数学物理方法作业习题第二篇第4章

习 题

1. 解具有固定端的弦0≤x≤l的自由振动问题，如果弦的点的初始速度为零，而初始位移u(x,0)??(x)： (1) 正弦曲线，即?(x)?Asin(2) 对称轴在直线x?n?x，n为整数； l1ll上的抛物线，而顶点是点M(,h)，即22l1?(x)?h?(x?)2，这里h?l2；

24l(3) 折线OAB，其中O(0,0),A(c,h),B(l,0),0?c?l，讨论c?的

2情况.

2. 解具有固定端的弦0≤x≤l的自由振动问题，如果弦的初始状态处于静止

(?(x)?0)，而初始速度?(x)为

(1) ?(x)?C?const,(2) ?(x)??x?[0,l]；

?v0,x?[?,?]， 其中0≤???≤l；

?0,x?[?,?]?(x?x0)??Acos,x?[x0??,x0??](3) ?(x)??， 2??0,x?[x0??,x0??]?其中 0≤x0???x0??≤l.

3. 解均匀杆的纵振动（自由振动）问题，如果u(x,0)??(x)，ut(x,0)??(x)，而端点：

(1)杆的一端x?0是刚性固定，而另一端x?l是自由的； (2) 杆的两端是自由的；

(3) 杆的一端x?0是自由的，而另一端x?l为弹性固定.

4. 解杆的自由纵振动，如果杆的一端x?0是刚性固定的，而力P施于另一端

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x?l，在时刻t?0时力P停止作用，即解定解问题：

??utt?a2uxx? ?u(0,t)?0,uxx?l?0??u(x,0)?x,ut(x,0)?0?E?? 这里?为杆的横截面积，E为杨氏模量.

5. 求解可变电流流过长度为l的导线中的电流强度i(x,t)，如果没有漏电，且可以忽略电阻，假定在导线中（当t?0时）初始电流等于零，而初始电压为E0sin?x2l，导线的左端(x?0)是绝缘的，而右端(x?l)是接地的.

提示：问题归结为混合问题：

??LCitt?ixx? ?ixx?0?0,ix?l?0

?E??x??0cos?it?0?0,itt?02lL2l?6. 解沿边缘固定的矩形薄膜(0?x?a,0?y?b)的自由振动问题，如果

t?0ut?Asin7. 解混合问题

?xasin?yb，ut?0.

?u?a2(u?u),(0?x??,0?y??)xxyy?tt? ?ux?0?ux???uy?0?u ?0y???u?3sinxsin2y,ut?5sin3xsin4y?t?0?t?08. 求解沿边缘固定的半径为a的均匀圆薄膜的自由振动问题：

(1) 解混合问题

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1?2u?c(u?ur)rr?ttr??0,ur?0????u ?r?a， 这里?k是方程J0(?)?0的正根.

?rk?u?AJ()0t?0?R??utt?0?0(2) 解混合问题

1?2u?c(u?ur)rr?ttr? ?ur?a?0,u ???r?0?u?f(r),utt?0?g(r)?t?0?(3) 解混合问题

?12u?c(u?ur)?ttrrr???? ?ur?a?0,u， A为常数. r?0?r2?ut?0?A(1?2),utt?0?0R?提示：

xx323?J(?)d??xJ(x)， ?J(?)d??2xJ(x)?(x?4x)J1(x). 010??000以上各小题中的c是常数. 9. 解下列混合问题：

21?u?u?ux,(0?x?1,t?0)xx?ttx? ?ux?0有界，ux?1?g(t)

?u??(x),utt?0??(x)?t?0?- 3 -

(1) 若g(t)?sin2t,?(x)??1?0?,?(x)?0；

2?J0(2)??(x)?J0(2x),?(x)?0； J0(2)1?J(2x)?(2) 若g(t)?cos2t,(3) 若g(t)?t?1,?(x)?J0(?1x)?1,?(x)?1，其中?1是方程

J0(?)?0的正根.

