艾滋病疗法的评价及疗效的预测模型

艾滋病疗法的评价及疗效的预测模型

摘要

本文讨论了对艾滋病疗法的评价机制和疗效的预测方法，目的是预测治疗艾滋病的疗效以及终止治疗的最佳时间，从而降低成本并及时寻找到更好的疗法，以提高人体免疫能力。

对于问题一：通过对艾滋病机理分析，我们建立了CD4浓度、HIV浓度、受感染的CD4细胞浓度与时间关系的微分方程组，并利用matlab求得方程的解析解，再用非线性拟合法求得系数，最终确定函数。另外我们定义了一个评判指标Y：人体内CD4浓度和HIV浓度的比值。由于CD4的浓度越高、HIV的浓度越低反映治疗的效果越好,即Y越大治疗效果越好。根据对Y的趋势分析，最终得出结论：针对初始CD4浓度不同的病人，最佳治疗终止时间在24～27周内。

对于问题二：采取模式识别中的最大隶属原则，通过引入隶属函数来确定四个疗法的最终隶属类型，最终结果为：优为第4疗法；中为第3疗法；差为第1疗法和第2疗法。并对最优疗法展开进一步的讨论，引入年龄因素影响产生的折减系数?，采用问题一的方法，最终得出如下结论：最佳治疗终止时间为40周。

对于问题三：建立优化模型，利用层次分析法计算CD4生成速率和疗法费用的相对重要性的权数.利用这权重来作出判断，可将病人分为两类：当疗法费用权重小于0.457时，不影响问题二中的评价和预测；当疗法费用权重大于0.457时，问题二中的最优疗法改为第一种疗法。

通过对模型中各个方程的系数进行灵敏度分析，很好的验证了模型的稳定性。说明我们的模型具有很强的可靠性。

关键词：机理分析 疗效评判指标 最大隶属原则 层次分析法 灵敏度分析

1

一、 问题重述

1.1.

基本内容

艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。HIV病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。

艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。

现在题目给出两组数据。 ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。 1.2.

拟解决的问题

（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。

（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

（3）艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。

二、 基本假设

1）.不发生新的机会性感染，原有的机会性感染不再复发。 2）.病人服用药物按照医生的嘱咐，不存在漏服药物的情况。 3）.人体内的资源所产生的健康CD4细胞的速率为常数。

2

三、 符号说明

Ti Si 第i阶段健康CD4细胞的浓度 第i阶段20~30之间CD4增长速率 具体一个人的CD4增长的平均速率 第i种疗法整个组的CD4增长的平均速率 第i种疗法的总人数 第i种评价向量 第i种特征向量 VID Vi ni Ai Wi 四、 模型的建立与求解

4.1.

模型一

4. 1.1 问题一分析

我们首先对艾滋病进行机理分析，梳理疗效与两种细胞之间的关系，根据它建立初步模型。

我们首先根据所查的资料：CD4细胞计数是衡量机体免疫功能的重要指标。美国已将CD4<200个/ mm3作为艾滋病的一项指标。CD4+细胞的数量和功能的降低是引起人体免疫功能缺陷的主要原因。CD4+细胞的数量是确定诊断、疾病分期、制定抗病毒治疗和预防机会性感染方案的标准试验指标。CD4+细胞计数配合病毒载量测定还是预测疾病进程的可靠指标。及CD4计数和HIV相关并发症。

通过散点图以及对数据的聚类分析，于是我们再根据题目把CD4分为三个评价阶段：0~40个/ mm3；40~100个/ mm3；100个/mm3以上。

还有通过治疗尽可能早地将病毒抑制到检测水平以下(<50拷贝/mL)，以保存免疫功能，延长患者的生命和改善生活质量。所以我们将HIV的评价是以50拷贝/mL为标准。 4. 1.2 机理分析

根据题意以及与医学实际更加符合，需要考虑病毒产生的过程：HIV病毒感染CD4细胞，在病毒整合酶催化下与细胞宿主染色体DNA整合，会复制产生出新的HIV病毒。为了用数学方法描述这一过程，我们引人健康的CD4细胞的浓

