《大学物理教程习题答案》上海交通大学出版社

???1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=R(cosωti?sinωtj)

其中?为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

???解：(1) 由r=R(cosωti?sinωtj)，知：x?Rcos?t ，y?Rsin?t

消去t可得轨道方程：x?y?R

∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；

222习题1

?????dr（2）由v?，有速度：v???Rsin?ti??Rcos?tj

dt1??22而v?v，有速率：v?[(??Rsin?t)?(?Rcos?t)]2??R。

???21-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?4ti?(3?2t)j，式中r的单位为m，t的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从t?0到t?1秒的位移；（3）t?0和t?1秒两时刻的速度。 解：（1）由r?4ti?(3?2t)j，可知x?4t ，y?3?2t 消去t得轨道方程为：x?(y?3)，∴质点的轨道为抛物线。

2?2??2?????dr（2）由v?，有速度：v?8ti?2j

dt1?????1?从t?0到t?1秒的位移为：?r??vdt??(8ti?2j)dt?4i?2j

00?????（3）t?0和t?1秒两时刻的速度为：v(0)?2j，v(1)?8i?2j 。

??2?1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?ti?2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

?????dv??dr??解：(1)由v?，有：v?2ti?2j，a?，有：a?2i；

dtdt1??222（2）而v?v，有速率：v?[(2t)?2]2?2t?1 ∴at?dv?dt2tt?12，利用a?at?an有： an?222a2?at2?2t?12。

1-4．一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为y1，升降机上升的高度为y2，运动方程分别为

12gt （1） 212 y2?v0t?at （2）

2 y1?y2?d （3）

y1?v0t?（注意到y1为负值，有y1??y1） 联立求解，有：t?2d。

g?a2d。 g?a1

解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为g'?g?a， 利用d?

12d?g't2，有：t?g'21-5．一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求：

（1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程；

yhv0??drdvdv（3）落地前瞬时小球的，，。

dtdtdt解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：

x?1212?O?x?v0t ，y?h?gt ，∴r?v0ti?(h?gt)j；

22gx2（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：y??2?h（为抛物线方程）；

2v0????dr12??（3）∵r?v0ti?(h?gt)j，∴?v0i?gtj，

dt2???dv??即：v?v0i?gtj，??gj

dt???2hdr在落地瞬时，有：t?，∴?v0i?2ghj

gdtg2ghg2tdv??又∵ v?v?v?v?(?gt)，∴ 。

2dt[v2?(gt)2]12v0?2gh02x2y202

1-6．路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.

证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为x1，足的坐标为x2， 由相似三角形关系可得：∴x1?x1?x2h2?， x1h1h1x2

h1?h2h1h2x1x2Odx1h1dx2dx2??v1， ，考虑到：dth1?h2dtdtdx2h1?v1（常数）知人影中头的速度：v影?。 dth1?h2两边对时间求导有：

21-7．一质点沿直线运动，其运动方程为x?2?4t?2t(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？

解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置：

v?dx?4?4t 若v?0 解得 t?1s， dt?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m

?x3?x3?x1?(2?4?3?2?32)?(2?4?2)??8m

?x??x1??x2?10m。

1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度平的倾角??30，问它第二次碰到斜面的位远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时

2

?h?20cm，斜面对水

置距原来的下落点多

人射角等于反射角)。

解：小球落地时速度为v0?2gh，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，

1vx0?v0cos600→ x?v0cos600t?gcos600t2 （1）

21vy0?v0sin600→ y?v0sin600t?gsin600t2 （2）

22v0第二次落地时：y?0，代入（2）式得：t?，

g22v012?2gh02所以：x?v0cos60t?gcos60t???4h?80cm。

2gg0

1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s，设赤道上重力加速度为9.80m/s。 解：由向心力公式：F向?m?R，

赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：F向?mg，而现在赤道上物体的向心力为：F'向?ma ∴

222?mgg980????16.98?17 ?0maa3.4

1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为?。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解：（1）抛物线顶点处子弹的速度vx?v0cos?，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。 因此有：g?v2?1?(v0cos?)2?1，

yv0vx2v0cos2??1?；

g?ganx?v0g（2）在落地点时子弹的v0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成?角，则：an?gcos?，

2v0有：gcos?? 则： ?2?。

?2gcos?2v01-11．一飞行火箭的运动学方程为x?ut?u(?t)ln(1?bt)，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：

（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。 解：一维运动，直接利用公式：v?1bdxdv，a?有： dtdtdxdvub（1）v? ??uln(1?bt) ， （2）a??dtdt1?bt

1-12．飞机以v0?100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h?98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远? y解：设此时飞机距目标水平距离为x有： v0h?

3

Oxx?v0t┄①，h?12gt┄② 2x?77.50。 h联立方程解得：x?447m，∴??arctan

1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0?49.0m/s，而气球以速度

v?19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？ 解：物体在任意时刻的速度表达式为：vy?v0?gt

故气球中的观察者测得物体的速度?v?vy?v 代入时间t可以得到第二秒末物体速度：?v2?9.8m第三秒末物体速度：?v3?0

第四秒末物体速度：?v4??9.8m（向下）。

，（向上）

ss

思考题1

1-1．质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?

（A）v?v,v?v；（B）v?v,v?v；（C）v?v,v?v；（D）v?v,v?v

答：（C）

1-2．沿直线运动的物体，其速度大小与时间成反比，则其加速度的大小与速度大小的关系是：（A）与速度大小成正比；（B）与速度大小平方成正比；（C）与速度大小成反比；（D）与速度大小平方成反比。 答：B

1-3．如图所示为A，B两个质点在同一直线上运动的v?t图像，由图可知 （A）两个质点一定从同一位置出发 （B）两个质点都始终作匀加速运动 （C）在t2s末两个质点相遇

（D）在0?t2s时间内质点B可能领先质点A

答：D

1-4．质点的x~t关系如图，图中a，b，c三条线表示三它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？ 答：匀速直线运动；va?vb?vc。

1-5．如图所示，两船A和B相距R，分别以速度vA会不会相碰?若不相碰，求两船相靠最近的距离．图答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系的速度v??vB?vA。

个速度不同的运动．问

和vB匀速直线行驶，它们中?和?为已知。

中船A是静止的，而船B条平行于v?方向的直线相靠最近的距离

4

v?是船B相对于船A的速度,从船B作一

BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.

由A作BC垂线AC,其长度rmin就是两船

rmin?Rsin?

作FD//AB,构成直角三角形DEF，故有：sin??在三角形BEF中,由余弦定理可得：v??vBsin??vAsin?，

?v22vA?vB?2vAvBcos(???)

rmin?vBsin??vAsin?v?v?2vAvBcos(???)2A2BR。

方法二：

两船在任一时刻t的位置矢量分别为： rA?(vAtcos?)i?(vBtsin?)j

rB?(R?vBtcos?)i?(vBtsin?)j

r?rB-rA?[R?(vBcos??vAcos?)t]i?[(vBsin??vAsin?)t]j

任一时刻两船的距离为：

r?[R?(vBcos??vAcos?)t]2?[(vBsin??vAsin?)t]2

dr(t)令：?0

dtvBcos??vAcos?t?R 22(vBcos??vAcos?)?(vBsin??vAsin?)vBsin??vAsin?rmin?R。

22vA?vB?2vAvBcos(???)

