精选2016中考数学复习第3讲不等式组试题

第三讲 不等式（组）

3.1 不等式与一元一次不等式的解法

基础盘点

1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”）表示大小关系的式子. 2. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

3. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集． 4. 不等式的基本性质：

性质1：不等式的两边都加(或减)同一个数（或式子），不等号的方向不变. 性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

5. 一元一次不等式：左、右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．

6.解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.

考点呈现

考点1不等式的基本性质

例1（2015·怀化）下列不等式变形正确的是（）

A.由a＞b得ac＞bc B.由a＞b得－2a＞－2b C.由a＞b得－a＜－b D.由a＞b得a－2＜b－2 解析：A选项，当c≤0时，不等号的方向应改变，该项错误；

B选项，根据不等式的基本性质，在不等式的两边都乘同一个负数，不等号的方向应改变，该项错误； C选项正确；

D选项，根据不等式的基本性质，在不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，该项错误.

综上，选C.

点评：本题考查利用不等式的性质进行不等式变形．解题的关键是理解并能灵活运用不等式的基本性质，也可通过举反例帮助判断.

考点2在数轴上表示不等式的解集

例2（2015·崇左）不等式5x≤－10的解集在数轴上表示为（ ）

·-2 0 A

2 -2 0 2 B

·-2 0 C

2 -2 0 2 D

解析：解不等式5x≤－10，得x≤－2. 将x≤－2在数轴上表示出来，为C选项所示，故选C.

点评：本题考查一元一次不等式的解法及其解集在数轴上的表示. 解决此类题的关键是能够将数、形结合起来，并要掌握在数轴上表示不等式解集的方法：大于向右，小于向左，有等号为实心圆点，无等号为空心圆圈.

考点3一元一次不等式的解法

例3（2015·巴中）解不等式：解析：

2x?13x?2≤?1，并把解集表示在数轴上． 342x?13x?2≤?1． 34两边都乘12，得4（2x－1）≤3（3x＋2）－12．

去括号，得8x﹣4≤9x+6﹣12. 移项，得8x﹣9x≤6﹣12+4. 合并同类项，得﹣x≤﹣2. 两边都除以－1，得x≥2．

将不等式的解集在数轴上表示如下图所示：

点评：本题考查一元一次不等式的解法及其解集在数轴上的表示.解一元一次不等式的步骤与方程相同，共有5步.要特别注意的是最后一步系数化为1时，当未知数的系数是负数时，不等号的方向要改变.

考点4不等式与方程（组）综合问题

3?2x?y??3m?2,例4（2015·呼和浩特）若关于x、y的二元一次方程组?的解满足x + y >－，求

2?x?2y?4出满足条件的m的所有正整数值.

?2x?y??3m?2,解析：??x?2y?4.①②

①+②得3(x+y)=－3m+6，x+y=－m+2. 3

∵x+y>－，

2

37

∴－m+2>－，解得m<. 22

∵m为正整数，

∴满足条件的m的所有正整数值为1，2，3． 点评：本题综合考查方程组、不等式的解法. 此类题以“解”为“媒”联系起方程（组）与不等式（组），解题关键是分清相关字母与未知数，能用相关字母表示未知数，并能对照解的情况，列方程（组）或不等式（组），从而求出相关字母的取值或取值范围.

误区点拨

误区1忽略不等号方向的改变

1例1 不等式?x?6的解集是.

3错解：x＞-18. 剖析：不等式两边都乘-3，根据不等式的基本性质知，不等号的方向应改变，所以结果应为x<-18. 错解忽略不等号方向的改变，导致错误.

正解：x<-18.

误区2 忽略分界点的虚实

例2使不等式x－3＜3x＋5成立的负整数有个. 错解：4.

