超级资源：(16套)2019年高考数学(理)整套复习资料 (2017年后高考

超级资源：（16套）2019年高考数学（理）整套复习资料

（2017年后高考真题分类汇总）

第一章 集合与常用逻辑用语

第一节 集合

题型1 集合的基本概念——暂无 题型2 集合间的基本关系——暂无 题型3 集合的运算

21.（2017江苏01）已知集合A??1,2?，B?a,a?3，若A??B??1?，则实数a的值

为 ．

3，故由A解析 由题意a?3…2B??1?，得a?1．故填1．

2.（2017天津理1）设集合A??1,2,6?，B??2,4?，C??x?R|?1剟x5?，则

?AB?C?（ ）.

A.?2? B.?1,2,4? C.?1,2,4,6? D.?x?R|?1剟x5? 解析 因为A?{1,2,6},B?{2,4}，所以A从而(AB?{1,2,6}{2,4}?{1,2,4,6}，

B)C?{1,2,4,6}[?1,5]?{1,2,4}.故选B．

3.(2017北京理1)若集合A?x–2

解析 画出数轴图如图所示，则A????B?（ ）.

????????B??x?2?x??1?.故选A.

-2-113x4.（2017全国1理1）已知集合A?xx?1，B?x3?1，则（ ）.

????A. A解析

B??xx?0? B. AB?R C. AB??xx?1? D. AB??

A??xx?1?，B??x3x?1???xx?0?，所以AA.

B??xx?0?，AB??xx?1?.故选

5.2017全国2理2）设集合A??1,2,4?，B?xx?4x?m?0.若A2??B?1，则B?（ ）.

A．?1,?3? B．?1,0? C．?1,3? D．?1,5? 解析 由题意知x?1是方程x2?4x?m?0的解，代入解得m?3，所以x2?4x?3?0的解

3?.故选C. 为x?1或x?3，从而B??1，

6.（2017全国3理1）已知集合A=(x,y)x?y?1，B?(x,y)y?x，则A元素的个数为（ ）. A．3

B．2

C．1

D．0

?22???B中

解析 集合A表示圆x2?y2?1上所有点的集合，B表示直线y?x上所有点的集合，如图所

示，所以A2.故选B.

B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB元素的个数为

yx+y=1O22y=x

x7.（2017山东理1）设函数y?4?x2的定义域A，函数y?ln?1?x?的定义域为B，则

AB?（ ）.

A.?1,2? B.?1,2? C.??2,1? D.??2,1?

x2，所以A???2，2?.由1?x?0，解得x?1，所以解析 由4?x2…0，解得?2剟B????,1?.

从而AB=?x|?2剟x2??x|x?1???x|?2?x?1?.故选D.

8.(2017浙江理1)已知集合P?x?1?x?1，Q?x0?x?2，那么PA.??1,2? B.?01，? C.??1,0? D.?1,2? 解析 P

????Q?（ ）.

Q是取P,Q集合的所有元素，即?1?x?2.故选A．

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

题型4 四种命题及真假关系

221.（2017山东理3）已知命题p:?x?0，ln?x?1??0；命题q:若a＞b，则a?b，下

列命题为真命题的是（ ）.

A.p?q B.p??q C.?p?q D.?p??q 解析 由x?0?x?1?1，所以ln(x?1)?0恒成立，故p为真命题； 令a?1，b??2，验证可知，命题q为假.故选B.

题型5 充分条件、必要条件、充要条件的判断

1.（2017天津理4）设??R，则“??1ππ?”是“sin??”的（ ）.

21212A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析

??1ππ?1ππ??0????sin??.但??0，sin??，不满足???，

212126212121ππ?”是“sin??”的充分不必要条件.故选A.

21212所以“??2.(2017北京理6)设m，n为非零向量，则“存在负数?，使得m??n”是“m?n<0”的（ ）.

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析

若???0，使m??n，即两向量方向相反，夹角为180，则m?n?0.若m?n?0，也可能夹角为90,180??，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.

?3.(2017浙江理6)已知等差数列?an?的公差为d，前“S4+S6?2S5”的（ ）.