1-6．若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？

???drdrdvdvdada?0，?0；?0，?0；?0，?0 （A）（B）（C）dtdtdtdtdtdt答：(1) 质点作圆周运动； (2) 质点作匀速率曲线运动； (3) 质点作抛体运动。

tttt??1-7．如图所示，质点在t=0时刻由原点出发作斜抛运动，其速度v?vxi?vyj，回到x轴的时刻为t，则

（A）（C）

?0vdt??vxdt （B）

0?0vdt??vydt

0?t0vdt??vxdt （D）?vdt??vydt

000ttt答：A （注意：题目中各处的v 应为矢量！须加上箭

1-8．一质点作斜抛运动，用t1代表落地时，

t1t1t1y头。）

（1）说明下面三个积分的意义：vxdt,0??vdt,0?vdt；

0（2）用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：

BBB?dr,At1?dr,A?dr。

A答：vxdt 表示物体落地时x方向的距离，

0t1??v0ydt 表示物体落地时y方向的距离，

5

t1?vdt 表示物体在t时间内走过的几何路程，

10B?dr 抛出点到落地点的位移，

AB?dr 抛出点到落地点位移的大小，

AB?dr 抛出点到落地点位移的大小。

A习题2

2-1 质量为16kg的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx?6N，fy?7N，当t?0时，x?y?0，vx??2m/s，vy?0。当t?2s时，求： (1) 质点的位矢； (2) 质点的速度。 解：由 ax?fy?7fx63?m/s2 ，有：ax??m/s2，ay?m16m168235adt??2??2??m/s， ?0x842?77vy?vy0??aydt??2??m/s。

01685?7??于是质点在2s时的速度：v??i?jm/s

48?1?7?12?12?13?（2）r?(v0t?axt)i?aytj?(?2?2???4)i?()?4j

222821613?7???i?jm

48（1）vx?vx0?

????22-2 质量为2kg的质点在xy平面上运动，受到外力F?4i?24tj的作用，t=0时，它的初速度为

?????v0?3i?4j，求t=1s时质点的速度及受到的法向力Fn。

解：解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。

?????dvdv2由：F?m，有：4i?24tj?2?，两边积分有：

dtdtvt1???????32?v0dv??02(4i?24tj)dt，∴v?v0?2ti?4tj，

?????考虑到v0?3i?4j，t?1s，有v1?5i

?????由于在自然坐标系中，v?vet，而v1?5i（t?1s时），表明在t?1s时，切向速度方向就是i方向，所

?????????2以，此时法向的力是j方向的，则利用F?4i?24tj，将t?1s代入有F?4i?24j?4et?24en，

∴Fn??24N。

6

2-3．如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？ 解：分别对A，B进行受力分析，可知：

mAg?T?mAaA

2T?mBaB

1aB?aA

2则可计算得到：aA?4g 。 5木箱，车板与箱底间的算拉车的力F为多少板车与木箱具有相同

2-4．如图，用质量为m1的板车运载一质量为m2的摩擦系数为?，车与路面间的滚动摩擦可不计，计才能保证木箱不致滑动？

解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。 即：a?f?m2gfF??max?m1?m2m2m2m2

可得：F??(m1?m2)g

解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为Fmax，列式有：

Fmax??m2g?m1a?m2g?m2a

联立得：Fmax??(m1?m2)g，

有：F??(m1?m2)g。

2-5．如图所示一倾角为?的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为?(?tg?)。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度a的范围。

解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，

木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得： （1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为：

?Nsin??Ncos??mg

???Nco?s?m1a Nsin

可计算得到：此时的a1?tan???g

1??tan?列式为：

（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），

?Nsin??mg?Ncos?

Nsin???Ncos??ma2

tan???可计算得到：此时的a2?g，所

1??tan?t??a??ng??a。

1???t?a

解法二：考虑物体m放在与斜面固连的非惯性系中， 将物体m受力沿x'和y'方向分解，如图示，同时

考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：

7

以：

??ngt??Na1ntmay'mg?x'x'方向：mgsin??macos??f?0 y'方向：N?mgcos??masin??0

考虑到f??N，有：mgsin??macos???(mgcos??masin?)?0，

sin???cos?tan???解得：a?g?g。

cos???sin?1??tan?tan???tan???∴a的取值范围：g?a?g。

1??tan?1??tan?

2-6．质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。 解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：f??kv 又由牛顿第二定律可得：f?m分离变量，可得：所以：v?v0e考虑到

k?tmdvdv，则?kv?m dtdt0dvtdvkk??dt，两边同时积分，有：????dt，

v0v0vmm

（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v?0的时候子弹的位移，则：

xmaxdvdvdxdxm，v?，可推出：dx??dv，而这个式子两边积分就可以得到位移：?dtdxdtdtk0mm???dv?v0 。

v0kk

2-7．质量为m2的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动， 劈形物质量为m1，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为?， m2求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。

m1解：利用隔离体方法，设方形物m2相对于劈形物m1 沿斜面下滑的加速度为a2'，劈形物m1水平向左的加 速度为a1，分析受力有：

?N1???方形物m2受力：m2g，N1，m2a1（惯性力）；

???劈形物m1受力：m1g，N1，N2，如图；

对于m2，有沿斜面平行和垂直的方程为：

?m2m2gm2a1m2a1cos??m2gsin??m2a2' ① N1?m2a1sin??m2gcos? ②

对于m1，有：

??m1a 1 ③ N1sinm1a1?m2a1sin??m2gcos?， sin?msin?cos?(m1?m2)sin?ga'?g ∴a1?2，代入①，有：2m1?m2sin2?m1?m2sin2?再将a2'在水平和竖直两方向上分解，有： N2将③代入有②：

8

m1?N1??m1g a2x'?(m1?m2)sin?cos?g

m1?m2sin2?(m1?m2)sin2?a2y'?g?a2y 2m1?m2sin?msin?cos?∴a2x?a?a2x'??1g

m1?m2sin2?m1m2cos?mag 而相互作用力：N1?11?2sin?m1?m2sin?

2-8．在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为R，一小擦系数为?，在t?0时，球的速率为v0，求任一时刻球的速

球紧靠圆筒内壁运动，摩率和运动路程。

v2 解：利用自然坐标系，法向：N?m，而：f??N

Rdvv2dv 切向：?f?m，则：???

dtRdtv1t?v0R ??2dv??dt，得：v?

v0v0RR?v0μtttv?tdtR S??vdt?v0R??ln(1?0)

