09-10高数B(2)复习二

六、隐函数求导

（1）、函数z?z(x,y)由方程x2?y2?z2?yf??所确定，其中f 可微，且f'?2z?0，

求

?z??y??z。 ?x解一：记

z?u，方程两边对x求导： y' 2x?2z?zx?yf(u)zx?z2x ， ?'y?xf(u)?2z

解二：x2?y2?z2?yf??z??z?222，则：?0F(x,y,z)?x?y?z?yf???

y???y??z2x? ?x2z?f?(u)z?f?u(?) Fx??2x,Fz??2（2）设函数z?z(x,y)由方程xy2z?x?y?z所确定，则

?z2xyz?1= 。（） 2?y1?xy?u。 ?xzx?y（3） 设u?xyz，其中z?z(x,y)由方程ze?e所确定，求

解：

?u?z?yz?xy ?x?xz

?z?zex?yz?zx?ye?ze?e ??x?x?xez(1?z)

?uxyex?y ??yz?z?xe(1?z)（4）设函数z?z(x,y)由z?x?xy2?xy0e?t2dt所确定，试求

?z?z, ?x?y解：原式 z?x??0e?tdt两边分别对x,y求偏导得：

2?z?1?ye?(xy)?x?2?z?z?ye?(xy)?1 ??xe?(xy) ?x?y2七、利用拉格朗日乘数法，求原点到曲面x?2y?3z?4的距离。

解：曲面x?2y?3z?4上点(x,y,z)到点(0,0,0)的

距离平方d?x?y?z

2222222222目标函数：f(x,y,z)?x2?y2?z2 约束条件：x2?2y2?3z2?4?0

令F?x2?y2?z2??(x2?2y2?3z2?4)

?Fx?F?y由??Fz?F???2x?2?x?0?2y?4?y?0?2z?6?z?0?x2?2y2?3z2?4?0

得驻点M1(0,2,0),M2(0,?2,0),M3(2,0,0),M4(?2,0,0) 且d(M1)?

2,d(M2)?2,d(M3)?2,d(M4)?2

由实际问题，知最小值必定存在，故

dmin?d(M1)?d(M2)?2。

所以原点到曲面x2?2y2?3z2?4的距离为2。

八、求下列函数的极值

,)?3） （1）求函数z?x3?y3?x2?y2?2xy?x?y?3的极值。（极小值z(11（2）求函数z?xy?x?11y?y的极值。（极大值z(1,2)?15）

22（3）若函数f(x,y)?x?2xy?3y?ax?by?6在点 (1,?1)处取得极值，则常数

23a?___0___， b?___4____。

122z（4）设函数z?z(x,y)由方程x?3xy?y?5x?5y?e?2z?4确定，则函数

2 z的驻点是： (?1,2 )222（5）函数f(x,y,z)?z?2在4x?2y?z?1条件下的极大值是（ C ）。

(A) 1 (B) 0 (C) ?1 (D) ?2

九、某地区计划投资162百万元对A、B两类厂进行技术改造，完成一个A厂改

造需6百万元，完成一个B厂改造需4百万元，若改造x个A厂和y个B厂，可使该地区年总利润增加值为f(x,y)?Kxy?3x?2y(K?0) ，问如何使用资金进行改造能使年总利润增加值最大。 解： 本题为条件极值问题，设：

F(x,y,?)?Kxy?3x?2y??(162?6x?4y)

23132313212令： Fx??Kx3y3?3?6??03??(1) ，

211Fy??Kx3y3?2?4??03??(2)

F???162?6x?4y?0??(3)

解得：x?18,y?13.5 ，

依题意，存在最大值，又驻点惟一，故：(18,13.5)为最大值点，

即完成18个A厂和13个B厂的改造能使年总利润增加值最大。

十、某公司可通过电台与报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，

销售收入R（万元）与电台广告费用

x（万元）及报纸广告费用y（万元）

之间的关系有经验公式：R?15?14x?32y?8xy?2x2?10y2 （1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略。

（2）若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。

解：（1）利润函数为：L(x,y)?15?13x?31y?8xy?2x2?10y2

??L??4x?8y?1?30???x ??x?0.75?L???8x?20y?3?10???y,y?1 .25唯一驻点，当电台广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元时，利润最大。 （2）利润目标函数为：L(x,y)?15?13x31y?8xy?2x2?10y2 约束条件：x?y?1.5

拉格郎日函数为：L(x,y，?)?15?13x?31y?8xy?2x2?10y2??(x?y?1.5)

??L??x??4x?8y?13???0???L???8x?20y?31???0?x?0,y?1.5 ??y??L??x?y?1.5?0???唯一驻点，广告费为1.5万元全部用于报纸时，利润最大。

十一、某工厂在生产两种产品甲与乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位

甲产品与生产y单位乙产品的总费用是：400?2x?3y?0.01(3x2?xy?3y2)元，求取得最大利润，两种产品的产量各是多少？ 解：

利润函数：

L(x,y)?10x?9y?400?2x?3y?0.01(3x2?xy?3y2)?8x?6y?0.01(3x?xy?3y)?400令：

?(x,y)?8?0.0x?6??Lx ??6?0,0x?1?y(x,y)?L?0.y0?10.y0?60022

?x?120解得：??y?80

唯一的驻点，有问题的实际含义知必有最大利润，故，当甲，乙产量分别为：120和80单位时，取得最大利润。

十二、二重积分与积分次序交换 （1）改变积分次序后

A

1101?x?dy?011?y21?yf(x,y)dx=（ A ）。

1x?1?dx?f(x,y)dy??dx?f(x,y)dy

B ?dx?f(x,ydy)??dx?fx(y,dy) C ?dx?f(x,y)dy??dx?f(x,y)dy

111210x?11?x1111?x2011x?12

D

?10dx?11?xf(x,y)dy??dx?12x?11f(x,y)dy

33?y10(2) 改变积分次序后

A

?dy?012y0f(x,y)dx??dy?202x。 f(x,y)dx=（ C ）

?C ?03dx?23?xxf(x,y)dy B

f(x,00dx?x3?x2?y)dy D ?dx?dx?3?xxf(x,y)dy

3?xf(x,y)dy

(3) 设f(x,y)是连续函数，则二次积分

可交换积分次序为（ C ）

110y（4） 计算二次积分：?dy?sinx3dx

11解：原式=?dx?sinx3dy??x2sinx3dx?(1?cos1)

00031x2（5）计算二次积分：?dy?exdx

0y112解：原式=?10dx?exdy??xexdx?00x2121(e?1) 2（6）计算二重积分

，y 其中D：0≤x≤1,0≤y≤1. ??y?xdxdD1 （答案：）

31（7）计算二重积分：??(2?y?x)dxdy，其中D由抛物线：2y2?x，x?2y?4

2D所围成的闭区域。

（8）计算二重积分??d?，其中D是由直线 y?2x,x?2y,x?y?3 围成的三

D角形区域。

解：画出积分区域的图形

??d????d????d???dx?DD1D201212xx2dy??dx?xdy1223?xxx3??(2x?)dx??(3?x?)dx?012222

（9）设f(x,y)为连续函数，且f(x,y)?x2e?y???f(u,v)dudv，其中D是由直

D线 x?0,y?1,y?x 围成的区域，求f(x,y)。 解：设 ??f(x,y)dxdy?A

D则：A???x2e?ydxdy?A??dxdy

DD21y112?y22?y2xedxdy而 ??=?0dy?0xedx=? ，

63eD??dxdy?D1 212122?y2解得：A?(1?) ?f(x,y)?xe?(1?)

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