2012江苏高考数学试卷答案及其解析

2012江苏高考数学试卷答案及其解析

一.填空题：

1．已知集合A {1，2，4}，B {2，4，6}，则A B ． 【答案】 1,2,4,6

【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A和集合B的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是1 ，2，4，6，所以答案为 1,2,4,6 . 【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，难度系数较小.

2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生． 【答案】15

【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：50

310

15人，答案 15 .

【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视． 3. 设a，b R，a bi 【答案】8

【解析】据题a bi

11 7i1 2i

(11 7i)(1 2i)(1 2i)(1 2i)

25 15i

5

5 3i，所

11 7i1 2i

（i为虚数单位），则a b的值为 ．

以 a 5,b 3, 从而 a b 8.

【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化的实质.

4. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ． 【答案】5

【解析】根据循环结构的流程图，当k 1时，此时k2 5k 4 0；不满足条件，继续执行循环体，当k 2时，k2 5k 4 6；不满足条件，继续执行循环，当k 3时，

k

2

5k 4 2不满足条件，然后依次出现同样的结果，当k 5时，此时

2

k 5k 4 4，此时满足条件跳出循环，输出k的值为5．

【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成，考查循环结构的流程图.注意循环条件的设置，

以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k的值．这是新课标的新增内容，也是近几年的常考题目，要准确理解循环结构流程图的执行过程． 5. 函数f(x) 的定义域为

． 【答案】0, 【解析】根据题意得到 1 2log

6

x 0，同时，x＞0 ，解得log

6

x

12

，解得x 6，

又x＞0，所以函数的定义域为：0, . 【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略x＞0这个条件，因此，要切实对基本初等函数的图象与性质有清晰的认识，在复习中应引起高度重视.本题属于基本题，难度适中.

6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项， 3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ． 【答案】

35

【解析】组成满足条件的数列为：1, 3,9. 27,81, 243,729, 2187,6561, 19683.从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为35

.

【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.

7．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB AD 3cmAA1 2cm，则四棱锥A BB1D1D的体积为 C1C

cm.

A1DB1

1

3

C

【答案】6cm3

【解析】如图所示，连结AC交BD于点O，因为 平面ABCD BB1D1D，又因为

AC BD，所以，AC 平面BB1D1D，所以四棱锥A BB1D1D的高为AO，根据题

意AB AD 3cm，所以AO

322

，又

因为BD ，AA1 2cm，故矩形

从而四棱锥A

BB1D1D的体积V BB1

D1D的面积为，

2

13

2

6cm.

3

【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥A BB1D1D的高为AO，这是解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中. 8. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线【答案】2

【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在x轴上（否则不成立），因此m＞0，由离心率公式得到

m m 4

m

2

x

2

m

y

2

2

m

4

1则m的值为 ．

5，解得 m 2 .

【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的，在对本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋势看，几乎年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中. 9. 如图，在矩形ABCD

中，AB

AB AF

BC 2，点E为BC的中点，点F在边CD

上，若

AE BF的值是 ．

【答案】2

【解析】根据题意AF BC DF,所以

AB AF AB (BC DF) AB BC AB DF AB DF AB DFcos0 F

从而得到DF 1，又因为AE AD DF,BF BC CF，所以

2

AE BF (AD DF) (BC CF) BC 0 0 DF CFcos180

2.

【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法

找到DF 1，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目.

ax 1， 1≤x 0，

10. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ 1，1]上，f(x) bx 2

，0≤x≤1，

x 1

其中a，b R．若f f ，则a 3b的值为 ．

2

2

1 3

【答案】 10 .

【解析】因为f f ，函数f(x)的周期为2，所以

2

2

ax 1， 1≤x 0，

f() f( 2) f( )，根据f(x) bx 2得到3a 2b 2，

，0≤x≤1，222

x 1

1 3

131

又f(1) f( 1)，得到 a 1 所以a 3b 10.

b 22

,即2a b 0，结合上面的式子解得a 2,b 4，

【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性将式子化简为f() f(

21

32

2) f(

12

)然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档

题，难度适中.

11. 设 为锐角，若cos

4

sin(2 )的值为 ． ，则 6 512

【答案】

1750

2

【解析】根据cos

167 42

，， cos(2 ) 2cos( ) 1 2 1

6 5362525

因为co2 s (

3

) 0，所以 sin(2

3

)

7

1

25

2

2425

，因为

sin(2

12

) sin[(2

3

)

4

] sin(2

3

)cos

4

cos(2

3

)sin

4

1750

2

.

【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高.

12. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2 y2 8x 15 0，若直线y kx 2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ． 【答案】

43

2

【解析】根据题意x2 y2 8x 15 0将此化成标准形式为： x 4 y2 1，得到，该圆的圆心为M

4,0 半径为1 ，若直线y kx

2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的

圆与圆C有公共点，只需要圆心M

4k 2k 1

2

4,0 到直线y kx

43

2的距离d 1 1，即可，所以有

d 2，化简得k(3k 4) 0解得0 k ，所以k的最大值是

43

.

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线y kx 2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，这句话的理解，只需要圆心M化.本题属于中档题，难度适中.

b R)的值域为[0，13. 已知函数f(x) x2 ax b(a， )，若关于x的不等式f(x) c的

4,0 到直线y kx 2的距离d

1 1即可，从而将问题得以转

解集为(m，m 6)，则实数c的值为 ． 【答案】9

【解析】根据函数f(x) x2 ax b 0，得到a2 4b 0，又因为关于x的不等式

2

f(x) c，可化为：x ax

b 0c ，它的解集为

m,m 6

，设函数

2

f(x) x ax b c图象与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2，则

x2 x1 m 6 m 6，从而，(x2 x1)2 36，即(x1 x2)2 4x1x2 36，又因为 x1x2 b c,x1 x2 a，代入得到 c 9.

【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大. 14. 已知正数a，b，c满足：5c 3a≤b≤4c a，clnb≥a clnc，则【答案】 e,7

【解析】根据条件5c 3a≤b≤4c a，clnb≥a clnc，a c lnb lnc clnb

a

ba

的取值范围是 ．

bc

，得到

3a bab

得到c b.又因为5c 3a b，所以c ，由已知b 4c a，ln , ec 1，

5ccc

得到c

a b4

.从而

a b4

b，解得

ba

13

.

【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大. 二、解答题

15. （本小题满分14分）

ABC在中，已知AB AC 3BA BC．

（1）求证：tanB 3tanA； （2

）若cosC 【答案及解析】

5

求A的值．

【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.

16. （本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1B1 A1C1，D，E分别是棱（点D 不同于点C），且AD DE，F为B1C1的中点． BC，CC1上的点求证：（1）平面ADE 平面BCC1B1； （2）直线A1F//平面ADE． 【答案及解析】

【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判

定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化． 17. （本小题满分14分）

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y kx

120

(1 k)x(k 0)表示的曲线上，其

2

2

中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

【答案及解析】

【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中． 18．（本小题满分16分）

已知a，b是实数，1和 1是函数f(x) x3 ax2 bx的两个极值点．

（2）设函数g(x)的导函数g (x) f(x) 2，求g(x)的极值点；

（3）设h(x) f(f(x)) c，其中c [ 2，2]，求函数y h(x)的零点个数． 【答案及解析】

【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大． 19. （本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

xa

22

yb

22

1(a b 0)的左、右焦点分别为F1( c，0)，

都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． e)和 eF2(c，0)．已知(1，

2

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1 与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P． （i

）若AF1 BF2

2

，求直线AF1的斜率；

（第19题）

（ii）求证：PF1 PF2是定值． 【答案及解析】

【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件AF1 BF2 时，需要注意直线AF1和直线BF2平行这个条件.本题属于中档题． 20. （本小题满分16分）

已知各项均为正数的两个数列{an}和{b

n}满足：an 1

62

n N．

（1）设bn 1

2

b n

1 ，n N，求证：数列 是等差数列；

an

an

bn

（2

）设bn 1

bnan

，n N，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．

【答案与解析】

【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点 、重点问题，在训练时，要引起足够的重视.

数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，

使BD = DC，连结AC，AE，DE． 求证： E C．

【答案与解析】

B （第21-A题）

【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重．

B．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵A的逆矩阵A 1

1 4 1 23

4

，求矩阵A的特征值． 1 2

【答案与解析】

【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题． C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标中，已知圆C

经过点P 求圆C的极坐标方程． 【答案与解析】

，圆心为直线 sin

4

3

2

与极轴的交点，

【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线 sin(

3)

32

与极轴的交点，

考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．

D．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数x，y满足：|x y| 【答案与解析】

13

，|2x y|

16

，求证：|y|

518

．

【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用. 22．（本小题满分10分）

设 为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时， 0；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， 1． （1）求概率P( 0)；

（2）求 的分布列，并求其数学期望E( )． 【答案与解析】

【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，在列分布列时，要注意 的取值情况，不要遗漏 的取值情况． 23．（本小题满分10分）

设集合Pn {1，2，…，n}，n N．记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：

①A Pn；②若x A，则2x A；③若x ðPA，则2x ðPA．

n

n

（1）求f(4)；

（2）求f(n)的解析式（用n表示）． 【答案与解析】

【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集和函数的解析式的求法.本题属于中档题，难度适中.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o4y4.html