江苏省扬州市2016—2022学年度高二第一学期期末调研测试数学试卷

数学试题第1页（共8页） 扬州市2016—2017学年度第一学期期末调研测试试题

高 二 数 学

2017．1

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

注意事项：

1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．

2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）

1．命题“0x ?>

，1x ≤-”的否定为 ▲ ．

2．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 ▲ ．

(第2题) (第3题) (第5题)

3．如图，四边形ABCD 是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为 ▲ ．

4．抛物线24y x =上横坐标为3的点P 到焦点F 的距离为_____▲____．

5．将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中a 的值为 ▲ ．

6．函数21()f x x x

=+的图象在1x =处的切线方程为 ▲ ．

7．若双曲线2

221(0)x y m m

-=>

的一条渐近线方程为0x +=，则m = ▲ ．

8．“3a =”是“直线210x ay ++=和直线(1)320a x y -+-=平行”的 ▲ 条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）

9．已知函数(0)()2(0)x xe x f x x x ?<=?-≥?

，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则m 的取值范围 是 ▲ ．

数学试题第2页（共8页）

10．圆心在x 轴上且与直线l ：y = 2x +1切于点(0,1)P 错误！未找到引用源。的圆C 的标准方程为 ▲ ．

11．函数()f x 的定义域为R ，且(3)1f -=，()2f x '>，则不等式()27f x x <+的解集 为 ▲ ．

12

．若直线y kx =+221x y +=没有．．

公共点，则此直线倾斜角α的取值范围 是 ▲ ．

13

．已知函数()a f x x

（0a >）. 若存在0x ，使得0()0f x ≥成立，则a 的最小值为 ▲ ．

14．如图，椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为F ，过F 的直线交椭圆于,A B 两点，点C 是点A 关于原点O 的对称点，若

CF AB ⊥且CF AB =，则椭圆的离心率为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）

已知命题p ：2

,1x R x m ?∈+≥；命题q ：方程22

122

x y m m +=-+表示双曲线. (1) 若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； (2) 若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围．

16．（本小题满分14分）

某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会. 此学校各年级人数情况如下表：

(1) 若按年级用分层抽样的方法抽取n 个人，其中高二年级22人，高三年级20人，再从这n 个人中随机抽取出1人，此人为高三年级的概率为1033

，求x 、y 的值. (2) 若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，从这5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率.

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆

22

22

:1(0)

x y

E a b

a b

+=>>的左焦点为(1,0)

F-，左顶点

为A，上、下顶点分别为,B C.

(1) 若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；

(2) 若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离.

18．（本小题满分16分）

某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O在道路上，AB为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD 内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．

(1) 设COD x

∠=（单位：弧度），将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；

(2) 当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用．

（第18题）

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数学试题第4页（共8页） 19．（本小题满分16分）

若圆C ：220x y Dx Ey F ++++=的半径为r ，圆心C 到直线l ：0Dx Ey F ++=的距离为d ，其中222D E F +=，且0F >．

(1) 求F 的取值范围；

(2) 求22d r -的值；

(3) 是否存在定圆M 既与直线l 相切又与圆C 相离？若存在，请写出定圆M 的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知函数()ln (1)f x x a x =--，()x g x e =，其中e 为自然对数的底数．

(1) 当1a =时，求函数()y f x =的单调区间；

(2) 求函数()y f x =在区间[1,]e 上的值域；

(3) 若0a >，过原点分别作曲线()y f x =、()y g x =的切线1l 、2l ，且两切线的斜率互为倒数，求证：211e e a e e

--<<．

数学试题第5页（共8页） 2016—2017学年度第一学期高二数学期末试卷

参 考 答 案 2017．1

一、填空题

1.0x ?>

1x >- 2．15 3.

15 4. 4 5. 0.028 6. 1y x =+ 7.

8. 充分不必要

9. (-1e ,0) 10. 5)2(22=+-y x 11. (,3)-∞- 12.??? ????????πππ,434,0

13. 16 14.

二、解答题

15⑴对于任意2,11x R x ∈+≥，

若命题p 为真命题，则2min 1x m +≥（），所以1m ≤； ……5分

⑵若命题q 为真命题，则(2)(2)0m m -+<，所以22m -<<， ……8分 因为命题""p q ∨为真命题，则,p q 至少有一个真命题，""p q ∧为假命题，

则,p q 至少有一个假命题，所以,p q 一个为真命题，一个为假命题. ……10分

当命题p 为真命题，命题q 为假命题时，122

m m m ≤??

≤-≥?或，则2m ≤-，

当命题p 为假命题，命题q 为真命题时，122m m >??-<

，则12m <<， 综上，212m m ≤-<<或. ……14分 16⑴依题意得：201033

n =，解得66n =. ……2分 所以高一年级被抽取的人数为66-22-20 = 24.

所以2024221000520610

x y ==++，解得680x =，490y =. ……6分 ⑵若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，

设抽取男生的人数为m ，则4005600400

m =+，解得2m =， 所以应抽取男生2人，女生3人，分别记作1A 、2A ；1B 、2B 、3B . ……8分

方法一：记“从中任取2人，至少有1人是男生”为事件A .

从中任取2人的所有基本事件共10个：（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3）， （A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 2，B 3）.

其中至少有1人为男生的基本事件有7个：

（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3）.

所以从中从中任取2人，至少有1人是男生的概率为710

. ……13分 方法二：记“从中任取2人，至少有1人是男生”为事件A ，则A 表示“从中任取2人， 全是女生”，全是女生的基本事件有3个：（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 2，B 3）.