10. 设长度为l的重均匀绳索，在端点x?l处悬挂，使绳索无初速离开平衡位

置，假定介质无阻力，在重力作用下，绳索的振动问题就归结为解混合问题：

?utt?a2(xux)x,(0?x?l,t?0)? ?ux?l?0,ux?0有界?u(x,0)??(x),u(x,0)?0t? 这里a?

g，g为重力加速度.

11. 已知长度为l，侧面是绝热的均匀细杆，求杆中的温度分布u(x,t). 若(1) 杆端x?0，x?l保持为零度。而初始温度u(x,0)??(x)，其

中设 ①?(x)?A（常数），②?(x)?Ax(l?x)，A为常数； (2) 杆端x?0保持零度，而在x?l端与周围为零度的介质发生热

交换，杆的初始温度u(x,0)??(x)；

(3) 在杆的两端x?0与x?l都有与周围为零度的介质热交换，而杆的初始温度为u(x,0)??(x)；提示：其边界条件为：

(ux?hu)x?0?0,(ux?hu)x?l?0.

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(4) 杆端（x?0，x?l）是绝热的，而初始条件为u(x,0)?u0（常数）；

(5) 杆端是绝热的，而初始温度分布为

l?u?const,0?x??02 u(x,0)??l?0,?x?l2? 讨论当t???时u(x,t)的状态.

(6) 杆端是绝热的，而初始温度分布为

l?2u0x,0?x??2， u为常数， u(x,0)??l02u0l?(l?x),?x?l2?l求limu(x,t).

t???12. 设球心在坐标原点半径为a的均匀球体，求球内的温度u(r,t).

若(1) 球的外侧球面保持为零度，即u(r,t)r?a?0，而初始温度仅与到球

心的距离r有关，即ut?0??(r)；

(2) 在球面上与零度的介质发生按牛顿定律的对流热交换，而初始温度

ut?0??(r)；

提示：半径为a，球心在坐标原点的均匀球体，当球的任一点的温度仅与

该点离球心的距离r有关的情况，热分布问题归结为热传导方程

2ut?c2(urr?ur).

r13. 有半径为1的球体，其上半球面的温度常保持为u0(?0)，其下半球面的

温度常保持为0C，试求球内的稳定温度分布u(r,?).

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0

提示：问题归结为边值问题：

cos??2ru?2ru?u??u???0r?rrsin????? ? u,0????02?u(1,?)?????0,?????2??14. 已知半径为a的球面保持温度为u0，半球底面保持绝热，试求这个半球里

的稳定温度分布u(r,?). 提示：问题归结为解混合问题：

???u?0,(r?a,0????,0????)?22??(0???) ?ur?a?u0,

2???u?0??????2?15. 解下列混合问题：

?utt?a2uxx?2b,(0?x?l,t?0)? (1) ?u(0,t)?u(l,t)?0，这里b为常数.

?u(x,0)?u(x,0)?0t??utt?a2uxx?cost,?(2) ?u(0,t)?u(?,t)?0?u(x,0)?u(x,0)?0t?(0?x??,t?0)

16. 设长为l的均匀弦，弦的两端x?0与x?l固定，初始条件为零，弦所受

外力密度（连续分布）为p(x,t)?A?sin?t，??n?a(n?1,2,?)，l求解弦的强迫振动问题.

17. 设长度为l的均匀杆，将杆x?0端悬挂，求解在重力作用下杆的纵向振动

问题（设x?l端是自由的）.归结为解混合问题：

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?utt?a2uxx?g,(0?x?l,t?0)? ?u(0,t)?0,ux(l,t)?0

?u(x,0)?0,u(x,0)?0t?这里g为重力加速度.

18. 设圆心在坐标原点半径为a的均匀圆膜，如果它的边缘固定，初始条件为

零，假定介质无阻力，振动是由附加在薄膜一侧的均匀分布压力

p?p0sin?t引起的，这里??求解此强迫振动问题.

提示：问题归结为解混合问题：

1c?n，?n是方程J0(?)?0的正根，a11?1u?u?u?sin?t,(0?r?a,t?0)rrr?c2ttr? ?

