几何光学习题及解答

几何光学习题及解答

1．证明反射定律符合费马原理。

证明：费马原理是光沿着光程为最小值、最大值或恒定值的路径传播。

B?nds?min.max或恒值A?，在介质n与n'的界面上，入射光A遵守反射定律i1?i1,

经O点到达B点，如果能证明从A点到B点的所有光程中AOB是最小光程，则说明反射定律

符合费马原理。

设C点为介质分界面上除O点以外的其他任意一点，连接ACB并说明光程? ACB>光程

?AOB

由于?ACB 与?AOB 在同一种介质里，所以比较两个光程的大小，实际上就是比较两个路程ACB与AOB的大小。

从B点到分界面的垂线，垂足为o?，并延长BO?至 B，使O?B??O?B，连接 OB?，根

′

?据几何关系知OB?OB?，再结合i1?i1，又可证明∠AOB??180°，说明AOB?三点在

??一直线上，AOB? 与AC和CB?组成ΔACB?，其中AOB?AC?CB。 ???又∵AOB?AO?OB?AO?OB?AOB,CB?CB

?AOB?AC?CB?ACB

即符合反射定律的光程AOB是从A点到B点的所有光程中的极小值，说明反射定律符合费马原理。

B

A

i’ n ‘O C O n’

‘ B

2、根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光线的光程都相等.由此导出薄透镜的物象公式。

证明：由QBA～FBA得：OF\\AQ=BO\\BQ=f\\s

? 同理，得OA\\BA=f\\s?,BO\\BA=f\\s

由费马定理：NQA+NQA?=NQQ

? 结合以上各式得：(OA+OB)\\BA=1得证 3．眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d为30cm.求物PQ的像 与物体PQ之间的距离 为多少?

解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：

12pp??d(1?)?30(1?)?10cmn3 ，即像与物的距离为10cm

3．眼睛E和物体PQ之间有一块折射率为1.5的玻璃平板(见题3.3图),平板的厚度d为30cm.求物PQ的像 与物体PQ之间的距离 为多少?

解：.由题意知光线经两次折射后发生的轴向位移为：

12pp??d(1?)?30(1?)?10cmn3 ，即像与物的距离为10cm

E

Q

n=1

题3.3图

4．玻璃棱镜的折射棱角A为60度,对某一波长的光其折射率为1.6.计算(1)最小偏向角;(2)此时的入射角;(3)能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角.

?0?A解：由最小偏向角定义得 n=sin

2A/sin2,得?0=46゜１６′

?0?A由几何关系知，此时的入射角为:i=

2=５３゜８′

当在C处正好发生全反射时：i2= sin

’

11.6 -1

=38゜41′,i2=A- i2=21゜19′

’

?i1= sin-1(1.6sin21゜19′)= 35゜34′ ?ｉmin＝３５゜３4′

５．图示一种恒偏向棱角镜,它相当于一个30度-60-90度棱镜与一个45度-45度度棱镜按图示方式组合在一起.白光沿i方向入射，我们旋转这个棱镜来改变?1，从而使任意一种波长

的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r.求证：如果束i与 r垂直（这就是恒偏向棱镜名字的由来）． 解：? sin?1?nsini1

sin?1?n2则?2??1，且光

n1。

若sin?1= 2, 则 sini1 = 2, i1=30

则i2=30,而sin?2?nsini2

。

? ?1??2

。

??1??1?90，而?1??2 ，???i 得证。

? ?2??1?90

。

3题

６．高５cm的物体距凹面镜的焦距顶点12cm，凹面镜的焦距是１０cm,求像的位置及高度，并作光路图．

111????f?

解：∵f??10cm,s??12cm 又ss111???10，即s???60cm， ∴12s?????y?s?ys??y???ys ∴s=-25cm

即像在镜前60cm处，像高为25cm

７．一个５cm高的物体放在球面镜前１０cm处成1cm高的虚像．求（１）此像的曲率半

径；（２）此镜是凸面镜还是凹面镜？

解：由题知物体在球面镜前成虚象，则其为反射延长线的交点，

?? ∵

ys???y?s

y?s112?2cm??y， 又ss?r ， ∴r?5cm?0 ，所以此镜为凸面镜。

s??? ∴

８．某观察者通过一块薄玻璃板去看凸面镜中他自己的像．他移动着玻璃板，使得在玻璃板

中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起，若凸面镜的焦距为１０cm ,眼睛距凸面镜顶点的距离灵40cm,问玻璃板观察者眼睛的距离为多少?

111111??????s??8cm???ssfs4010 解：根据题意，由凸面镜成像公式得： d?24cm?d?s?s?48cm ∴凸透镜物点与像点的距离， 则玻璃距观察者的距离为2

9.物体位于凹面镜轴线上焦点之外,在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平

行的玻璃板,其厚度为d1,折射率为n.试证明:放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动d(n-1)/n的一段距离的效果相同。

解：证明：将玻璃板置于凹面镜与焦点之间，玻璃折射成像，由三题结果得ｄ0＝ｄ（１－１＼ｎ），即题中所求。

10.欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处,问这透明球体的折射率为多少?

n'nn'?n??r 解：设球面半径为r，物距和相距分别为s和s?,由物像公式: s'sS=?,s?=2r,n=1,得n'=2

11.有一折射率为1.5,半径为4cm的玻璃球,物体在距球表面6cm处,求(1)物所在的像到球心

之间的距离;(2)像的横向放大率.

?解：

n?nn??n??,n??1.5,n?1,r?4cms?sr的玻璃球。

对第一个球面，s??6cm

?

