2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验理科数学试卷及答案

2013年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷

理科数学（问卷）

(卷面分值：150分考试时间：120分钟）

注意事项：

1.本卷分为问卷(4页）和答卷(4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上. 答卷前,先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合A= {x|| x| >1}，B = {x|x

=R，则m的值可以是

2. 复数

A. (1，2)

的共轭复数是a + bi(a，bR)，i是虛数单位，则点（a，b)为

B. (2，-i)

”的

C.(2,1)

D.(1，-2)

3. “a〉0”是“

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4. 函数，则 是

A.奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数

5. 已知函数

B.

C

，则使函数

D.

有零点的实数m的取值范围是 A.

，则k的值

6. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若为

A.8 B. 7 C. 6 D.5

7. 函数

A，B两点之间的距离为5，则f(x)的递增区间是

的部分图象如图所示，其 中

A.C.

B. D.

_

8. 执行右边的程序框图，若输出的S是127，则条件①可以为

A.

9. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F是AB的三等分点，G、H是 CD的三等分点，M、N分别是BC、EH的中点，则四棱锥A1 -FMGN的 侧视图为

10. 设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和抛物线y2 =-8x 的准线所围成的三角形(含边界

与内部）.若点（x，y) ∈ D,则x + y的最小值为

A. -1 B.0 C. 1 D.3

11.如图，椭圆的中心在坐标原点0，顶点分别是A1, A2, B1, B2，焦点分别为F1 ,F2，延长B1F2 与A2B2

交于P点，若

A.C

为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 B. D.

12. 中，若

D.

，则的值为

A.2 B.4 C.

第II卷（非选择题共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作 答.第22题?第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.

13. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据 收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程

表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为______ .

14. 如图，单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在平面A1BC1上，则三棱锥P-ACD1

的体积 为______

15. 点A(x，y)在单位圆上从出发，沿逆时针方向做匀速圆

周运动，每12秒运动一周.则经过时间t后，y关于t的函数解析式 为______

16. 设A、B为在双曲线为______

上两点，O为坐标原点.若OA丄OB,则ΔAOB面 积的最小值

三、解答题：第17?21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演 算步骤.

17. (本小题满分12分）

已知数列{an}、{bn}分别是首项均为2的各项均为正数的等比数列和等差数列，且

(I) 求数列{an}、{bn}的通项公式；

(II )求使abn<0.001成立的最小的n值.

18. (本小题满分12分）

PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物，也称为 可人肺颗在35

粒物.我国PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限 值，即PM2.5日均值

微克/立方米以下空气质量为一级； 在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在 75微克/立方米以上空气质量为超标.

某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中 随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为 茎，个位为叶）

(I)从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的 分布列；

(II) 以这15天的PM2. 5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.

19. (本小题满分12分）

ABCD中，P，Q分别为棱VB，VD的中点， 点 M 在边 BC 在正四棱锥V - BM: BC = 1 ： 3，AB =

(I )求证CQ丄AP;

(II)求二面角B-AP-M的余弦值.

，VA = 6.

上，且

20. (本小题满分12分）

已知点F( 1，0)，与直线4x+3y + 1 ＝0相切，动圆M与及y轴都相切.

(I )求点M的轨迹C的方程；

(II)过点F任作直线l，交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向记

.求证

是定值.

各引一条切线，切点 分别为P，Q，

21. (本小题满分12分）

已知函数.

(I)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的句线与X轴平行，求函数f(x)的单调区间；

(II)若对一切正数x，都有恒成立，求a的取值集合.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用

2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22. (本小题满分K)分)选修4-1:几何证明选讲

如图，AB是

D.

的直径，AC是弦，直线CE和切于点C， AD丄CE，垂足为

(I) 求证:AC平分；

的大小.

(II) 若AB=4AD，求

23. (本题满分10分)选修4 －4 ：坐标系与参数方程

将圆上各点的纵坐标压缩至原来的，所得曲线记作C;将直线3x-2y-8=0

绕原点逆时针旋转90°所得直线记作l.