00R?v?t?R0

??2-9．如图，一质点在几个力作用下沿半径为R?20m的圆周运动，其中有一恒力F?0.6iN，求质点

?从A开始沿逆时针方向经3/4圆周到达B的过程中，力F所做的功。 y解：本题为恒力做功，考虑到B的坐标为（?R，R），

???????∴?r?rB?rA??20i?20j，再利用：A?F??r，

BAO???有：A?0.6i?(?20i?20j)??12（焦耳）

xF

2-10．质量为m=0.5kg的质点，在xOy坐标平面内运动，其运动方程为x=5t2,y=0.5(SI),从t=2s到t=4s这段时间内，外力对质点的功为多少？

解：由功的定义：A?F??r，题意：r?5ti?0.5j

???2???????d2r????r2?4?r(4)?r(2)?60i，F?m2?0.5?10i?5i

dt∴A?5i?60i?300J。

???22-11．一质量为m的物体，在力F?(ati?btj)的作用下，由静止开始运动，求在任一时刻t此力所做功的功率为多少。

解：由P?F?v，要求功率就必须知道力和速度的情况，由题意：

???? 9

????1?F111?v??dt??(ati?bt2j)dt?(at2i?bt3j)

mmm23所以功率为：

????11?1?111P?F?v?(ati?bt2j)?(at2i?bt3j)?(a2t3?b2t5)。

m23m23

???22-12．一弹簧并不遵守胡克定律，其弹力与形变的关系为F?(?52.8x?38.4x)i，其中F和x单位分别为N和m。

（1）计算当将弹簧由x1?0.522m拉伸至x2?1.34m过程中，外力所做之功； （2）此弹力是否为保守力? 解：（1）由做功的定义可知：

A??x2x1??1.34F?dx??(?52.8x?38.4x2)dx

0.522??26.4(x22?x12)?12.6(x23?x13)?69.2J ??（2）∵F(x)?F(x)i，按保守力的定义：

??B??A????F(x)?dl??AF(x)i?dr??BF(x)i?dr

??BB????????F(x)i?(dxi?dyj?dzk)??F(x)i(dxi?dyj?dzk)?0

AA∴该弹力为保守力。

2-13．如图，一质量为m的质点，在半径为R的半球形容m?A边缘上的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压

自A滑到B的过程中，摩擦力对其做的功。

分析：Af直接求解显然有困难，所以使用动能定理，那就要器中，由静止开始自力数值为N，求质点

R?B知道它的末速度的情况。

v2解：求在B点的速度：N?G?m，

R121mv?(N?G)R 2212由动能定理： mgR?Af?mv?0

211∴Af?(N?G)R?mgR?(N?3mg)R

22可得：

2-14．在密度为?1的液面上方，悬挂一根长为l，密度为?2的均匀棒AB，棒的B端刚和液面接触如图所示，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在下，求细棒下落过程中的最大速度vmax，以及细棒能进入液体的解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候， 所以：G?F浮，即?2lsg??1hsg ，则：h?利用功能原理：

?12??2??1的条件

最大深度H。

?2l。 ?11mgh?mv2?A浮，有：

210

h12?2slvmax??2sglh???1gsydy

02

可解得：vmax??2gl ?1（2）当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度H时，速度为零，设： H?l?h'，由能量守恒有：?2lsgH? 即：?2lsgH?∴H?l011??ysgdy??lsgh'，

011l??ysgdy??lsg(H?l)

?1l。

2(?1??2)

2-15．一链条放置在光滑桌面上，用手揿住一端，另一端有四分之一长度由桌边下垂，设链条长为L，质量为m，试问将链条全部拉上桌面要做多少功？

解：直接考虑垂下的链条的质心位置变化，来求做功，则：

2-16．在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一物体A、A边上再放一物体B，它们质量分别为mA和mB，弹簧劲度系数为k，原长为l．用力推B，使弹簧压缩x0，然后释放。求： （1）当A与B开始分离时，它们的位置和速度； （2）分离之后，A还能往前移动多远? 解：（1）当A与B开始分离时，两者具有相同的速度，但A的加速度为零，此时弹簧和B都不对A产生作用力，即为弹簧原长位置时刻，根据能量守恒，可得到：(mA?mB)v?111A??EP?mg?l?mgl

48321221v?有：kx02，

2kx0，

mA?mBx?l；

（2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：

mA112x0 。 ，则： xA?mAv2?kxAm?m22AB

2-17．已知地球对一个质量为m的质点的引力为F???Gmem?（1）若r（me,Re为地球的质量和半径)。3r选取无穷远处势能为零，计算地面处的势能；（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能．比较两种情况下的势能差． 解：（1）取无穷远处势能为零，地面处的势能为：

???11EP??F?dr??Gmem?2?dr??Gmem ；

ReRerRe?（2）若选取地面处势能为零，计算无穷远处的势能为：

E???Re???Re11F?dr??Gmem?2?dr?Gmem

?rRe∴两种情况下势能差是完全一样的。

2-18．如图所示的圆锥摆，绳长为l，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：

??（2）质点所受张力T的冲量IT。

（1）质点所受合外力的冲量I；

解：（1）设周期为?，因质点转动一周的过程中，

l?????速度没有变化，v1?v2，由I??mv，

?∴旋转一周的冲量I?0；

??11

?T（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，

且Tcos??mg，∴张力T旋转一周的冲量：

??2??IT?Tcos???j?mg?j

?2?mg所以拉力产生的冲量为，方向竖直向上。

?

2-19．质量为m的质点在Oxy平面内运动，运动学方程为

???r?acos?ti?bsin?tj，求：

?????dr?解：（1）根据动量的定义：P?mv，而v???a?sin?ti?b?cos?tj，

dt???∴P(t)??m?(asin?ti?bcos?t)j ；

??????2?（2）由I??mv?P()?P(0)?m?bj?m?bj?0 ，

（1）质点在任一时刻的动量；

（2）从t?0到t?2?/?的时间内质点受到的冲量。

?所以冲量为零。

2-20．质量为M=2.0kg的物体（不考虑体积），用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以v0=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小v=30m/s，设穿透时间极短。求：

（1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。 解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：mv0?mv?Mv1

∴v1?mv0?mv?5.7m/s Mv12v12根据圆周运动的规律：T?Mg?M，有：T?Mg?M?84.6N；

ll（2）根据冲量定理可得：I?mv?mv0??0.02?570??11.4N?s。

?222-21．一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为1.2?10kg?m/s，中微子的动量为6.4?10?23kg?m/s，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为5.8?10kg，求其反冲动能。 解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有： （1）P核?2222?22P?P?1.2?0.64?10 电子中微子?26P中微子? ?1.36?10kgm/s

P0.640 又∵tan??中微子?，∴??28.1 ，

P1.2电子2P核?0.17?10?18J。 （2）反冲的动能为：Ek?2m核?22P电子P核?22kgm/s ，??????151.9? ； 所以P核?1.4?10

2-22．有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xc。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。 解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的

12

落地点为xc。

yxm1x1?m2x2，而m1?m2?m， x1?c，

m1?m22mxc?2mx23∴xc?,x2?xc 。

4m2Oxc???xxc/2c

?2-23．如图，光滑斜面与水平面的夹角为??30，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M?1.0kg的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑x?30cm时，恰好有一质量m?0.01kg的子弹，沿水平方向以速度v?200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为k?25N/m。求子弹打入木块后它们的共同速度。

解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：

11Mv12?kx2?Mgxsin?22(碰撞前木快的速度)

再由沿斜面方向动量守恒定律，可得：

?v1?0.83m/s

Mv1?mvcos??（m?M）v?