3

度变量T，受感染的CD4细胞浓度变量I。假设没有HIV病毒时，T服从下面的微分方程?1?：

dT?s??TT dt这里s是由人体内的资源所产生的健康CD4细胞的速率，?T是健康CD4细胞的自然死亡率。

当HIV病毒活动及有药物治疗时，我们除了考虑到上述的条件之外，还有治疗的效果和健康T细胞和自由病毒在结合时两者都在减少，因此第三个方程出现?I项及第一个方程和第三个方程各出现了?k1VT项。设细胞的感染率服从双线性函数，其中?为治疗系数，感染细胞的死亡率为?1，k1是健康T细胞和

k1'表示病毒和T细胞结合后转化成感染T细胞的速率，?I是自由病毒的结合率，

感染细胞的死亡率，?b是溶解性感染T细胞的死亡率，N是每个溶解性感染T细胞产生病毒的数量。于是有初步模型里的三个方程?1?：

dT?s??TT?k1VT dtdI?k1'VT??1I dtdV?N?bI?k1VT??I??vV。 dt4. 1.3 模型确定

我们首先利用Matlab中的dsolve函数来对上面初步模型里的三个函数进行解析式求解，再通过对系数的整理、归纳成非线性指数函数T?c1?c2e?c3t，再利用Matlab对上面的初步模型进行系数的确定，具体是将所给出的数据按照之前的三个评价阶段及初步模型的函数分别拟合，最终确定系数。

于是我们就用附录一里的数据代人方程中，按照CD4分为三组进行模拟，下图就是我们模拟出来图表：

第一组（CD4初始浓度：0~40个/mm3）：

4

图表 1 第一组CD4浓度与时间的关系

第二组（CD4初始浓度：40~100个/mm3）

图表 2 第二组CD4浓度与时间的关系

第三组（CD4初始浓度: 100个/mm3以上）

5

图表 3第三组CD4浓度与时间的关系

上面三个图形包含了艾滋病病人整个治疗过程，每个过程都基本符合我们通过机理分析所得到的函数。

再利用Matlab把各个阶段的数据代入非线性函数中进行模拟，确定函数的未知参数，求得结果如下（具体程序见附录）：

第一组：T1?29.5932e0.0405t 第二组：T2?167.7509?99e?720.3426t

第三组：T3?165.3167?0.0096e?t。 现在对继续服药的效果进行预测： 定义衡量疗效的评判指标Yy：人体内CD4浓度和HIV浓度的比值。由于

CD4的浓度越高、HIV的浓度越低反映治疗的效果越好,即Y越大治疗效果越好。并对疗效指标Y与时间t进行分析： 通过T与V的比值，得出Y?at2?bt?c；

我们首先利用Matlab中的dsolve函数将按照同上的分组的数据代人上述方程，得到结果如下： 第一组：

Y1??0.1462t2?6.7738t?6.1691；

模拟得到下图：

6

图表4第一组CD4浓度与HIV浓度的关系

图上显示当t1?25时，函数值为最大，表明此时刻治疗效果最佳。另外从图上可以看出，在25周以后继续进行治疗，疗效反而变差，因此最佳治疗终止时间为25周。

第二组：

Y2??0.1054t2?4.4408t?25.9585 模拟得到下图：

图表4第二组CD4浓度与HIV浓度的关系

显示当t2?27时，函数值为最大。表明此时刻治疗效果最佳。另外从图上可以看出，在27周以后继续进行治疗，疗效反而变差，因此最佳治疗终止时间为25周。

7

第三组：

Y3??0.0869t2?3.4752t?55.8551；

模拟得到下图：

图表4第三组CD4浓度与HIV浓度的关系

显示当t3?24时，函数值为最大。表明此时刻治疗效果最佳。另外从图上可以看出，在24周以后继续进行治疗，疗效反而变差，因此最佳治疗终止时间为24周。

纵上所述，针对初始CD4浓度不同的病人，最佳治疗终止时间在24～27周内。 4.2.

