(数学分析教案)第二章

第二章 数列极限

（14学时）

§1 数列极限概念

教学目的与要求

1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.

2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数. 教学重点: 数列极限概念.

教学难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数. 学时安排: 4学时

教学方法：讲练结合。 教学程序：

若函数f的定义域为全体正整数集合N+，则称 f:N??R 或 f(n), n?N?

为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列f(n)也可写作 a1,a2,?,an,?,

或简单地记为{an}，其中an，称为该数列的通项． 关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．

例1 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．

把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)：

1112n第一天截下2，第二天截下2，??，第n天截下2，??这样就得到一个数列

?1?111?n?,2,?,n,?222．或?2?.

11nn不难看出，数列{2}的通项2随着n的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列{an}，若当n无限增大时an能无限地接近某一个常数a，则称此数列为收敛数列，常数a称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．

收敛数列的特性是“随着n的无限增大，an无限地接近某一常数a”．这就是说，当n充分大时，数列的通项an与常数a之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．

定义1 设{an}为数列，a为定数．若对任给的正数?，总存在正整数N，使得当，n>N时有|an?a|??则称数列

{an收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，并记作

liman?an??，或an?a(n??).

读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”．

若数列{an}没有极限，则称{an}不收敛，或称{an}为发散数列．

定义1常称为数列极限的?—N定义．下面举例说明如何根据??N定义来验证数列极

限．

1?0?n??n例2 证明，这里?为正数

lim证 由于

11?0|?,??n n???1??11???故对任给的?>0，只要取N=???，则当n?N时，便有

|111???|?0|??.??N? n 即n

1lim??0这就证明了n??n.

例3 证明

3n2lim2?3n??n?3 .

分析 由于

3n299|2|?2? n?3n?3n (n?3). (1)

9???n因此，对任给的>o，只要，便有

3n2|2?3|??, n?3 (2)

9n??时，(2)式成立．又由于(1)式是在n≥3的条件下成立的，故应取 即当

9N?max{3,}.

?

?据分析，当n?N时有（2）式成立.于是本题得证. 证 任给??0,取

注 本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N．又(3)式给出的N不一定是正整数．一般地，在定义1中N不一定限于正整数，而只要它是正数即可．

例4 证明n??9N?max{3,}.limqn=0，这里|q|<1．

证 若q=0，则结果是显然的．现设0<|q|<1．记我们有

h?1?1|q|，则h>0．

|qn?0|?|q|n? 并由(1?h)?1+nh得到

n1,n(1?h)

|q|n?11?.1?nhnh (4)

对任给的??0,只要取就证明了n??N?1,n?h则当n?N时，由（4）式得|q?0|??.这

limqn?0.

注 本例还可利用对数函数y?lgx的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下：

对任给的?>0(不妨设?<1)，为使|q?0|?|q|??，只要 nlg|q|?lg? 即

nnn?lg?lg|q| （这里也假定0?|q|?1).

N?于是，只要取

lg?lg|q|即可。

=1，其中a>0．

1n 例5 证明n??limna?1证 (ⅰ)当a?1时，结论显然成立.

(ⅱ) 当a?1时，记??a?1，则??0.由

a?(1??)?1?n??1?n(a?1)

n1n得 任给??0，由(5)式可见，当

a?1?1na?1n. (5)

时，就有a?1??，即|a?1|??.所以

1nn?a?1??N1nlimna?1n??.

１(ⅲ) 当0?a?1时，,

1nna－１???1?1?(1??)n?1?n??1?n??1??n?a?a? 则??0.由

a?1?11?a11?a???n?a?1?1.1??n?1?a1??n?1?a （6） 得

任给??0，由（6）式可见，当

n?１?a?1?1??N时，就有1?a??，即|a?1|??.

1n1n所以n??.

