高考数学选做题

…………○…………装…………○…………内…… _…__…__○__…__…__…：…号…考…__…__…___○__…__…：…级…班线__…__…__…__…__○_：…名…姓…_…__订__…__…__…__…:校○学…………装…………○…………内…………○…………

高考数学选做题 1．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??x?1?2x?a,a?0 . （Ⅰ）当a?1时求不等式f?x??1的解集；

（Ⅱ）若f?x?图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. 2．（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设a,b,c,d 均为正数,且a?b?c?d.证明： （Ⅰ）若ab?cd ,则a?b?c?d； （Ⅱ）a?b?c?d是a?b?c?d的充要条件.

3．若a?0,b?0,且

1a?1b?ab （I）求a3?b3的最小值；

（II）是否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由. 4．设函数f(x)?|x?1a|?|x?a|(a?0) （1）证明：f(x)?2；

（2）若f(3)?5，求a的取值范围．

5．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)?|2x?1|?|2x?a|，g(x)?x?3. （Ⅰ）当a??2时，求不等式f(x)?g(x)的解集； （Ⅱ）设a??1，且当x?[?a2,12)时，f(x)?g(x)，求a的取值范围。6．已知函数f(x)=|x?a|?|x?2|.

(Ⅰ)当a??3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(Ⅱ) 若f(x)≤|x?4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围. 【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题. 7．

（本小题满分10分）选修4-5不等选讲

试卷第1页，总6页

…

设函数f(x)?x?a?3x,a?0（1）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集；(2)如果不等式f(x)?0的解集为xx??1，求a的值。

??（Ⅰ）ab+bc+ac?1； 3a2b2c2???1 （Ⅱ）bca9．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

22轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求C1,C2的极坐标方程. （Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为??π???R?，设C2,C3的交点为M,N，求?C2MN的面积. 4…?x?2?tx2y2??1，直线l:?10．已知曲线C:（t为参数） 49?y?2?2t写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值. 11．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为??2cos?,??[0,…?2]．

（1）求C得参数方程；

…（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y?3x?2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．

12．已知曲线C1的参数方程为?…?x?4?5cost,（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴?y?5?5sint○建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2sin?。 （1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C1与C2交点的极坐标（??0,0???2?）。

试卷第2页，总6页

订……?x?2cos?13．已知曲线C1的参数方程是?（?是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建y?3sin??……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ 在直角坐标系xOy中，直线C1:x??2，圆C2:?x?1???y?2??1，以坐标原点为极点,x轴正半……线……○…8．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○…………装…………○…………内…… _…__…__○__…__…__…：…号…考…__…__…___○__…__…：…级…班线__…__…__…__…__○_：…名…姓…_…__订__…__…__…__…:校○学…………装…………○…………内…………○…………

立极坐标系，曲线C2:的极坐标方程是?=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，

?3）. (Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标；

(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA|2?|PB|2?|PC|2?|PD|2的取值范围. 【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标，是容易题型.

14．已知动点P，Q都在曲线C：??x?2cost（β为参数）上，对应参数分别为t??

?y?2sint与t?2?（0＜?＜2π），M为PQ的中点。

（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为?的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。 15．

（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为

??x?2cos?，(?y?2?2sin??为参数) M是曲线C1上的动点，点P满足OP?2OM，（1）求点P的轨迹方程C2；（2）在以D为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线???3与曲线C1，C2交于不同于原点的点A,B求AB

16．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1:??x?tcos?,?tsin?, （t为参数,且t?0 ）,其中0????,在以O为极点,x

?y轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:??2sin?,C3:??23cos?. （Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；

（Ⅱ）若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求

AB最大值.

17．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图AB是直径，AC是切线，BC交与点E.

（Ⅰ）若D为AC中点，求证：DE是

切线；

（Ⅱ）若OA?3CE，求?ACB的大小.

试卷第3页，总6页

…

18．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.

……

（Ⅰ）证明EF?BC；

（Ⅱ）若AG等于圆O半径,且AE?MN?23 ,求四边形EBCF的面积. 19．如图，四边形ABCD是

B?CE的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且C.

20．如图，P是?O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与?O相交于B,C，PC?2PA，…D为PC的中点，AD的延长线交?O于点E．证明：

（1）BE?EC；

?2PB2

PBDEOC21．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

…试卷第4页，总6页

订…

……○A…（2）AD?DE…（I）证明：?D??E； （II）设AD不是的直径，AD的中点为M，且MB?MC，证明：?ADE为等边三角形. …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …线………○……………○…………装…………○…………内…… _…__…__○__…__…__…：…号…考…__…__…___○__…__…：…级…班线__…__…__…__…__○_：…名…姓…_…__订__…__…__…__…:校○学…………装…………○…………内…………○…………

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，?ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D。

（Ⅰ）证明：DB?DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC?3，延长CE交AB于点F，求?BCF外接圆的半径。

22．如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D， E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE=DC·AF，B, E, F,C四点共圆。

证明：（Ⅰ）CA是△ABC外接圆的直径;

（Ⅱ）若DB=BE=EA.求过B, E, F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.

