几何五大模型精讲-第1讲-等积变换与共角定理

几何五大模型精讲-第1讲-等积变换与共角定理

第1讲 等积变换与共角定理

我们的目标

掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型 学会构造出模型进行解题

三角形等积变换模型

（1）等底等高的两个三角形面积相等；

（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图S1:S2 a:b （3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；

在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACD S△BCD；

A

B

S1S2

CD

共角定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如下两图

A

A

D

D

E

E

B

C

S△ABC:S△ADE

(AB AC):(AD AE)

BC

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【例1】 (第四届”迎春杯”试题)如图，三角形ABC的面积为1，其中AE 3AB，

BD 2BC，三角形BDE 的面积是多少？ A

BE

A

BE

【例2】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的

中点．求三角形DEF的面积．

AF

B

EC

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【例3】（清华附入学测试题）如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、

D、F六个点，并且 OAB、 ABC、 BCD、 CDE、 DEF的面积都等

于1，则 DCF的面积等于 ．

O

【例4】E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，

若AD 5，BC 7，AE 5，EB 3．求阴影部分的面积．

EB

QE

C

BC

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【例5】(北京四中入学测试题)如图，已知CD 5，DE 7，EF 15，FG 6，

线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是 ．

CG

CG

【例6】(2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，

那么阴影部分的面积是 ．

A

A

B

B

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【例7】已知正方形的边长为10，EC 3，BF 2，则S四边形ABCD ．

A

B

D

F

AM

N

BF

D

EE

C

【例8】如图，平行四边形ABCD，BE AB，CF 2CB，GD 3DC，HA 4AD，

平行四边形ABCD的面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．

H

H

A

G

DF

BE

G

ADF

BE

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【例9】已知△DEF的面积为7平方厘米，BE CE,AD 2BD,CF 3AF，求△ABC

的面积．

A

DB

E

C

作业题

1、如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB 24厘米，BC 8厘米，求三角形ZCY的面积．

D

ZA

C

Y

B

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2、(第四届希望杯)如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD 2厘米，DE 8厘

米，EF 20厘米，FG 4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？

G

G

F

F

A

E

B

A

E

B

DC

DC

3、如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四

边形的面积是多少平方厘米？

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CB BF，DC CG，4、如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA AB，HD DA，

求四边形ABCD的面积．

HDAE

F

5、如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD AB，延长BC至E，使CE BC，

F是AC的中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？

AF

B

D

12

E

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FGS

6、如图，S△ABC 1，BC 5BD，AC 4EC，DG GS SE，AF FG．求S

AFG

B

．

EC

D

7、 如图，正方形ABCD的边长为6，AE 1.5，CF 2．长方形EFGH的面积为 ．

H

AE

D

G

B

FC

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8、如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD AB；延长BC至E，

使CE 2BC；延长CA至F，使AF 3AC，求三角形DEF的面积．

F

BD

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答 案

【例1】

A

BE

A

BE

连接CE，有AE 3AB 所以BE 2AB

S

BCE

2S

ACB

4S

4

又因为BD 2BC 所以S

BDE

2S

BCEABC

【例2】

AF

B

EC

ADC的面积是 ABC面积的一半，即24 2 12，

ADE又是 ADC面积的一半，即12 2 6．

FED的面积是 AED面积的一半，所以 FED的面积 6 2 3．

【例3】

O

因为OD:DF S OED:S DEF 4:1 所以DF OD

113

S DCF S OCD 3

444

14

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【例4】

QEBC

EBC

连接CE、DE．

DQ、CP、ME彼此平行，所以CDQP是梯形，且ME与该梯形的两个底平行，

所以三角形QME与DEM、三角形PME与CEM的面积分别相等，

所以PQM的面积与CDE的面积相等．

由于ABCD为直角梯形，且AD 5，BC 7，AE 5，EB 3，所以三角形CDE的面积的面积为： 5 7 5 3 5 5 3 7 25．即 三角形PQM的面积为25． 【例5】