?v???0.89m/s。

2-24．以初速度0将质量为m的质点以倾角?从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻： （1）作用在质点上的力矩M；

??（2）质点的角动量L。

????解：（1）M?r?F??mgv0cos?tk

???t?mgv0?2（2）L?r?mv??Mdt??cos?tk

02yv0v??zOx

2-25．人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心r2=4R。求：

??（1）卫星在近地点及远地点处的速率v1和v2（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速度g来表示）； （2）卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。 解：（1）利用角动量守恒：r1mv1?r2mv2，得 v1?2v2，

同时利用卫星的机械能守恒，这里，万有引力势能表达式为：EP??G0Mm， r12Mm12mv1?G0?mv2?G022R2Mm考虑到：G02?mg，有： v1?R所以：Mm， 4R2Rg，v2?3Rg； 6（2）利用万有引力提供向心力，有：

?8可得到：??R。

3?

2-26．火箭以第二宇宙速度v2?G0Mm2?mv2，

2Rg沿地球表面切向飞出，如图所示。在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R的A处的速度。 解：第二宇宙速度时E?0，由机械能守恒：

1Mm 0?mvA2?G24R

RO13 A4R?vM1?gR 2R2再由动量守恒：mv2R?mvA?4Rsin?， vA?Gv2?2Rg代入：???300。

2-27．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程：

2mg?T2?2ma┄①

2T1?mg?ma┄② (T2?T)r?J?┄③ (T?T1)r?J?┄④

Ta?r? ，J?mr2/2┄⑤

111联立，解得：a?g，T?mg 。

48

2-28．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上，设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。

解：（1）设杆的线密度为：??有微元摩擦力：

m，在杆上取l一小质元dm??dx，

df??dmg???gdx，

微元摩擦力矩：dM???gxdx，

考虑对称性，有摩擦力矩：

1M?2???gxdx??mgl；

4t0d?（2）根据转动定律M?J??J，有：??Mdt??Jd?， 0?0dt?l11??mglt??ml2?0，∴t?0。

3?g4121或利用：?Mt?J??J?0，考虑到??0，J?ml2，

12?l有：t?0。

3?gl20

22-29．如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg?m，半径为7cm；物体的质量为5kg，用一细绳与劲度系数（1）当绳拉直、弹k?200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速

及最大速率。 解：（1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为xmax。 由机械能守恒：

度达最大值时的位置

12kxmax?mgxmax，有： 214

xmax?2mg?0.49m； k1211kx?mv2?J?2?mgx， 222v111考虑到??，有：kx2?mR2?2?J?2?mgx，

R222d?欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令?0，有：

dx1d?d?mgkx?(mR2?J)?2??mg，将?0代入，有：x??0.245(m)，

2dxdxk∴当x?0.245m时物体速度达最大值，有：

1mgx?kx222vmax?，代入数值可算出：vmax?1.31m/s 。

1J(m?2)2r（2）当物体下落时，由机械能守恒：

2-30．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖

2l．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水31平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。

2直面内转动，转轴O距两端分别为l和解：根据角动量守恒，有：

132122llmv0?l??m?v0?l?m()2??2m?()2?

32333422221有：(l?l)??v0l?v0l

99333v∴??0

2l

思考题

2-1．质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持板和墙壁之间的夹角为?，当?逐渐增大时，小球对木板的压力将怎解：以小球为研究对象，设墙壁对小球的压力为N1， 方向水平向右，木板对小球的压力为N2，方向垂直于 N2木板，小球受重力为mg，建立平衡方程：

N1N2sin??mg ，N1?N2cos? ?平衡，如图所示．设木

样变化？

所以当?增大，小球对木板的压力N2将减小；

mg小球对墙壁的压力N1也减小。

2-2．质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少 ？

解：由于系统在拉力F作用下做匀速运动， 对A进行受力分析，知：F?kx??m1g， 对B进行受力分析，知：kx??m2g

15

解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。 对于x?Acos(?t??x)，y?4cos(?t??y)的叠加，可推得：

x2?y2?2xycos(?x??y)?A2sin2(?x??y)

（1）将?x??663322则方程化为：x?y?xy?12，轨迹为一般的椭圆；

?5?222（2）将?x?，?y??代入有：x?y?2xycos??16sin?

6622则方程化为：x?y?2xy?0，即x?y?0，轨迹为一直线；

?2???（3）将?x?，?y?代入有：x2?y2?2xycos?16sin2

6322222则方程化为：x?y?4，轨迹为圆心在原点，半径为4m的圆。

，?y???代入有：x2?y2?2xycos??16sin2?，

3-9．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后周期为2.0s，求波长和波速。

解：根据题意，对于A、B两点，????2??1?而相位和波长之间满足关系：????2??1???，已知振动6?6x2?x1，?x?2m， 2????x??2?，

代入数据，可得：波长?=24m。又∵T=2s，所以波速u??T?12m/s。

3-10．已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y?Acos(波速为u，?t??)，求：

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何? 解：（1）设平面波的波动式为y?Acos[?（t?）??0]，则P点的振动式为：

xux1）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较， ux?x1?x1有：?0???，∴平面波的波动式为：y?Acos[?(t?)??]；

uux（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：y?Acos[?（t?）??0]，则P点的振动式

uyP?Acos[?（t?为：

x1）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较， ux?x1?x有：?0??1??，∴平面波的波动式为：y?Acos[?(t?)??]。

uuyP?Acos[?（t?

3-11．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A点的振动规律为y?Acos(2??t??)，试写出： （1）该平面简谐波的表达式；

（2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d处）。 解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原点平面简谐波的表达式为：

21

x?ly?Acos[2??（t?）??0]，则A点的振动式：yA?Acos[2??（t?）??0]

uu2??l题设A点的振动式y?Acos(2??t??)比较，有：?0???，

ulx∴该平面简谐波的表达式为：y?Acos[2??（t??）??]

uu（2）B点的振动表达式可直接将坐标x?d?l，代入波动方程：

ld?ldy?Acos[2??（t??）??]?Acos[2??（t?）??]

uuu

3-12．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t?1s时的波形如图所示，且周期T为2s。 3（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。

解：由图可知：A?0.1m，??0.4m，而T?2s，

， Tu??/?m则：

s2?2???，k??5?，∴波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??0) T?O点的振动方程可写成：yO?0.1cos(?t??0)

1?由图形可知：t?s时：yO?0.05，有：0.05?0.1cos(??0)

33dyO?5?考虑到此时（舍去） ?0，∴?0?，

dt33??那么：（1）O点的振动表达式：yO?0.1cos(?t?（2）波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??3)；

?3)；

（3）设A点的振动表达式为：yA?0.1cos(?t??A)

1?s时：yA?0，有：cos(??A)?0 33dyA5?7??0，∴?A??考虑到此时（或?A?） dt665?7?∴A点的振动表达式：yA?0.1cos(?t?)，或yA?0.1cos(?t?)；