剖析：解不等式x－3＜3x＋5，得x>－4.因此使不等式成立的负整数有3个，分别是－3，－2，－1. 正解：3

跟踪训练

1.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）

A．ac>bc B．a?b?a?b C．－a＜－b＜c D．－a－c＞－b－c

bc0 第1题图

2.（2015·南充）若m＞n，则下列不等式不一定成立的是（ ）

aA.m+2＞n+2 B. 2m＞2n C.

mn22

＞ D. m＞n 223.若a?1?a?1，则a的取值范围是（ ）

A.a≥1 B.a≤1 C.a＜1 D. a＞1

4.（2015·乐山）下列说法不一定成立的是（ ） A.若a＞b，则a+c＞b+cB.若a+c＞b+c，则a＞b

2222

C.若a＞b，则ac＞bcD.若ac＞bc，则a＞b

5.（2015·西宁）不等式3x≤2（x－1）的解集为（ ）

A．x≤－1 B．x≥－1 C．x≤－2 D．x≥－2 6.不等式3x－1＞x+1的解集在数轴上表示正确的是（）

-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2

A B

-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 D C

mn＞?，则3m2n.(填“＞”“＜”“≥”或“≤”） 238.（2015·铜仁）不等式5x－3＜3x+5的最大整数解是.

9. 规定新运算“△”：a△b=2a－b．已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图所示，则k的值是． 7. 若?

–2–101 第9 题图

2

10.解不等式：3(x－)＜x＋4.

3

11. 解不等式2（x-1）-3＜1，并把它的解集在数轴上表示出来． ?x?y?3,12.已知关于x，y的方程组??2x?y?6a的解满足不等式x+y＜3，求实数a的取值范围.

3.2 一元一次不等式组及其解法

基础盘点

1. 一元一次不等式组：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.

2. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集.

3.解一元一次不等式组的步骤：（1）解各个不等式；（2）确定各个不等式解集的公共部分；（3）写出不等式组的解集.

考点呈现

考点1一元一次不等式组的解法

??2x?6, 例1（2015·遂宁）解不等式组?并将解集在数轴上表示出来．

3(x?1)?2x?5,?

??2x?6, ①解析：?

3(x?1)?2x?5, ②?由①，得x＞－3；

由②，得x≤2.

所以原不等式组的解集为－3＜x≤2． 在数轴上表示如下：

-4-3-2-101234

点评：本题考查一元一次不等式组的解法及其解集在数轴上的表示.解答此类题的关键是正确解出不等式组中的各个不等式，然后确定所有不等式解集的公共部分. 判断公共解集可利用口决判断，也可借助数轴直观地判断.

考点2 不等式组的有解、无解问题

?x?a，

例2(2015·绥化)关于x的不等式组? 的解集为x＞1，则a的取值范围是（ ）

x?1?

A. a＞1 B. a＜1 C. a≥1 D. a≤1

解析：不等式组的解集x＞1是x＞a和x＞1的公共部分，所以1≥a，即a≤1. 故选D. 考点3不等式组的整数解问题

?x?1,例3（2015·永州）若不等式组?恰有两个整数解，则m的取值范围是（ ）

x?m?1? A．－1≤m＜0 B．－1＜m≤0 C．－1≤m≤0 D．－1＜m＜0

?x?1，解析：不等式组?的解集为m－1＜x＜1.

x?m?1?由不等式组有两个整数解，可得整数解为－1，0.

所以－2≤m－1＜－1，解得－1≤m＜0. 故选A.

点评：本题考查由不等式组解的情况求字母的取值范围，解此类题可借助数轴直观地解决，注意虚心圆圈与实心圆点的区别，还要考虑是否需要分情况讨论.

误区点拨

误区1粗心大意，丢掉“等号”

?2x?1??1,??例1解不等式组：?1?2x

?x?1.??3①??2x?1??1,?错解：?1?2x

?x?1.②?3?解不等式①，得x>－1； 解不等式②，得x＜4.

所以原不等式组的解集为－1

剖析：不等式组中第一个不等式的不等号中带有等号，错解在解的过程中丢掉等号，导致错误. ①??2x?1??1,?正解：?1?2x

?x?1,②?3?解不等式①，得x≥－1. 解不等式②，得x＜4.