(I)求直线l与曲线C的方程；

(II)求C上的点到直线l的最大距离.

24. (本题满分10分)选修4 - 5 ：不等式选讲

设函数，.

(I)求证；

(II)若成立，求x的取值范围.

参考答案

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.

1.选D.【解析】x?1?x?1或x??1，由A?B=R，得m?1． 2.选C.【解析】

1?2i?2?i，其共轭复数为2?i，即a?bi?2?i，所以a?2,b?1. i223.选A.【解析】a?0?a?a?0；反之a?a?0?a?0,或a??1，不能推出a?0．

4.选A.【解析】f?x??g(x)的定义域为??1,1?记F(x)?f?x??g(x)?log2?11?x，则 1?x1?x1?x?1?x???log??F(x)，故f?x??g(x)是奇函数. F(?x)?log?log222??1?x1?x1?x??5.选D.【解析】函数g(x)?f(x)?x?m的零点就是方程f(x)?x?m的根，作出 h(x)?f?x??x???x,xx?0?e?x,x?0的图象，观察它与直线y?m的交点，得知当m?0时，

或m?1时有交点，即函数g(x)?f(x)?x?m有零点.

6.选A.【解析】由a1?1，a3?5，解得d?2，再由：Sk?2?Sk?ak?2?ak?1 ?2a1?(2k?1)d?4k?4?，解得36k?8.

7.选B.【解析】AB?5,yA?yB?4，所以xA?xB?3，即

T2??3，所以T??6， 2????3 由f?x??2sin?????2??x???过点?2,?2?，即2sin??????2，0????， ?3??3?解得??5?5???，函数为f?x??2sin?x?66?3??5???2k???x??2k??，由， ?2362?1解得 6k?4?x?6k?，故函数单调递增区间为?6k?4,6k?1??k?Z?.

8.选B.【解析】依题意S?1?2?2???2?29.选C.【解析】（略）.

10.选B.【解析】双曲线的渐近线为y??时，zmin?0.

11.选D.【解析】易知直线B2A2的方程为bx?ay?ab?0，直线B1F2的方程为

2nn?1?1，有2n?1?1?127，故n?6.

1x，抛物线的准线为x?2，设z?x?y，当直线过点O?0,0?2?2acb?a?c??,bx?cy?bc?0，联立可得P??，又A2?a,0?,B1?0,?b?，

?a?ca?c???????2ac?2ab???????a?a?c??b?a?c??,,∴PB1???， ?，PA2??a?ca?ca?c????a?c?2a2c?a?c?2ab2?a?c????????????0， ∵?B1PA2为钝角∴PA2?PB1?0，即22?a?c??a?c??5?15?1?c?c化简得b2?ac，a2?c2?ac，故????1?0，即e2?e?1?0，e?或e?，而22?a?a0?e?1，所以25?1?e?1. 212.选B.【解析】设?ABC中， a,b,c分别是?A,?B,?C所对的边，由

?????????????3????2????????????????3????2CA?CB?AB?AB得CA?AB?CB?AB?AB

55?即bccos???A??accosB?323c，∴acosB?bcosA?c 553a2?c2?b2b2?c2?a23?b??c，即a2?b2?c2， ∴a?52ac2bc5a2?c2?b2322c?c222tanAsinAcosBaa?c?b2ac5∴???????4. tanBsinBcosAbb2?c2?a2b2?c2?a2?3c2?c252bc二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分. 13.填68．【解析】设遮住部分的数据为m，x=10+20+30+40+50?30，

5?=0.67x+54.9过?x,y?得y=0.67?30+54.9=75 由y62+m+75+81+89=75，故m?68.

