将出现．

sin?1??R/?a?b??0.207 ?1 = 11.9° sin?3?3?R/?a?b??0.621 ?3 = 38.4°

8.一衍射光栅，每厘米200条透光缝，每条透光缝宽为a=2310-3 cm，在光栅后放一焦距f=1

-9

m的凸透镜，现以?=600 nm (1 nm=10 m)的单色平行光垂直照射光栅，求： (1) 透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？

(2) 在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？

解：(1) a sin? = k? tg? = x / f 当 x<< f时，tg??sin???, a x / f = k? , 取k= 1有

x= f l / a= 0.03 m

36

∴中央明纹宽度为 ?x= 2x= 0.06 m (2) ( a + b) sin ??k??

k??( a＋b) x / (f ?)= 2.5 取k ?= 2，共有k ?= 0，±1，±2 等5个主极大.

四 研讨题

1. 假设可见光波段不是在400nm~700nm，而是在毫米波段，而人眼睛瞳孔仍保持在3mm左右，设想人们看到的外部世界是什么景象？

参考解答：

将人的瞳孔看作圆孔。圆孔衍射中央极大的半角宽度?0与入射波长?和衍射孔径线度

D的关系是?0?1.22?D。

当衍射孔径D与波长?的量级差不多时衍射最显著，入射光经衍射后完全偏离原来直线传播的方向，广能几乎分布在衍射后的整个空间。由于衍射，使一个物点发出的光经圆孔后，在观察屏上不再是一个清晰的像点，而是一个相当大的衍射斑。

如果???D，则?0?0，每个物点经圆孔后就是一个清晰的像点。 在我们的生活的世界，可见光波长的大小和人眼瞳孔的孔径配合得是非常巧妙的，“天然地”满足???D的条件，物体在视网膜上成像时就可以不考虑瞳孔的衍射，而认为光线是直线传播，那么物体上的任一物点通过眼睛的水晶体成像到视网膜上的像也是一个点，我们就可以清楚地分辨眼前的景物了。

而如果可见光的波长也变成毫米量级，则波长与瞳孔孔径大小可比，每个物点在视网膜上的像将不是一个点，而是一个很大的衍射斑，以至于无法把它们分辨出来，人们看不到目前所看到的物体形状了，而是一片模糊的景象。

2. 某光学显微镜的数值孔径N.A.=1.5，试估算它的有效放大率Vmin.

参考解答：

分析：显微镜是助视光学仪器,应该针对人眼进行设计.人眼的最小分辨角

?4或者说，在明视距离δ?e?2.9?10rad,一般人眼能分辨10m远处相隔3mm的两条刻线，

(相隔人眼25cm)处相隔dye?0.075mm的两条刻线.人眼敏感的波长是??0.55?m.

合理的设计方案是把显微镜的最小分辨距离放大到明视距离的dye?0.075mm,这样才能充分利用镜头的分辨本领.

解题：本题条件下的光学显微镜的最小分辨距离为

dymin?0.61?N.A.?0.61?0.55?101.5?6m?2.24?10m

?7按合理设计将其放大到明视距离可分辨的dye=0.075mm. 所以 Vmin?dyedymin?0.075?102.24?10?3?7?335倍,

实际放大率还可设计得比这数值更高些，譬如500倍，以使人眼看得更舒服些.

3. 在地面进行的天文观测中，光学望远镜所成星体的像会受到大气密度涨落的影响（所以要发射太空望远镜以排除这种影响），而无线电天文望远镜则不会受到这种影响。为什么？

参考解答：

37

星体辐射的光在进入望远镜的路径中必然通过大气层，所以必须考虑大气分子的衍射对图像质量的影响。

教材中的理论已经指出，衍射物的线度与入射波波长愈相近，衍射现象愈明显；衍射物线度远远大于入射波波长时可不考虑衍射。

大气粒子的平均线度在纳米量级上下，光波的波长是百纳米量级，大气微粒的线度与光波的波长可比，所以对光波的衍射作用显著，直接影响观测图像。随着大气密度的涨落，图样也将随着变化，所以用光学望远镜就无法准确地获得星体的图像。

无线电波长在微米到米的量级，大气粒子的平均线度远远小于无线电波的波长，观测中可忽略衍射的影响。所以在天文观测中无线电天文望远镜就可不受大气密度涨落的影响，从而可精确获得星体的图像。

4. 近年来出现了一种新的光测应变方法——衍射光栅法，请查阅金属材料应变测量衍射光栅法的相关资料，说明其基本原理。

参考解答：

对大多数实用金属而言, 在弹性加载下其变形非常小. 这样, 细观变形测量的诸多光测方法在一定程度上受到限制. 近年来出现了一种新的光测应变方法——衍射光栅法. 其基本思想是在试件表面欲测处贴上低频正交光栅, 通过测取试件变形前后正交光栅变形来获取试件测点处的应变量. 具体测量方式是通过光学中的衍射效应, 用细激光束垂直照射光栅, 产生衍射点阵, 通过对衍射点阵的测量, 就可以获得应变的信息. 衍射光栅法测量应变的基本原理：

如图所示, 在试件表面欲测处贴上正交光栅应变片, 当一束细激光束垂直照射测点时, 光栅将使反射光发生衍射, 衍射光线在接收屏上形成点阵. 衍射点的位置与光栅栅距的关系可由光栅方程导出

dsin?m?m?