所以原不等式组的解集为－1≤x＜4. 误区2考虑不周，忽略分类讨论 ?x?a?3,例2 当a时，不等式组?无解.

?x?3a?1错解：由题意，得a+3＞3a-1，解得a<2，故填<2.

剖析：不等式组中两个不等式都不含等号，除了错解中的情况，当a?3?3a?1时，不等式组也无解. 错解只考虑了一种情况，导致错误. 此题若借助数轴的直观性，则更好理解.

正解：由题意，得a+3≥3a-1，解得a≤2，故填≤2.

跟踪训练

?x?1?0，1. 不等式组?的解集是（ ）

x?1?1?A. x≤2 B. x＞－1 C.－1＜x≤2 D.无解

2.代数式1－m的值大于－1，又不大于3，则m的取值范围是（ ） A.－1＜m≤3 B.－3≤m＜1 C.－2≤m＜2 D.－2＜m≤2

?x?5?0，3.不等式组?的解集在数轴上表示为（ ）

3?x?1?

-5A.A

0C

02-502B.B

2-502-5C.D.D

?1?x?1??3,4.不等式组?2的最大整数解为（ ）

??x?2(x?3)?0A.8 B.6 C.5 D.4

?3x?1＞4(x?1)，5.关于x的不等式组?的解集为x＜3，那么m的取值范围是（ ）

x＜m?A.m=3 B.m＞3 C.m＜3 D.m≥3 ?2(x?2)?3(x?1)，?6.不等式组?xx?1的解集是.

??4?3?x?1?0，7. 不等式组?的最小整数解是.

4?2x?0??x?3?4x8. 不等式组?的解集如图所示，则m的值为.

x?m?-2 -1 0 第8题图

29. 若关于x的不等式组??x?m?0，的整数解共有4个，则m的取值范围是.

?7?2x?1?3x?(x?2)?6,?10.解不等式组?4x?1

x?1?.?3??2x?1??1,??11.解不等式组?1?2x并把不等式组的解集在数轴上表示出来.

?x?1,??3?2x?y?10,12.如果关于x、y的方程组?的解满足x＞0且y＜0，求实数a的取值范围.

3x?y?5a?3.3 列一元一次不等式解应用题

基础盘点

列一元一次不等式解决实际问题与列方程解决实际问题的步骤类似：

（1）审：审清题意，弄清已知数、未知数，找出题中的相等关系、不等关系； （2）设：设出未知数；

（3）列：根据不等关系列不等式；

（4）解：解一元一次不等式，求出未知数的取值范围；

（5）验：先检验所得的解集是不是所列不等式的解集；再检验所得解集是否符合实际意义，注意根据实际意义的要求，确定实际问题的解；

（6）答：写出答案. 注意答案中必须写清单位名称.

考点呈现

考点1一元一次不等式的应用

例1（2015·株洲）为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品.已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？

解析：由题意，可得不等关系：购买乒乓球的花费+购买球拍的花费≤200元，由此可列不等式解决问题.

设孔明应该买x个球拍.

根据题意，得1.5×20+22x≤200，解得x≤7

8. 11由于x取整数，故x的最大值为7. 答：孔明应该买7个球拍.

点评：本题考查列不等式解决实际问题. 列不等式解应用题的关键是找到不等关系. 在审题时，要注意表示不等关系的关键词：超过、大于、小于、不足、至少、不高于、不超过、不小于等.

考点2一元一次不等式与方程（组）的综合应用

例2（2015·潍坊）为提高饮水质量，越来越多的居民开始选购家用净水器. 一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元. （1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；

（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元. （注：毛利润=售价－进价）

解析：（1）由题意，可得两个等量关系：A型号净水器的数量+B型号净水器的数量=160台，A型号净水器的价格+B型号净水器的价格=36000元，据此可列方程（组）解决问题.

设A型号家用净水器购进了x台，B型号家用净水器购进了y台.

?x?y?160,由题意，得?