5114.填．【解析】平面A平面ACD1，∴P到平面ACD1的距离等于平面A1BC1∥1BC1与平面ACD1间的

6∴距离，等于

1313，而S?ACD1?AD1?CD1sin60??， B1D?223313331??. 236 ∴三棱锥P?ACD1的体积为?15.填y?sin??2?????????xOA0?，?，?A0OA?t，【解析】点A每秒旋转所以t秒旋转t，t??．

3126663??6?xOA??6t??3，则y?sin?xOA?sin?????t??.

3??61a2b2OAOBy??x， 16.填2．【解析】设直线的方程为，则直线的方程为y?kx2kb?a?y?kxa2b2a2b2k2?2222,y1?2则点A?x1,y1?满足?x故x1?2， y2222b?akb?ak?2?2?1?ab2∴OA?x1?y1221?k?ab??2222b?ak22222，同理OB22221?k?ab??2222kb?a22，

故OA?OB221?k?ab?1?k?ab???b2?a2k2k2b2?a2?a4b4?a2b2??a2?b22??k2

2?k2?1?∵k2?k2?1?22?11?（当且仅当k??1时，取等号） 1k2?2?24k∴OA?OB?24a4b4?b2?a22?，又b?a?0，故S?AOB1a2b2?OA?OB的最小值为2. 22b?a三、解答题：共6小题，共70分.

17.（Ⅰ）设?an?的公比为q，?bn?的公差为d，依题意???2?d?4?2q

???2?2d??2q?6?d?2?d??5n?2???1? 解得?1，或?3（舍） ∴an???，bn?2n； ?6分

q?q???2????28??1?（Ⅱ）由（Ⅰ）得abn?a2n????2??1?因为abn?0.001????2?2n?2，

2n?2?0.001?22n?2?1000，

所以2n?2?10，即n?6，∴最小的n值为6. ?12分

18.（Ⅰ）依据条件，?服从超几何分布：其中N?15,M?5,n?3，?的可能值为0,1,2,3，其分布列为：

3?kC5k?C10P???k???k?0,1,2,3?. 3C15

?

P

3 0 1 2

2445202

91919191?6分

（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P?51?， 1531?120（天） 3一年中空气质量达到一级的天数为?，则?~B?360,?，∴E??360???1?3?所以一年中平均有120天的空气质量达到一级. ?12分

19．设正方形ABCD的中心为O，N为AB的中点，R为BC的中点，分别以ON，OR，OV所在直线为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，

在Rt?VOB中，可得OV?30， 则V0,0,30,A???3,?3,0,B???3,3,0，

??3?,3,0C?3,3,0,D?3,?3,0,M???3?, ??????3330??3330?P??2,2,2??,Q???2,?2,2??. ??????????33330????于是AP????2,2,2??,AB?0,23,0,

??????????23??33330?????AM????3,23,0??,CQ???2,?2,2??.

?????????????33330??33330?（Ⅰ）∵AP?CQ????2,2,2?????2,?2,2???0，

????????????∴CQ?AP，即CQ⊥AP； ?6分

??????a?3b?10c?0?n1?AP?0?BAP（Ⅱ）设平面的法向量为n1??a,b,c?，由?得? ????b?0???n1?AB?0?故n1??10,0,1，同理可得平面APM的法向量为n2??3,1,0?，

n1?n2311?． ?12分

n1n2112?设二面角B?AP?M的平面角为?，则cos??20．（Ⅰ）⊙F的半径为4?142?32?1，⊙F的方程为?x?1??y2?1，

由题意动圆M与⊙F及y轴都相切，分以下情况：

（1）动圆M与⊙F及y轴都相切，但切点不是原点的情况：

作MH⊥y轴于H，则MF?1?MH，即MF?MH?1，则MF?MN（N是过M作直线x??1的垂线的垂足），则点M的轨迹是以F为焦点，x??1为准线的抛物线．

∴点M的轨迹C的方程为y2?4x?x?0?；

（2）动圆M与⊙F及y轴都相切且仅切于原点的情况：

此时点M的轨迹C的方程为y?0(x?0,1)； ?6分

（Ⅱ）对于（Ⅰ）中（1）的情况：

当l不与x轴垂直时，直线l的方程为y?k?x?1?，由???y?k?x?1?得

2??y?4x2k2?4kx??2k?4?x?k?0，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则x1?x2?,x1x2?1

k22222∴sin??sin??1111x1?x2?2x?x?2?????12?1， AFBFx1?1x2?1x1x2?x1?x2?11?x1?x2?1当l与x轴垂直时，也可得sin??sin??1，

