层次分析法例题

实验目的：

熟悉有关层次分析法模型的建立与计算，熟悉Matlab的相关命令。

实验准备：

1. 在开始本实验之前，请回顾教科书的相关内容；

2. 需要一台准备安装Windows XP Professional操作系统和装有Matlab的计算机。

实验内容及要求

试用层次分析法解决一个实际问题。问题可参考教材P296第4大题。

实验过程：

某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中B1表示功能，B2表示价格，B3表示可维护性。C1，C2，C3表示备选的3种品牌的设备。

购买设备A 目标层： 判断层： 功能B1 价格B2 维护性B3 方案层： 产品C1 产品C2 设备采购层次结构图

产品C3

解题步骤：

1、标度及描述

人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。

标度 定义（比较因素i与j） 1 因素i与j同样重要 3 因素i与j稍微重要 5 因素i与j较强重要 7 因素i与j强烈重要 9 因素i与j绝对重要 2、4、6、8 两个相邻判断因素的中间值

倒数 因素i与j比较得判断矩阵a ij，则因素j与i相比的判断为aji=1/aij

注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：

aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，…，n

显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。

2、构建判断矩阵A

判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。 根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：

●判断矩阵A?B(即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较)如表1所示；

●判断矩阵B1?C(相对功能，各方案的相对重要性比较)如表2所示； ●判断矩阵B2?C(相对价格，各方案的相对重要性比较)如表3所示； ●判断矩阵B3?C(相对可维护性，各方案的相对重要性比较)如表4所 示。

表1判断矩阵A?B A B1 B2 B3B1 B2 B3 1 3 1/2 C1 1/3 1 1/5 表2 判断矩阵B1?C C2 2 5 1 1/5 1/3 1 C3C3B1 C1 C2 C3 1 3 5 C1 l/3 1 3 表3 判断矩阵B2-C C2 B2 C1 C2 C3B3 1 1/2 1/7 C1 2 1 1/5 表4判断矩阵B3?C C2 7 5 1 l/7 1/9 1 C3 C1 C2 C3 1 l/3 7 3 1 9 3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标

一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。

●求和法

1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /Σaij； 2）将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n）；

3）将ci归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn ）T，wi=ci /Σci ， W即为A的特征向量的近似值；

4）求特征向量W对应的最大特征值：

●求根法

1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根；wi?2）将wi归一化，得到wi?nn

?aj?1ij （i =1, 2, …, n）

wi?wi?1n；W=（w1，w2，…wn ）T即为A的特征向量的

i近似值；

3）求特征向量W对应的最大特征值：

(1)判断矩阵A?B的特征根、特征向量与一致性检验 ①计算矩阵A?B的特征向量。

12计算判断矩阵A?B各行元素的乘积Mi，并求其n次方根，如M1?1??2?，

33W1?3M1?0.874，类似地有，W2?3M2?2.466，W3?3M3?0.464。对向量W?[W1,W2,?,Wn]T规范化，有

W1?W1?Wi?1n?i0.874?0.230 0.874?2.466?0.464类似地有W2?0.684，W3?0.122。所求得的特征向量即为：

W?[0.230,0.648,0.122]T

②计算矩阵A?B的特征根

?11/32??[0.230,0.648,0.122]TAW??315 ????1/21/51??1AW1?1?0.230??0.648?2?0.122?0.69

3类似地可以得到AW2?1.948，AW3?0.3666。 按照公式计算判断矩阵最大特征根：

?max(AW)i0.691.9480.3666??????3.004

nWi3?0.2303?0.6483?0.122i?1n③一致性检验。

实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。如，已判断C1比C2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要。如果又判断C1比C3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行一致性检验。

根据层次法原理，利用A的理论最大特征值λmax与n之差检验一致性。 一致性指标：

CI3.004?3?0.003?0.1，查同阶平均随机?0.002<0.1，CR?RIn?13?1一致性指标（表5所示）知RI?0.58，（一般认为CI<0.1、 CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。

表5 平均随机一致性指标 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 阶数 3 RI 0.58 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 (2)判断矩阵B1?C的特征根、特征向量与一致性检验

类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵B1?C的特征根、特征向量与一致性检验如下：

W?[0.105,0.258,0.637]T，?max?3.039，CR?0.033?0.1 (3)判断矩阵B2?C的特征根、特征向量与一致性检验

类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：—C的特征根、特征向量与一致性检验如下：

W?[0.592,0.333,0.075]T，?max?3.014，CR?0.012?0.1 (4)判断矩阵B3?C的特征根、特征向量与一致性检验 类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵B3?C的特征根、特征向量与一致性检验如下：

W?[0.149,0.066,0.785]T，?max?3.08，CR?0.069?0.1 4、层次总排序

计算CI???max?n获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1, w2,…, wm；她的下一层次三级有p1, p2,…,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：

方案C1的重要度（权重）=0.230×0.105+0.648×0.529+0.122×0.149=0.426 方案C2的重要度（权重）=0.230×0.258+0.648×0.333+0.122×0.066=0.283 方案C3的重要度（权重）=0.230×0.637+0.648×0. 075+0.122×0.785=0.291

依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。 层次总排序如表6所示。

表6 层次总排序

层次 层次 C1 C2 C3B1 B2 B3 层次C 总排序权重 0.426 0.283 0.291 0.230 0.105 0.258 0.637 0.648 0.592 0.333 0.075 0.122 0.149 0.066 0.785 5、结论 由表5可以看出，3种品牌设备的优劣顺序为：C1，C3，C2，且品牌1明显优于其他两种品牌的设备。

实验总结（由学生填写）：由此次实验可以看出层次分析法可以在现实生活中多加以运用，能够解决很多的现实问题。初步掌握了层次分析法的步骤，相信多花时间加以练习

巩固，可以对层次分析法更深的了解。 实验等级评定：

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