人教版 高中数学 选修2-2同步练习1.3.1函数的单调性与导数含答案

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选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数

一、选择题

1．设f(x)＝ax＋bx＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是( ) A．b－4ac>0 B．b>0，c>0 C．b＝0，c>0 [答案] D

[解析] ∵a>0，f(x)为增函数， ∴f′(x)＝3ax＋2bx＋c>0恒成立，

∴Δ＝(2b)－4×3a×c＝4b－12ac<0，∴b－3ac<0.

2．(2009·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)e的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) C．(1,4) [答案] D

[解析] 考查导数的简单应用．

B．(0,3) D．(2，＋∞)

x2

2

2

2

2

3

2

D．b－3ac<0

2

f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，

令f′(x)>0，解得x>2，故选D.

3．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)，则该函数的单调递减区间为( )

A．[－1，＋∞)

B．(－∞，2]

2

C．(－∞，－1)和(1,2) [答案] B

D．[2，＋∞)

[解析] 令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]． 4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )

[答案] C

[解析] 当0

∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数

当x>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.

5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是( ) π??π??A.?－π，－?和?0，? 2??2??

?π??π?B.?－，0?和?0，?

2??2??

π??π??C.?－π，－?和?，π? 2??2??

?π??π?D.?－，0?和?，π?

?2??2?

[答案] A

π

[解析] y′＝xcosx，当－π

2cosx<0，∴y′＝xcosx>0，

π

当00，∴y′＝xcosx>0.

26．下列命题成立的是( )

A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0 B．若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数 C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在 D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数

[答案] B

[解析] 若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．

7．(2007·福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )

A．f′(x)>0，g′(x)>0 C．f′(x)<0，g′(x)>0 [答案] B

[解析] f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.

8．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数

B．f′(x)>0，g′(x)<0 D．f′(x)<0，g′(x)<0

a、b，若a

A．af(a)≤f(b)

B．bf(b)≤f(a) D．bf(a)≤af(b)

C．af(b)≤bf(a) [答案] C

[解析] ∵xf′(x)＋f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0， ∴f′(x)≤－

f(x)

，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数， x又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)．

9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( ) A．f(0)＋f(2)<2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) [答案] C

[解析] 由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，

故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.

10．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为

( )

B．f(0)＋f(2)≤2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)

[答案] A

[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.

二、填空题

132

11．已知y＝x＋bx＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．

3[答案] b<－1或b>2

[解析] 若y′＝x＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2， 由题意b＜－1或b＞2.

12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．

[答案] a≥1

1＋lnx[解析] 由已知a＞在区间(1，＋∞)内恒成立．

2

2

x1＋lnxlnx设g(x)＝，则g′(x)＝－2＜0 (x＞1)，

xx1＋lnx∴g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减，

x∴g(x)＜g(1)， ∵g(1)＝1， ∴

1＋lnx＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，

x∴a≥1.

13．函数y＝ln(x－x－2)的单调递减区间为__________． [答案] (－∞，－1)

[解析] 函数y＝ln(x－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)， 12

令f(x)＝x－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<，

2∴函数y＝ln(x－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．

14．若函数y＝x－ax＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________． [答案] [3，＋∞)

[解析] y′＝3x－2ax，由题意知3x－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，

2

2

3

2

2

2

2

3

即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.

2三、解答题

15．设函数f(x)＝x－3ax＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a、b的值；

(2)讨论函数f(x)的单调性．

[解析] (1)求导得f′(x)＝3x－6ax＋3b.

由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，

??1－3a＋3b＝－11即?

?3－6a＋3b＝－12?

2

3

2

，

解得a＝1，b＝－3. (2)由a＝1，b＝－3得

f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)

＝3(x＋1)(x－3)．

令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1

1

16．求证：方程x－sinx＝0只有一个根x＝0.

21

[证明] 设f(x)＝x－sinx，x∈(－∞，＋∞)，

21

则f′(x)＝1－cosx＞0，

2

∴f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数． 而当x＝0时，f(x)＝0，

1

∴方程x－sinx＝0有唯一的根x＝0.

2

17．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax＋bx＋5的单调区间．

[分析] 可先由函数y＝ax与y＝－的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax＋bx＋5的单调区间．

3

2

bx32

bx[解析] ∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0. 由y＝ax＋bx＋5得y′＝3ax＋2bx. 2b2

令y′＞0，得3ax＋2bx＞0，∴－＜x＜0.

3a3

2

2

bx?2b?∴当x∈?－，0?时，函数为增函数． ?3a?

令y′＜0，即3ax＋2bx＜0， 2b∴x＜－，或x＞0.

3a2b??∴在?－∞，－?，(0，＋∞)上时，函数为减函数． 3a??18．(2010·新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(e－1)－ax. 1

(1)若a＝，求f(x)的单调区间；

2

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围． 112x[解析] (1)a＝时，f(x)＝x(e－1)－x，

22

x2

2

f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减． (2)f(x)＝x(e－1－ax)．

令g(x)＝e－1－ax，则g′(x)＝e－a.

若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时

xxxg(x)≥0，即f(x)≥0.

当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.

综合得a的取值范围为(－∞，1]．

[解析] ∵函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，∴a＜0，b＜0. 由y＝ax＋bx＋5得y′＝3ax＋2bx. 2b2

令y′＞0，得3ax＋2bx＞0，∴－＜x＜0.

3a3

2

2

bx?2b?∴当x∈?－，0?时，函数为增函数． ?3a?

令y′＜0，即3ax＋2bx＜0， 2b∴x＜－，或x＞0.

3a2b??∴在?－∞，－?，(0，＋∞)上时，函数为减函数． 3a??18．(2010·新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(e－1)－ax. 1

(1)若a＝，求f(x)的单调区间；

2

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围． 112x[解析] (1)a＝时，f(x)＝x(e－1)－x，

22

x2

2

f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减． (2)f(x)＝x(e－1－ax)．

令g(x)＝e－1－ax，则g′(x)＝e－a.

若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时

xxxg(x)≥0，即f(x)≥0.

当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.

综合得a的取值范围为(－∞，1]．

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