二次函数常见题型（含答案）

中考二次函数常见题型

考点1：二次函数的数学应用题

1. （2011湖北黄石，16，3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移[a,b]=[m－i，n－j]，并称a+b为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当m+n取最小值时，m·n的最大值为 。

【答案】36

2. （2011浙江金华，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.

（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；

（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，

①试求出当n=3时a的值； ②直接写出a关于n的关系式.

yyCDy = 1.1厘MNBOCBCx… OAFEACOx… ABx图1 图2 图3 解：（1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x=1， 2y C O B b1?,得b= 1； ……2分 ∴?2a2（2）设所求抛物线解析式为y?ax?bx?1， 由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点M（2A x 1，2） 2

4?a??,?1?4a?2b?1，???3∴? 解得? 112?a?b?1.?b?8.??42?3?∴所求抛物线解析式为y??y M C O F E N B 428x?x?1；……4分 332（3）①当n=3时，OC=1，BC=3， 设所求抛物线解析式为y?ax?bx，

过C作CD⊥OB于点D，则Rt△OCD∽Rt△CBD， ∴OD?OC?1,

CDBC3设OD=t，则CD=3t， ∵OD?CD?OC，

222∴(3t)?t?1， ∴t?A x y 222110?, 1010C B O D x A ∴C（103，， 10）, 又 B（10，0）1010∴把B 、C坐标代入抛物线解析式，得

?0?10a?10b，10?? 解得:a=； ……2分 ?3110310?a?b.?1010?10n2?1②a??. ……2分

n3. （2011山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax2+bx（a0）与双曲线y=

k 相交于点A，B. 已x知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4. 过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．

（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）把点B（－2，－2）的坐标，代入y=

k， x得：－2=

k，∴k=4． ?24 ． x即双曲线的解析式为：y=

设A点的坐标为（m，n）。∵A点在双曲线上，∴mn=4．…① 又∵tan∠AOx=4，∴

m=4， 即m=4n．…② n又①，②，得：n2=1,∴n=±1.

∵A点在第一象限，∴n=1,m=4 ， ∴A点的坐标为（1，4）

?4?a?b,把A、B点的坐标代入y=ax+b x，得：?解得a=1，b=3；

?2?4a?2b?2

∴抛物线的解析式为：y=x2+3x ；（2）∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标y=4， 代入y=x2+3x，得方程x2+3x－4=0，解得x1=－4，x2=1（舍去）． ∴C点的坐标为（－4，4），且AC=5， 又△ABC的高为6，∴△ABC的面积=

1×5×6=15 ； 2（3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积. 过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D ．

因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（－4，4），CD∥AB， 所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12.

?y?x2?3x,?x?3,解方程组? 得?所以点D的坐标是（3，18）

y?18,??y?2x?12,4. （2011浙江温州，22，10分）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA．

(1)求△OAB的面积；

(2)若抛物线y??x2?2x?c经过点A． ①求c的值；

②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．

【答案】 解：(1) ∵点A的坐标是（－2，4），AB⊥y轴， ∴AB=2，OB＝4， ∴S?OAB?11?AB?OB??2?4?4 22(2)①把点A的坐标（－2，4）代入y??x2?2x?c， 得?(?2)2?2?(?2)?c?4，∴c＝4 ②∵y??x2?2x?4??(x?1)2?4，

∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是（－1，4），OA的中点F的坐标是（－1，2）， ∴m的取值范围为l

5．（2011湖南益阳，20，10分）如图9，已知抛物线经过定点，它的顶点P是y轴正半轴上．．A（1，0）的一个动点，P点关于x轴的对称点为P′，过P′ 作x轴的平行线交抛物线于B、D两点（B点在y轴右侧），．．直线BA交y轴于C点．按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值：

（1）当P点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值；

（2）若P点坐标为（0，m）时（m为任意正实数），线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．

y . C P . O D 1 . A . B x . P?. 图9

【答案】解：⑴ 设抛物线的解析式为y?ax2?1(a?0) ，

抛物线经过A?1,0? ，?0?a?1,a??1 ，

?y??x2?1.

P?、P关于x轴对称,且P?0,1?,?P?点的坐标为?0，－1?

P?B∥x轴,?B点的纵坐标为?1,

由?1??x2+1 解得x??2，

?B?2,?1,?P?B?2.

?OA??P?B，??CP?B∽?COA，

?CAOA12． ???CBP?B22⑵ 设抛物线的解析式为y?ax2?m(a?0) 抛物线经过A?0，1?，?0＝a?m,a??m ?y??mx2?m．

?mx2?m??m P?B∥x轴?B点的纵坐标为?m， 当y??m时，?m?x2?2??0，

?Bm?0，?x2?2?0，?x??2，

?2,?m，?P?B?2， CAOA12???. CBP?B22?同⑴得

CA2． ?m为任意正实数时，?CB26. （2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线y?点C，其顶点在直线y=－2x上.

(1)求a的值； (2)求A,B两点的坐标;

12x?x?a与x轴交于A，B两点，与y轴交于2(3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上?请说明理由.

b4ac?b212,)，∴x=1,∵顶点在直线y=【答案】解：(1)∵二抛物线y?x?x?a的顶点坐标为(?2a4a2－2x上，所以y=－2,即顶点坐标为（1，－2），∴－2=

13－1+a,即a=－4;(2)二次函数的关系式为22y?123x?x?，当y=0时， 22123x1??1,x2?3，x?x??0，解之得：即A（－1，0），B（3，0）；（3）如图所示：直线BD//AC,AD//BC,

22因为A(－1.0),C(0,?3333),所以直线AB的解析式为y??x?,所以设BD的解析式为y??x?b,因为2222

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