2014年新人教A版选修4-2 2.1复合变换与二阶矩阵的乘法(带

[同步]2014年新人教A版选修4-2 2.1复合变换与二阶矩阵的乘法

（带解析）

一、填空题

1.把实数a，b，c，d排成如的形式，称之为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算

，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点（ax+by，cx+dy），则点（2，3）在矩阵的作用下变换成点．

【答案】（3，2）

【解析】

试题分析：直接根据二行二列矩阵与点的乘法定义运算即可

解：∵

∴

故答案为（3，2）

点评：本题考查了二行二列矩阵与点的乘法定义，属于基础题．

2.矩阵，，则2A﹣3B= ．

【答案】

【解析】

试题分析：本题直接根据二阶矩阵与实数的乘法的运算法则及减法运算法则进行运算即可求出所求．

解：∵矩阵，

∴2A=，

∴3B=，

∴2A﹣3B==．

故答案为：．

点评：本题考查与实数的乘法、矩阵减法，解题的关键是理解并掌握矩阵的运算法则．

3.已知曲线C ：x 2+y 2=1，对它先作矩阵A=

对应的变换，再作矩阵B=对应的变换，得

到曲线C ：+y 2=1．则实数b= ． 【答案】±1． 【解析】 试题分析：从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ，然后在曲C 1上任意选一点P （x 0，y 0），设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P'（x'，y'），建立关系式，将P （x 0，y 0）代入x 2+y 2=1，最后与+y 2=1比较可得b 的值．

解：从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵BA=?=

在曲C 1上任意选一点P （x 0，y 0），设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P'（x'，y'），

则有?=

解得代入曲线C ：x 2+y 2=1，得，y'2+=1

即曲线方程为：+y 2=1

与已知的曲线C 2的方程为：

+y 2=1比较得（2b ）2=4 所以b=±1．

故答案为：±1．

点评：本题主要考查了矩阵变换的性质，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．

4.计算：

= ． 【答案】

【解析】

试题分析：利用二阶矩阵乘法公式求解．

解：：

==． 故答案为：． 点评：本题考查两个二阶矩阵的乘积的求法，是基础题，解题时要认真审题．

5.（矩阵与变换）已知矩阵

，矩阵MN 对应的变换把曲线y=sinx 变为曲线C ，求C 的方程．

【答案】y=2sin2x

【解析】

试题分析：根据矩阵的乘法法则 =求出MN ，设p （x ，y ）是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y=sinx 上点p 0（x 0，y 0）在矩阵MN 变换下的对应点，然后根据变

换的性质求出曲线方程．

解答：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．满分（7分）． 解：，（2分）

设p （x ，y ）是所求曲线C 上的任意一点，

它是曲线y=sinx 上点p 0（x 0，y 0）在矩阵MN 变换下的对应点，

则 ，即 （4分）

又点p 0（x 0，y 0）在曲线y="sinx" 上，故 y 0=sinx 0，从而

，

所求曲线C 的方程为y=2sin2x…（7分） 点评：考查学生掌握二阶矩阵的乘法法则，以及求出直线方程利用矩阵的变换所对应的方程．

二、解答题

1.已知矩阵A=[f （x ）]，B="[x" 1﹣x]，，若A=BC ，求函数f （x ）在[1，2]上的最小值．

【答案】

【解析】

试题分析：首先矩阵，可求出A 即函数f （x ）的表达式，是一个以a 为对称轴的抛物线，在根据抛物线的性质求其在区间上的极值问题．

解：因为BC="[x" 1﹣x]

=[x 2+2a （1﹣x ）]，A=[f （x ）] 又因为A=BC ，f （x ）=x 2﹣2ax+2a=（x ﹣a ）2+2a ﹣a 2，∵x ∈[1，2]．

当x≥2时，函数f （x ）在[1，2]上的最小值为f （2）=4﹣2a ．

当1≤x ＜2时，函数f （x ）在[1，2]上的最小值为f （a ）=2a ﹣a 2．

当x ＜1时，函数f （x ）在[1，2]上的最小值为f （1）=1．

∴．

点评：此题主要考查矩阵的乘法以及抛物线的极值问题，有一定的计算量，考查综合应用水平．

2.已知矩阵M=[]N=[]．

（1）求矩阵MN ；

（2）若点P 在矩阵MN 对应的变换作用下得到Q （0，1），求点P 的坐标．

【答案】（1）[

]；（2）P （，﹣1）．

【解析】

试题分析：（1）直接根据矩阵的乘法公式进行求解即可；

（2）根据二阶矩阵与列向量乘法的定义即可求解点P 的坐标．

解：（1）MN=[][]=[]=[]； （2）设P （x ，y ），

∵点P 在矩阵MN 对应的变换作用下得到Q （0，1），

∴[][]=[]即，解得：即P （，﹣1）．

点评：本题主要考查了复合变换与二阶矩阵的乘法，以及二阶矩阵与列向量乘法的定义，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．