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

n项和为Sn，则“d?0”是

解析 S4?S6?4a1?6d?6a1?15d?10a1?21d，2S5?10a1?20d. 当d?0时，有S4?S6?2S5，当S4?S6?2S5时，有d?0．故选C．

题型6 充分条件、必要条件中的含参问题——暂无

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假——暂无 题型8 全（特）称命题——暂无

题型9 根据命题真假求参数的范围——暂无

第二章 函数

第一节 函数的概念及其表示

题型10 映射与函数的概念——暂无 题型11 同一函数的判断——暂无 题型12 函数解析式的求法 题型13 函数定义域的求解 题型14 函数值域的求解

第二节 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性

题型15 函数的奇偶性 题型16 函数的单调性

1.（2017山东理15）若函数exf?x?（e?2.71828是自然对数的底数）在f?x?的定义域上

单调递增，则称函数f?x?具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 .

①f?x??2?x

②f?x??3?x

x

③f?x??x3 ④f?x??x2?2

?e??x解析 ①y=exf?x??ex?2?x???在R上单调递增，故f?x??2具有M性质；

?2?

?e??x②y=ef?x??e?3???在R上单调递减，故f?x??3不具有M性质；

?3?xx?xx③y=ef?x??e?x，令g?x??e?x，则g??x??e?x?e?3x?xexx3x3x3x22x?x?3?，

xx3所以当x??3时，g??x??0；当x??3时，g??x??0，所以y=ef?x??e?x在

???,?3?上单调递减，在??3,???上单调递增，故f?x??x3不具有M性质；

xx2x2④y=ef?x??ex?2.令g?x??ex?2，

????则g??x??e上单调

x?x22xx2?2??ex?2x?ex??x?1??1??0，所以y=ef?x??e?x?2?在R

??递增，故f?x??x?2具有M性质．

2综上所述，具有M性质的函数的序号为①④.

题型17 函数的奇偶性和单调性的综合

1.（17江苏11）已知函数f?x??x?2x?e?3x1， 其中e是自然对数的底数．若xef?a?1??f?2a2??0，则实数a的取值范围是 ．

解析 易知f?x?的定义域为R. 因为f??x????x??2??x??e所以f?x?是奇函数． 又f??x??3x?2?e?2x3?x?113x??x?2x?e???f?x?， ?xxee12…3x…0，且f??x??0不恒成立，所以f?x?在R上单调xe递增．

222因为f?a?1??f2a?0，所以f?a?1???f2a?f?2a，于是

??????1??1??a?1??2a2，即2a2?a?1?0，解得x???1,?．故填??1,?．

2???2?2.（2017天津理6）已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)?xf(x).若a?g(?log25.1)，

b?g(20.8)，c?g(3)，则a，b，c的大小关系为（ ）.

A.a?b?c B.c?b?a

C.b?a?c

D.b?c?a

解析 因为奇函数f(x)在R上增函数，所以当x?0时，f(x)?0，从而g(x)?xf(x)是R上的偶函数，且在(0,??)上是增函数.a?g??log25.1??g?log25.1?，20.8?2，又

4?5.1?8，则

2?l2o?g，.所51以30?20.8?log25.1?3，于是

g?20.8??g?log25.1??g?3?，即b?a?c.故选C.

?1?3.(2017北京理5)已知函数f?x??3???，则f?x?（ ）.

?3?xxA.是奇函数，且在R上是增函数 C.是奇函数，且在R上是减函数

解析

x B.是偶函数，且在R上是增函数 D.是偶函数，且在R上是减函数

?x?1??1?由题知f?x??3x???，f??x??3?x????3??3?x?1x?3??f?x?，所以f?x?为奇函数x3?1?.又因为3x是增函数，???也是增函数，所以f?x?在R上是增函数.故选A. ?3?4.（2017全国1理5）函数f?x?在???,???单调递减，且为奇函数．若f?1???1，则满足?1剟f?x?2?1的x的取值范围是（ ）. A．[?2,2]

B． [?1,1]

C． [0,4]

D． [1,3]

f?x?2?1等价于 解析 因为f?x?为奇函数，所以f??1???f?1??1，于是?1剟x?21，所以1剟f?1?剟f?x?2?f??1?，又f?x?在???，???单调递减，所以?1剟x3.故

选D.