模型二

4.2.1 问题二分析

对四种疗法我们考虑采用模糊数学中的模式识别的最大隶属原则进行识别，看其属于哪个评价程度。我们把疗法的评价程度分为优、中、劣三个等级，其中以每种疗法治疗后CD4的增长速度作为标准，即为积分高低的标准。接下来对疗法的优劣采用最大隶属度进行综合评价，得到评价矩阵来判断。 再利用模型一中的函数进行预测和评价。 4.2.2 综合评价四个疗法

我们把所给的数据按照各个疗法分组，将一些只进行一次测试的病人分别剔除掉，再把剩余的按照个人进行统计分析。

一个疗法的积分计算方法为整个组CD4增长速度的平均速度，其中CD4增长速度是一个人一次测试得到的CD4减去之前测试的，再除以这次测试的时间与上次时间的差即

ViV??i?1,2,3,4? ?IDni 8

VID?CD4K?1?CD4K(k各个人实际测试次数)。

tk?1?tk得到的具体数据如下表： 疗1 2 3 4 法 积-0.0-0.0-0.00.0分 5549 4173 2525 2273

由上表可知最终的总积分都分布在[-0.056~0.023]范围内。

我们把疗法已分为优、中、差三类，每类都看作x???0.1~0.1?上的模糊集，分别记作A、B、C。其各自的隶属函数分别为

0x??0.05549??0?0.0554?9x??0.02549? ?A?x??? 2??2x?0.4549?0.0254?9x?0.0451??10.045?1x?0.1??2?x?0.5?2x??0.05549?2?2(x?0.5259)?0.05549?x??0.02549 ?B?x???2?0.02549?x?0.0451?1?2?x?0.4549??0.0451?x?0.10??1?2?x?0.5?2x??0.05549?2?1?2?x?0.5259??0.05549?x??0.02549 ?C?x????0.02549?x?0.04510??0.0451?x?0.10?其中对于在集合范围内的任意x都有

?A?x???B?x???C?x??1。

现在我们对四种疗法的最终积分进行判断，并指出四种疗法分别属于三类中的哪一类。由上表的数据我们可以知道：

第一种疗法：

max??A?x1?,?B?x1?,?C?x1???max?0,0.3951,0.61049??0.6049

第二种疗法：

max??A?x1?,?B?x2?,?C?x2???max?0,0.4874,0.5126??0.5126

第三种疗法：

max??A?x3?,?B?x3?,?C?x3???max?0.3688,0.6322,0??0.6322

第四种疗法：

9

max??A?x4?,?B?x4?,?C?x4???max?1,0,0??1

纵上，我们得出的疗法评价结果如下：

优：第4疗法； 中：第3疗法；

差：第1疗法，第2疗法。

4.2.3 对较优疗法的研究

我们先挑选20、30、40、50四个年龄段的数据，由散点图（见附录）可见： 四个图共同的特征是由斜率大小来分CD4增加的速率。还有图中反映出处于20到30 岁之间的人CD4浓度增长是快的，减少是慢的，由此我们推出年龄对CD4浓度的大小是有一定影响的再加上资料所查得免疫能力随着年龄的变化而变化的，其中青春期为发育阶段，青年为成熟阶段，中年期到老年期为衰老阶段，呈现出一个有波峰的曲线。我们把曲线按青春期、青年、中年、更年期、老年期五个阶段画出折线图如下：

1:青春期 2:青年 3:中年 4:更年期 5:老年1.21δ折减系数0.80.60.40.20系列110.92130.95年龄40.950.8

图5 五个阶段的折减系数图

其中我们定义各个阶段的折减向量，即为???0.9,1,0.95,0.9,0.8?。

接下来求得第四种疗法的相应的指数方程：

T?c1?c2e?c3t。附表二中对采用疗法四治疗的数据部分进行处理，结果如下：

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图6

再根据方程及数据综合，拟合出方程的未知参数，由此得到具体方程：

T?3.1869?0.1424e?75.7576t。

于是我们把上面的折减系数?考虑进来，加入方程中，总结得：

T?3.1869?0.1424e?75.7576t?。

最后用此方程对四个年龄段的数据再次进行拟合，得到下图：

下图充分表现出各个年龄段的CD4增长速率趋势基本相同，斜率相同。

图7

红代表50岁 绿代表20岁 黑代表10岁和40岁 蓝代表30岁

（由于数据十分接近导致部分数据点重叠）

如图所示40周以后疗效趋于一个平稳值，加上理论分析中的免疫学指标，得出：40周以后治疗，疗效不明显，建议停止用药。

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模型三

4.3.1 问题三分析

根据题意，问题三目的是建立优化模型，将价格列入对影响疗法的因数之内，通过层次分析法，确定它们的权重，从而作出评价。 4.3.2 模型三建立

根据题意，问题三是在问题二的基础上加上费用因数作用后的评价及预测。我们利用层次分析法先计算CD4生成速率和疗法费用的相对重要性的权数及分析，得到的矩阵如下：

?12?. M????1/21?通过Matlab对该矩阵进行处理，得到它的特征根为：?max?2，归一化的特征向量为W??0.66670.3333?，再进行一致性指标的检验得CI??0，RI?0，n?1一致性比率为CR?0?0.1，则其通过一致性指标检验。所以此矩阵评估比较合理。

