山大附中必考题型 - 斐波那契数列习题

斐波那契数列计算题

有一列数:1,1,2,3,5,8,13,21,...此数列的第2010项除以8的余数是___.

从第三项起每一项是前2项的和 前6个数除以8的余数分别是1，1，2，3，5，0， 后面的数除以8的余数则用前两个余数相加得到 即依次是5，5，2，7，1，0，1，1，2，3，5，0，…… 则循环周期是1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0， 共12个数一个周期，因为2010÷12余数是6 就相当于是第6个数的余数，即为0

有一列数1，2，3，5，8......从左往右第100个数是奇数还是偶数。要算式

这些数其实是有规律的，除了前两位1和2之后，就是按：奇、奇、偶这样的顺序排列的，所以有： （100-2）/3 =98/3 =32余2

所以第100个数是奇数。

有一列数1、2、3、5、8、13、21......这列数中第1001个数除以3，余数是几？

依次算余数，发现8个数一组，是12022101，所以第1001个余数是1！

有1列数1，2，3，5，8，13，21，34，55..从第三个数开始每个数是前两个数的和，那么在前1000个数有多少奇

每3个数当中有2个奇数， 1000÷3=333余1 一共333组多1个 多的那个是第334组的第一个，也是奇数 奇数一共有：333×2+1=667个

有一列数1,2,3,5,8,13,21.从第三个数起,每个数都是前面两个数的和,在前20005个数中,偶数有多少个?

1,2,3,5,8,13,21,34,55..规律：奇 偶 奇 / 奇 偶 奇 / 奇 偶 奇/.20005÷3=6668余1所以在前20005个数中,偶数有6668个

有一列数1，1，2，3，5，8，13，21，34，从第三个数开始每一个数都是它前面两个数的和，求这一列数的第2006个除以4后所得的余数？

1

如果硬算,那是算不出来的,所以,我们要找规律.1÷4余1,1÷4余1,2÷4余2,3÷4余3,5÷4余1,8÷4余0,13÷4余1,21÷4余1,34÷4余2,55÷4余3,89÷4余1,144÷4余0余数是1,1,2,3,1,0这样循环的,把2006÷6=334余2,那么,1,1,2,3,1,0中的第2个是1,答第2006个除以4后所得的余数是1

有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34......从第3个数开始，每一个数都是它前面2个数的和。那么在前2008个数中，有几个奇数

1339个，顺序是:奇,奇，偶。最后一个也是奇数。 列式是：2008÷3＝669……1 669×2+1=1339.

有一列数：1、1、2、3、5、8、13……，即第一、第二个数都是1，从第三个数起，每个数都是前面两个数的和,求第2003个数除以3的余数。

找规律，每个数除以3的余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、%1、1、2，可以看出循环节长度是8，,第2003个就是第3个，余数是2

1 2 3 5 8 13 21 34 55

+ 89 ?? 答案是231.

34 55 89 144 233 377 610 987 1597

+ 2584 答案是6710

斐波那契数列前a1+a2+a3+a4+a5.....+a10=11a7

2

下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第16行的实心圆点的个数是 610

（新兔子数=上月成年兔 成年兔数=上月成年兔+上月新生兔） 空心代表幼兔，实心代表成年兔。 台阶问题：

一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的走法？

1级台阶，有1种；

2级台阶，有1,1；2。2种

3级台阶，有1,1,1；1,2；2,1。3种

4级台阶，有1,1，1,1；1，1,2；2,1,1；1,2,1；2,2。5种 5级台阶，若第一次迈1级台阶，还剩4级，有几种？ 若第一次迈2级台阶，还剩3级，有几种？

an?2?an?1?an

一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶。从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的走法？（89）

an?3?an?2?an?1?an

一只青蛙从宽5米的水田的一边要跳往另一边,它每次只能跳0.5米,或1

3

米,这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法? （89种）转化为台阶问题 （1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144）

有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？（927种）转化为台阶问题 （1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927）

如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从A跳到B，每次可跳1步或2步；小张从C跳到D，每次可跳1步、2步或3步。试比较：谁跳到目标处的不同跳法多？多几种？（小方144，小张149）

A C B D

在斐波那契数列的前2010项中，有多少个偶数？

末尾数循环问题：

在斐波那契数列的前2010项中，有多少项的末位数等于2？

（斐波那契数列的个位数：一个60步的循环：11235，83145，94370，77415，61785.38190，99875，27965，16730，33695，49325，72910…，每个循环中有4个个位是2的数，分别是3个，第36个，第54个，第57个） 需要记忆：

斐波那契数列的个位数为60步的循环，最后两位数是一个300步的循环，最后三位数是一个1500步的循环，最后四位数是一个15000步的循环，最后五位数是一个150000步的循环．

4

蜜蜂进蜂房问题：

一次蜜蜂从蜂房A出发，想爬到、、……、n号蜂房，只允许它自左向右（不许反方向倒走）。则它爬到各号蜂房的路线多少？

斐氏推算：

蜂从A爬到1号蜂房有一条路；爬到2号蜂房又2条路（A→2和A→1→2）

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爬到n号蜂房的路线可分成两类：

1.不经过n-1号蜂房，而从n-2号蜂房直接爬进n号蜂房； 2.经n-1蜂房而爬进n号蜂房。 仿前例推算知：

从A到n-2号蜂房路线有fn-1条，而从A到n-1号蜂房路线有fn-1，这样蜂从A爬到n号蜂房的路线条数有：fn=fn-2+fn-1,(n≧2)

这恰恰与生小兔问题的结论一致，1,2,3,5,8,13,21,34,55，

假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜峰在左下角，由于受了点伤，只能爬行，不能飞，而且始终向右方（包括右上、右下）爬行，从一间蜂房爬到右边相邻的蜂房中去．例如，蜜蜂爬到1号蜂房的爬法有：蜜蜂→1号；蜜蜂→0号→1号共有2种不同的爬法，若蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房共有n种不同爬法，则n等于______．

斐波那契数列与蜜蜂的家谱问题：

蜜蜂的“家谱”：蜜蜂的繁殖规律十分有趣。雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后所产的卵，受精的孵化为雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的孵化为雄蜂。人们在追溯雄蜂的家谱时，发现1只雄蜂的第n代子孙的数目刚好就是Fibonacci数列的第n项fn。

♂ 0 | ♀

6

╱╲

♀♂ 1 ╱╲╲

♀♂♀ 1 ╱╲|╱╲

♀♂♀♂♀ 2 ╱╲|╱╲╲╱╲

♀♂♀♂♀♀♂♀ 3 ╱╱╱╱╱

♂♂♂♂♂ 5

斐波那契数列与三角形问题：

现有长为144cm的铁丝，要截成n小段(n>2),每段的长度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为10。

分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2(为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和)，依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。

有8个自然数（可以相同），其中从中任意选3个作为长度，均不能构成三角形，那么这8个自然数的和的最小值54.

大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花、茉利花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花瓣。

这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角——137.50776度；这使种子的堆集效率达到最高。

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