式中: m为衍射级次,?m为m级衍射光线与光栅法线方向的夹角, d为栅距,?为激光波长.

当试件受力变形后, 光栅栅距发生变化, d变为d′, 则变形前后沿垂直于该组栅线方向的线应变为

??d?d?d???sin?m?sin?m?sin?m

由衍射光栅法基本光路图可知

sin?m??mD(?m??D) 将其代入上式可知

38

?????m??m??m，此即衍射光栅法测量应变的基本公式。

第8章 光的偏振

一、选择题

1(B)，2(C)，3(A)，4(B)，5(B)，6(D)，7(D)，8(B) 二、填空题 (1)． 2， 1/4 (2)． 1/ 2

(3)． I0 / 2， 0

(4)． 1.48

(5)． 遵守通常的折射，不遵守通常的折射. (6). 传播速度，单轴

(7)． 自然光或(和)圆偏振光，线偏振光(完全偏振光)，部分偏振光或椭圆偏振光. (8)． 线、圆. 三、计算题

1.将三个偏振片叠放在一起，第二个与第三个的偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成45?和90?角．(1) 强度为I0的自然光垂直入射到这一堆偏振片上，试求经每一偏振片后的光强和偏振状态．(2) 如果将第二个偏振片抽走，情况又如何？

解：(1) 自然光通过第一偏振片后，其强度 I1 = I0 / 2

2

通过第2偏振片后，I2＝I1cos45?＝I1/ 4

2

通过第3偏振片后，I3＝I2cos45?＝I0/ 8

通过每一偏振片后的光皆为线偏振光，其光振动方向与刚通过的偏振片的偏振化方向平行． (2) 若抽去第2片，因为第3片与第1片的偏振化方向相互垂直， 所以此时 I3 =0. I1仍不变．

2.两个偏振片叠在一起，在它们的偏振化方向成?1＝30°时，观测一束单色自然光．又在

?2＝45°时，观测另一束单色自然光．若两次所测得的透射光强度相等，求两次入射自然光

的强度之比．

解：令I1和I2分别为两入射光束的光强．透过起偏器后，光的强度分别为I1 / 2和I2 / 2马吕斯定律，透过检偏器的光强分别为 I1??12??I1cos?1, I2212I2cos?2

222?，于是 1I1cos按题意，I1??I2?1?1I2cos?2

22得 I1/I2?cos?1/cos?2?2/3

3.三个偏振片P1、P2、P3顺序叠在一起，P1、P3的偏振化方向保持相互垂直，P1与P2的偏振化方向的夹角为?，P2可以入射光线为轴转动．今以强度为I0的单色自然光垂直入射在偏振片上．不考虑偏振片对可透射分量的反射和吸收．

(1) 求穿过三个偏振片后的透射光强度I与?角的函数关系式；

(2) 试定性画出在P2转动一周的过程中透射光强I随?角变化的函数曲线．

39

22

解：(1) 连续穿过三个偏振片之后的光强为

22?

I＝0.5I0cos? cos(0.5?－??)＝I0sin(2?) / 8 (2) 画出曲线

I

4.有一平面玻璃板放在水中，板面与水面夹角为??(见图)．设水和玻璃的折射率分别为1.333和1.517．已知图中水面的反射光是完全偏振光，欲使玻璃板面的反射光也是完全偏振光，??角应是多大？

解：由题可知i1和i2应为相应的布儒斯特角，由布儒斯特定律知 tg i1= n1＝1.33； tg i2＝n2 / n1＝1.57 / 1.333， 由此得 i1＝53.12°， i2＝48.69°． 由△ABC可得 ?＋(? / 2＋r)＋(? / 2－i2)＝? 整理得 ?＝i2－r

由布儒斯特定律可知， r＝? / 2－i1 将r代入上式得

?＝i1＋i2－? / 2＝53.12°＋48.69°－90°＝11.8°.

I0 / 8αO?/4?/2??/4???/4????

i1C?A r i2iB

四 研讨题

1. 为了得到线偏振光，就在激光管两端安装一个玻璃制的“布儒斯特窗”（见图），使其法线与管轴的夹角为布儒斯特角。为什么这样射出的光就是线偏振的？光振动沿哪个方向？

参考解答：

40

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o6d7.html