3.设数列{a n }，{b n }满足a n+1=2a n +3b n ，b n+1=2b n ，且满足

，试求二阶矩阵M ． 【答案】

【解析】

试题分析：由题设得

，设 ，则M=A 4

．由此利用矩阵的运算法则能够求出二阶矩阵M ．

解：由题设得 ，设 ，则M=A 4．（5分）

M=A4=（A2）2==．（10分）

点评：本题考查矩阵的运算法则，解题时要注意矩阵的乘法运算．

4.（2010?福建）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）已知矩阵M=，，且，

（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；

（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．

（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与

直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，

求|PA|+|PB|．

（3）已知函数f（x）=|x﹣a|．

（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】见解析

【解析】

试题分析：选作题1：（Ⅰ）由矩阵MN的表达式，把他们相乘使左边等于右边既可求解实数a，b，c，d的值．

（Ⅱ）矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线，可选直线y=3x上的两点做矩阵M所对应的线性变换下的像，即可确定原直线的像．

选做题2：（Ⅰ）由极坐标转化为直线坐标方程．

（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的直角坐标系，根据根与系数关系求出两实根的关系式，再有t的几何意义求解．

选做题3：（Ⅰ）首先把函数的参数表达式≤3，解不等式求出a的值．

（Ⅱ）由上题解得的当a=2时，f（x）=|x﹣2|，可设函数g（x）=f（x）+f（x+5），求出g （x）的函数表达式使其≥m对一切实数x恒成立．求解M的范围．

（1）选修1：解：（Ⅰ）由题设得，解得；

（Ⅱ）因为矩阵M 所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x 上的两（0，0），（1，3），

由，，

得点（0，0），（1，3）在矩阵M 所对应的变换下的线的像是（0，0），（﹣2，2）， 从而直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程为y=﹣x ．

（2）选修2：解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ得x 2+y 2﹣2y=0，即=5．

（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得

=5， 即t 2﹣3

t+4=0， 由于﹣4×4=2＞0，

故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，

所以，

又直线l 过点P （3，

）， 故由上式及t 的几何意义得：

|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3．

（3）选修3：解：（Ⅰ）由f （x ）≤3得|x ﹣a|≤3，解得a ﹣3≤x≤a+3，

又已知不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，

所以，解得a=2．

（Ⅱ）当a=2时，f （x ）=|x ﹣2|，

设g （x ）=f （x ）+f （x+5），

于是g （x ）=|x ﹣2|+|x+3|=

， 所以，当x ＜﹣3时，g （x ）＞5；

当﹣3≤x≤2时，g （x ）=5；

当x ＞2时，g （x ）＞5．

点评：选作题1主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．计算量小属于较容易的题．

选作题2主要考查坐标系与参数方程的关系，考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．较复杂．

选修3：本小题涉及不等式，主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力．较复杂．

5.（2012?厦门模拟）本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．

（1）选修4﹣2：矩阵与变换

=2的一个特征向量．

已知是矩阵属于特征值λ

1

（I）求矩阵M；

（Ⅱ）若，求M10a．

（2）选修4﹣4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，A（l，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程为为参数）．

（I）将曲线C的参数方程化为普通方程；

（Ⅱ）以A（l，0为极点，||为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．

（3）选修4﹣5：不等式选讲

（I）试证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；

（Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（1）（I）由题意，根据特征值与特征向量的定义，建立方程组，即可求得矩阵M；

（Ⅱ）求出矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），从而可求矩阵M的另一个特征值与特征向量，将向量用特征向量线性表示，进而可求结论；

（2）（I）由消去θ，即可得普通方程；

（Ⅱ）将原点移至A（1，0），则相应曲线C的方程为（x﹣1）2+y2=1，从而可得曲线C的极坐标方程；

（3）（I）利用作差法即可证得；

（Ⅱ）令u=x+y，v=x﹣y，则，根据，可得u2+v2=4，由柯西不等式得：

，从而可求的最小值．

（1）解：（I）由题意，，∴，∴a=1，b=2

∴矩阵M=；

（Ⅱ）由（I）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2）

=1

∴矩阵M的另一个特征值为λ

2

设是矩阵M属于特征值1的特征向量，则

∴，取x=1，则

∴

∴=

（2）（I）由消去θ可得（x﹣2）2+y2=1；

（Ⅱ）将原点移至A（1，0），则相应曲线C的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0

∴曲线C的极坐标方程为ρ﹣2cosθ=0

（3）（I）证明：左边﹣右边=a2y2+b2x2﹣2abxy=（ay﹣bx）2≥0，∴左边≥右边

即

（Ⅱ）令u=x+y，v=x﹣y，则

∵，∴（u+v）2+（u﹣v）2=8，∴u2+v2=4

由柯西不等式得：，当且仅当，即或时，的最小值是1．

点评：本题是选做题，考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，考查坐标系与参数方程，考查柯西不等式的证明与运用，属于中档题．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o5yq.html