高数总复习

1. 设区域 D:1?x?3,?1?y?1，则 。0

2(x??siny?ycosx)d? = D2设?是单位球面x2?y2?z21?的外侧，则曲面积分：

???x3dy?dz3y?dz3dx=（z dx）d。yC

A．2? B.

5? 12112? C．? D. 253 对于二元函数 f(x,y)?(x?y)sin1mfx(,y为)，极限(x,yli?)(0,0)x2?y2（ ）。 B A．不存在 B. 0 C．1

D. 无穷大 4．改变积分次序后 A

?dy?011?y21?yf(x,y)dx=（ ）。A

?10dx?1011?xf(x,y)dy??dx?11x?12121x?1f(x,y)dy

1B

?dx?C ?dx?10f(x,ydy)??dx?211?x1 fx(y,dy)

1?x11f(x,y)dy??dx?f(x,y)dy??dx?12x?1x?1f(x,y)dy f(x,y)dy

D

?10dx?1?x15.计算 ?x2ds，其中L是球面 x2?y2?z2?a2 被平面 x?y?z?0 所截

L得的圆周。 解：由对称性知道

222xds?yds?z???ds LLL

a21122222所以 ?xds??(x?y?z)ds??ads??ds??a3

3L3L3L3L26.应用格林公式计算曲线积分：?(x?y)2dx?(x2?y2)dy，其中L是以

L为顶点的三角形，方向取正向。 A(1,1),B(3,2),C(2,5)

1AB:y?(x?1),(1?x?3)2解：三条线段的方程为： BC:y??3x?11,(2?x?3)

CA:y?4(x?3),(1?x?2)

而 P(x,y)?(x?y)2,Q(x,y)?(x2?y2)，从而

222(x?y)dx?(x?y)dy???Pdx?Qdy???(?Q?P ?)d?

LLD?x?y 其中D三角形区域（如图），分成两部分D1,D2。

?(x?y)2dx?(x2?y2)dy??L???2(2x?y)dD????2(2x?y)d?????2(2x?y)d?

D1D2

??2dx?4x?311(x?1)?2(2x?y)dy?2?3dx??3x?1 21(x?1)?2(2x?y)dy2??46237. 计算二重积分??d?，其中D是由直线 y?2x,x?2y,x?y?3D的三角形区域。 解：设 y1(x)?x,y?2x,0?x?1?22(x)???3?x,1?x?2?

?x型区域：D?{(x,y)|0?x?2,y1(x)?y?y2(x)}，

分成：D1?{(x,y)|0?x?1,x2?y?2x}

D2?{(x,y)|1?x?2,x2?y?3?x}

d????d????d???1dx?2x23?xxdy?从而

??0?dx?xdyDD1D2212 ??120(2x?x2)dx??x31(3?x?2)dx?28. 应用幂级数性质求 ??nn?1(n?1)! 。

围成

n?1?n(n?2)!?0??R??? 解：令 f(x)??xn?1 ，由于 ??limn??nn?1(n?1)!(n?1)!

即收敛区域为：(??,??)，由逐项微分之性质，

?nnnf'(x)?nn?1n?1 ??x ， f'(x)??(x)'??x，

xn!(n?1)!n!n?1n?1n?1?

由逐项积分之性质，?0所以

x??xnf'(t)nxn?1dt???tdt???ex?1 0tn?1n!n?1n!

f'(x)?(ex?1)'?ex??f'(x)?xex，从而 xxxtxf(x)??f'(t)dt??tedt?(x?1)e?1，因此，

00n?f(1)?1 ?(n?1)!n?1?