我们再提出评价向量，它是把各个疗法费用与总的费用之比再经过归一化的。于是得到CD4生成速率的评价向量

A1??0.161243,0.201226,0.248998,0.388534?和医疗价格的评价向量

??n?A?A2???0.081731,?0.331731,?0.235577,?0.350962?而评价矩阵A??1?。进而把

?A2?W和A的数据代人疗法的评价方程y?WA得到的结果如下表一：

疗法序号 1 2 3 4 费用 1.6/0.85 3.45 2.45 3.65 评价结果 0．240753 0．070722 0．262424 0．426102 (注：费用单位美元) 表格数据明显显示虽然疗法4相对其它疗法稍微贵了点，但大多数病人还是比较注重疗效的，尽量会去选择它的。于是四种疗法的费用对问题二中的评价和预测没有什么改变。

更进一步预测疗法1和疗法3由于在费用上占的优势，会有病人因此考虑并使用选择它们。 4.3.3 进一步研究

我们深入考虑到将病人分为普通人和穷人两种。4.3.1中的病人，我们认为为普通人，于是我们接下来对穷人进行讨论。

对穷人：

CD4生成速率和疗法费用的相对重要性的权数及分析得到的矩阵为

?1?1B2??3?，其余步骤同上。归一化的特征向量为W2??0.1666?31???

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0.8334?，

CR?0?0.1，则其通过一致性指标检验，因而较为合理。

它的CD4生成速率的评价向量A5??0.161243,0.201226,0.248998,0.388534?

?A?医疗费用的评价向量A6???0.081731,?0.33173,?0.23557,?0.35092?，而A??5??A6?根据疗法的评价方程结果如下表三： 疗法序号 1 2 3 4 费用 1.88 3.45 2.45 3.65 评价结果 0．287641 0．227125 0．253556 0．231678 表三明显十分符合实际情况，穷人偏重于考虑物美价廉的疗法，经济方面制约着他们的选择，于是他们只能充分考虑自身情况进而选择疗法。因而，问题二中的最优疗法应为第一种疗法。

当W3??0.5420.458? ，代入方程y?WA，可得

Y??0.05?0.04290.02710.0498?. 此时最优疗法为第一疗法，可见费用权重为0.458是最优疗法选择的阀值

五、 模型的灵敏度分析

我们对模型中的方程进行灵敏度分析：

以T1?29.5932e0.0405t为例，进行灵敏度分析??29,5932,??0.0405，：

当?变动1%时代人方程计算出，T1变动：1%。 当?变动1%时代人方程计算出，T1变动：1%。

其余方程的步骤同上，结论如下：

T2中?、?、?各个变动一个百分点时代人方程计算出，T2分别变动：

1 %、0.5%和0.5%。

T3中?、?、?各个变动一个百分点时代人方程计算出，T3分别变动：

0.9%、0.1%和0.01%。

Y1中?、?、?各个变动一个百分点时代人方程计算出，Y1分别变动：

0.12%、0.02%和0.03%。

Y2中?、?、?各个变动一个百分点时代人方程计算出，Y2分别变动：

0.9%、2%和1.3%。

Y3中?、?、?各个变动一个百分点时代人方程计算出，Y3分别变动：

0.5%、1.5%和0.7%。说明我们所求得方程比较稳定。

13

六、 模型的评价及改进

1）.本模型在处理大量的问题时采用了统计方法，对数据的处理结果都是以平均

值在处理，不会产生由于数据的偶然性而造成较大偏差的问题，具有可靠的稳定性。

2）.在处理提问的问题时，我们对每个问题进行分析之后，将问题分类处理，保

证数据的反映问题的真实性。 3）.通过灵敏度分析，模型比较稳定

当然，我们的模型也存在改进之处：

在模型二中，我们的方程只是对治疗在系数方面的体现，缺乏在函数上的考虑。 我们还可以将模型分组更细更优，还要考虑到方程的置信区间。

七、 参考文献

[1] 马知恩等，传染病动力学的数学模型与研究，北京：科学出版社，2004。 [2] 姜启源等，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8。 [3] 徐斌等，抗艾滋病治疗进展，