题型18 函数的周期性

1.（2017江苏14）设f?x?是定义在R且周期为1的函数，在区间?0,1?上，

?x2,x?D??n?1．其中集合D??xx?,n?N*?，则方程f?x??lgx?0的解f?x???n???x,x?D的个数是 ．

解析 由题意f?x???0,1?，所以只需要研究x??1,10?内的根的情况． 在此范围内，x?Q且x?D时，设x?q,p,q?N*,p…2，且p,q互质， pn,m,n?N*,m…2，且m,n互质. m若lgx?Q，则由lgx?(0,1)，可设lgx?nmmq?q? 从而10?，则10n???，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx?Q，

p?p?于是lgx不可能与x?D内的部分对应相等， 所以只需要考虑lgx与每个周期内x?D部分的交点.

如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除?1,0?外，其它交点均为x?D的部分． 且当x?1时，?lgx??x?1?1xln10x?1?1?1，所以在x?1附近只有一个交点， ln10因而方程解的个数为8个．故填8．

第三节 二次函数与幂函数

题型19 二次函数图像及应用——暂无

题型20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题

1.(2017浙江理5)若函数f?x??x?ax?b在区间01，上的最大值是M，最小值是m，

2??则M?m（ ）.

A. 与a有关，且与b有关 B. 与a有关，但与b无关 C. 与a无关，且与b无关 D. 与a无关，但与b有关

2解析 函数f?x??x?ax?b的图像是开口朝上且以直线x??a为对称轴的抛物线. 2

①当?aa?1或??0，即a??2，或a?0时，函数f?x?在区间?0,1?上单调，此时22M?m?f?1??f?0??1?a，故M?m的值与a有关，与b无关；

②当剟?12aa??a??1，即?2剟a?1时，函数f?x?在区间?0,??上单调递减，在??,1?上22??2??单调递增，

2?a?a且f?0??f?1?，此时M?m?f?0??f????，故M?m的值与a有关，与b无

?2?4关； ③当0??a1a??a???，即?1?a?0时，函数f?x?在区间?0,??上单调递减，在??,1?上222??2??单调递增，

a2?a?且f?0??f?1?)，此时M?m?f?1??f????1?a?，故M?m的值与a有关，

4?2?与b无关.

综上可得，M?m的值与a有关，与b无关.故选B．

题型21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系——暂无 题型22 二次函数恒成立问题

1.（2017天津理8）已知函数

x，设a?R，若关于x的不等式f?x?…?a2在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）.

39?47??4739?? D.??23,? ?23,2A.??,2? B.??,? C.????16??16??1616???xx解析 解法一：易知f?x?≥0，由不等式f(x)…?a，得?f(x)剟?af(x)， 即

22xxxx?f(x)?剟af(x)?，只需要计算g(x)??f(x)?在R上的最大值和h(x)?f(x)?在

2222R上的最小值即可，

1x1?4747?当x?1时，g(x)??x??3???x?????（当x=时取等号），

24?16164?22333?3939?h(x)?x?x?3??x???…（当x?时取等号），

2416164??22所以?4739； 剟a161623322??3当x?1时，g(x)??x????x????23（当x?时取等号），

32x2x??h(x)?x2x2?…2??2（当x=2时取等号）， 2x2xa2. 所以?23剟综上所述，得?47剟a2．故选A． 16x?a的图像，如图所示. 2解法二：分别作出函数和y?2xx若对于任意x?R，f?x?…?a恒成立，则满足x?…?a?x?1?且

2x2xx2x2x2x2?x?3厔??a?x1?恒成立，即a???x?1?，又??2??2，当且仅

22x2x2x当

x2?时，即x?2时取等号，所以a?2. 2x2x?且?a剟x?3?x1?，则?a?24747?2x?a??x??3?，即. ??16216??min综上所述，a的取值范围为???47?,2?.故选A. ?16?44?上的最大值是5，?a?a在区间?1，x2.(2017浙江理17)已知a?R，函数f?x??x?则a的取值范围是 . 解析 设t?x?4，则f(t)?t?a?a，t??4,5?. x

?)?f(4?f(t)maxf(4),f(5)??，即?解法一：可知的最大值为

)??f(5???a?4.5?f(4)?4?a?a?5 ，解得或 ??a?5f(5)?5?a?a?5????4a?a?5或

?5a??a5?a?4.5，所以a?4.5．则a的取值范围是???,4.5?. ?a?5?解法二：如图所示，当a?0时，f(t)?t?a?a?t?5成立； 当0?a?t时，f(t)?a?t?a?0?t?5成立；

当a?t时，f(t)?t?a?a?a?t?a?5成立，即a?4.5. 则a的取值范围是???,4.5?.

y04t5a3O1122x

题型23 幂函数的图像与性质——暂无

第四节 指数函数与对数函数

题型24 指（对）数运算及指（对）数方程

1.(2017北京理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，则下列各数中与

MN最接近的是（ ）.（参考数据：

lg3?0.48）

A.1033 B.1053 C.1073 D.1093

解析

M3361设?x?80，两边取对数lgx?lg3361?lg1080?361?lg3?80，即x?93.28， N10所以接近1093.故选D.