9.对于二元函数 f(x,y)?xyf(x,y)为（ ），极限(x,ylim。A 22)?(0,0)x?yA．不存在 B. 0 C．1 D. 无穷大 10. 改变积分次序后

A

33?x0x23?x?10dy?2y0f(x,y)dx??dy?1202033?y0。C f(x,y)dx=（ ）

f(x,y)dy f(x,y)dy

?dx?f(x,y)dy B ?dx?C ?dx?f(x,y)dy D ?dx?0x23?xxx3?x

11.计算第一型曲线积分：其中L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为?(x?y)ds，

L顶点的三角形。1?2 12.应用格林公式计算曲线积分：?AB(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy，AB 为由(a,0)到(0,0)经过圆x2?y2?ax上半部的路线。

?

AB(esiny?2y)dx?(ecosy?2)dy?xx?a24

?2n?12n?22n?113. 求级数 ?nx 的收敛域及和函数，并求 ?n 。

22n?1n?1?2?x2?x?级数的收敛域为 ?2,2 级数的和函数为 S?x??? ?22?2?2?x??2?x???'幂级数中取x?1得数项级数 ?i?1?2n?1?S?1??3 n214 设z?z(x,y) 是由方程f(x?z,y?z)?0所确定的隐函数，其中f(u,v)具有 连续的偏导数，且

?f?f?z?z??0，则?? 。1 ?u?v?x?y15改变积分次序后 C

A.

C.

??0dx?02xf(x,y)dy??dx?244x?x20。f(x,y)dy=（ ）

?0dy?022?4?y2f(x,y)dx, B.

?0dy?y?0dy?0222?4?y2f(x,y)dx

?0dy?y2n22?4?y2f(x,y)dx, D.

?2?4?y2f(x,y)dx

16. 若级数?a收敛，则级数?an ___________ ．D

n?1n?1 A. 一定绝对收敛； B. 一定条件收敛； C. 一定发散； D. 可能收敛也可能发散．

17.求二重积分??exdxdy，其中D为三直线 y?0,y?x和x?1所围

D2成的平面区域 ?(e?1)

18.利用格林公式计算曲线积分?L(x2?2y)dx?(3x?y3)dy，其中曲线L为

x2?y2?1的上半圆左端点

12A（-1，0）到右端点B（1，0）的有向弧线

段。

解：补充BA:y?0,x?1对应起点B,x??1对应终点A

由格林公式得, ?L?BA(x2?2y)dx?(3x?y3)dy????(3?2)dxdy

D??SD???2

?2所以 ?L(x2?2y)dx?(3x?y3)dy????BA(x2?2y)dx?(3x?y3)dy

????2???11(x2?0)dx

2?? 32

x2n19.求幂级数?(?1)的收敛域与和函数。

nn?1?nI?[?1,1]s(x)??ln(1?x2),?1?x?1

20.向量b?{2,6 412在向量 a?{4,?3,4}上的投影为

21.函数u?xyz在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向导数为

98，最大方向导数为：____________ 13?(x?5)n22.求幂级数?的收敛域。4?x?6

nn?1

23.计算曲面积分：

z???x?2dydz?y2dzdx?z2dxdy，其中?是锥面

?h4x2?y2 与平面z?h所围空间区域的表面，方向取外侧。2

?x2y22,x?y?0?224. 设f(x,y)??x?y2，证明：f(x,y)在原点(0,0)处

?x2?y2?0?0,连续，且偏导数存在，但不可微分。 证明：令x?rcos?,y?rsin?，从而

x2yr3(cos2?)(sin?)limf(x,y)?lim22?lim2x?0x?0x?yr?0ry?0y?0?limr(cos?)(sin?)?0?f(0,0)r?0

2

因此f(x,y)在原点(0,0)处连续。

f(0??x,0)?f(0,0)?f|(0,0)?lim?0 ?x???x?xf(0,0??y)?f(0,0)?f|(0,0)?lim?0 ?y???y?y因此f(x,y)在原点(0,0)偏导数存在。

lim??0?f?[fX(0,0)?x?fy(0,0)?y]考虑极限

?2(?x)2(?y)?lim?x?0((?x)2?(?y)2)3/2?y?0?lim(?x)(?y)k?23/2?x?0((?x)2?(?y)2)3/2(1?k)?y?k?x

因此，极限lim??0?f?[fX(0,0)?x?fy(0,0)?y]?不存在，从而f(x,y)在原点

不可微。

?nn?1n?1nx2的和。 25. 求级数 ? 的和函数，并求 ?n?1n!n?1n!?收敛区域为(??,?)。

?nn?1?11s(x)??x??xn?1?x2?xn?1?x2ex

n?1n!n?1(n?1)!n?1(n?1)!?

n?1n?nn?1n222?2?2?2s(2)?(e?1)?e?1 ???n?1n!n?1n!n?1n!

