理论力学作业答案

第3 章

两体问题dV v er drdr

一、中心势场中单粒子的运动：中心力：F = V = t = ±∫

粒子的轨道方程：θ =∫

2 L2 [E V ( r )] 2 2 m mr L dr r2 dθ = ∫ L2 2m [E V ( r )] 2 r

体系能量守恒： E = 1 m (r 2 + r 2θ&2 ) + V ( r ) = C &2 角动量守恒： L = mr 2θ& = C

二、与距离r成反比的中心势场: (万有引力势和库仑 α 静电势): V ( r ) = r

在万有引力作用下天体运动的轨迹问题也称为开普勒问题。 此时α=GM,质点的轨道方程可写为r= p 1 + e cos θ2 EL2 e = 1+ mα 2

其中：

L2 , p= mα

在库仑排斥势场中粒子的轨道方程： p r= 1 e cos θ

y p 2b O c

rθ

x

p r= 1 + e cos θp α = a= 1 e2 2 E

2a

b=

L 2m E

c = a2 b2

L2 p= mα

2 EL2 e = 1+ mα 2

近日点： rmin = a c ,远日点 rmax = a + cT 周期： = 2π m

α

a 3 ,椭圆面积： s

= π ab

三、开普勒行星三定律：(1)行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳在椭圆的一个焦点上；p (2)行星与太阳的联线扫过的面积与时间成正比，或者说相 1 + e cos θ r=

等时间内扫过的面积相等； (3)行星运动的周期的平方与它们的轨道半长轴的立方成 正比。

宇宙速度： (1).第一宇宙速度v1,也称环绕速度，即环绕地球运动的最低发 射速度 v1 = gR ≈ 7.9(km / s ) (2).第二宇宙速度v2,也称逃逸速度，即脱离地球运动而绕太阳 运动的最低发射速度 v2 = 2 gR ≈ 11.2(km / s ) (3).第三宇宙速度v3, 即飞离太阳系的最低发射速度2 v3 = v2 + (v' v0 ) 2 ≈ 16.5(km / s)

2Gmsun 其中v0为地球绕太阳的公转速度，v’为 v' = rsun earthmsun为太阳的质量，rsun-earth为太阳-地球之间的距离。

四、运动轨道的稳定性条件： d 2u m 比耐公式：u 2 + u = 2 F dθ L 2

由微小扰动： u = u0 + εd 2ε 微小扰动满足方程： 2 + Aε = 0 dθ2 d 2u0 m dF + 2 2 A = 3+ 2 u0 dθ u0 L du

u0

轨道的稳定性条件为：A = 1 2m 3 m dF r F (r ) 2 r 4 >0 2 L L dr

或：2m 3 dV m 4 d 2V A = 1+ 2 r + 2r >0 2 L dr L dr

五、弹性碰撞和散射截面：如果两个粒子在碰撞前后其内部状态都不发生改变，则这种碰 机械能守恒 撞称为弹性碰撞或弹性散射 动量守恒 有：m2 sin θ tan θ1 = m1 + m2 cos θ2 m12 + m2 + 2m1m2 cos θ ' v01 v01 = m1 + m2 v ' = 2m1v01 sin θ 02 m1 + m2 2

θ1 + (π θ )

1 2

微分散射截面：dσ =

dN n dσ = 2π bdb r

立体角： dω = dS = 2π sin θdθ 2

第3 章3.1 求质点在中心势场 V = 解：由公式 θ = ∫ θ = ∫L dr 2 r

α

两体问题2

r L dr 2 r

(α > 0) 中运动的微分方程的解。2 ,代入 V =

αr2

L 2m[E V (r )] 2 r2

(α > 0)

θ = ∫θ =

∫

α L 2m E + 2 2 r r

= L∫

1 d r 1 r2

2 mE + ( 2 m α

L2 )

1 令：u = r

∴ θ = L∫

du (2mα L2 ) u 2 + 2mE

讨论： (1) 当 2mE > 0,

2mα < L2

θ=

L L2 2mα

∫

du L L2 2mα = arccos u+c 2 2mE 2mE L 2mα u2 L2 2mα

选适当θ,使c=0, 得 L

1 u= = r

2mE 2mα cos 1 2 θ 2 L 2mα L

2mα L2 du L θ= ∫ 2 2mE = 2mα L2 arcsh 2mE u + c 2mα L2 u + 2 2mα L 2mα 1 2mE 选适当θ,使c=0, 得 u = = sh 1 θ 2 2 r 2mα L L

