线性规划化问题的简单解法

更新时间：2023-04-21 09:10:01 阅读量：实用文档文档下载

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“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5,进入了高考试题,并且保持了较大的考察比例,几乎是每年高考的必考内容,也是高中数学教学的一个难点。

简单线性规划问题的几种简单解法

依不拉音。司马义（吐鲁番市三堡中学，838009）

“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。

简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。简单线性规划问题的标准型为：

A1x B1y C1 0( 0) A2x B2y C2 0( 0)约束条件 ,(m N ),目标函数 z Ax By，

Amx Bmy Cm 0( 0)

下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。

1. 图解法

第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。

⑴代点法：直线Ax+By+C=0（c不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。

⑵B判别法：若Ｂ＞0（＜０），则不等式Ax+By+C＞0（＜０）表示的区域在直

线Ax+By+C＝0的上方；若Ｂ＞０（＜０），则不等式Ax+By+C＜０(＞0)表示的区域在直线Ax+By+C＝0的下方。（即若B与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行区域是边界线的上方；若B与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边界线的下方）

用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。

第二步、在画出的可行区域内求最优解（使目标函数取最大值或最小值的点），这

个可以用下面的两种办法解决。

azx 所经过可行域上的点使其y轴上bb

az的截距最大（最小）时，便是z取得最大值（最小值）的点；若b 0，直线y x bb⑴y轴上的截距法：若b 0，直线y

所经过可行域上的点使其y轴上的截距最大（最小）时，是z取得最小值（最小值）的点（提醒：截距不是距离，截距可以取正负）。

x y 1, 例1．设x,y满足约束条件 y x,求z 2x y的最大值、最小值。

y 0,

解：如图1作出可行域，因为y的系数1大于0，目标函数z 2x y表示直线y 2x z在y轴上的截距，当直线过A（1，0）时，截距值最大zmax 2 1 0 2，当直线过点O（0，0）时，截距值最小zmin 2 0 0 0。

图1

y 1 例2．若变量x,y满足约束条件 x y 0 ，求z x 2y的最大值和最小值。

x y 2 0

解：如图作出可行域，y的系数-2小于0，过点

A(1,-1)时在y轴上的距最小，目标函数z x 2y取

得最大值，所以zmax 1 2 ( 1) 3；过点B（-1,1）

时在y轴上的截距最大，目标函数z x 2y取得

最，所以zmin 1 2 1 3。

⑵法向量法：目标函数

Ax By的法向量

为（A，B），它垂直于目标函数直线的向量。当目标函数的值线沿目标函数法向量方向平移时，目标函数值逐步增加，与可行区域最后（最先）相交的点上取最大值（最小值）；当等值线沿目标函数法向量反方向平行移动时，目标函数值逐步减少，与可行区域最后（最先）相交的点上取最小值（最大值）。

例3．点P(x, y)在以A(2, 1)、B(–1, –6)、C(–3, 2)为顶点的三角形区域（包括边界）

内，求z= 4x–3y的最大值与最小值。

解：目标函数z= 4x–3y的法向量为（4，-3），

目标函数的直线沿法向量的方向平移时，最先与

可行域在C点上相交，最后在B点上相交（因

为目标函数的等值线从左上角平移过来）。所以

目标函数在点C（-3,2）上取最小值

zmin 4 ( 3) 4 2 18，在点B（-1，-6）

上取最大值zmax 4 ( 1) 4 ( 6) 14。

图解法虽然直观、形象，它容易使人具体地认识线性规划模型的求解过程，但是，这里难点至少有二；一是必要考虑y的系数b的正负，否则容易得出反相的结论；二是要注意直线束的倾斜程度，尤其，要注意与约束条件中的一条或两条只想的倾斜程度的关系，即斜率大小对直线倾斜程度的影响。其中，当斜率为负值时，是学生最感头疼的，也是学生最易出错的。为此，下面介绍通过向量数量积解决线性规划问题的方法，这种方法尽量避开以上两个难点，使解法更直观，更简单，更不易出错。

2. 向量的数量积法

把z Ax By看成平面内的向量OM (A,B)与ON (x,y)的数量积，即

z OM ON OMONcos OM,ON Ax By。因为OM为定值，所以当且仅当

ONcos OM,ON 取最大值（最小值）时，z取最大值（最小值），即当且仅当ON在OM

上的射影取最大值（最小值）时，z取最大值（最小值）（注意：在OM正方向上的射影是

正值，在OM负方向上的射影是负值）。这样目标函数z Ax By在约束条件下的最大值

（最小值）问题，就转化为研究点O与可行域内的任意一点N所组成的向量ON在OM上

的射影的最大值（最小值）问题。即线性规划最大值（最小值）问题就转化为一向量在另一向量上的射影的最大值（最小值）问题。

x y 2 0 例4．若实数x，y满足 x 4，求z x y的最小值。

y 5

解：设z x y是向量OM ( 1,1)与ON (x,y)的数量积。

因为OM ，所以当且仅当ONcos OM,ON 取最小值