?u2?v2?x2?y?026. 设方程组?确定隐函数x?x(u,v),y?y(u,v)，求

??u?v?xy?1?0?x?y, ?u?u?

?x2ux?1?y?2x?2uy ?2,?2?u2x?y?u2x?y

第二学期模拟题目

（说明：本题目只是为了帮学生再一次梳理知识作用）

xy??f(x,y)??x2?y2?0?1．函数

x2?y2?0,x2?y2?0. （ A ）。

（A）处处连续 （B）处处有极限，但不连续 （C）仅在（0，0）点连续 （D）除（0，0）点外处处连续 同类题目1：函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在

的：

(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；

(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。 同类题目2：在点处f(x,y)可微的充分条件是（ ） （A）f(x,y)的所有二阶偏导数连续 （B）f(x,y)连续

（C）f(x,y)的所有一阶偏导数连续 （D）f(x,y)连续且f(x,y)对x,y的偏导数都存在。

同类题目3：函数z?f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，则它在点(x0,y0)有极值的（ ）为

fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0。

A、必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要条件

同类题目4：函数z?f(x,y)在点(x0,y0)存在 fx(x0,y0),fy(x0,y0)，则有（ ）。

A、函数z?f(x,y)在点(x0,y0)有定义；B、函数z?f(x,y)在点(x0,y0)

存在极限

C、函数z?f(x,y)在点(x0,y0)连续； D、函数z?f(x,y)在点

(x0,y0)可微。

un?0是级数?un收敛的 （ ） 同类题目5：limn??n?1?A、必要条件； B、充分条件； C、充要条件；D、既非充分又非必要条件

同类题目6：limun?0是级数?un发散的 。

n???n?0A、 必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要。

同类题目7：若级数?un和?Vn都发散，则（ ）

n?1n?1??A、?(un?Vn)必发散； B、?unVn发散；

n?1n?1??C、?(un?Vn)必发散； D、以上说法都不对。

同类题目8：若函数f(x,y)在区域D内具有二阶偏导数

?2f?2f?2f?2f,,,则（ ） ,?x2?y2?x?y?y?x?2f?2fA、必有= B、f(x,y)在D内连续

?x?y?y?xC、f(x,y)在D内可微 D、A、B、C结论都不对 同类题目9：下列级数中条件收敛的是（ ）

?n1A、?(?1) B、?(?1)n

n?1nn?1n?1n?

?11C、?(?1)2 D、?

nnn?1n?1n?同类题目10：若（ ）

?f?xx?x0y?y0?0，

?f?yx?x0y?y0?0，则在点(x0,y0)处函数f(x,y)是

A、连续； B、不连续； C、可微； D、都不定。

同类题目11：设函数z?f(x,y)在点(x,y)不连续，则在点(x,y)处 （ ） A、偏导数一定不存在 B、全微分一定不存在 C、至少有一个方向的方向导数不存在 D、以上说法都不对

4xyz(z?2x?y)ds????1??32.设?为平面234在第一卦限的部分，则?（B ） （A）4?dx?02x3(1?)2023(1?)612dy?4dxdy??00 （B）3 x2(?1)32361613?4?dx?dy?4?dx?dy000033 （C） （D） y2432223．若f(x,x)?x?2x?x,f1?(x,x)?2x?2x?1，则f2?(x,x)?(A).