2.（2017全国1理11）设x，y，z为正数，且2x?3y?5z，则（ ）.

A．2x?3y?5z B．5z?2x?3y C．3y?5z?2x D．3y?2x?5z

解析 设2x?3y?5z?t，两边取对数得xln2?yln3?zln5?lnt，则2x?2lnt ln2lnx?13lnt5lntx?fx???，5z?，lnt?0.设f?x??，3y?2，当x??0,e?时， lnx??ln3ln5lnxf??x??0，f?x?单调递减；当x??e,???时，f??x??0，f?x?单调递增.而

2x?f?4?lnt，

3y?f?3?lnt，5z?f?5?lnt.由e<3<4<5，得3y?2x?5z.故选D.

题型25 指（对）数函数的图像及应用——暂无 题型26 指（对）数函数的性质及应用

第五节 函数的图像及应用

题型27 识图(知式选图、知图选式) 题型28 作函数的图像——暂无 题型29 函数图像的应用

?x?1，x?01.（2017全国3理15）设函数f?x???x，则满足f?x??2，x?0?1??f?x???1的x的取值

2??范围是_________.

?x?1,x≤0解析 因为f?x???x，f?x??2 ,x?0?1??f?x???1，即

2??1??f?x???1?f?x?.由图像变换可

2??1??f?x???1?f?x?的解集

2??1??作出y?f?x??与y?1?f?x?的图像如图所示.由图可知，满足

2??

?1?为??,???. ?4? y1y?f(x?)211(?,)441O?2

12x y?1?f(x)2.（2017山东理10）已知当x??0,1?时，函数y??mx?1?的图像与y?2x?m的图像有

且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）. A.?0,1?C.0,2??23,?? B.?0,1?????3,???

?3,???

1. m??23,?? D.0,2???2??22解析 解法一：y??mx?1??mx?2mx?1过点?0,1?且对称轴为x?当0?m?1时，

21?1，从而y?m2x2?2mx?1在区间?0,1?上单调递减，函数my??mx?1?与y?x?m的草图如图所示，此时有一个交点；

y1mO1x

当m?1时，

11??1??1，所以y?m2x2?2mx?1在区间?上单调递减，在区间0，,1?上???m?m??m?2?1?与y?单调递增.若函数y??mxx?m有一个交点，草图如图所示，则

?m?1?1?2?1?m，解得m…3；

ymO11m当m?1时，函数y??x?1?与y?综上所述，m的取值范围是?0,1?解法二：若m?2，则y?2x

x?1显然在区间?0,1?有且只有一个交点为?0,1?.

+??.故选B. ?3，?2x?1,x?0,1??2?的值域为?0,1?；y?x?2,x??0,1?的

值域为?2,1?2?，所以两个函数的图像无交点，故排除C、D；若m?3，则点?1,4?是

??两个函数的公共点.故选B.

2019年高考数学(理) 第二章 函数

第一节 函数的概念及其表示

题型10 映射与函数的概念——暂无 题型11 同一函数的判断——暂无 题型12 函数解析式的求法 题型13 函数定义域的求解 题型14 函数值域的求解

第二节 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性

题型15 函数的奇偶性 题型16 函数的单调性

1.（2017山东理15）若函数exf?x?（e?2.71828是自然对数的底数）在f?x?的定义域上

单调递增，则称函数f?x?具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 .

①f?x??2?x

x②f?x??3?x

xx?x

③f?x??x3 ④f?x??x2?2

?e??x解析 ①y=ef?x??e?2???在R上单调递增，故f?x??2具有M性质；

?2??e??x②y=exf?x??ex?3?x???在R上单调递减，故f?x??3不具有M性质；

?3?③y=ef?x??e?x，令g?x??e?x，则g??x??e?x?e?3x?xexx3x3x3x22xx?x?3?，

xx3所以当x??3时，g??x??0；当x??3时，g??x??0，所以y=ef?x??e?x在

???,?3?上单调递减，在??3,???上单调递增，故f?x??x3不具有M性质；

xx2x2④y=ef?x??ex?2.令g?x??ex?2，

????则g??x??e上单调

x?x22xx2?2??ex?2x?ex??x?1??1??0，所以y=ef?x??e?x?2?在R

??