http://www.cmechina.com/content/050118000005/04/#!，2006.9.15。 [4] 徐莲芝，艾滋病临床表现及诊断治疗，

http://www.wannianren.com/xyx/info/279-1.htm，2006.9.1

附录

1）. T =

-(-s*k*c-s*k*b+s*N*k1-a*b*c*C3*exp(-t*a-t*k)-k*b*c*C3*exp(-t*a-t*k)+C3*a^2*c*exp(-t*a-t*k)+2*C3*a*c*k*exp(-t*a-t*k)+C3*k^2*c*exp(-t*a-t*k)-C3*a^2*b*exp(-t*a-t*k)-2*C3*a*b*k*exp(-t*a-t*k)-C3*k^2*b*exp(-t*a-t*k)+C3*a^3*exp(-t*a-t*k)+3*C3*a^2*k*exp(-t*a-t*k)+3*C3*k^2*a*exp(-t*a-t*k)+C3*k^3*exp(-t*a-t*k))/(a+k)/(k*c+k*b-N*k1) I =

k1*(s*k*c+s*k*b-s*N*k1+exp(-b*t)*b^2*C2*a+exp(-b*t)*b^2*C2*k+exp(-b*t)*C2*c*a*b+exp(-b*t)*C2*c*k*b+C3*a^2*b*exp(-t*a-t*k)+2*C3*a*b*k*exp(-t*a-t*k)+C3*k^2*b*exp(-t*a-t*k)+a*b*c*C3*exp(-t*a-t*k)+k*b*c*C3*exp(-t*a-t*k))/b/(a+k)/(k*c+k*b-N*k1) V =

14

-(-s*k^2*b*c-b^2*s*k^2+2*s*k*N*k1*b+s*k*N*k1*c-s*N^2*k1^2-c^2*exp(c*t)*C1*k*a*b-c^2*exp(c*t)*C1*k^2*b-b^2*exp(c*t)*C1*k*a*c-b^2*exp(c*t)*C1*k^2*c+exp(c*t)*C1*N*k1*a*b*c+exp(c*t)*C1*N*k1*k*b*c+exp(-b*t)*N*k1*C2*a*b*c+exp(-b*t)*N*k1*C2*k*b*c-C3*a*b^2*k*exp(-t*a-t*k)*c-C3*k^2*b^2*exp(-t*a-t*k)*c+C3*N*k1*a*exp(-t*a-t*k)*b*c+C3*N*k1*k*exp(-t*a-t*k)*b*c+C3*a^2*k*exp(-t*a-t*k)*b*c+2*C3*k^2*a*exp(-t*a-t*k)*b*c+C3*k^3*exp(-t*a-t*k)*b*c)/b/c/(a+k)/(k*c+k*b-N*k1)

[T,I,V]=dsolve(‘DT=s-a*T-k*T*V’,’DI=k1*T*V+b*I’,’DV=N*I-k*T*V+c*V’,’t’)

2）. a=[0,4,8,25,40];

>> b=[88,138,142,164,210]; >> beta0=[5,3,1];

>> [beta,r,J]=nlinfit(a,b,'eq7',beta0)； >> [aa,delta]=nlpredci('eq7',a,beta,r,J); >> c=[0,3,7,25,31,44];

>> d=[89,122,160,130,162,180]; >> beta0=[5,3,1];

>> [beta,r,J]=nlinfit(c,d,'eq7',beta0)； >> [cc,delta]=nlpredci('eq7',c,beta,r,J); >> e=[0,4,8,27,42];

>> f=[42,186,207,292,192];

>> [beta,r,J]=nlinfit(e,f,'eq7',beta0) >> [ee,delta]=nlpredci('eq7',e,beta,r,J); >> g=[0,4,9,25,43];

>> h=[61,93,115,226,269];

>> [beta,r,J]=nlinfit(g,h,'eq7',beta0) >> [gg,delta]=nlpredci('eq7',g,beta,r,J); >> i=[0,4,7,24,41];

>> j=[44,130,138,133,185];

>> [beta,r,J]=nlinfit(i,j,'eq7',beta0) >> [ii,delta]=nlpredci('eq7',i,beta,r,J); >> k=[0,4,8,24,40];