2（A）2x?2x?1 （B）

2x2?3x?12x

22（C）2x?2x?1 （D）2x?3x?1

y?2z同类题目1：设Z?f(e,)，其中f存在二阶连续偏导数，求。

x?x?yxy答案：分

?zy?f1?yexy?f2?(?2)………………………………………………2?xx

?2z1??xexy?f12??]yexy?f1?exy?f1?xyexy ?[f11?x?yx1y1??xexy?f22??](?2)?2f2??[f21xxx1y???(1?xy)exyf1??2f2??3f22??……………………8分 ?xye2xyf11xx

4.设

C为正向圆周x?y?a222，则

?Cxy2dy?x2yd?x

答案：1/2 πa4

同类题目1：设L是圆周：x2?y2??2x的正向，则

?

L(x3?y)dx?(x?y3)dy?（ ）

（A）?2? （B）0 （C）3? （D）2?。答案：D

?zcosx?z5.设函数z?z(x,y)由方程sinx?2y?z?e所确定，则?x 1?ez

6．设f(x)在?0,??内连续，为使它在区间???,??上的傅里叶展开式具有

2??ak?1?kcoskx形式，须将作何种延拓？ 偶延拓 ，ak?

coskxf(x)dx??0

同类题目1：周期为2?的函数f(x)的傅里叶级数

a0???(ancosnx?bnsinnx)中，bn? 。 2n?1同类题目2：周期函数f(x)?x,x?[??,?)的傅里叶展开式中，系数（ ）。

A、an?xsinnxdx； B、b??02?n?xcosnxdx； ??02?C、 an?0(n?0,1,2,)； D、bn?0(n?1,2,)

同类题目3：若f(x)在[??,?]上满足狄里赫条件，则

a0???(ancosnx?bnsinnx) 2n?1??f(x)___,x为连续点?__________???f(x?0)?f(x?0)___,x为f(x)的间断点。=?__________ 答案： ?2?__________?___,x?????f(???0)?f(??0)?2?同类题目4：设f(x)是以2?为周期的周期函数，在???,??上的表达式为f(x)??

?2,???x?0，则在x?0处f(x)的傅里叶级数收敛于 。

?4,0?x????22D:x?y?2x7.设，由二重积分的几何意义知D8.设

f(x,y)22x?x2?y2dxdy??3

是连续函数，改变二次积分

aa0x?0?adx?f(x,y)dy??dx?2f(x,y)dy?xaya(a?0)的积分次序。

答案：0?dy?f(x,y)dx?y 同类题目1：设f(x,y)为连续函数，交换下列积分的积分次序，并写出该积分在极坐标系中先积r后积?的二次积分。

? 解

0?1dx?f(x,y)dy??dx??x01111?1?x2f(x,y)dy

：

?3?1sin?11?(y?1)242sin?4?dy?f(x,y)dx??d??f(rcosx,rsinx)rdr???d??f(rcosx,rsinx)rdr0?y0040

同类题目2：设f(x,y)为连续函数，交换二次积分

的积分次序。

答案：原式=

1222

同类题目3：积分换序 :将下积分化为先对X后对Y的积分

?dx?f?x,y?dy??dx?121x1x2yf(x,y)dy

答案：

I??dy11/y?f(x,y)dx

的积

同类题目4：设f(x,y)是连续函数，交换二次积分分次序后的结果为

答案：C

12?x

同类题目5：更换积分次序：?212?x1?dx?f(x,y)dyx2y0?y

42?y答案如下：?2

?dx?f(x,y)dy??dy?f?x,y?dx??dy?f?x,y?dxx21?y

(x9. 计算曲线积分?L2?y2)dx?2xydy。式中L由极坐标方程r?2?sin?所表示的曲线上从??0到

???2的一段。

?Q?P??2y?x?y答案：解： 积分与路径无关，选择沿坐标轴由点(2,0)

到(0,1)

01 原积分＝22?xdx??0dy??083

同类题目1：计算积分

从点O(0，0)沿曲线y=sinx到点A(π，0)的弧段。

式中L是

xdydz?ydzdx?zdxdy??10. 计算，其中?为球面x?3332?y2?z2?1的外侧。

答案：

22解：

2?由

?1高斯公

12?5式，原积分＝

43x?y?zdv?3d?d?r??????sin?dr?v000?2?