递增，故f?x??x?2具有M性质．

2综上所述，具有M性质的函数的序号为①④.

题型17 函数的奇偶性和单调性的综合

1.（17江苏11）已知函数f?x??x?2x?e?3x1， 其中e是自然对数的底数．若xef?a?1??f?2a2??0，则实数a的取值范围是 ．

解析 易知f?x?的定义域为R. 因为f??x????x??2??x??e所以f?x?是奇函数． 又f??x??3x?2?e?2x3?x?113x??x?2x?e???f?x?， ?xxee12…3x…0，且f??x??0不恒成立，所以f?x?在R上单调xe递增．

222因为f?a?1??f2a?0，所以f?a?1???f2a?f?2a，于是

??????1??1??a?1??2a2，即2a2?a?1?0，解得x???1,?．故填??1,?．

2???2?2.（2017天津理6）已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)?xf(x).若a?g(?log25.1)，

b?g(20.8)，c?g(3)，则a，b，c的大小关系为（ ）.

A.a?b?c B.c?b?a

C.b?a?c

D.b?c?a

解析 因为奇函数f(x)在R上增函数，所以当x?0时，f(x)?0，从而g(x)?xf(x)是R上的偶函数，且在(0,??)上是增函数.a?g??log25.1??g?log25.1?，20.8?2，又

4?5.1?8，则

2?l2o?g，.所51以30?20.8?log25.1?3，于是

g?20.8??g?log25.1??g?3?，即b?a?c.故选C.

?1?3.(2017北京理5)已知函数f?x??3???，则f?x?（ ）. ?3?xxA.是奇函数，且在R上是增函数 C.是奇函数，且在R上是减函数

解析

x B.是偶函数，且在R上是增函数 D.是偶函数，且在R上是减函数

?x?1??1?由题知f?x??3x???，f??x??3?x????3??3?x?1?3x??f?x?，所以f?x?为奇函数x3?1?.又因为3x是增函数，???也是增函数，所以f?x?在R上是增函数.故选A. ?3?4.（2017全国1理5）函数f?x?在???,???单调递减，且为奇函数．若f?1???1，则满足?1剟f?x?2?1的x的取值范围是（ ）. A．[?2,2]

B． [?1,1]

C． [0,4]

D． [1,3]

f?x?2?1等价于 解析 因为f?x?为奇函数，所以f??1???f?1??1，于是?1剟x?21，所以1剟f?1?剟f?x?2?f??1?，又f?x?在???，???单调递减，所以?1剟x3.故

选D.

题型18 函数的周期性

1.（2017江苏14）设f?x?是定义在R且周期为1的函数，在区间?0,1?上，

?x2,x?D??n?1．其中集合D??xx?,n?N*?，则方程f?x??lgx?0的解f?x???n???x,x?D的个数是 ．

解析 由题意f?x???0,1?，所以只需要研究x??1,10?内的根的情况． 在此范围内，x?Q且x?D时，设x?q,p,q?N*,p…2，且p,q互质， pn,m,n?N*,m…2，且m,n互质. m若lgx?Q，则由lgx?(0,1)，可设lgx?nmmq?q? 从而10?，则10n???，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx?Q，

p?p?于是lgx不可能与x?D内的部分对应相等，

所以只需要考虑lgx与每个周期内x?D部分的交点.

如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除?1,0?外，其它交点均为x?D的部分． 且当x?1时，?lgx??x?1?1xln10x?1?1?1，所以在x?1附近只有一个交点， ln10因而方程解的个数为8个．故填8．

第三节 二次函数与幂函数

题型19 二次函数图像及应用——暂无

题型20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题

1.(2017浙江理5)若函数f?x??x?ax?b在区间01，上的最大值是M，最小值是m，

2??则M?m（ ）.