23．如图，D，E分别是△ABC边AB,AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆与F,G两点，若CF∥AB，证明：

(Ⅰ) CD=BC;

(Ⅱ)△BCD∽△GBD.

【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识，是简单题.

24．（本小题满分10分）如图，D、E分别是AB、AC边上的点，且不与顶点重合，已知AE?m,AC?n,试卷第5页，总6页

（1）证明C、B、D、E四点共圆

AD、AB为方程x2-14x+mn=0的两根

（2）若?A=90o,m=4,n=6,求C、B、D、E四点所在圆的半径

○………… ……线…………○………… 试卷第6页，总6页

……… ※○…※…题※…※……答※…※内订…※…※线…※…线※订…※※○…装※…※…在……※※要…※装…※不…※…※请……※※…○○……………外………………○…………订…本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

参考答案

1．（Ⅰ）{x|【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f(x)>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将

2?x?2}（Ⅱ）（2，+∞） 3f(x)化为分段函数，求出f(x)与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根

据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）当a=1时，不等式f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|＞1，

?x??1??1?x?1?x?12等价于?或?或?，解得?x?2，

3??x?1?2x?2?1?x?1?2x?2?1?x?1?2x?2?1所以不等式f(x)>1的解集为{x|2?x?2}. 3?x?1?2a,x??1?（Ⅱ）由题设可得，f(x)??3x?1?2a,?1?x?a，

??x?1?2a,x?a?所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(2a?1,0)，B(2a?1,0)，32C(a,a+1)，所以△ABC的面积为(a?1)2.

322由题设得(a?1)＞6，解得a?2.

3所以a的取值范围为（2，+∞）.

考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法 2．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由a?b?c?d及ab?cd,可证明

?a?b???2c?d?,开方即得

2a?b?c?d.（Ⅱ）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来

证明.

试题解析： 解：（Ⅰ）因为

?a?b?2?a?b?2ab,由题设a?b?c?d,ab?cd,得（Ⅱ）（ⅰ）若

?a?2?c?d??c?d?2cd,

b???c?d?,因此a?b?2222c?d.

2a?b?c?d?a?b?,则

??c?d??a?b?,即

2?4ab??c?d??4cd, 因

为a?b?c?d,所以ab?cd,由（Ⅰ）得a?b?c?d.

答案第1页，总14页

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（ⅱ）若

a?b?c?d,则

?a?b???2c?d?2,即

a?b?2ab?c?d?2cd,因为a?b?c?d,所以ab?cd,

于是

?a?b?b?2??a??b4?ab??2c??d4?2?cd??c?,d2因此

a?b?c?d,综上

a?c?是da?b?c?d的充要条件.

考点：本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件. 3．（1）最小值为42;（2）不存在a，b，使得2a?3b?6. 【解析】

试题分析：（1）根据题意由基本不等式可得：

ab?112??，得ab?2，且当ababa?b?2时等号成立，则可得：a3?b3?2ab?42，且当a?b?2时等号成立.

33所以a?b的最小值为42;（2）由（1）知，而事实上43?6，2a?3b?26ab?43，

从而不存在a，b，使得2a?3b?6. 试题解析：（1）由ab?112??，得ab?2，且当a?b?2时等号成立. abab故a?b?2ab?42，且当a?b?2时等号成立.

33所以a?b的最小值为42.

33（2）由（1）知，2a?3b?26ab?43. 由于43?6，从而不存在a，b，使得2a?3b?6. 考点：1.基本不等式的应用;2.代数式的处理 4．（1）详见解析；（2）(【解析】

试题分析：（1）由绝对值三角不等式得f(x)?x?由a?0结合基本不等式得

1?55?21,)． 22111?x?a?x??(x?a)??a，

aaa1?a?2，故f(x)?2；（2）由f(3)?5，得关于a的不等式a3?1?3?a?5(a?0)，去绝对号解不等式即可． a答案第2页，总14页

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（1）由a?0，有f(x)?x?111 ?x?a?x??(x?a)??a?2，所以f(x)?2．

aaa（2）f(3)?3?15?211． )?5得3?a??3?a．当a?3时，f(3)?a?，由f(3a2a11?5，由f(3)?5得?a?3．综上，a的取值范围是a2当0?a?3时，f(3)?6?a?1?55?21(,)．

22考点：1、绝对值三角不等式；2、基本不等式；3、绝对值不等式解法． 5．

1??5x,x??2?1?（1）当a??2时，令y?2x?1?2x?2?x?3???x?2,?x?1，作出函数图像可知，

2??3x?6,x?1??当x?(0,2)时，y?0，故原不等式的解集为x0?x?2?； （2）依题意，原不等式化为1?a?x?3，故x?a?2对???a?a1?故??a?2，,?都成立，

2?22?故a?44??，故a的取值范围是??1,?. 33??【解析】（1）构造函数y?2x?1?2x?2?x?3，作出函数图像，观察图像可知结论；（2）利用分离参数法进行求解.