1.511.5?1??s??64，?s???36cm

对第二个球面 s2??36?8??44cm

11.51?1.5????11?s?44?4 ∴s2∴2

?∴从物成的像到球心距离ol?s2?r?15cm

???1?2?ns??1.5?ns

12.一个折射率为1.53,直径为20cm的玻璃球内有两个小气泡.看上去一个恰好在球心,另一个

从最近的方向看去,好像在表面与球心连线的中点.求两气泡的实际位置

n?nn??n???ssr，当s?=日时，s= r, 气泡在球心。 解 ：由球面镜成像公式：

r当s?=2时，s=6.05cm ，气泡在距球心3.95 cm处。

13.直径为1m的球形鱼缸的中心处有一条小鱼,若玻璃缸壁的影响可忽略不计,求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率.

n?nn??n???sr, 又 s=r， ∴s?=r=15cm, 即鱼在原处。 解：由: sy's'nβ= y=sn'=1.33

14.玻璃棒一端成半球形,其曲率半径为2cm.将它水平地浸入折射率为1.33的水中,沿着棒的轴线离球面顶点8cm处的水中有一物体,利用计算和作图法求像的位置及横向放大率,并作光路图.

n?nn??n1.51.331.5?1.33??????ssrs?82解: ∴s???18cm

f'f??1s's由透镜成像公式：，经A成像得s?=-10cm ，经B成像的s?=-10cm，这两个像

点在垂直于主轴的方向上的距离为3cm.

A C A B B

题3.21图

21.把焦距为10cm的会聚透镜的中央部分C切去,C的宽度为1cm,把余下的两部分粘起来(题3.21图).如在其对称轴上距透镜5cm处置一点光源，试求像的位置．

解：该透镜是由A、B两部分胶合而成，这两部分的主轴都不在光源的中心轴线上，A部分的主轴在系统中心线下方0.5cm处，B部分的主轴系统中心线上方0.5cm处，

f'f??1由透镜成像公式：s's，经A成像得s?=-10cm ，经B成像的s?=-10cm，这两个像

点在垂直于主轴的方向上的距离为3cm.

A C A B B 题3.21图

23. 题3.23图所示的是一个等边直角棱镜和两个透镜所组成的光学系统.棱镜折射率为1.5, 凸透镜的焦距为20cm,凹透镜的焦距离为10cm,两透镜间距为5cm, 凸透镜距棱镜边的距离为10cm.求图中长度为1 cm的物体所成像的位置和大小.(提示:物经棱镜成像在透镜轴上,相当于经过一块厚6cm的平板玻璃,可利用例3.1的结果求棱镜所成像的位置.).

题3.23图

00解：因为n=1.5,其全反射角为，42?45。所以，物体经球面上反射，为厚度为6cm的透

镜，物体将在厚透镜左侧成虚像，平行平板的轴向位移?l=l(1-1\\n)凸透镜的物距为s1=-20,f1=-20.所以s2=s?=?由物像公式知成像的位置及大小为25和-10。

24.显微镜由焦距为1cm的物镜和焦距=为3cm的目镜组成,物镜与物镜之间的距离为20cm,问物体放在何处时才能使最后的像成在距离眼睛25cm处?

111?111?????s?s2f2? 即 25s23

解：在目镜下由物像公式得275365??20?s2?s1cm22cm 22

∴

s2??111221365????1?s1??cm?sf1?s?365s3431 在物镜下由高斯公式得 即

即物体在物镜下放1.06cm处。

25．题3.25图中L为薄透镜,水平横线MM为主轴。ABC为已知的一条穿过这个透镜的路径，

用作图法求出任一条光线DE穿过透镜后的路径。

‘

L B C A E

F

L B D C 题3. M' E D

题3

D 题

3.25

为DE的出射光线

A E B L C F

26．题3.26图中MM是一厚透镜的主轴,H、H是透镜的主平面，S1是点光源，S1是点光源

’

的像。试用作图法求任一物点S2的像S2的位置. 题3.26图

27．双凸透镜的折射率为1.5， │r1│=10cm，│r2 │=15cm，r2 的一面镀银，污点P在透镜的前主轴上20cm处，求最后像的位置并作出光路图。

‘

’

‘

? ?? ? ? n'nn'?n??s'sr ，n'=1.5 , n=1,r?r1=10cm,s1=-20cm 解：经第一界面折射成像：

所以 s'1→?，即折射光为平行光束

112??经第二界面反射成像：s'sr ，s2=s'1→?，r?r2=-15cm ,所以s'2=-7.5cm n'nn'?n??r ，n'=1 , n=1.5,r?r1=10cm,s3=s'2=-7.5cm 再经第一界面折射成像：s's所以s'3=-4cm ,即最后成像于第一界面左方4cm处。

28．实物与光屏间的距离为l，在中间某一位置放一凸透镜，可使实物的像清晰地投于屏上，

将移过距离d之后，屏上又出现一个清晰地像。（1)试计算两个像的大小；（2）证明透镜

22

的焦距（l –d /4l ）;(3)l不能小于透镜焦距的4倍。 解：(1)令s'2=x，则 s1=l?(d?x) ，

s2=l?x，

111??s'sf' 第一次成像：?

L1 L2 (d?x)[l?(d?x)]l∴f'= (1) 111??第二次成像：? s'sf' (l?x)xl∴f'= (2)

l?d2， （3）

题2.28

x?由(1) (2)得

l?dl?dl?dl?d则s1=2，s'1=2，s2=2，s'2=2 (4)

y'1s'1l?dy'2s'2l?d????1=y1s1=l?d ，?2=y2s2l?d

2?2l?d()? ?1= l?d，又y2=y1=y，

2?2l?d()?故两次成像大小之比为：1= l?d (5)

22l?d(2)将（3）代入（4）得 f'=4l （6）

（3）由（6）得

d?l(l?4f') （7）

所以l不能小于透镜焦距的4倍。

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