66由图形可知：t?（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：

yA?0.1cos(?t?5?xA?)，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：

35??7?t???t?5?xA?，所以：xA??0.233m 。

6330

3-13．一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传线如图所示。试写出：

（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；

（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。

22

?播。已知原点的振动曲

解：这是一个振动 图像！

由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：yO?5?10cos(?t??0)。 （1）当t?0时，yO当t?1时，yOt?0?3?2.5?10?3，考虑到：

dyOdtt?0?0，有：?0???3，

t?1?0，考虑到：

dyOdtt?1?0，有：???3??2，??5?， 6∴原点的振动表达式：yO?5?10?3cos(5??t?)； 635??t?kx?) 63?5?124?5?24??而k??，∴y?5?10?3cos(??t?x?)；

u60.8256253?x25（3）位相差：???2??k?x???3.27rad 。

?24（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：y?5?10?3cos(

?33-14．一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为9.0?10J/(s?m)，频率为

300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段

中含有多少能量？

解：（1）已知波的平均强度为：I?9.0?10?3J/(s?m)，由I?w?u 有：

I9.0?10?3w???3?10?5J/m3

u300wmax?2w?6?10?5J/m3；

1212u（2）由W?w?V，∴W?w??d??w?d

44??3?10?5J/m3??4?(0.14m)2?1m?4.62?10?7J 。

3?433-15．一弹性波在媒质中传播的速度u?10m/s，振幅A?1.0?10m，频率??10Hz。若该媒质的密度为800kg/m，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积S?4.0?10m的总能量。

解：（1）由：I?3?421u?A2?2，有： 2122?1.58?105W/m2； I??103?800?（10?4）（2??103）2?42（2）1分钟为60秒，通过面积S?4.0?10m的总能量为：

W?ISt?1.58?105?4?10?4?60?3.79?103J 。

1?波长，S1比S2的位相超前。若两波在在S1、S2连线方向上42的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的

3-16．设S1与S2为两个相干波源，相距强度如何？ 解：（1）如图，S1、S2连线上在S1外侧，

??2??r2r1∵????2??1?(r2?r1)???????， ?2?42??S1S2?∴两波反相，合成波强度为0；

23

（2）如图，S1、S2连线上在S2外侧， ∵????2??1?2??(r2'?r1')??2?22?2?(?)?0， ?4?S1?∴两波同相，合成波的振幅为2A，

合成波的强度为：I?(2A)?4A?4I0 。

3-17．图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S为声源，如耳或话筒。路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，而渐为1.65cm的第二位置时，有极大值900单位。求：

（1）声源发出的声波频率；

（2）抵达探测器的两波的振幅之比。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：?x?相邻波节与波腹的间距：?x??r'?2r1'S2D为声音探测器，

的。干涉仪内有空

增至B距第一位置

?2，

?4，可得：??4?x?6.6cm。

（1）声音的速度在空气中约为340m/s，所以：??2u?2?340 ?5151（Hz）。6.6?10?2（2）∵I?A2，Imin?(A1?A2)，Imax?(A1?A2)，依题意有：

(A1?A2)2?100(A1?A2)2?900 ?A1?20A2?10 ，那么

A12? 。 A21

3-18．蝙蝠在洞穴中飞来飞去，是利用超声脉冲来导航的。假定蝙蝠发出的超声频率为39000Hz。当它以空气中声速的

1的运动速率朝着墙壁飞扑过程中，试问它自己听到的从墙壁反射回来的脉冲频率是多40少？

解：根据多普勒效应，

?反uuu?vSu?vS40?3900041?41000(Hz) ??0??0??0uu?vSuu?vS39u?40u?

3-19．一声源的频率为1080Hz，相对于地以30m/s的速度向右运动，在其右方有一反射面相对于地以65m/s的速率向左运动，设空气中的声速为331m/s，求： （1）声源在空气中发出声音的波长； （2）每秒钟到达反射面的波数； （3）反射波的波速； （4）反射波的波长。

解：（1）在声源前方静止接收器接收到的频率 ?1??0声音的波长??u?1?uu?0u?vSu u?vSu?vS331?30???0.28(m)

?0108024

（2）每秒钟到达反射面的波数（等于反射波的频率）为 ?2??0u?v反u?vS（3）波速只取决于媒质的性质，因此反射波的波速仍为 u?331(m/s)

u331（4）反射波的波长为 ?2? ??0.233(m)?214213-20．试计算：一波源振动的频率为2040Hz，以速度vs向观察者在A点听得拍音的频率为???3Hz，求波源移动的

?1080331?65?1421(Hz )331?30墙壁接近（如图所示），速度vs，设声速为

340m/s。

解：根据观察者不动，波源运动，即：uS?0，uR?0，

u?0， u?uS其中u?340，??2043，?0?2040，分别代入，可得：uS?0.5m/s 。

观察者认为接受到的波数变了：??

思考题

3-1．试说明下列运动是不是简谐振动：

（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；

（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。 答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：

① 描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长??等等在运动中保持为常量； ② 系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动； ③ 在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用。

d2?2或者说，若一个系统的运动微分方程能用2????0描述时，其所作的运动就是谐振动。

dt那么，（1）拍皮球时球的运动不是谐振动。第一、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二、球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力。要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一、描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量；二、系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三、在运动中系统只受到内

d2?2????0描述时，其所作的运动部的线性回复力的作用。或者说，若一个系统的运动微分方程能用2dt就是谐振动。

（2）小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动。显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为?mgsin?。题中所述，?S??R，故???S（式?0，所以回复力为?mg?。

R中负号表示回复力的方向始终与角位移的方向相反）即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的。若以小球为对象，则小球在以O′为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向

25

556RT?0.5?RT?RT?E21.522???25% 。

6E06RT2

4-13．体积为20L的钢瓶中盛有氧气（视为刚性双原子气体），使用一段时间后，测得瓶中气体的压强为2atm，此时氧气的内能为多少？

解：由理想气体状态方程：pV??RT，以及双原子气体内能公式：E??可得到：E??

5RT， 2555RT?pV??2?1.013?105?20?10?3?104J 。 222

思考题

4-1．气体在平衡状态时有何特征？平衡态与稳定态有什么不同？气体的平衡态与力学中所指的平衡有什么不同？

答：平衡态的特征：

（1）系统与外界在宏观上无能量和物质的交换 （2）系统的宏观性质不随时间改变。

热平衡态是指：在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。

它与稳定态或力学中的平衡不是一个概念。

1．平衡态是一种热动平衡状态。处在平衡态的大量分子并不是静止的，它们仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。例如：粒子数问题：箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。 2．平衡态是一种理想状态。

4-2．对一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小面增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大；从微观来看，它们是否有区别? 答：有区别。从微观上看：p?2nw 3当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大是因为：当w一定时，体积减小，n越大，即单位时间内碰撞到器壁的分子越多，则P就越大；

当体积不变时，压强随温度的升高而增大是因为：当n一定时，w越大，即单位时间内分子对器壁的碰撞越厉害，则P就越大。

4-3．在推导理想气体压强公式的过程中，什么地方用到了理想气体的分子模型?什么地方用到了平衡态的概念?什么地方用到了统计平均的概念？压强的微观统计意义是什么?

答：压强的求解公式中用到了理想气体的分子模型，把分子作为质点来研究；

对每个分子状态的假定用到了平衡态的概念；

从一个分子对器壁的作用力推广到所有分子对器壁的作用力，计算分子的平均速度都用到了统计平均的概念；

压强的微观统计意义是压强是大量分子碰撞器壁的平均效果，是对大量分子对时间对面积的一个统计平均值。对一个分子而言，它对器壁的碰撞是偶然的，但就大量分子而言，其碰撞的统计平均效果就表现为持续的均匀压强。

4-4．容器内有质量为m，摩尔质量为M的理想气体，设容器以速度v作定向运动，今使容器突然停止，问：（1）气体的定向运动机械能转化什么形式的能量？（2）下面两种气体分子速度平方的平均值增加多少？○1单原子分子；②双原子分子；（3）如果容器再从静止加速到原来速度v，那么容器内理想气体的温度是否还会改变?为什么?