关于数列极限的?—N定义，应着重注意下面几点：

1．?的任意性 定义1中正数?的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，?愈小，表示接近得愈好；而正数?可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度．然而，尽管?有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又?既时

limna?1?任意小的正数，那么2,3?或?2等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式

|an?a|??中的?可用2,3?或?2等来代替．同时，正由于?是任意小正数，我们可限定?小于一个确定的正数(如在例4的注给出的证明方法中限定?<1)．另外，定义1中的

? 2．N的相应性 一般说，N随?的变小而变大，由此常把N写作N(?)，来强调N是依赖于?的；但这并不意味着N是由?所唯一确定的，因为对给定的?，比如当N=100时，

|an?a｜＜?也可改写成|an?a|??.

n>N时有|an?a|??，则N=101或更大时此不等式自然也成立．这里重要的是能使得当?N的存在性，而不在于它的值的大小．另外，定义1中的，n>N也可改写成n?N．

3．从几何意义上看，“当n>N时有|a?a|??”意味着：所有下标大于N的项aｎ都落在邻域U(a;?)内；而在U(a;?)之外，数列{an}中的项至多只有N个(有限个)．反之，任给?>0，若在U(a;?)之外数列{an}中

N，

则当n>N时有an?U(a,?)，即当n>N时有|an?a|

定义1 任给?>0，若在U(a,?)之外数列?an?中的项至多只有有限个，则称数列?an?收敛于极限a．

'n 由定义1，可知，若存在某?０?0，使得数列{an}中有无穷多个项落在U(a,?0)之外，则{an}一定不以a为极限．

例6 证明{n}和{(?1)}都是发散数列．

2 证 对任何a?R，取?0?1，则数列{n}中所有满足n?a?1的项(有无穷多个)显然

2n都落在U(a;?0)之外，故知{n}不以任何数a为极限，即{n}为发散数列.

22nn??1(a;?)(?1)}{(?1)}中的所有奇数00a?1 至于数列{，当时取，则在U之外有

1?0?|a?1|,n2项；当a?1时取则在U（a;?0)之外有{(?1)}中的所有偶数项．所以

{(?1)}不以任何数a为极限，即{(?1)}为发散数列． 例7 设n??nnlimxn?limyn?an??，做数列{zn}如下：

{zn}:x1,y1,x2,y2,?,xn,yn,?. 证明n??limzn?a.

n?? 证， 因n??limxn?limyn?a,故对任给的??0，数列{xn}和{yn}中落在U(a;?)之外

的项都至少只有有限个.所以数列{zn}中落在U(a;?)之外的项也至多只有有限个．故由定义1'，证得n??limzn?a．

例8 设{an}为给定的数列，{bn}为对{an}增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{bn}与{an}同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等． 证 设{an}为收敛数列，且n??liman?a．按定义1，对任给的?>0，数列{an}中落在

'U(a;?)之外的项至多只有有限个．而数列{bn}是对{an}增加、减少或改变有限项之后得到

{bn}中的每一项都是{an}中确定的一项，的，故从某一项开始，所以{bn}中落在U(a;?)之

外的项也至多只有有限个．这就证得n??limbn?a．

现设{an}发散．倘若{bn}收敛，则因{an}可看成是对{bn}增加、减少或改变有限项

之后得到的数列，故由刚才所证，{an}收敛，矛盾．所以当{an}发散时，{bn}也发散． 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义2 若n??，则称{an}为无穷小数列． 由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：

定理2.1 数列{an}收敛于a的充要条件是：{an?a}为无穷小数列． Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出n??liman?0liman?a和n??liman不存在的“?—N”定义.

Ⅴ 课外作业: P２７ 2、3、4、6、7、8.

§２ 收敛数列的性质

教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。 教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；

（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求

某些收敛数列的极限。

教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点：数列极限的计算。 学时安排: 4学时

教学方法：讲练结合。 教学程序：

? 引 言

上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证n??的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数列的性质作进一步讨论。

liman?a一、收敛数列的性质

性质１（极限唯一性） 若数列?性质２（有界性）若数列?an?收敛，则它只有一个极限。

nan?收敛，则?an?为有界数列。

(?1)?注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列?有界，但它

不收敛。

性质３（保号性） 若n??liman?a?0（或a?0），则对任何a??(0,a)（或a??(a,0)），

存在正数Ｎ，使得当n?N时有an?a?（或an?a?）。 性质４（保不等式性）设数列?an?与?bn?均收敛，若存在正数N0，使得当n?N0时有

an?limbnan?bn，则limn??n??。

liman?limbnn??思考：如果把条件“an?bn”换成“an?bn”，那么能否把结论换成n??？

保不等式性的一个应用：

liman?aliman?aa?0(n?1,2,3,?)n??n例1 设，证明：若，则n??.

对任给的??0,，取

N?1?，则对一切n?m.?N有

|an?am|?? 这就证明了数列(2)满足柯西条件．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限、证明极限的存在性. Ⅴ 课外作业:

P３8 3、4、6、7、9、11、12.

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