【学科网考点定位】本题考不等式的解法，考查学生数形结合的能力以及化归与转化思想.

答案第3页，总14页

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6．1。{x|x≤1或x≥8} 2。[－3,0]

??2x?5,x?2?【解析】(Ⅰ)当a??3时，f(x)=?1, 2?x?3，

?2x?5,x?3?当x≤2时，由f(x)≥3得?2x?5?3，解得x≤1； 当2＜x＜3时，f(x)≥3，无解；

当x≥3时，由f(x)≥3得2x?5≥3，解得x≥8， ∴f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥8}； (Ⅱ) f(x)≤|x?4|?|x?4|?|x?2|?|x?a|， 当x∈[1,2]时，|x?a|?|x?4|?|x?2|=4?x?x?2=2，

∴?2?a?x?2?a，有条件得?2?a?1且2?a?2，即?3?a?0， 故满足条件的a的取值范围为[－3,0] 7．

因为，a?0所以，该不等式的解集是?xx???，再由题设条件得???a?2?a??1,?a?2 2点评：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性。 【解析】略 【答案】见解析

222222【解析】（Ⅰ）由a?b?2ab，c?b?2bc，a?c?2ac得：

答案第4页，总14页

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?33?0,0,????2,2??.

??（Ⅱ）曲线C1极坐标方程为

??????R,??0?,3cos?,?,

其中0???? ,因此点A的极坐标为

?2sin?,??,点B的极坐标为?2?所以AB?2sin??23cos??4sin???????3??,当??5?AB时取得最大值,最大值6为4. 考点：本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值. 17．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE⊥BC，AC⊥AB，由直角三角形中线性质知DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE是圆O的切线；（Ⅱ）设CE=1,由OA?3CE得，AB=23，设AE=x，由勾股定理得BE?12?x，由直角三角形射影定理可得AE2?CE?BE，列出关于x的方程，解出x，即可求出∠ACB的大小. 试题解析：（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB， 在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE， 连结OE，∠OBE=∠OEB，

∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线.

（Ⅱ）设CE=1，AE=x,由已知得AB=23，BE?12?x，

2由射影定理可得，AE?CE?BE，

22∴x?12?x，解得x=3，∴∠ACB=60°.

22

考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 18．（Ⅰ）见试题解析；（Ⅱ）163 3答案第10页，总14页

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【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明EF?BC,可证明AD?BC,AD?EF；（Ⅱ）先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF的面积转化为△ABC和△AEF面积之差来求. 试题解析：

（Ⅰ）由于△ABC是等腰三角形,AD?BC, 所以AD是?CAB的平分线,又因为圆O与AB,AC分别相切于E,F,所以AE?AF,故AD?EF,所以EF?BC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE?AF,AD?EF,故AD是EF的垂直平分线,又EF为圆O的弦,所以O在AD上,连接OE,OF,则OE?AE,由AG等于圆O的半径得AO=2OE,所以?OAE?30?,因此,△ABC和△AEF都是等边三角形,,因为AE?23,所以AO?4,OE?2, 因为

OM?OE?2,DM?21103MN?3, 所以OD=1,于是AD=5,AB?, 所以四边形DBCF2321?103?313163的面积为?????23??. ???2?3?2223??考点：本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力. 19．（1）详见解析;（2）详见解析 【解析】 试题分析：（1）根据题意可知A，B，C，D四点共圆，利用对角互补的四边形有外接圆这个结论可得：?D??CBE，由已知得?CBE??E，故?D??E;（2）不妨设出BC的中点为N，连结MN，则由MB?MC，由等腰三角形三线合一可得：MN?BC，故O在直线

N?AD，MN上，又AD不是圆O的直径，M为AD的中点，故OM?AD，即M所以AD//BC，

故?A??CBE，又?CBE??E，故?A??E，由（1）知，?D??E，所以?ADE为等边三角形. 试题解析：（1）由题设知A，B，C，D四点共圆，所以?D??CBE， 由已知得?CBE??E，故?D??E.