?u有界,u?0,ut?0?0,utt?0?0r?a?r?019. 解下列混合问题：

?ut?a2(uxx?2ux)?x?2t,? (1) ?u(0,t)?u(l,t)?0?u(x,0)?exsin?x?(0?x?l,t?0)

??ut?uxx?u?x?2sin2xcosx,?(2) ?ux?0?0,uxx???02??ut?0?x?(0?x??2,t?0)

?ut?uxx?9u?4sin2tcos3x?9x2?2,(0?x??,t?0)?(3) ?uxx?0?0,uxx???0

2?u?x?2?t?020. 设弦长为l，一端x?0为固定，而另一端x?l受Asin?t的力扰动作用，

k?a(k?1,2,?)，在时刻t?0时位移和速度设为零，解此弦这里??l强迫的横振动问题归结为解下列定解问题：

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?utt?a2uxx??u(0,t)?0,u(l,t)?Asin?t ?u(x,0)?0,u(x,0)?0t?21. 设长度为l的杆处于静止状态，它的一端x?0刚性固定，在时刻t?0沿

杆作用在杆的自由端x?l为常力Q，求杆的位移u(x,t). 此问题归结为解混合问题：

?utt?a2uxx,(0?x?l,t?0)?Q?u(0,t)?0,u(l,t)??xE????u(x,0)?0,ut(x,0)?0其中E为弹性模量，?为杆的横截面积.

22. 解下列混合问题：

?t?utt?uxx?2ut?4x?8ecosx,??? (1) ?ux(0,t)?2t,u(,t)??t2??u(x,0)?cosx,ut(x,0)?2x???utt?3ut?uxx?2ux?3x?2t,?(2) ?ux(0,t)?0,u(?,t)??t?u(x,0)?e?xsinx,u(x,0)?xt?(0?x??2,t?0)

(0?x??,t?0)

??ut?uxx?2sinxsin2x,???(3) ?u(0,t)?0,ux(,t)?12??u(x,0)?x??(0?x??2,t?0)

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?ut?uxx?xt(2?t)?2cost,?22(4) ?ux(0,t)?t,ux(?,t)?t?u(x,0)?cos2x?(0?x??,t?0)

23. 设半径为a的无限长圆柱体，圆柱侧面保持常温u0，圆柱体内的初始温度，

求圆柱体内的温度分布u(r,t).

24. 设半径为a的无限长圆柱体，它的侧面发生热辐射到温度为零的周围介质

中去，其初始温度为?(r)，求圆柱体内的温度分布u(r,t). 提示：边界条件u(r,t)当r?0为有界，(ur?hu)r?a?0. 25. 解下列定解问题：

?uxx?uyy?0,(0?x?a,y?0)? (1) ?u(x,0)?x(x?a),limu(x,y)?0y?????u(0,y)?0,u(a,y)?0(0?x?a,0?y?b)?uxx?uyy?c,?(2) ?u(0,y)?0,u(a,y)?0?u(x,0)?0,u(x,b)?0?这里c为常数.

2??uxx?uyy?y,(r?a)222(3) ?，其中r?x?y.

??ur?a?xy

?(0?x?a,y?0)?uxx?uyy?0,?(4) ?u(0,y)?0,u(a,y)?0,(0?y???)?xu(x,0)?A(1?),limu(x,y)?0?ay????

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?uxx?uyy?0,(0?x?a,0?y?b)?(5) ?u(0,y)?A,u(a,y)?Ay,(0?y?b)

?u(x,0)?0,u(x,b)?0y?y(6) 在矩形区域G:?(x,y)0?x?a,?的边界上取零值的解. (7) ???b?y?2b??，求泊松方程在区域G 2??uxx?uyy??4，其中r2?x2?y2.

?ur?a?0?uxx?uyy?0,(0?x?a,0?y?b)?(8) ?ux(0,y)?A,ux(a,y)?A,(0?y?b)，其中A,B为已知常数.

?u(x,0)?B,u(x,b)?B,(0?x?a)y?y

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