150x?350y?36000.??x?100,解得?

y?60.?所以A型号家用净水器购进了100台，B型号家用净水器购进了60台.

（2）由题意，可得等量关系：每台B型号家用净水器的毛利润=A型号的2倍；并得不等关系：A型号净水器的利润+B型号净水器的利润≥11000元.

设每台A型号家用净水器的毛利润为z元，则每台B型号家用净水球的毛利润为2z元. 由题意，得100z+60×2z≥11 000. 解得z≥50. z+150≥200.

所以每台A型号家用净水器的售价至少为200元.

点评：本题综合考查方程（组）及一元一次不等式的实际应用. 理解题意并从中找到所有的相等与不等关系是解答此类题的关键.

误区点拨

误区考虑不周 解答不全

例某办公用品销售商店推出两种优惠方案：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠.书包每个定价20元，水性笔每支定价5元.小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．

（1）设购买水性笔x支，试对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方案购买比较便宜； （2）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济． 错解：（1）按方案①购买的费用为(x-4)×5+20×4=5x+60.

按方案②购买的费用为(5x+20×4)×0.9=4.5x+72． 当5x+60＞4.5x+72时，解得x＞24.

所以当x＞24，且为整数时，选择优惠方案②． 当5x+60=4.5x+72时，解得x=24.

所以当x=24时，选择优惠方案①，②均可． 当5x+60＜4.5x+72时，解得x<24.

所以当4≤x＜24，且为整数时，选择优惠方案①．

（2）按方案①购买，费用为4×20+（12－4）×5=120（元）； 按方案②购买，费用为（4×20+12×5）×0.9=126（元）； 所以按方案①购买最经济.

剖析：错解只简单考虑分别用两种方案购买，却不知综合运用两种优惠方案，从而并未设计出最经济的方案.

正解：（1）同错解.

（2）结合（1）的结论及实际情况进行分析.

因为需要购买4个书包和12支水性笔，而12＜24，

所以方案一：按优惠方案①购买，需5x+60=5×12+60=120（元）；

方案二：综合运用两种优惠方案，用方案①购买4个书包，需要4×20=80元，同时获赠4支水性笔， 用方案②购买8支水性笔，需要8×5×90%=36（元），共需80+36=116（元）． 显然116<120．

所以最经济的购买方案是：用优惠方案①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方案②购买8支水性笔．

跟踪训练

1.某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打（ ）

A.6折 B.7折 C.8折 D.9折

2.小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买瓶甲饮料．

3.某学校学生去春游，每小时走4千米，出发2小时后，学校又有紧急通知，必须在20分钟内送给带队的老师，通讯员骑摩托车按原路追赶，问通讯员的速度至少为多少时才能完成任务？

4.（2015·广西）已知购买一个足球和一个篮球共需130元，购买2个足球和一个篮球共需180元. （1）求每个足球和每个篮球的售价；

（2）如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？

5.某部门为了给员工普及电脑知识，决定购买A、B两种电脑，A型电脑单价为4800元，B型电脑单价为3200元，若用不超过160000元去购买A、B型电脑共36台，要求购买A型电脑多于25台，有哪几种购买方案？

6.（2015·东莞）某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.

（1）求A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格）

（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？

7.（2015·益阳）大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若

剩余原材料小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产． （1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；

（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？ 8.“滴滴打车”是时下非常流行的打车、租车软件.学校想通过“滴滴打车”的专车服务来租用教师和学生的外出车辆.已知学校共有6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大客车或30座小客车（两种车型可混合租用）.已知租车的费用标准如下：若租用1辆大车、2辆小车，共需租车费1000元；若租用2辆大车、1辆小车，共需租车费1100元.

（1）求大、小车每辆的租车费各是多少元；

（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案.

参考答案

3.1 不等式与一元一次不等式的解法

1. D 2. D 3. A 4. C 5.C 6. C 7.＜ 8. 3 9.－3 10.x＜3．

11.不等式的解集为x＜3，在数轴上表示略.