31

答：（1）一般来说，气体的宏观运动不会影响其微观的内动能，但是当容器忽然停止运动时，大量分子的定向运动的动能将通过与器壁的以及分子间的碰撞而转换为热运动的能量，会使容器内气体的问题有所升高。

（2）w?313kT，温度增加多少，其速度平方的平均值也做相应的增加。 kT?mv2，所以：v2?22m（3）宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量

度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．所以当容器再从静止加速到原来速度v，那么容器内理想气体的温度不会改变。

4-5．叙述下列式的物理意义：

13iimimi（2）kT；（3）kT；（4）RT；（5）（6）kT；RT；R(T2?T1). 2222M2M21答：（1）在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为kT；

23（2）在平衡态下，分子平均平动动能kT；

2i（3）在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量kT；

2i（4）1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为RT；

2mi（5）由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能为RT。

M2mi（6）由质量为m，摩尔质量为M，自由度为i的分子组成的系统的内能的变化为R(T2?T1)。

M2（1）

4-6．氦气、氧气分子数均为N，TO2?2THe，速率分布曲线如图，且阴影面积为S，求：（1）哪条是氦气的速率分布曲线？ （2）

vPOvPH?2；

e（3）v0的意义？

（4）N[fB(v)?fA(v)]dv为多少？对应的物理意

v0?义是什么？

答：（1）由vp?2RT?可知，对于氧气和氦气，即使TO2?2THe，氦气的vp还是大于氧气，所以图形中，

vp大的曲线是氦气，即B图是氦气的；

（2）

vPOvPH2?TO2?HeTHe?O2?e2?22； ?1?324（3）v0的意义：在这速率附近、速率区间dv内的氦气和氧气的分子数相同； （4）

??v0N[fB(v)?fA(v)]dv为在v0右边的两曲线的面积差乘以N，

对应的物理意义是v0→∞的速率区间内氦气分子比氧气分子多多少个。

4-7．两种理想气体分子数分别为NA和NB，某一温度下，速率分布函数分别为 fA(v)和fB(v)，问此温度下A和B组成系统的速率分布函数如何？

32

答：f(v)?NAfA(v)?NBfB(v)。

NA?NB习题5

5-1．容器的体积为2V0，绝热板C将其隔为体积相等的A、B两个部分，A内储有1mol单原子理想气体，B内储有2mol双原子理想气体，A、B两部分的压强均为p0。

（1）求A、B两部分气体各自的内能；

（2）现抽出绝热板C，求两种气体混合后达到平衡时的压强和温度。

iRT 2333A中气体为1mol单原子理想气体：EA?RTA?RTA?p0V0，

22255B中气体为2mol双原子理想气体：EB?2?RTB?5RTB?p0V0；

223（2）混合前总内能：E0?RTA?5RTB，

2由于RTA?p0V0，2RTB?p0V0，∴2TB?TA，则：E0?4RTA?4p0V0；

3混合后内能不变，设温度为T，有：E?RT?5RT?4p0V0

28p0V0∴ T?；

13R3N08pV1233p?nkT?kT?RT?R?00?p 。

2V02V02V013R130解：（1）由理想气体内能公式：E??

5-2．1mol单原子理想气体从300K加热至350K，问在以下两个过程中各吸收了多少热量？增加了多少内能？对外做了多少功？ （1）容积保持不变；（2）压强保持不变。 解：（1）等容升温过程

做功： A?0 内能变化：

33R(T2?T1)?1??8.31?50?623.25(J) 22 吸热：Q?A??E?623.25(J)

?E??CV,m(T2?T1)??（2）等压升温过程

做功： A?p(V2?V1)??R(T2-T1)?1?8.31?50?415.5(J) 内能变化：

33R(T2?T1)?1??8.31?50?623.25(J) 22吸热：Q?A??E?415.5?623.25?1039(J) ?E??CV,m(T2?T1)??

5-3．1g氦气中加进1J的热量，若氦气压强无变化，它的初始温度为200K，求它的温度升高多少？ 解：等压过程 Q??Cp,m(T2?T1)?? ?T2?

33

7R(T2?T1) 2Q1??0.19(K) 515?R??8.312425-4．如图所示，AB、DC是绝热过程，CEA是等温过程，BED是任意过程，组成一个循环。若图中EDCE所包围的面积为70J，EABE所包围的面积为30J，CEA过程中系统放热100J，求BED过程中系统吸热为多少？ 解：由题意可知在整个循环过程中内能不变，图中EDCE为正循环，所包围的面积为70J，则意味着这个过程对外作功为70J；EABE为逆循环，所包围的面积为

环中，系统对外作功是30J，则意味着这个过程外界对它作功为30J，所以整个循

70J?30J?40J。

而在这个循环中，AB、DC是绝热过程，没有热量的交换，所以如果CEA过程中系统放热100J，由热力学第一定律，则BED过程中系统吸热为：100J?40J?140J。

5-5．如图所示，已知图中画不同斜线的两部分的面积分别为

（1）如果气体的膨胀过程为a─1─b，则气体对外做功多（2）如果气体进行a─2─b─1─a的循环过程，则它对外解：根据作功的定义，在P—V图形中曲线围成的面积就是气功。则：

（1）如果气体的膨胀过程为a─1─b，则气体对外做功为（2）如果气体进行a─2─b─1─a的循环过程，此循环是逆循－S1 。

5-6．一系统由如图所示的a状态沿acb到达b状态，有系统做功126J。

（1）经adb过程，系统做功42J，问有多少热量（2）当系统由b状态沿曲线ba返回状态a时，外84J，试问系统是吸热还是放热？热量传递了多少? 解：（1）由acb过程可求出b态和a态的内能之差： ?E?Q?A?334?126?208J，

S1和S2。

少？

做功又为多少？

体在这一过程所作的S1+S2 。

环，则它对外做功为：

334J热量传入系统，

传入系统?