所以37()1()11010

P A P A =-=-=. 答：至少有1人是男生的概率710

. ……14分

数学试题第6页（共8页） 17⑴由题意，(,0),(0,),(0,)A a B b C b --，

又(1,0)F -，所以1c =，直线BF ：y bx b =+. ……2分

M 为AC 的中点，所以(,)22

a b M -

-， 代入直线BF y bx b =+，则3a =，. ……4分

由22221a b c b =+=+，所以228,9b a ==， 所以椭圆E 的标准方程是22

198

x y +=. ……6分 ⑵因为直线BF 的斜率为1

，则1,b c a ===2

2:12

x M y +=， ……8分 又直线:1BF y x =+，则2

2121x y y x ?+=???=+?

，

解得0x =（舍），或43

x =-， ……11分 因为右准线的方程为2x =，

所以点D 到右准线的距离为410233

+=. ……14分

18⑴因为扇形AOC 的半径为10 m ，AOC x π∠=-(rad )，

所以扇形AOC 的面积2(10=50()2AOC x S x ππ-?=-扇），03

x π<≤． ……3分 在Rt △COD 中，OC ＝10，CD ＝10tan x ，

所以△COD 的面积S △COD ＝12

·OC ·CD ＝50tan x ． ……5分 从而y ＝100S △COD ＋200S 扇形AOC ＝5000(tan 22)x x π+-，03x π<≤

． ……8分 （注：没有x 的范围，扣1分）

⑵设()tan 22,03

f x x x x π

π=+-<≤，则sin ()22cos x f x x x π=+-，

22222cos sin 12cos ()2cos cos x x x f x x x +-'=-=，令()0f x '=，解得4x π=， ……11分 从而当04x π

<<时，()0f x '<；当43x π

π

<<，/

()0f x >． 因此()f x 在区间(0,)4

π上单调递减；在区间(,)43ππ上单调递增． 当4x π=时，()f x 取得最小值，3()121422

f ππππ=+-=+． ……14分 所以y 的最小值为)75005000(π+元． ……15分 答：当4x π=

时，改造景观的费用最低，最低费用为)75005000(π+元． ……16分

数学试题第7页（共8页） 19⑴因为224+>D E F ，又222D E F +=，且0F >，

所以24,>F F 且0F >，解得4>F ； ……3分

⑵易得圆C 的圆心()2

2D E C --, ，半径r =，

圆心C 到直线l 的距离22F d -==， 所以2222212F d r --=-=； ……8分

⑶存在定圆M ：221x y +=满足题意，下证之：

……10分 1°因为M (0，0)

到直线l 1R ==，所以圆M 与直线l 相切；

2°因为2F CM =，且11R +=+， 而()2

241140224

F F F F ->+?->?>， 故1CM R >+，所以圆M 与圆C 相离． 由1°、2°得，存在定圆M ：221x y +=满足题意． ……16分

20⑴当1a =时，()ln 1f x x x =-+，定义域为(0,)+∞，11()1x f x x x

-'=-=． 令()0f x '>，得增区间为(0,1)；令()0f x '<，得减区间为(1,)+∞． ……2分

⑵1()ax f x x

-'=． 当1a e

≤时，()0f x '≥，()f x 在[1,]e 上为增函数，故(1)()()f f x f e ≤≤， 从而()f x 的值域为[0,1]a ae +-；

当1a ≥时，()0f x '≤，()f x 在[1,]e 上为减函数，故()()(1)f e f x f ≤≤，

从而()f x 的值域为[1,0]a ae +-；

当11a e <<时，1(1,)x a ∈时()0f x '>,()f x 递增；1(,)x e a

∈时()0f x '<,()f x 递减 故()f x 的最大值为1()ln 1f a a a

=--+；最小值为(1)f 与()f e 中更小的一个， 当111

a e e <≤-时()(1)f e f ≥，最小值为(1)0f =； 当111

a e <<-时，()(1)f e f <，最小值为()1f e a ae =+-． 综上所述，当1a e ≤时，值域为[0,1]a ae +-； 当111

a e e <≤-时，值域为[0,ln 1]a a --+； 当111

a e <<-时，值域为[1,ln 1]a ae a a +---+； 当1a ≥时，值域为[1,0]a ae +-． ……8分

数学试题第8页（共8页） ⑶设切线2l 对应切点为00(,)x x e ，切线方程为000()x x y e e x x -=-， 将(0,0)代入，解得01x =，02x k e e ==，从而11k e

=． 设1l 与曲线()y f x =的切点为111(,ln (1))x x a x --，1111k a x e =-=，得111a x e

=-① 切线1l 方程为1111ln (1)()y x a x x x e

-+-=-，将(0,0)代入，得111ln (1)x x a x e --=② 将①代入②，得111

1ln 10x x e

-+-=． 令11()ln 1m x x x e =-+-，则21

()x m x x -'=，

()m x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增． 若1(0,1)x ∈，由1

1

()20m e e e =-+->，1(1)0m e =-<，则11

(,1)x e ∈． 而11

1a x e =-在1

(,1)e 上单调递减，故211e e a e e --<<； 若1(1,)x ∈+∞，因()m x 在 区间(1,)+∞上单调增，且()0m e =， 所以1

11

0a x e =-=，与题设0a >矛盾，故不可能． 综上所述，21

1

e e a e e --<<．

……16分

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