12.解：方程组的解为??x?2a?1，

?y?2a?2.由x+y＜3，得2a+1+2a-2<3. 解得a<1.

所以实数a的取值范围是a<1.

3.2 一元一次不等式组及其解法

1. C 2. C 3. C 4. C 5. D

6.－1≤x＜3 7.1 8. 29. 6 < m ≤ 7 10. 2≤x＜4．

11.不等式组的解集为－1≤x＜4，在数轴上表示略. ?2x?y?10,?x?2?a,12.解：解方程组?得?

3x?y?5a，y?2a?6.???2?a?0,因为x＞0且y＜0，所以?解得-2＜a＜3.

2a?6?0，?3.3 列一元一次不等式解应用题

1.B 2. 3

3.解：设通讯员的速度至少为x千米/时才能完成任务. 11根据题意，得x?2?4??4，解得x≥28.

33答：通讯员的速度至少为28千米/时才能完成任务.

4.解：（1）设每个足球的售价为x元，每个篮球的售价为y元.

?x?y?130,根据题意，得?

2x?y?180.??x?50,解得?

y?80.?答：每个足球和每个篮球的售价分别为50元、80元. （2）设购买z个篮球.

根据题意，得50（54-z）+80z≤4000.

1解得z≤43.

3答：最多可买43个篮球.

5.解：设购买A型电脑x台，则25＜x≤36，且购买B型电脑共（36-x）台. 根据题意，得4800x+3200（36-x）≤160 000. 解得x≤28，所以25＜x≤28.

因为x是整数，所以共有3种购买方案，分别是： 方案一：A型电脑26台，B型电脑10台； 方案二：A型电脑27台，B型电脑9台； 方案三：A型电脑28台，B型电脑8台.

6.（1）设A，B两种型号计算器的销售价格分别是x元、y元. ?5(x?30)?(y?40)?76,根据题意，得?

6(x?30)?3(y?40)?120.??x?42,解得?

y?56.?答：A，B两种型号计算器的销售价格分别为42元、56元. （2）设需要购进A型号的计算器a台. 根据题意，得30a+40(70－a)≤2500. 解得a≥30.

答：最少需要购进A型号的计算器30台. 7.解：（1）设初期购得原材料a吨，每天所耗费的原材料为b吨. ?a?6b?36，根据题意，得?

a?10b?30.??a?45,解得?

b?1.5.?答：初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨． （2）设再生产x天后必须补充原材料.

根据题意，得45－16×1.5﹣1.5(1+20%)x≤3. 解得x≥10.

答：最多再生产10天后必须补充原材料．

8.解：（1）设大、小车每辆的租车费分别是x、y元. ?x+2y?1000,?x?400,根据题意，得?解得?

2x+y?1100.y?300.??答：大、小车每辆的租车费分别是400元和300元.

（2）240名师生都有座位，租车总辆数≥6；每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数≤6，故租车总辆数是6辆.

设租用大车x辆，则租用小车（6-x）辆.

（6?x）?240,?45x+30根据题意，得?

400x+300（6?x）?2300.?解得4≤x≤5.

又x是整数，所以有两种租车方案：

方案一：租用大车4辆，小车2辆，总租车费用为2200元； 方案二：租用大车5辆，小车1辆，总租车费用为2300元. 可见最省钱的是方案一.

8.解：（1）设大、小车每辆的租车费分别是x、y元. ?x+2y?1000,?x?400,根据题意，得?解得?

2x+y?1100.y?300.??答：大、小车每辆的租车费分别是400元和300元.

（2）240名师生都有座位，租车总辆数≥6；每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数≤6，故租车总辆数是6辆.

设租用大车x辆，则租用小车（6-x）辆.

（6?x）?240,?45x+30根据题意，得?

400x+300（6?x）?2300.?解得4≤x≤5.

又x是整数，所以有两种租车方案：

方案一：租用大车4辆，小车2辆，总租车费用为2200元； 方案二：租用大车5辆，小车1辆，总租车费用为2300元. 可见最省钱的是方案一.

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