A. 与a有关，且与b有关 B. 与a有关，但与b无关 C. 与a无关，且与b无关 D. 与a无关，但与b有关

2解析 函数f?x??x?ax?b的图像是开口朝上且以直线x??a为对称轴的抛物线. 2①当?aa?1或??0，即a??2，或a?0时，函数f?x?在区间?0,1?上单调，此时22M?m?f?1??f?0??1?a，故M?m的值与a有关，与b无关；

②当剟?12aa??a??1，即?2剟a?1时，函数f?x?在区间?0,??上单调递减，在??,1?上22??2??单调递增，

2?a?a且f?0??f?1?，此时M?m?f?0??f????，故M?m的值与a有关，与b无

24??关； ③当0??a1a??a???，即?1?a?0时，函数f?x?在区间?0,??上单调递减，在??,1?上222??2??单调递增，

a2?a?且f?0??f?1?)，此时M?m?f?1??f????1?a?，故M?m的值与a有关，

4?2?与b无关.

综上可得，M?m的值与a有关，与b无关.故选B．

题型21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系——暂无 题型22 二次函数恒成立问题

1.（2017天津理8）已知函数

x，设a?R，若关于x的不等式f?x?…?a2在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）.

39?47??4739?? D.??23,? ?23,2A.??,2? B.??,? C.????16??16??1616???xx解析 解法一：易知f?x?≥0，由不等式f(x)…?a，得?f(x)剟?af(x)， 即

22xxxx?f(x)?剟af(x)?，只需要计算g(x)??f(x)?在R上的最大值和h(x)?f(x)?在

2222R上的最小值即可，

1x1?4747?当x?1时，g(x)??x??3???x?????（当x=时取等号），

2416164??22333?3939?h(x)?x?x?3??x???…（当x?时取等号），

24?16164?22所以?4739； 剟a1616

23322??3当x?1时，g(x)??x????x????23（当x?时取等号），

32x2x??h(x)?x2x2?…2??2（当x=2时取等号）， 2x2xa2. 所以?23剟综上所述，得?47剟a2．故选A． 16x?a的图像，如图所示. 2解法二：分别作出函数和y?2xx若对于任意x?R，f?x?…?a恒成立，则满足x?…?a?x?1?且

2x2xx2x2x2x2?x?3厔??a?x1?恒成立，即a???x?1?，又??2??2，当且仅

22x2x2x当

x2?时，即x?2时取等号，所以a?2. 2x2x?且?a剟x?3?x1?，则?a?24747?2x?a??x??3?，即. ??16216??min综上所述，a的取值范围为???47?,2?.故选A. ?16?44?上的最大值是5，?a?a在区间?1，x2.(2017浙江理17)已知a?R，函数f?x??x?则a的取值范围是 . 解析 设t?x?4，则f(t)?t?a?a，t??4,5?. x?4a?a?5或

?5a??a5?)?f(4?解法一：可知f(t)的最大值为max?f(4),f(5)?，即?)??f(5???a?4.5?f(4)?4?a?a?5， 解得?或 ?a?5f(5)?5?a?a?5????a?4.5，所以a?4.5．则a的取值范围是???,4.5?. ??a?5解法二：如图所示，当a?0时，f(t)?t?a?a?t?5成立；

因为

h??x??ex?2xx?x?x???x??xx?x???a?x?x??ecx??x?????2?a???，

0，所以m?x?在R上单调递增. 令m?x??x?sinx，则m??x??1?cosx…因为m(0)?0，所以当x?0时，m(x)?0；当x?0时，m?x??0. （i）当a?0时，ex?a?0.

当x?0时，h??x??0，h?x?在区间???,0?上单调递减； 当x?0时，h??x??0，h?x?在区间?0,+??上单调递增， 所以当x?0时，h?x?取得极小值，极小值为h?0???2a?1；

xlna（ii）当a?0时，h??x??2e?e???x?sinx?，

由h??x??0，得x1?lna，x2=0. ① 当0?a?1时，lna?0，

当x????,lna?时，h??x??0，此时h?x?单调递增； 当x??lna,0?时，h??x??0，此时h?x?单调递减； 当x??0,???时，h??x??0，此时h?x?单调递增. 所以当x?lna时，h?x?取得极大值，

2ln极大值为h?lna???a??a?2lna?sin?lna??cos?lna??2??，

当x?0时，h?x?取得极小值，极小值是h?0???2a?1； ②当a?1时，lna?0，

0，函数h?x?在???,???上单调递增，无极值点； 所以当x????,???时，h??x?…② 当a?1时，lna?0，

所以 当x????,0?时，h??x??0，此时h?x?单调递增； 当x??0,lna?时，h??x??0，此时h?x?单调递减；

当x??lna,???时，h??x??0，此时h?x?单调递增； 所以当x?0时，h?x?取得极大值，极大值为h?0???2a?1； 当x?lna时，h?x?取得极小值，

2极小值为h?lna???a??lna?2lna?sin?lna??cos?lna??2??.