同类题目

222z?a?x?y?1： 设空间区域由曲面和平面z?0所围，?为?的表面外侧，

求：

??x?2yz2dydz?xy2z2dzdx?z(1?xyz)dxdy2?a

2解：原积分＝

a4?(1?2xyz)dv??d??rdr?(1?2rcos?sin?z)dz????2v000a2?r2

同类题目2：计算

xoy面上方的部分曲面的上侧。

其中∑是z=1－x2－y2在

答案如下：解：补一平面块∑1：z=0,x2+y2≤1，取下侧，∑和∑1围成立体Ω，由高斯公式

同类题目3：计算??(xcos??ycos??z2cos?)dS。其中?为锥面

22?

x2?y2?z2介于z?0到z?3之间部分的下侧，cos?,cos?,cos?为?在点

(x,y,z)处的法向量的方向余弦。

答案如下：添加曲面S:x2?y2?9,z?3的上侧，在曲面??S上用高斯公式得：

3??S??(x2cos??ycos??zcos?)dS?2???(2x?y?z)dxdydz?2??dxdy?Dxy22x2?y2?(x?y?z)dz

?81? 22??(xScos??y2cos??z2cos?)dS???z2cos?dS?SDxy??3dxdy?81?

2所以??(x2cos??y2cos??z2cos?)dS???81?。 2

22u?x?y11. 求函数在（1，1）点沿???4,?3?方向的方向导数。

?u114解：??2,?2???4,?3???l(1,1)55

同类题目1：函数u?xy?yz在点（1，2，－1）处沿哪个方向的方向

导数值最大，并求此最大方向导数的值。

?u?y2cos??(2xy?z3)cos??3yz2cos?(1,2,?1)答案如下：解：?l

?4cos??3cos??6cos? (4

23??

分)

?g设??4,3,6?l??cos?,cos?,cos??

?0?u?????g?l0?gcos??则?l，其中?为g与l0的夹角。

?u???0gg?l所以当l与同向时，=?61取最大值。

(10分)

?x?t

?2?y?t

?z?3t3?1222x?2y?3z同类题目2：求函数u=在点（1，1，4）处沿曲线?

在该点切线方向的方向导数。

答案：在点?1,1,4?处对应的t0= 1，切线方向｛1,2t,9t2｝t=1=｛1,2,9｝

cos?=186 cos?=286 cos

?u?x(1,1,4)?u?y?=986

1251|?2xx2?2y2?3z2(1,1,4)2y22|?151251|(1,1,4)?|(1,1,4)?151x?2y?3z2|(1,1,4)??986?u?z3zx?2y2?3z2|(1,1,4)?

?u?l??186?251?286?1251?1134386

同类题目3：设??2xy?z2则?在点?2,?1,1?处方向导数的最大值为 （A ）

A、26 B、4 C、??2,?4,?2? D、以上都不对 同类题目4：设n是曲面2x2?3y2?z2?6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，则u?6x2?8y2z?在点P沿方向n的方向导数为（ ）

?（A）0 （B）

?117 （C） （D）2 711n2nx?12. 求幂级数1n!的收敛区间及和函数。

答案如下：

解：?＝lim?an?1?0R??收敛区间(??,??)n??an?n2nn设　S??x?x?xn?1?xS11n!1(n?1)!?11nn?1xSdx?x?xx?xe??1?1(n?1)!1(n?1)!0x?S1?(1?x)exS?x(1?x)ex

同类题目1：试求幂函数

??lim?(?1)1?n?12nx2n?1(2n?1)的收敛域及和函数。

解：

un?1(x)?x2?1n??u(x)n收敛x=1与x=-1时数项级数一般项不趋于

0，故皆发散，收敛区间为(-1,1)。设和函数S(x)=

?(?1)1?n?12nx2n?1(2n?1)

?S(x)dx????1?01x?n?12n?1?x2nn?1x?x???1??xS12n?12n?11

S1????1?1??n?1???x2n?1?1n?12n?2??????1x??2n?1??1?x21??,S1?arctanx

??x?x?S(x)???S(x)dx???xarctanx??arctanx?21?x0??