界对系统做功为

adb过程，系统作功：A?42J，则：Q??E?A?208?42?250J， 系统吸收热量；

（2）曲线ba过程，外界对系统作功：A??84J， 则：Q??E?A??208?84??292J，系统放热。

5-7 某单原子分子理想气体在等压过程中吸热QP=200J。求在此过程中气体对外做的功W。 解：气体在等压过程中吸热：Qp?MMi?2CP(T2?T1)??R(T2?T1) MmolMmol2内能变化为：?E?MMiCV(T2?T1)??R(T2?T1) MmolMmol2由热力学第一定律：Qp??E?W 那么，W?M?R(T2?T1) Mmol∴W/Qp?222，对于单原子理想气体，i?3，有W?Qp??200J?80J。 i?255

5-8．温度为25℃、压强为1atm的1mol刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍。

（1）计算该过程中气体对外的功；

34

（2）假设气体经绝热过程体积膨胀至原来的3倍，那么气体对外的功又是多少？ 解：（1）在等温过程气体对外作功：

A?RTlnV2?8.31?(273?25)ln3?8.31?298?1.1?2.72?103(J)； V1（2）在绝热过程中气体对外做功为：

i5A???E??CV?T??R(T2?T1)??R(T2?T1)

22由绝热过程中温度和体积的关系V??1T?C，考虑到??7?1.4，可得温度T2：

5T1V1??1TT2???1?T2??1?T2?3?0.4?T1?0.6444T1 ?1V23553代入上式：A??R(T2?T1)???8.31?(?0.3556)?298?2.20?10(J)

22

5-9．汽缸内有2mol氦气，初始温度为27℃，体积为20L。先将氦气定压膨胀，直至体积加倍，然后绝热膨胀，直至回复初温为止。若把氦气视为理想气体，求：

（1）在该过程中氦气吸热多少？ （2）氦气的内能变化是多少？ （3）氦气所做的总功是多少？ 解：（1）在定压膨胀过程中，随着体积加倍，则温度也加倍，所以该过程吸收的热量为：

5Qp??Cp?T?2??8.31?300?1.25?104J

2而接下来的绝热过程不吸收热量，所以本题结果如上；

（2）理想气体内能为温度的单值函数。由于经过刚才的一系列变化，温度回到原来的值，所以内能变化为零。

（3）根据热力学第一定律Q?A??E，那么氦气所做的总功就等于所吸收的热量为：A?1.25?104J。

5-10．一侧面绝热的气缸内盛有1mol的单原子分子理想气体，气体的温度

T1?273K，活塞外气压p0?1.01?150Pa，活塞面积量m?102kg(活塞绝热、不漏气且与气缸壁的摩擦可忽略)。的阻碍，活塞起初停在距气缸底部为l1?1m处．今从底部的气体，使活塞上升了l2?0.5m的一段距离，如图所示。

S?0.02m2，活塞质

由于气缸内小突起物极缓慢地加热气缸中试通过计算指出：

（1）气缸中的气体经历的是什么过程？

（2）气缸中的气体在整个过程中吸了多少热量？ 解：（1）可分析出起初气缸中的气体的压强由于小于P2（P2=外界压强+活塞重力产生的压强），所以体积不会变，是一个等容升温的过程，当压强达到P2时，它将继续做一个等压膨胀的过程，则气缸中的气体的过程为：等容升温+等压膨胀；

1?8.31?273?1.13?105Pa，

V0.02?1mg102?10p2?p0??1.01?105??1.52?105Pa，

s0.02i3等容升温：QV??R(T2?T1)?(p2V?p1V)

223?(1.52?1.13)?105?0.02?1?1.17?103J， 2（2）p1??RT? 35

等压膨胀：Qp??55R(T3?T2)?(p2V2?p2V) 225??1.52?105(1.5?1)?0.02?3.8?103J， 23∴Q?QV?Qp?4.97?10J。

5-11．一定量的理想气体，从A态出发，经p?V图中所求在这过程中，该气体吸收的热量。

解：分析A、B两点的状态函数，很容易发现A、B两点的两点的内能相同，那么，在该过程中，该气体吸收的热量界所做的功，也就是ACDB曲线所围成的面积。

则：Q?示的过程到达B态，试温度相同，所以A、B就等于这一过程对外

A?(3?4?3?1)?105?1.5?106J。

5-12．设一动力暖气装置由一台卡诺热机和一台卡诺制冷机组合而成。热机靠燃料燃烧时释放的热量工作并向暖气系统中的水放热，同时，热机带动制冷机。制冷机自天然蓄水池中吸热，也向暖气系统放热。假定热机锅炉的温度为t1?210C，天然蓄水池中水的温度为t2?15C，暖气系统的温度为t3?60C，热机从燃料燃烧时获得热量Q1?2.1?10J，计算暖气系统所得热量。

解：由题中知已知条件：T1?483K，T2?288K，T3?333K，Q1?2.1?10J。 那么，由卡诺效率：?卡?1?得：Q2?1.45?10J；

77???7T2QQ2333， ?1?2，有：1??1?7T1Q14832.1?10Q2?Q2?T2?Q2?T2?而制冷机的制冷系数：??，有： ???????AQ1?Q2T1??T2AT1??T2考虑到A?Q1?Q2?2.1?10?1.45?10?0.65?10J

777Q2?288?7?则：，得：Q2?4.16?10J， 70.65?1045?77有制冷机向暖气系统放热为：Q1?(4.16?0.65)?10J?4.81?10J

∴暖气系统所得热量：

Q?Q2?Q1??(1.45?4.81)?107J?6.26?107J 。

5-13．如图，abcda为1mol单原子分子理想气体的循环过程，求： （1）气体循环一次，在吸热过程中从外界共吸收的热量； （2）气体循环一次做的净功； （3）证明TaTc=TbTd。 解：（1）过程ab与bc为吸热过程， 吸热总和为：

Q1?CV(Tb?Ta)?Cp(Tc?Tb)

35?(pbVb?paVa)?(pcVc?pbVb) 2235?(2?2?1?2)?102?(2?3?2?2)?102?800J； 22（2）循环过程对外所作总功为图中矩形面积：

A?(2?1)?105?(3?2)?10?3?102J；

36

（3）由理想气体状态方程：pV?RT，有：

paVapVpVpV，Tc?cc，Tb?bb，Td?dd， RRRRpaVapcVc2?103?6?10312?106∴TaTc?， ??R2R2R2pbVbpdVd4?103?3?10312?106， TbTd???222RRR有：TaTc?TbTd ； Ta?

5-14 如图所示，一摩尔单原子理想气体经等压、绝热、等容和等温过程组成的循环abcda，图中a、b、c、d各状态的温度Ta、Tb、Tc、Td均为已知，abo包的面积大小均为A。在等温过程中系统吸热还是放热？解：如图，循环过程abcda可看成两个循环， abo 为正循环，ocd为逆循环，由于abo包围的面积和 ocd包围的面积大小均为A，∴循环过程abcda对外 做功为零，则系统完成一个循环过程后，热量的代数和 亦为零，即：?Q?Qa?b?Qb?c?Qc?d?Qd?a?0

（1）a →b等压过程：由图可见，Tb?Ta，温度升高，吸热：Qa?b?Cp(Tb?Ta) （2）b →c绝热过程：Qb?c?0

（3）c →d等容过程：由图可见，Td?Tc，温度升高，吸热：Qc?d?Cv(Td?Tc) （4）d →a等温过程： Qd?a

∴Qd?a??(Qa?b?Qb?c?Qc?d)??[Cp(Tb?Ta)?Cv(Td?Tc)]，负号表明放热。 答：在等温过程d →a中系统是放热，数值为Cp(Tb?Ta)?Cv(Td?Tc)。 答案：放热，Cp(Tb?Ta)?CV(Td?Tc)。

5-15．一可逆卡诺机的高温热源温度为127℃，低温热源温度为27℃，其每次循环对外做的净功为8000J。今维持低温热源温度不变，提高高温热源的温度，使其每次循环对外做的净功为10000J，若两个卡诺循环都工作在相同的两条绝热线之间。求：

