第4章_56傅立叶变换的性质
更新时间:2023-09-05 04:13:01 阅读量: 教育文库 文档下载
§ 4.5
傅里叶变换的性质 时域的描述 频域的描述
任一信号可以有两种描述方法
本节将研究在某一域中对函数进行某种运算,在另一域中所引起的效应。为简便,用
f ( t ) F ( j )
表示时域与频域之
间的对应关系,即
F( j ) f t f (t )e dt1 j t f (t ) F ( j )e d 2
j t
一、线性若 f ( t ) F ( j ) 1 1
f2 (t) F2 ( j )则对于任意常数 a1和 a 2
,有
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1( j ) a2F2 ( j )傅里叶变换的线性性质可以推广到有多个信号的情况
线性性质有两个含义:1、齐次性
它表明,若信号f(t)乘以常数(即信号增大
a
倍),则其频谱函数也乘以相同的常数(则其频谱函数也增大2、可加性
它表明,几个信号之和的频谱函数等于各个信号的频谱函数之和。
a倍);
a
a
二、奇偶性下面研究时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。如果 f (t )是时间
t的实函数,那么根据: j t
e
j t
cos( t ) j sin( t )
F( j ) f (t)e dt f (t)cos( t)dt j f (t)sin( t)dt
R( ) jX ( ) F ( j ) e
j ( )
其中频谱函数的实部和虚部分别为:
R ( ) f ( t ) cos( t ) dt X ( ) f ( t ) sin( t ) dt频谱函数的模和相角分别为:
F ( j )
R ( ) X ( )
2
2
X ( ) ( ) arctan( ) R ( )1、若 f(t)是时间 t的实函数,则频谱函数 F j 的实部R 是角频率 的偶函数,虚部 X 是角频率 的奇函数,F ( j )是 的偶函数, ( )是 的奇函
数。
2、如果f(t)是时间
t
的实函数,并且是偶函数,则
F(j ) R( ) f(t)cos( t)dt 2 0f(t)cos( t)dt
频谱函数F(j )等于R( ),它是3、如果f(t)是时间
的实偶函数
t
的实函数,并且是奇函数,则
F(j ) jX( ) j f(t)sin( t)dt j2 0f(t)sin( t)dt
频谱函数F(j )等于jX( ),它是
的虚奇函数
4、f( t)的傅里叶变换
[f( t)] f( t)e
[f( t)]
j t
dt
令
t
,得
f( )ef( )e
j
d( )d
j( )
F( j )
若f(t) 是时间t 的实函数
考虑到R( )是 的偶函数,X( )是
的奇函数,
F( j ) R( ) jX( ) R( ) jX( ) F(j )故:
[f( t)] F( j ) F(j )
将以上结论归纳起来是:如果 f (t )
是
t
的实函数,且设j ( )
f (t ) F( j ) F( j ) e则有(1) (2) (3)实偶
R( ) jX( )
R( ) R( ), X ( ) X ( ) F ( j ) F ( j ), ( ) ( )
f ( t ) F ( j ) F ( j )如 f ( t ) f ( t ),则 X ( ) 0, F ( j ) R ( )如 f ( t ) f ( t ),则 R ( ) 0, F ( j ) jX ( )
实偶
实奇
虚奇
如果 f (t)是
t的虚函数,设 f t jg t 则有 F j jg t e dt jg t cos t dt j g t sin t dt g t sin t dt j g t cos t dt j t 2
(1)
R( ) R( ), X ( ) X ( ) F ( j ) F ( j ), ( ) ( )
(2)
f ( t ) F ( j ) F ( j )
三、对称性
若则
f ( t ) F ( j )
F ( jt ) 2 f ( ) 1 j t证明:傅里叶逆变换式 f (t ) F ( j )e d 2 将上式中的自变量 t换为 t,得 1 j t f ( t ) F ( j )e d 2 将上式中的 t换为 ,将原有的 换为 t,得1 f ( ) F ( jt )e j t dt 2
2 f ( ) F ( jt )e j t dt上式表明,时间函数 F ( jt )的傅里叶变换为 2 f ( )。
例如,时域冲激函数 (t)的傅里叶变换为频域的常数1 ( );由对称性可得,时域的常数
1( t )的傅里叶变换为2 ( ),由于 ( )
是 的偶函数,故有
(t) 1
1( t ) 2 ( )
sin t例4.5-1求取样函数 Sa ( t ) 的频谱函数。 t解:我们已知,宽度为 ,幅度为 1的门函数 g (t )的频谱函数为 Sa ( ),即 2
则:
g ( t ) Sa ( ) 2 g 2 ( t ) 2 Sa ( )1 2
1,即取 2
2
g 2 ( t ) Sa ( )根据傅里叶变换的对称性质:
Sa ( t ) 2 g 2 ( ) g 2 ( )1 2
Sa ( t ) 1/2 g2(t) 1/2
其波形如下图所示:
, g 2 ( ) 0, 1
1 1Sa( )
-1 0 1 Sa(t)1
t
0
g2( )
0
t
-1 0 1
图 4.5-1函数 Sa(t)及其频谱
例4.5-2求函数 t和 1的频谱函数。t
解 (1)函数
t ( )是 '
' ( t ) j 我们已知:由对称性并考虑到'
的奇函数,可得:'
jt 2 ( ) 2 ( ) t j 2 ( ) t j 2 ( )''
(2)函数
1 t
我们已知
2 sgn( t ) j
由对称性并考虑到 sgn( ) sgn( ),得
2 2 s
gn( ) 2 sgn( ) jt根据线性性质,时域频域分别乘以1 j得: 2
1 j sgn( ) t
四、尺度变换尺度变换特性为:若
f ( t ) F ( j )1 F( j ) a a
则对于实常数 a (a 0),有 f (at )
上式表明,若信号 f (t )在时间坐标上压缩到原来 1的,那么其频谱函数在频率坐标上将展宽 a 1倍,同时其幅度减小到原来的,称为尺度变换 a特性或时域展缩特性。
a
f t g t 1-2 / 2
F j
2 /
0f at 1
t2
01 3F
j 36
3
6 0 6
t
6
0
a 3
图 4.5-2尺度变换
设证明: f ( t ) F ( j ),则展缩后的信号 f (at )的傅里叶变换为:令
[ f (at)] f (at)e
j t
dt
x at当a 0时
,则 t x, dt 1 dx, a a
[ f ( at )]
f ( x )e
j
x a
1 dx a
j x 1 f ( x )e a dx a 1 F( j ) a a
设证明: f ( t ) F ( j ),则展缩后的信号 f (at )的傅里叶变换为:
[ f (at)] f (at)e
j t
dt
当a 0,a a,令x at a t, x 1 1 t x, d t d x a a ax
j 1 1 a F f at f x e d x a a
f x e
j
x a
1 d x F j a a
综合上述两种情况
1 f ( at ) F( j ) a a
若令
a 1,得
f ( t ) F ( j )
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