同类题目2：求幂级数?答案如下：R?lim?2n?12nx的收敛区间与和函数 n!n?1?2n?12n?3???，收敛区间为(??,??)

n??n!(n?1)!?2n?12n?12n?xx?????n!n!n?1?n?1??(x)???x???n!??n?1?'2n'?x22x2???xe?1?(2x?1)e?1 ?'????同类题目3：求级数??nnx在其收敛域x?1中的和函数。 n?1n?1?nn?1答案如下：Sx=?x=?(1?)xn

n?1n?1n?1n?1

?xnxnx=?x??……5分 ???n?1n?11?xn?1n?1n?1?n??xxn?1令S1(x)??，S1?(x)??xn?……8分

1?xn?1n?01?n?xn1?xn?11=??sinx ? S1(x)??x?ln(?x)，则?n?1x1?nxn?1n?1?? S(x)=

11?ln(1?x)……12分 1?xx

13. 设u?u(x,y),v?v(x,y)都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分?Ludx?vdy1与?Lvdx?udy2都与积分路径无关。试证：对于函数

?2u?2u?2v?2v??0,??0?x2?y2u?u(x,y),v?v(x,y)，恒有?x2?y2。

答案如下：

?u?v解：由积分与路径无关知：??y?x?u?v?2u?2v?－于是有2???x?y?y?x?x?2u?2v?由v?v(x,y)具有二阶连续偏导则两种二阶混合偏导相等，?y2?x?y?2u?2u?2v?2v故代入有2?2?0同理有：2?2?0?x?y?x?y

同类题目1：验证(sin y-y sin x+x)dx+(cos x+x cos y+y)dy是某函数

u(x,y)的全微分，并求出该函数u(x,y).

?Q?P?cosy?siny?,是全微分。　?y ?x

yxx2y2u??xdx??(cosx?xcosy?y)dy??ycosx?xsiny?22 00

14. 设?2222z?x?yz?x?y是由及所围的有界闭区域。试计算

22ex?yI????2dv2?x?y。

答案如下：

ex?yerI????2dv??d??dr?2rdz?2?(e?2)2r?x?y00r2

222?1r15. 周期为2的函数f(x)，设它在一个周期??1,1?上的表达式为

f(x)?x，将f(x)展成傅立叶级数。

答案如下：

1解：?f(x)是偶函数，?bn?0n?1,2,?a0?2?xdx?101an?2?xcosn?xdx?02n?22???1??1?nn?1,2,?x?[?1,1)

1?2nf(x)???22??1??1cosn?x2n?1n???16. 设

f(x,y)?x2?(y2?1)tan?0xy，求fx(x,1)? 答案：2x

17. 设幂级数

?an(x?1)n的收敛域为（―4，2），则幂级数

?na(x?3)n0?n的收敛区间为 。答案：（0，6）

22x?y?1的x?0,y?0部分上找点P，18. 在圆使其到点M(2,1)的距离

为最小。

222??Px,y满足：d?(x?2)?(y?1)00答案如下：解：设所求点 最小，条

F?(x?2)2?(y?1)2??(x2?y2?1)Fx?2(x?2)?2?x?0Fy?2(y?1)?2?y?022x?y?1件极值由拉格朗日乘数法设：

解出：

??5?1,x0?255y0?55

lim19. 证明y?0不存在。 提示：取y=kx即可验证。

(x?y)dxdy??20. 计算二重积分 ，其中D：xD22x?yx?0x?y?y2?1

答案如下：

?41?44I?4?d???rcos??rsin??rdr???cos??sin??d?3000444??sin??cos??0?33?