>> l=[35,69,108,168,307];

>> [beta,r,J]=nlinfit(k,l,'eq7',beta0) >> [kk,delta]=nlpredci('eq7',k,beta,r,J); >> m=[0,4,8,25,42];

>> n=[47,103,114,139,192];

>> [beta,r,J]=nlinfit(m,n,'eq7',beta0)； >> [mm,delta]=nlpredci('eq7',m,beta,r,J); >> o=[0,5,9,25,40];

>> p=[68,114,139,209,209];

>> [beta,r,J]=nlinfit(o,p,'eq7',beta0) >> [oo,delta]=nlpredci('eq7',o,beta,r,J);

15

>>

plot(a,b,'b.',a,aa,'r',c,d,'b.',c,cc,'r',e,f,'b.',e,ee,'r',g,h,'b.',g,gg,'r',i,j,'b.',i,ii,'r',k,l,'b.',k,kk,'r',m,n,'b.',m,mm,'r',o,p,'b.',o,oo,'black')；

3）. a=[0,4,8,25,40];

b=[178,228,126,171,99]; beta0=[5,3,1];

[beta,r,J]=nlinfit(a,b,'eq7',beta0); [aa,delta]=nlpredci('eq7',a,beta,r,J); c=[0,3,8,24,40];

d=[161,220,316,645,451]; beta0=[5,3,1];

[beta,r,J]=nlinfit(c,d,'eq7',beta0); [cc,delta]=nlpredci('eq7',c,beta,r,J); e=[0,4,7,24,39];

f=[115,176,252,168,252]; beta0=[5,3,1];

[beta,r,J]=nlinfit(e,f,'eq7',beta0); [ee,delta]=nlpredci('eq7',e,beta,r,J); g=[0,3,8,24,40];

h=[161,220,316,645,451]; beta0=[5,3,1];

[beta,r,J]=nlinfit(g,h,'eq7',beta0); [gg,delta]=nlpredci('eq7',g,beta,r,J); i=[0,4,8,23,39];

j=[112,231,288,360,385]; beta0=[5,3,1];

[beta,r,J]=nlinfit(i,j,'eq7',beta0) [ii,delta]=nlpredci('eq7',i,beta,r,J); k=[0,4,8,24,39];

l=[123,155,189,226,203]; beta0=[5,3,1];

[beta,r,J]=nlinfit(k,l,'eq7',beta0); [kk,delta]=nlpredci('eq7',k,beta,r,J); m=[0,5,9,25,40];

n=[139,123,132,133,189]; beta0=[5,3,1];

[beta,r,J]=nlinfit(m,n,'eq7',beta0); [mm,delta]=nlpredci('eq7',m,beta,r,J); o=[0,5,9,24,40];

p=[247,281,351,356,382]; beta0=[5,3,1];

[beta,r,J]=nlinfit(o,p,'eq7',beta0); [oo,delta]=nlpredci('eq7',o,beta,r,J);

16

plot(a,b,'b.',a,aa,'r',c,d,'b.',c,cc,'r',e,f,'b.',e,ee,'black',g,h,'b.',g,gg,'r',i,j,'b.',i,ii,'r',k,l,'b.',k,kk,'r',m,n,'b.',m,mm,'r',o,p,'b.',o,oo,'r')

4）. a=[0,4,9,23,40];

>> b=[14,62,110,122,320]; >> beta0=[0,8,2]; >> beta0=[8,2];

>> [beta,r,J]=nlinfit(a,b,'eq7',beta0); >> [aa,delta]=nlpredci('eq7',a,beta,r,J); >> plot(a,b,'b.',d,dd,'r') >> e=[0,4,8,24,40];

>> f=[33,62,87,128,168]; >> beta0=[8,2];

>> [beta,r,J]=nlinfit(e,f,'eq7',beta0); >> [ee,delta]=nlpredci('eq7',e,beta,r,J); >> d=[0,4,7,24,40];

>> c=[10,11,30,137,225]; >> beta0=[8,2];

>> [beta,r,J]=nlinfit(d,c,'eq7',beta0); >> [dd,delta]=nlpredci('eq7',d,beta,r,J); >> g=[0,4,8,25,42];

>> h=[12,56,77,137,122]; > beta0=[8,2];