（2）设BC的中点为N，连结MN，则由MB?MC知MN?BC， 故O在直线MN上.

又AD不是圆O的直径，M为AD的中点，故OM?AD， 即MN?AD.

所以AD//BC，故?A??CBE， 又?CBE??E，故?A??E.

由（1）知，?D??E，所以?ADE为等边三角形.

答案第11页，总14页

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考点：1.圆的几何性质;2.等腰三角形的性质 20．（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】

试题分析：（1）要证明BE?EC，只需证明弦BE，EC所对的圆周角相等，连接AB,AC，故只需证明?DAC=?BAD．由PA?PD得?PAD??PDA，为了和所求证的角建立联系?PDA=?DAC??DCA，?PAD=?BAD??PAD，从而可证明?DAC=?BAD，进而证明BE?EC；

（2）由结论很容易想到相交弦定理AD?DE?BD?DC，故只需证明2PB2?BD?DC，由切割线定理得PA2?PB?PC，且PA?PD?DC易证．

（1）连接AB．由题设知，PA?PD,故?PAD??PDA．因为,AC?PD=A?DA?C??DA=C?D?APAD=?BAD??PAD,?DCA=?PAB,所以,C?=EC?．因此BE?EC． BADBE，从而

2（2）由切割线定理得PA?PB?PC．因为PA?PD?DC,所以DC?2PB,BD?PB，

由相交弦定理得AD?DE?BD?DC，所以AD?DE?2PB2．

APBDEOC

考点：1、圆的切割线定理；2、相交弦定理．

?ABE??BCE，BE?CE，21．（1）连接DE，交BC为G，由弦切角定理得，又因为DB?BE，

所以DE为直径，由勾股顶底得DB=DC.

答案第12页，总14页

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DE??BDE（2）由（1），?C，DB?DC，故DG是BC的中垂线，故BG?3，圆2心为O，连接BO，则?BOG?600，?ABE??BCE??CBE?300，所以CF?BF，

故外接圆半径为3. 2【解析】（1）利用弦切角定理进行求解；（2）利用（1）中的结论配合角度的计算可以得到答案.

【学科网考点定位】本题考查几何证明中的定理运用，考查学生的数形结合的能力. 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）因为CD为△ABC外接圆的切线，

BCDC?， FAEA故?CDB∽?AEF，所以?DBC??EFA，因为B、E、F、C四点共圆，所以?DBC??CFE，

所以?DCB??A，由题设知

故?EFA??CFE?90，所以?CBA?90，因此CA是△ABC外接圆的直径. （Ⅱ）设DB=BE=EA=a，则由切割线定理可得：

??DC2?DB?DA，解得DC?3a，由（1）知：CA是△ABC外接圆的直径，所以CB?DA，

AC⊥CD，解得AC=6a，CE=3a，所以过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积

32a)12的比值为=.

622??(a)2??(本题第（Ⅰ）问，由两个三角形相似可得出角相等,再由四点共圆,得出?CBA?90,从而得证;第（Ⅱ）问,由切割线定理以及B、E、F、C四点共圆,可以得出两圆的半径,从而得出面积的比值.对第（Ⅰ）问，不容易找到这两个三角形相似;第（Ⅱ）问中两个圆半径的求出容易出错.

答案第13页，总14页

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【考点定位】本小题主要考查圆的切线、割线、圆内接四边形、勾股定理等平面几何知识，考查数形结合思想，考查分析问题、解决问题的能力. 23．见解析

【解析】(Ⅰ) ∵D，E分别为AB,AC的中点，∴DE∥BC， ∵CF∥AB， ∴BCFD是平行四边形，

∴CF=BD=AD， 连结AF，∴ADCF是平行四边形，

∴CD=AF，

∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC； (Ⅱ) ∵FG∥BC，∴GB=CF， 由(Ⅰ)可知BD=CF，∴GB=BD,

∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD 24．（1）见解析；（2）52 【解析】解：（Ⅰ）如图，连接DE，依题意在?ADE,?ACB中，

AD?AB?mn?AE?AC,?ADAE?由因为?DAE??CAB所以， ACAB?ADE∽?ACE,??ADE?ACB,?四点C、B、D、E共圆。

2（Ⅱ）当m?4,n?6时，方程x?14x?mn?0的根x1?2,x2?12,

因而，AD?2,AB?12,取CE中点G，BD中点F,分别过G,F 做AC,AB的垂线，两垂线交于点H，连接DH, 因为四点C、B、D、E共圆，所以，H为圆心，半径为DH.

??A?90?,GH//AB,HF//AC,所以， HF?AG?5,DF?1?(12?2)?5,DH?52 2点评：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。注意把握判定与性质的作用。

答案第14页，总14页

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