对于（Ⅰ）中（2）的情况不符合题意（即作直线l，交C于一个点或无数个点，而非两个交点）. 综上，有sin??sin??1． ?12分 21．（Ⅰ）∵f??x??1?1， ax1?1， ??a11依题意?1?0，故a?1，∴f?x??lnx?x，f??x???1，

ax∴曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线斜率为k?f??1??当0?x?1时，f??x??0，函数f?x?单调递增；当x?1时，f??x??0，函数f?x? 单调递减；所以函数f?x?的单调增区间为?0,1?，减区间为?1,???； ?6分 （Ⅱ）若a?0，因为此时对一切x??0,1?，都有

lnxlnx?0，x?1?0，所以?x?1，与题意矛盾，aa11?1，令f??x??0，得x?. 又a?0，故a?0，由f??x??axa11当0?x?时，f??x??0，函数f?x?单调递增；当x?时，f??x??0，函数f?x? 单调递减；

aa1111?所以f?x?在x?处取得最大值ln?，故对?x?R，f?x???1恒成立，当且仅当对

aaaa111?a?R?，ln???1恒成立．

aaa1令?t，g?t??tlnt?t，t?0. a则g??t??lnt，当0?t?1时，g??t??0，函数g?t?单调递减；当t?1时，g??t??0，函数g?t?单调递增；所以g?t?在t?1处取得最小值?1，因此，当且仅当成立．

1111?1，即a?1时，ln???1aaaa

故a的取值集合为?1?． ?12分 22．（Ⅰ）连接BC，∵AB是?O的直径，∴?ACB?90?.

∴?B??CAB?90?

∵AD?CE，∴?ACD??DAC?90?， ∵AC是弦，且直线CE和?O切于点C， ∴?ACD??B

∴?DAC??CAB，即AC平分?BAD； ?5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知?ABC??ACD，∴ACAD2?，由此得AC?AB?AD. ABAC22∵AB?4AD，∴AC?4AD?AD=4AD?AC?2AD，于是?DAC?60?，

故?BAD的大小为120?． ?10分

23．（Ⅰ）设曲线C上任一点为?x,y?，则?x,2y?在圆x2?y2?4上，

于是x??2y?22x2?4即?y2?1.

4直线3x?2y?8?0的极坐标方程为3?cos??2?sin??8?0，将其记作l0， 设直线l上任一点为??,??，则点??,??90??在l0上，

于是3?cos???90???2?sin???90???8?0，即：3?sin??2?cos??8?0 故直线l的方程为2x?3y?8?0 ?5分

（Ⅱ）设曲线C上任一点为M?2cos?,sin??，

它到直线l的距离为d?其中?0满足：cos?0?4cos??3sin??82?322?5cos????0??813，

43,sin?0?. 55∴当???0??时，dmax?13. ?10分 24．（Ⅰ）f(x)?x?1?x?2?(x?1)?(x?2)?1． ?5分

（Ⅱ）∵a2?2a?12?a2?1?1a?12?a2?1?1a?12?2，

∴要使a2?2a?12成立，需且只需x?1?x?2?2，

即??x?1?1?x?2?x?215，或?，或?，解得x?，或x?

22?1?x?2?x?2?x?1?2?x?2?x?1?x?2?2故x的取值范围是???,???,???. ?10分

22??1???5???

以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．

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