>> [beta,r,J]=nlinfit(g,h,'eq7',beta0); >> [gg,delta]=nlpredci('eq7',g,beta,r,J); >> i=[0,4,8,24,40]; >> j=[3,9,10,65,104]; >> beta0=[8,2];

>> [beta,r,J]=nlinfit(i,j,'eq7',beta0); >> [ii,delta]=nlpredci('eq7',i,beta,r,J); >> k=[0,5,8,24,46];

>> l=[21,86,149,117,127]; >> beta0=[8,2];

>> [beta,r,J]=nlinfit(k,l,'eq7',beta0); >> [kk,delta]=nlpredci('eq7',k,beta,r,J); >> m=[0,3,8,24,40,48]; >> n=[8,34,67,45,88,99]; >> beta0=[8,2];

>> [beta,r,J]=nlinfit(m,n,'eq7',beta0); >> [mm,delta]=nlpredci('eq7',m,beta,r,J); >> o=[0,3,8,24,40]; >> p=[3,36,55,86,146]; >> beta0=[8,2];

>> [beta,r,J]=nlinfit(o,p,'eq7',beta0);

17

>> [oo,delta]=nlpredci('eq7',o,beta,r,J); >>

plot(a,b,'b.',a,aa,'r',d,c,'b.',d,dd,'r',e,f,'b.',e,ee,'r',g,h,'b.',g,gg,'r',i,j,'b.',i,ii,'r',k,l,'b.',k,kk,'r',m,n,'b.',m,mm,'r',o,p,'b.',o,oo,'black')

5）.

> u=[0,4,8,25,40]';

>> v=[1.86,2.76,45.90,72.94,30.29]'; >> x=[ones(5,1) u u.^2];

>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(v,x)

6）.

a=[0,5,8,24,37];

b=[3.89,23.89,43.82,28.54,32.56]; c=[0,4,7,24];

d=[1.89,4.07,11.54,68.5]; e=[0,6,12,27,44];

f=[1.27,6.05,10,23.7,25.81]; g=[0,4,8,24,40];

h=[6.47,16.76,37.83,41.29,46.67]; i=[0,4,8,25,42];

j=[2.4,23.33,45.29,80.59,71.76]; k=[0,4,8,24,40];

l=[0.53,1.64,1.82,13.54,22.13]; m=[0,4,8,24,40];

n=[3.57,45.59,66.15,94.12,37.37]; o=[0,4,8,24,45];

p=[4.14,23.33,36.76,68.48,37.21]; q=[0,4,8,24,39];

r=[7.02,10,12.86,22.17,45.13]; s=[0,3,8,24,40];

t=[0.61,17.14,23.91,40.95,85.88]; u=[0,4,8,25,40];

v=[1.86,2.76,45.90,72.94,30.29]; w=[0,4,8,24,40];

x=[7.12,35.29,35.29,54.12,88.26]; y=[0,3,8,23,39];

z=[5.56,60.59,73.08,76.92,167.64];

plot(a,b,'r.',c,d,'r.',e,f,'r.',g,h,'r.',i,j,'r.',k,l,'r.',m,n,'r.',o,p,'r.',q,r,'r.',s,t,'r.',u,v,'r.',w,x,'r.',y,z,'r.')

7）.

A=[0,4,8,27,42]';

>> B=[7.12,50.27,76.67,51.23,33.1]'; >> C=[ones(5,1) A A.^2];

>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(B,C)

18

>> Z=b(1)+b(2)*A+b(3)*A.^2; a=[0,4,8,27,42];

>> b=[7.12,50.27,76.67,51.23,33.1]; >> c=[0,4,7,24,39];

>> d=[13.93,66.67,136.11,118.24,129.41]; >> e=[0,5,9,24,40];

>> f=[11.05,111.14,69.23,138.95,196.47]; g=[0,4,8,22,38];

>> h=[10.19,103.89,150,117.65,77.5]; >> i=[0,4,9,23,42];

>> j=[16.84,20.79,36.8,75.59,29.78]; >> k=[0,4,8,24,33];

>> l=[16.42,40.56,68.15,103.89,49.46];

>> plot(A,Z,'black',a,b,'r.',c,d,'r.',e,f,'r.',g,h,'r.',i,j,'r.',k,l,'r.') 8）.