(2) 当 2mE > 0, 2mα > L2

(3) 当 2mE < 0, 2mα > L2 L 2mα L2

2m E u 2mα L2 2mα 2m E 1 选适当θ,使c=0, 得 u = r = 2mα L2 ch L2 1 θ 2

θ=

∫

du

2mα L2 = arcch u + c 2m E 2mα L2 L

Q lim ch (αθ ) = ∞, lim sh(αθ ) = ∞θ →∞ θ →∞

第(2),(3)中情况会出现r=0,即质点被力心所俘获t=∫r

dr 2 α L2 E + 2 2 2 m r mr

0

=∫

r

dr

( )2

r

0

8 E 2 8α 4 L2 r + m m2 m

=

m 8E 2 4 r + 2 (2mα L2 ) 4E m m 0

当 2mα L2 > 0, E < 0 ,t值有限1 t= E m L2 L2 2 α Er + α 2 2m 2m

3.2 质量相同的两个质点，用一固有长度为l劲度系数为k,质量不计的弹 性棒连接起来，用手握住其中一个质点，使另一个做水平圆周运动，其速 度为V0,然后将手放开，讨论这两个质点以后的运动情况。 解：放手前，体系质心做圆周运动，放手后质心在离心力作用下做抛体运 1 动。 仅考虑体系的相对运动，体系势能 V = k (r l ) 2 。两粒子相对运动可 2 看成质量为折合质量mr的质点的运动， 运动方程为：t = ∫r

dr 2 mr 1 L2 2 E 2 k (r l ) m 2 r 2

r0

2 mv0 m1m2 1 其中：mr = = m, r0 = +l m1 + m2 2 k

轨道方程为： θ = ∫rdθ = ∫r0

r

r0

L dr r2 1 L2 2 2mr E k ( r l ) 2 2 r

3.3 质点在一纬中心引力 F = α x 的作用下，以速度为0,x=-a处开始运 动，试求该质点到达力心o的时间。 x α 解：设无穷远处为势能零点，则 v( x) = ∫ dx = α ln x ∞ x 代入粒子在中心势的运动方程：t=∫ dr 2 L2 [ E V ( x)] 2 2 m mr =∫0

dr 2 [ α ln α + α ln x ] m

a

e α r 3.4 定性的讨论粒子在中心势 V = k 中的运动，式中k和 r

α为常数。

解：当 α r 》1时，V≈0,此时近似做自由粒子的运动； 普勒运动；k ,粒子近似做在势场 k 中的开 当 α r 《 1时，V ≈ r r

k V 当 α r ≈1时， ≈ e r ,粒子近似做开普勒运动，但势场 减弱为 k 1 r e

3.6 求粒子在中心力 F = L dr r2

k c + 3 的作用下的轨道方程。 r2 rk c V = +

r 2r

解：粒子的中心势场可写为

1 Ld 代入 θ = dθ = r =∫ ∫ ∫ 2mk 1 L2 2mE + (mc + L2 ) 2 2m[ E V ( r )] 2 r r r B d u 1 Ldu L 2A = 令：u = , θ = ∫ 2 2 2 r A ∫ B 2 + 4 AD (mc + L ) u + 2mk u + 2mE B u 4 A2 2A

A = L2 + mc B = 2mk D = 2mE

mk m 2 k 2 + 2mE ( L2 + mc) L2 + mc ∴ u= + cos θ 2 2 2 L 2 + mc ( L + mc) L

L2 + mc p mk ∴ r= = 2 2 1 + e cos αθ 2mE ( L + mc) L + mc 1+ 1+ cos θ 2 2 2 mk L

L2 + mc mc 2mE ( L2 + mc) , α = 1+ 2 , e = 1+ 其中：p = mk L m2k 2

α 3.8 试求粒子在势场 V = 中运动且E=0 (抛物线轨道)时，坐标对时间 r 的依赖关系。解：粒子在中心势场 V = α 中运动，代入 r dr =∫ 运动方程： t = ∫ 22 2 2 2 2 2 令 L η = 2mα r L ,则 r = L η + L 2mα 2 2 2 2 Lη +L Lη 1 t = ∫m dη = 2mα mα Lη

dr

2 L [ E V ( x)] 2 2 m mr

2 α L2 2 2 m r mr

=∫

mrdr 2mα r L2

∫

L3η 2 + L3 dη 2 2mα

L3 = 2mα 2

L3 ∫ (η + 1)d η = 2 m α 22

η3 η + 3

mp 3 η η 2 L2 若 p= ,则 t = α 2 1 + 3 mα

(1)(2) (3)

L2 (η 2 + 1) p (η 2 + 1) p = p = (1 η 2 ) x = r cos θ = p r = p 2mα 2 2 2 2 y = r sin θ = r 2 x 2 = p (η 2 + 1) 2 p (1 η 2 ) 2 = p η 4 4