121212

CG

连接AF，BD．

根据题意可知，CF 5 7 15 27；DG 7 15 6 28； 所以，S BEF

S AEG

1512

S CBF，S BEC S CBF， 2727

217

S ADG，S AED S ADG， 2828

2115712

S ADG S CBF 65；S ADG S CBF 38； 28272827

于是：

可得S ADG 40．故三角形ADG的面积是40．

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【例6】

A

B

如图所示，设AD上的两个点分别为M、N．连接CN． 根据三角形面积比例模型， CMF与 CNF面积相等，

那么 CMF与 BNF面积和= CNF与 BNF面积和，即等于 BCN的面积． 而 BCN的面积为正方形ABCD面积的一半，为102 50．

多了2个四边形EFGH的面 CMF与 BNF的面积之和与阴影部分的面积相比较，积，

所以阴影部分的面积为：50 5 2 40．

12

【例7】

AM

N

BF

D

E

C

如图，作BM AE于M，CN BM于N．

则四边形ABCD分为4个直角三角形和中间的一个长方形， 其中的4个直角三角形分别与四边形ABCD周围的4个三角形相等， 所以它们的面积和相等，

而中间的小长方形的面积为3 2 6， 所以S四边形ABCD

10 10 3 2

3 2 53． 2

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【例8】

H

A

G

DF

E

连接AC、BD．根据共角定理

在△ABC和△BFE中， ABC与 FBE互补，

S△ABCAB BC1 11

． S△FBEBE BF1 33

又因为S△ABC 1，所以S△FBE 3．

同理可得S△GCF 8，S△DHG 15，S△AEH 8． 所以所以

SEFGH S△AEH S△CFG S△DHG S△BEF SABCD 8 8 15+3+2 36

．

SABCD21

． SEFGH3618

【例9】

A

DB

E

C

S△BDE:S△ABC

(BD BE):(BA BC) (1 1):(2 3) 1:6，

S△CEF:S△ABC (CE CF):(CB CA) (1 3):(2 4) 3:8S△ADF:S△ABC (AD AF):(AB AC) (2 1):(3 4) 1:6

设S△ABC 24份，则S△BDE 4份，S△ADF 4份，S△CEF 9份，S△DEF 24 4 4 9 7份，恰好是7平方厘米， 所以S△ABC 24平方厘米

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作业题答案

1、 ∵Y是BD的中点，Z是DY的中点，∴ZY DB，S又∵ABCD是长方形，∴S

ZCY

1122

ABCD

ZCY

1S4

DCB

，

1 S4

DCB

11 S42

24 (平方厘米)．

2、

G

G

F

F

A

E

B

A

E

B

FG∶ED 20∶∶48 5∶1∶2所以△AFE的面积连接AF设△AFG的面积是x,由于FE∶

DDC

是5x、△AED的面积是2x由于上半部分的面积是166平方厘米所以△FEB的面积是(166 5x x 166 6x)平方厘米，因为下半部分的面积是67平方厘米所以

△EBC的面积是(67 2x)平方厘米，因为FE是EC的2倍所以可以列方程为：

166 6x 2(67 2x)解得x 16，△ADG的面积为x 5x 2x 8x 8 16 128平方厘

米.

3、

DH

G

C

M

FB

P

AE

如图所示，分别过阴影四边形EFGH的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形MNPQ，易知长方形MNPQ的面积为4 2 8平方厘米．

从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于AENH、BFME、

CGQF、DHPG 四个长方形的面积之和，等于正方形ABCD的面积加上长方形MNPQ的面积，为12 12 8 152平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为152 2 76平方厘米，那么阴影四边形EFGH的面积为144 76 68平方厘米．

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4、

HDA

C

E

F

连接BD．由共角定理得S△BCD:S△CGF (CD CB):(CG CF) 1:2，即S△CGF 2S△CDB 同理S△ABD:S△AHE 1:2，即S△AHE 2S△ABD 所以S△AHE S△CGF 2(S△CBD S△ADB) 2S四边形ABCD 连接AC，同理可以得到S△DHG S△BEF 2S四边形ABCD

S四边形EFGH S△AHE S△CGF S△HDG S△BEF S四边形ABCD 5S四边形ABCD

所以S四边形ABCD 66 5 13.2平方米 所以S四边形ABCD 66 5 13.2平方米

5、

AF

B

D

E

∵在△ABC和△CFE中， ACB与 FCE互补，

S△ABCAC BC2 24

． ∴

S△FCEFC CE1 11

又S

ABC

2，所以S

FCE

0.5．

同理可得S△ADF 2，S△BDE 3．

所以S△DEF S△ABC S△CEF S△DEB S△ADF 2 0.5 3 2 3.5

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6、

FG

B

D

EC

本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．

7、

H

AE

D

G

B

FC

连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍． 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

S△DEF 6 6 1.5 6 2 2 6 2 4.5 4 2 16.5,所以长方形EFGH面积为33．

最后求得S△FGS的面积为S△FGS

4321154322

1

． 10

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8、

F

D

(法1)本题是性质的反复使用． 连接AE、CD．

S∵S

ABCDBC

1

，S1

ABC

1，

∴S

DBC

1．

同理可得其它，最后三角形DEF的面积 18．

(法2)用共角定理∵在ABC和CFE中， ACB与 FCE互补， ∴

SS

ABCFCE

AC BC1 11

．

FC CE4 28

又S

ABC

1，所以S

ADF

FCE

8．

同理可得S所以S

DEF

6，S

ABC

BDEFCE

3． S

ADF

S S S

BDE

1 8 6 3 18．

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