（1）第二个热循环机的效率； （2）第二个循环高温热源的温度。 解：根据卡诺循环效率公式：??1?而：??围的面积和ocd包围其数值为多少？

T2300?1??0.25， T1400AA8000?32000J，Q2?Q1?A?24000J ，有：Q1??Q1?0.25由于在同样的绝热线之间，且维持低温热源温度不变，他们向低温热源吸收的热量相等，所以第二个热机

37

的效率为：???可利用?'?1?A?10000??29.4%，再考虑到它是通过提高高温热源的温度达到目的的，

Q2?A?24000?10000T2T2300，有： T1????425K

?1??1?0.294T1'V2，计算各过程气体的

构成，c由绝热过程和

5-16．1mol理想气体沿如图所示的路径由体积V1变为熵变。其中a为等温过程，b由等压过程和等容过程等压过程构成。

解：(a) 等温过程，理想气体内能不变，

2?dAV2PdVdQ ?S??????1T1V1TTV2dVV?Rln2 ?R?V1VV1(b) 1?3为等容过程，3?2为等压过程，

2?S??213C2CdTdTdQdQdQ??????p,m??V,m

13T3TTTT132??312CT2dTT3dT(CV,m?R)dTdT??V,m ?CV,m??R?3TT11TTTTT1?T2，所以 ?S?RlnT3V?Rln2 T1V1(3) 1?4为绝热过程，4?2为等压过程

?S??212dQT2CdTTdQ?Cp,mln2 ??p,m??T44TT4TT状态4、1在同一条绝热线上，状态4、2的压强相等，利用绝热过程方程后可得

?S????1RlnT2T1?P1??P?4??????1??RlnP1V?Rln2 P2V1由上可见，沿三个过程的熵变相等。

5-17. 一绝热容器被铜片分成两部分，一边盛有80°C的水，另一边盛20°C的水，经过一段时间后，从热的一边向冷的一边传递了4186J的热量，问在这个过程中的熵变是多少？假定水足够多，传递热量后的温度没有明显的变化。 解：?S?Q?Q41864186????2.44(J/K) TLTH273?20273?80

5-18. 把质量为5kg、比热容（单位质量物质的热容）为544J/(kg?°C)的铁棒加热到300°C，然后浸入一大桶27°C的水中，求在这冷却过程中铁的熵变。 解：假设一个准静态降温过程，

dQ?mcdT

38

?S??T2T1T2mcdTTdQ27?273???mcln2?5?544?ln?-1760 J/K T1TTT1300?273

5-19. 两个体积相同的容器分别盛有1mol不同的理想气体，它们的压强与温度都相同，将两个容器连通后气体将相互扩散，求最终系统的总熵变。

解：气体扩散是不可逆过程，但是由于扩散后气体的温度将保持不变，因此可以假设两种气体各自经历一个等温膨胀过程，体积从V变为2V。 气体经历等温膨胀过程，熵变为

?S1,2??212pdV2V?RdVdQ?????Rln2 1VTTV最终系统的总熵变为

?S??S1??S2?2Rln2

思考题

5-1．一定量的理想气体，开始时处于压强，体积，温度分别为p1，V1，T1的平衡态，后来变到压强，体积，温度分别为p2，V2，T2的终态。若已知V2>V1，且T2=T1，则以下各种说法中正确的是：

(A)不论经历的是什么过程，气体对外净作的功一定为正值； (B)不论经历的是什么过程，气体从外界净吸的热一定为正值；

(C)若气体从始态变到终态经历的是等温过程，则气体吸收的热量最少；

(D)如果不给定气体所经历的是什么过程，则气体在过程中对外净作功和从外界净吸热的正负皆无法判断。 答：如果不给定过程，我们只能根据T2=T1，得知这一过程中内能不变，但是作功情况无法由V2>V1得出，因为作功的计算与过程的选择有关，本题选择D。

10-2．一定量理想气体，从同一状态开始把其体积由V0压缩到V0，分别经历以下三种过程： （1）等压过程；

p绝热线（2）等温过程； （3）绝热过程。 其中：

什么过程外界对气体作功最多；

p1等温线什么过程气体内能减小最多；

什么过程气体放热最多？ 1V0V0答：由画图可以直接看出： 2（3）绝热过程中，外界对气体作功最多； （3）绝热过程中，气体内能减小最多； （2）等温过程中，气体放热最多。

5-3．一定量的理想气体，从p?V图上初态a经历（1）

12oV或（2）过程到达末态b，热线），则气体在

已知a、b两态处于同一条绝热线上（图中虚线是绝

（A）（1）过程中吸热，（2）过程中放热； （B）（1）过程中放热，（2）过程中吸热； （C）两种过程中都吸热； （D）两种过程中都放热。

答：从题意可以知道，a、b两态处于同一条绝热线所以这条虚线围成的面积A?Eab?0。 就是放热过程。

39

上，图中虚线是绝热线，

对应（1）过程，Q1??E?A1，从图上可以看出：A1?A，所以A?Eab?0，也就是Q1?0，这

对应（2）过程，Q2??E?A2，从图上可以看出：A2?A，所以A?Eab?0，也就是Q2?0，这就是吸热过程。

所以本题选择B。

5-4．试说明为什么气体热容的数值可以有无穷多个？什么情况下气体的热容为零?什么情况下气体的热容是无穷大?什么情况下是正值?什么情况下是负值?

答：根据气体热容的定义：系统在某一无限小过程中吸收热量dQ与温度变化dT的比值称为系统在该过程的热容量。而从T1的温度变化到T2可以经历无穷多个过程，每个过程的吸收热量都可能不同。所以

C??Q就不一样。 ?T当气体温度变化而不吸收热量时，气体的热容为零，比如绝热膨胀。 当气体的温度不变而吸收热量时，气体的热容无穷大，比如等温变化。 当气体温度升高，但为放热过程时，热容为负值。

5-5．一卡诺机，将它作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对做功就愈有利；如将它当作制冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于制冷机是否也愈有利？为什么？ 答：卡诺热机：?卡?1?T2T所以温差越大，2就越小，?卡就越大； T1T1T21但是对于制冷机：卡诺逆循环的致冷系数：?卡?，温差越大，则?卡?越小，提取同

TT1?T21?1T2样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的．

5-6．卡诺循环1、2，如图所示.若包围面积相同，功、效率是否相同？

答：封闭曲线所包围的面积表示循环过程中所做的净功．若包围面积相同，则两次循环所做的功相同。但由于??A净Q1，A净面积相同，效率不一定相同，因为?还与吸热Q1有关。

5-7．一条等温线和一条绝热线有可能相交两次吗?为什么？ 答：不可能。

（1）由热力学第一定律有：Q??E?A， 若有两个交点a和b，则：经等温a→b过程有：

?E1?Q1?A1?0，经绝热a→b过程：?E2??A2?0，从上得出?E2??E1，这与a，

相同矛盾。 （2）若两条曲线有两个交点，则组成闭合曲线而构成了这循环过程只有吸热，无放热，且对外做正功，热机效违背了热力学第二定律。

5-8．所谓第二类永动机是指什么？它不可能制成是因为系？

40

?E2?A2?0，

b两点的内能变化应该

一循环过程，率为100％，

p绝热线A2等温线1绝热线B违背了什么关

3oV

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