3.11 证明在椭圆轨道情况下，动能对时间的平均值等于势能对时间的平均 值的一半(位力定理)。 p α r 证明：在椭圆轨道情况下， = 。设 V = ,a,c分别是半长 1 + e cos θ r 轴和焦距 m 3 α 1 2 2 &2 T = 2π a 有： E = , E = m(r + r θ ) + V ,周期 & α 2a 2 1 2 L2 α α 1 α α 2 2 &2 & + = & 可写为： m(r + r θ ) = ,即 mr 2 2mr r 2a 2 r 2adr 1 2α r2 L2 = r dt r m 2 a 2 mαdr dt α = r 2 L2 a a (r a) 2 mα mg

势能： 1 τ α 2α V = ∫ dτ = τ 0 r τ 动能： T = 1 τ τ ∫0

ma

1 ∴ T = V 2

τ 2 L2 a 2 a (r a) mα 1 2 1 τ α α α α α & (r + r 2θ 2 )dτ = ∫ ( )dτ = = 2 τ 0 r 2a a 2a 2aa c

∫

a+c

α

dr =

4 maα

arcsin 1 =

2π maα

τ

=

αa

证明2:

v r 令： s = p r r r v v v r v r v v & = F r + mr r = F r + 2T & & & & s = p r + p r v v 经过一个周期： 0 = F r + 2T又： F = V ,在椭圆轨道 V (r ) = α r rF =

α

∴ 2T =

α

r

2

r =

αr

r2

= V (r )

3.13 运动粒子m1和静止粒子m2碰撞后，试在实验室系中用粒子的偏转角 ' ' 来表示粒子碰撞后的速度，即用θ1 和 θ 2 来表示 V01 和 V02 解：设m1的初速度为 V012 m 12 + m 2 + 2 m 1 m 2 cos θ ' V 01 = V 01 m1 + m 2 可得： V ' = 2 m 1V 01 sin θ 02 m + m 2 1 2

m2 sin θ m2 1 cos 2 θ 其中： tan θ1 = = m1 + m2 cos θ m1 + m2 cos θ 1 θ 2 = (π θ ) θ = π 2θ 2 2代入上式得：2 m 1V 01 ' V 02 = cos θ 2 m1 + m 2 1 V ' = m 1 cos θ 1 ± 01 m 1 + m 2 m1 + m 2

2 m 2 m 12 sin 2 θ 1 V 01

3.22 设一质量为m的质点在 F (r ) = α x 的中心力场中运动，试求其在稳 定平衡位置r0附近做径向小振动的频率。 2 m 2 d u 解：由比耐公式，轨道微分方程为：u 2 + u = 2 F dθ L 1 dv 其中 u = , F = r dr 设势场有一微小扰动，使粒子轨道 u = u0 + ε 代入上式，保留到ε的一级项，得ε满足方程： d 2ε + Aε = 0 dθ 2 得轨道稳定条件为： m 4 dF mα r 2 2m 3 2 mα r 2 mα r 2 A = 1 2 r F (r) 2 r = 1+ = 1+ >0 2 2 2 L L dr L L L ∴ 轨道稳定

r0 附近径向振动频率

1 ω f = = 2π 2π

L2 + mα r02 = 2 L

L2 + mα r02 2πL

3.23 在地球表面A处，一发射角θ=60°和初速 v0 = gR 发射一卫星，其中 R为地球半径(自转可略)。(1)试求发射瞬间卫星轨道的曲率半径ρ和切向加 v1 速度 at ;(2)试求卫星离开地面的最大高度h及在此点的速率 ；(3)如果 卫星在此最大高度突然分裂成相等的两半，其一半瞬时静止，试问另一半的 轨道形状。 解：卫星处于重力势场 V = αr 1 2 α 1 mR ∴ α = mgR 2 , E = mv0 = mgR, L = mRv0 sin θ = 3gR 2 r r=R 2 2 p 卫星的轨道方程可写为：r = 1 + e cos θ (mRv0 sin θ )2 = 3 R, e = 1 + 2 EL2 = 1 < 1 L2 = 其中： p = mα m mgR 2 4 mα 2 2v0θ=60

中，由重力F=mg,

3R 2 ,当 r =R时 θ = π 4 + 2 cos θ 3 2 mv0 2 3 = Fn = mg sin θ ρ = R (1)受力分析得： ρ 3 1 mat = Ft = mg cos θ at = g 2

轨道方程为：r =

O

R

A

3 R rmax = R, ∴ h = rmax R = (2)当θ = π 时，有 2 2

由机械能守恒有： 1 2 Mm 1 2 Mm 1 mv1 G = E , E = mv0 G = mgR 2 rmax 2 2 R1 mgR 2 1 2 即： mv1 = mgR 3 2 2 R 2 3 v1 = gR 3

v (3)当一半瞬时静止，由动量守恒有， ' = 2v1 m GM 1 1 2 = 1 mgR 1 mgR = 0 ∴ E ' = m v '2 2 2 rmax 3 3

mα 2 + 2 EL2 ∴ e' = =1 mα 2

即轨道形状为抛物线

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o421.html