综上所述：当a?0时，h?x?在???,0?上单调递减，在?0,???上单调递增， 函数h?x?有极小值，极小值为h?0???2a?1；

当0?a?1时，函数h?x?在???,lna?和?0,???上单调递增，在?lna,0?上单调递减，函数

h?x?有极大值，也有极小值，

2ln极大值是h?lna???a??a?2lna?sin?lna??cos?lna??2??，极小值是h?0???2a?1；

当a?1时，函数h?x?在???,???上单调递增，无极值；

当a?1时，函数h?x?在???,0?和?lna,???上单调递增，在?0,lna?上单调递减，函数h?x?有极大值，也有极小值， 极大值是h?0???2a?1，极小值是

2h?lna???a?ln?a?2lna?sin?lna??cos?lna??2??.

3.(2017北京理19)19.已知函数f?x??ecosx?x.

x（1）求曲线y?f?x?在点0,f?0?处的切线方程； （2）求函数f?x?在区间?0,?上的最大值和最小值.

2解析 （1）因为f(x)?excosx?x，所以f?(x)?ex(cosx?sinx)?1，f?(0)?0. 又因为f(0)?1，所以曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?1. （2）设hx()e(?ocsxnis)x1?x???π????，则h?()xe(?cosxnisnisx?cos)x?2enisx?x??xx.

?π??π??h(x)?0h(x)x?0,当，所以在区间?0,?上单调递减. ??时，

?2??2?

所以对任意x??0,?，有h(x)?h(0)?0，即f?(x)?0.

2所以函数f(x)在区间?0,?上单调递减.

2因此f(x)在区间?0,?上的最大值为f(0)?1，最小值为f????.

2?2??2?2x?1`4.（2017全国2理11）若x??2是函数f?x??x?ax?1e的极值点，则f?x?的极

?π????π????π??π?π??小值为（ ）.

A.?1 B.?2e?3 C.5e?3 D.1

?32x?1?f?2?4?2a?2?a?1?e?0，解得???x?a?2x?a?1?e????.解析 f??x???由??????2x?12x?1a??1， 所以f?x??x?x?1?e，f??x??x?x?2?e.令f??x??0，得x??2或x?1，

????当x??2或x?1时，f??x??0；当?2?x?1时，f??x??0，则f?x?的极小值为f?1???1.故选A.

5.(2017浙江理20)已知函数f?x??x?2x?1e?x?x…?. （1）求f?x?的导函数；

（2）求f?x?在区间?，+??上的取值范围.

????1?2??1?2??解析 （1）因为 x?2x?1?1????1?，?e?x???e?x， 2x?1?1?x?1??x??x所以f??x???1??e?x?2x?1e?2x?1?????2x?1?2e?x?1?x???.

22x?1??5. 2?（2）由f??x???1?x??2x?1?2e?x2x?1??0，解得x?1或x?当x变化时，f?x?，f??x?的变化情况如下表所示.

x 1 2?1??,1? ?2?1 ?5??1,? ?2?5 2?5?,???? 2??

f??x? 1?1e2 2? ↘ 0 0 ? ↗ 0 1?5e2 2? ↘ f?x? 1又f?x??2?5?1?11?1?2x?1?1e…0，e2?e2，所以f?x?在区间?,???上的取值范

22?2??2?x?1?1?围是?0,e2?.

?2?

题型35 利用导函数研究函数的图像

1.(2017浙江理7)

函数y?f?x?的导函数y?f??x?的图像如图所示，则函数y?f?x?的图像可能是（ ）. 解析 导数大于零，原函数单调递增，导数小于零，原函数单调递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D．

题型36 恒成立与存在性问题

yOA.xyOB.xyyOC.xyOD.xOx1.（2017天津理20）设a?Z，已知定义在R上的函数f?x??2x?3x?3x?6x?a在

432区间?1,2?内有一个零点x0，g?x?为f?x?的导函数. （1）求g?x?的单调区间； （2）设m??1,x0? ?x0,2?，函数h?x??g?x??m?x0??f?m?，求证：h?m?h?x0??0；

（3）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p,q，且

p??1,x0?q?x0,2?满

足

p1?x0…4. qAq

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o5.html