同类题目1：??Dsinxdxdy，其中D是由y?x和y?x2所围成。 x答案：

1xsinxsinxdxdy??dx?2dy…………………………………………………??0xxxD…4分

??111sinxxy2dx??(sinx?xsinx)dx??cosx??xsinxdx 0000xx11?1?cos1?[xcosx?sinx]?1?cos1?cos1?sin1?1?sin1………………8分

0同类题目2：设D??(x,y):0?x?2,x?y?2?，则??eD?y21?e?4dxdy?。

2同类题目3：计算?0dy?yexdx。 答案：

Y y?x X

112?

10dy?edx=??exdv……5分

yD1x22

1x1=?0dx?0edy??0xedx=(e?1)……10分

21. 求幂级数

n?2的收敛域。当x=1时，是绝对收敛还是条件收敛？并给出证明。

an?1ln(n?1)n?lim??1n??an??n?1lnnn答案如下：解： 收敛半径R

limn???1??x2x212lnnnxn

＝1

当x=1时

lnx1?lnxf??x??x2 x，令

当 x?e时，f??x??0 f?x?单调减

f?x??当 n?3 an?f?n??f?n?1??an?1 又

liman?limn??lnn?0n??n

?故

n?3???1?nlnnn为莱布尼兹级数收敛，从而原级数收敛。

lnnln2?n?2nn， 一般项加绝对值后，当时，

故

故原级数条件收敛。

?lnn?n?1n? 发散。

lnn?当x= -1时即n?1n由上面讨论知发散。

收敛域(-1,1]

x22c22. 求正数?，使曲面xyz??与椭球面ab切平面，并写出切点的坐标(a?0,b?0,c?0)。 答案如下：解：设在点(x0,y0,z0)处相切

a2y0z0b2x0z0c2x0y0???txyz000则

22即 a??x0t,2b2??y0t,2c2??z0t

?y22?z22?1在某点有相同的

由此 3??t

22232223235及 abc??x0y0z0t??t?27?

相应点是

abca2b2c2????33 27，故

2

?abc??,,???,?333??abc???,,????,333??????z?abc???,?,???333? ?abc?,?,???333?

22. 设由e?xyye?xyxe?xy?2z?e?0确定z?f(x,y)则dz=zdx?zdy

e?2e?223. 曲线积分?c(x2?y2)ds，其中c是圆心在原点，半径为a的圆周，则积分面积是（ C ）

A、2?a2； B、?a3； C、2?a3； D、4?a2。

24. 曲面x2?y2?z2?12在点(2,-2,2)处的切平面方程为 答案：x?y?z?6?0

25. 将xoy坐标面上的曲线x2?3y2?1饶x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为 。 26. 直线L:（ ）

A、直线L与平面?平行； B、直线L与平面?垂直； C、直线L在平面?上； D、直线L与平面?只有一个交点，但不垂直。

y?2z27. 设Z?f(e,)，其中f存在二阶连续偏导数，求

x?x?yxyx?2y?2z?1??与平面?:6x?2y?8z?7的位置关系是3?14答案：

?zy?f1?yexy?f2?(?2)……2分 ?xx

?2z1??xexy?f12??]yexy?f1?exy?f1?xyexy?[f11?x?yx???(1?xy)exyf1???xye2xyf111y1??xexy?f22??](?2)?2f2??[f21xxx1y???……6分 f?f22223xx28. 计算球面x2?y2?z2?9与旋转锥面x2?y2?8z2之间包含z轴的部

分的体积。

222?1?x?y?z?9?z??1,cos??简要答案：由?22, 23??x?y?8z1arccos32?3因此V?2?d?0?0sin?d??r2dr?24?。

029. 证明(2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy是某个函数u(x,y)的全微分，并求出u(x,y)。 答

