高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

预习课本P103～105，思考并完成以下问题

(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？

(2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？

(3)向量数量积的性质有哪些？

(4)向量数量积的运算律有哪些？

[新知初探]

1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：

已知条件 定义 记法 (2)零向量与任一向量的数量积： 规定：零向量与任一向量的数量积均为0.

[点睛] (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．

(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式． 2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念：

①向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ. ②向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ. (2)数量积的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． [点睛] (1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．

向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cos θ a·b＝|a||b|cos θ a·b. |a|

3．向量数量积的性质

设a与b都是非零向量， θ为a与b的夹角． (1)a⊥b?a·b＝0.

(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|， 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. (3)a·a＝|a|或|a|＝a·a＝a.

2

2

a·b(4)cos θ＝. |a||b|(5)|a·b|≤|a||b|.

[点睛] 对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．

4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)．

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

[点睛] (1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.

(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．( ) (2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.( ) (3)若a，b反向，则a·b＝－|a||b|.( ) (4)若a·b＝0，则a⊥b.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×

1

2．若|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为60°，则a·b＝( )

2A．2 C．1 答案：B

1B. 21D. 4

?1?3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·?b?＝－36，则a与b的夹角为( ) ?5?

A．60° C．135° 答案：B

4．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3. (1)若θ＝135°，则a·b＝________； (2)若a∥b，则a·b＝________； (3)若a⊥b，则a·b＝________. 答案：(1)－32 (2)6或－6 (3)0

向量数量积的运算

[典例] (1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b; ②(a＋b)· (a－2b)．

(2)如图，正三角形ABC的边长为2，AB＝c，BC＝a，CA＝b，求a·b＋b·c＋c·a.

[解] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②(a＋b)·(a－2b)＝a－a·b－2b＝16－(－4)－2×4＝12.

(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°， ∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos 120°×3＝－3.

向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法 运算． [活学活用]

已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：

2

2

B．120° D．150°

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