数学建模~~微分方程模型

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第六章

微分方程模型

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本章内容 微分方程基本概念及建模方法 一阶微分方程(组)模型 稳定性模型

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一、微分方程基本概念及建模方法

微分方程的阶 解：特解、通解、解析解、数值解 初值问题 在实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少 ”等关键词提示我们什么量在变化，关键词“速率”、“增 长”、“衰变”、“边际的”等常涉及导数。

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建立微分方程常用方法

运用已知物理定理 利用平衡与增长式 运用微元法

应用分析法

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1、运用已知物理定律

例1、物体冷却过程将物体放置在空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为u0=1500C,10分 钟后测量得温度为u1=1000C.我们要求此物体的温度u和时间t的关系，并计 算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持在ua=240C. Newton冷却定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的 变化速率正比于 T与周围介质的温度差。解：设物体在 t 时刻的温度为 u u t , t 0 , 根据牛顿冷却定律知， 成正比，建立模型如下： du k (u u a ) dt u (0) u 0

du dt

与 u ua

其中 k 0 为比例系数

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利用分离变量法，求得模型解为u ua u0 ua e kt

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根据条件: t 10 时， u1 100 .u1 u a u 0 u a e 10 k

于是k 1 10 ln u0 ua u1 u a 1 10 ln 1.66 0.051

则u 24 126e 0.051t

t 20, u 2 70 C0

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2、利用平衡与增长式许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的 能量、货币量等。利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量 间的相互关系。

例2、战斗模型两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达 到如下目的：(1)预测哪一方获胜 (2)估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ (3)计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？

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模型建立： 设 x t 为 t 时刻甲方存活的士兵数， y t 为 t 时刻乙方存活的士兵数。 假设： (1)双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗， x t 和 y t 都是连续变量。 (2)乙方军队的一个士兵在单位时间内杀死甲方军队a 名士兵； (3)甲方军队的一个士兵在单位时间内杀死乙方军队b 名士兵； 则有 x ay t y bx t

令 t 0 ,得微分方程组模型： dx dt ay dy

bx dt ( a 0) (b 0)

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3、微元法基本思想：通过分析研究对象的有关变量在一个很短时间内的变化 情况建立微分方程。

例3、容器漏水问题一个高为1m的半球形容器盛满了水，水从它的底部小孔流出，小 孔的横截面积为1cm2.试求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h随时 间t的变化规律。

假设： (1)t时刻的流速v依赖于此刻容器内水的高度h(t); (2)整个放水过程无能量损失。

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由流体力学知识知，水从孔口流出的流量Q(即通过孔 口横截面的水的体积 V 对时间的变化率)可用下列公 式计算：Q dV dt 0.62 S 2 gh

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其中 0.62 是流量系数，S 为孔口的横截面积。 故dV dt 0.62 2 gh

设在微小时间间隔 [ t , t dt ] 内，水面高度由 h 降至 h dh , ( dh 0) , dV r 2 dhr 是时刻 t 的水面半径，且 r 100 (100 h ) 2 2

200h h

2

则 于是得模型： 求解得：

dV (200 h h ) dh2

0.62 2 gh dt (200 h h ) dh2

满足初值条件： h t 0 100 。

t

4.65 2 g

(7 10 10 h5 3

3/2

3h

3/2

)

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4、分析法

基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系 ，找出其反映内部机理的规律。例4、独家广告模型广告是调整商品销售的强有力手段，广告与销售之间有什么内在联 系？如何评价不同时期的广告效果？ 分析广告的效果，假设如下： (1) 商品的销售速度会因广告而增大，当商品在市场上趋于饱和时，销 售速度将趋于一个极限值。

(2) 商品销售率(销售加速度)随商品销售速度的增高而降低。

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符号说明： A(t)------t时刻的广告费用 S(t)-------t时刻商品的销售速度

M---------销售饱和水平，即销售速度的上限 ----------衰减因子，广告作用随时间的推移而自然衰减的速度， >0 P----------响应系数，表征A(t)对S(t)的影响力

建立模型： A, 0 t 设 t 时刻的广告费用为： A ( t ) 0, t

模型如下：dS dt pA ( t )(1 S (t ) M ) S (t )

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二、微分方程(组)的Matlab求解 微分方程的解析解 求微分方程(组)的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)记 号 : 在 表 达 微 分 方 程 时 ， 用 字 母 D 表 示 求 微 分 ， D2、 D3 等 表 示 求 高 阶 微 分 .任 何 D 后 所 跟 的 字 母 为 因 变 量 ， 自 变 量 可 以 指 定或由系统规则选定为确省. 例如，微分方程d y dx2 2

0 应 表 达 为 ： D2y=0.

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例5 求

du dt

1 u

2

的通解.

输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')

结果：u = tg(t-c)

例 6 求微分方程的特解. d 2 y dy 4 29 y 0 2 dx dx y ( 0 ) 0 , y ' ( 0 ) 15 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')

结 果 为 : y =3e-2xsin(5x)

例 7 求微分方程组的通解. dx dt 2 x 3 y 3 z dy 4 x 5 y 3z dt dz 4 x 4 y 2 z dt

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解 输入命令 ：[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't'); x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z)

结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t

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微分方程的数值解

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(一)常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多 得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得 到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到 一个满足精确度要求的便于计算的表达式。 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。 y' f(x, y) 对常微分方程 ： ,其数值解是指由初始点 y(x 0 ) y 0 y ( x 2 ), , y ( x n ) 的相应近似值 y 1 , y 2 , , y n。 x 0 开始

的若干离散的 x 值处，即对 x 0 x1 x 2 x n, 求出准确值 y(x 1 ),

(二)建立数值解法的一些途径设 x i 1 x i h , i 0 ,1, 2 , n 1, 可用以下离散化方法求 y' f(x, y) y(x 0 ) y 0

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解微分方程：

1、用差商代替导数 若步长h较小，则有y' ( x) y( x h) y( x) h

故有公式： y i 1 y i hf ( x i , y i ) i 0,1,2, , n - 1 y0 y( x0 )

此即欧拉法。

奉献 2、使用数值积分 对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：创新

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y ( x i 1 ) y ( x i )

xi 1

f ( t , y ( t )) dt

x i 1 x i 2

xi

[ f ( x i , y ( x i )) f ( x i 1 , y ( x i 1 ))]

故有公式：

h y i 1 y i [ f ( x i , y i ) f ( x i 1 , y i 1 )] 2 y0 y( x0 )

实际应用时，与欧拉公式结合使用：0 y i( 1) y i hf ( x i , y i ) h ( k 1) (k ) y i 1 y i [ f ( x i , y i ) f ( x i 1 , y i 1 )] k 0 ,1, 2 , 2

对于已给的精确度 然后继续下一步

( k 1) (k ) ( k 1) , 当满足 y i 1 y i 1 时， y i 1 y i 1 , 取

y i 2 的计算。

此即改进的欧拉法。

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3、使用泰勒公式 以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方 法。 4、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O(hk+1)时 (k

为正整数，h为步长),称它是一个k阶公式。 k越大，则数值公式的精度越高。

欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。 返 回

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