P?2xc案如下：

?Pi?n?2xs?y因

yn?2ycix?为

?Q on?xsy?y2cox,Q?2yossx?x2ssiy?所以(2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy是某个函数u(x,y)的全微分。并且

u(x,y)?x2cosy?y2sinx?C。

30. 已知a?(2,1,m),b?(1,?1,2)，则当m? 时，向量a?b。1、数项级数敛散性判断；利用比较法证明数项级数收敛。 2、求数项级数的和；求幂级数的收敛域与和函数。 1、数项级数敛散性判断；利用比较法证明数项级数收敛。 数项级数敛散性判断: （1）必要性，

（2）正项级数的判别法：①比较(通常与等比级数或P-级数作比较),

方法一：直接比，放大或缩小不等式；方法二:比较判别法的极限形式)，②比值，③根值比较

(3) 交错级数的审敛法，绝对收敛与条件收敛

例1：（1）（09-2-A， 一（5）．）若级数?a收敛，则级数?an

2nn?1n?1??___________ ．

A. 一定绝对收敛； B. 一定条件收敛； C. 一定发散； D. 可能收敛也可能发散．

1（如例：?2,n?1n?1,?nn?1??n(?1)?n?1?1） n（2） 08年一（2）若级数?Cnxn在x??2处收敛，在x?3发散，则

n?1该幂级数（ ）

A必在x??3处发散； B．必在x?2处收敛

|3处发散； D.其收敛区间为[?2,3) C．必在|x?

（3） 08年一（5）级数?(?1)n?1?n?1sinnn32=（ ） (10:?sinn) 2nn?1?A．发散 B．条件收敛 C．绝对收敛 D以上结论都不对

an=（ ）（4） 06年试题：一（5）级数?(an?2)2 收敛，则lim n??n?1? （答案 -2） 例2：级数?(n?1?sinna1?)(a为常数)(n2n)

A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 收敛性与

a有关

例3：下列正确的是（ ）

A

?2若?an和?bn都收敛,则?(an+bn)收敛22n=1n=1n=1??? B

若?|anbn|收敛,?an和?bn2都收敛

2n=1n=1n=1??C

?若正项级数?an发散,则an?n=1??1n D

（若级数?an收敛,且an?bn,则级数?bn也收敛

n=1n=1例4：判断级数的敛散性，如收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛

???n?1ncosn?n(n?1)!21n?1（1）；（2）；（3）（4）(?1)(?1)ln(?1)n() ????n?13nnen?1n?1n?2n?1n?n?n例4 （1）条件；（2）绝对；（3）绝对；（4）绝对 例5 ：书P225, 1, 8，9（必须作） 2求数项级数的和；求幂级数的收敛域与和函数。

幂级数的收敛半径与收敛域（收敛半径，收敛域，注意缺项，及(x?x0)n型）

求幂级数的收敛域与和函数 例1: 求幂级数?(?1)n?1?n?1xn的收敛域与和函数。（08A,10A期末试n题）

?nn?1n?1n例2：求级数?x的和,并求数项级数?2的和. (12A期末试

n!n!n?1n=1?题)

2n?1 例3: ①[8分]求级数 ?n 的和。(11A期末试题)

2n?1?2n?12(n?1)2n?1②求级数?nx（07A期末试 的收敛域及和函数,并求?n，

22n?1n=1??题）

x2n例4: 求幂级数?(?1)的收敛域与和函数。（09A期末试题）

nn?1?n?xn?23n例5 ①:?,求收敛域,和函数,求数项级数?的和（与07B

n?1(n?1)!n=1(n?1)!?期末试题类似）

3n11答：s(x)?x(e?1?x),x?(??,?),?=s(3)?(e3?4)

3n=1(n?1)!9x? ②应用幂级数性质求 ?n 。（07B期末试题）（答案：1 ）

n?1(n?1)!?例6：加强练习：P244， 4；P256，例5，6； P281 ，13，20

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