A=[0,3,7,23,40]';

>> B=[28.57,57.27,135,57.27,64.89]'; >> C=[ones(5,1) A A.^2];

>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(B,C) >> Z=b(1)+b(2)*A+b(3)*A.^2; >> a=[0,4,8,25,40];

>> b=[32.36,58.46,26.80,42.75,19.8]; >> c=[0,4,8,26,46];

>> d=[22.44,88.82,67.65,53.21,35.29]; >> e=[0,3,8,24,40];

>> f=[29.27,88,166.32,379.41,265.29]; >> g=[0,4,8,24,39];

>> h=[26.23,67.21,45.43,48.57,38.43]; >> i=[0,3,7,23,40];

>> j=[28.57,57.27,135,57.27,64.89]; >> k=[0,4,8,24,39];

>> l=[21.8,40.33,74.62,79.41,108.82]; >> m=[0,4,8,24,39];

>> n=[34.17,81.58,111.18,132.94,106.84];

>> plot(A,Z,'black',a,b,'r.',c,d,'r.',e,f,'r.',g,h,'r.',i,j,'r.',k,l,'r.',m,n,'r.') >> g=[0,8.2857,16,24,32,40];

>> h=3.1869-0.1424*exp(-75.7576.*g);

>> c=[0,7.7143,15.7143,23.8571,27.8571,34.8571]; >> d=3.1869-0.1424*exp(-71.96972.*c); >> a=[0,8,16,24,31.8571];

>> b=3.1869-0.1424*exp(-60.60608.*a); >> e=[0,7.8571,15.8571,23.8571,31.8571]; >> f=3.1869-0.1424*exp(-68.1804.*e);

>> plot(a,b,'r.',c,d,'b.',e,f,'black.',g,h,'g.','MarkerSize',20)

19

9）.

a=[0,8.2857,16,24,32,40];

>> b=[2.0794,2.9957,2.3026,2.7081,2.7726,1.6094]; >> beta0=[5,3,1];

>> [beta,r,J]=nlinfit(a,b,'eq7',beta0); >> [aa,delta]=nlpredci('eq7',a,beta,r,J);

>> c=[0,8.4286,15.4286,23.8571,32.4286,39.8571]; >> d=[3.4657,3.4012,3.4657,3.8067,2.9957,3.5835]; >> beta0=[5,3,1];

>> [beta,r,J]=nlinfit(c,d,'eq7',beta0); >> [cc,delta]=nlpredci('eq7',c,beta,r,J); >> e=[0,9,19,34.7143];

>> f=[3.3322,3.0445,3.0445,2.7726]; >> beta0=[5,3,1];

>> [beta,r,J]=nlinfit(e,f,'eq7',beta0); >> [ee,delta]=nlpredci('eq7',e,beta,r,J); >> g=[0,8,15.8571,24.8571,32.8571];

>> h=[1.3863,1.0986,1.0986,0.6931,0.6931]; >> beta0=[5,3,1];

>> [beta,r,J]=nlinfit(g,h,'eq7',beta0); >> [gg,delta]=nlpredci('eq7',g,beta,r,J); >> i=[0,9.1429,16.7143,25.8571,33.7143]; >> j=[3.091,3.5553,3.4012,3.4965,2.7726]; >> beta0=[5,3,1];

>> [beta,r,J]=nlinfit(i,j,'eq7',beta0); >> [ii,delta]=nlpredci('eq7',i,beta,r,J);

>> k=[0,7.2857,16.2857,24.1429,33.2857,40];

>> l=[3.0445,1.7918,3.7136,3.7136,3.4965,3.2189]; >> beta0=[5,3,1];

>> [beta,r,J]=nlinfit(k,l,'eq7',beta0); >> [kk,delta]=nlpredci('eq7',k,beta,r,J); >> m=[0,8.1429,16,24,33.1429];

>> n=[2.5649,2.1972,2.1972,3.2189,2.9444]; >> beta0=[5,3,1];

>> [beta,r,J]=nlinfit(m,n,'eq7',beta0); >> [mm,delta]=nlpredci('eq7',m,beta,r,J); >>

plot(a,b,'b.',a,aa,'r',c,d,'b.',c,cc,'r',e,f,'b.',e,ee,'r',i,j,'b.',i,ii,'r',k,l,'b.',k,kk,'black',m,n,'b.',m,mm,'r')

10）. 模型二中的折点图

（从上到下，从左到右图依次为年龄20、30、40、50）

20

21

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o4mr.html