初中生培养初步数学建模能力研究

初中生培养初步数学建模能力研究

[摘 要]

数学的基本特征是应用的广泛性，生产和科学技术的不断发展，应用数学的地位逐步上升，数学数学建模成了数学和科学工作者面临的重要课题。义务教育课程标准将数学建模思想渗透到代数式、方程、不等式、函数等方面的教学中，因此开展数学建模教学成为当今数学教育改革的热点之一。由于各种原因，初中学生的数学建模能力很差，如何合理有效地实施数学建模教学是许多初中数学教师感到困惑的一大难题。因此，在初中开展数学建模能力的调查具有重要意义

本文通过调查法，研究初中生初步数学建模的能力及影响因素。在研究中通过测试和访谈了解初中学生数学建模能力的现状,得出初中学生数学建模能力普遍偏低。造成初中学生数学建模障的主要原因有：心理因素；数学抽象能力较弱；新课程改革后教师角色的转换问题；教师对学生的评价方式。针对存在的问题，本文提出一些策略，希望在培养初中生数学建模能力方面为教师提供一些参考。

[关键词] 初中生；数学建模；能力；培养

一、前言

（一）问题的提出

众所周知，数学来源于人们生产和生活的需要，在人类的生产、各类学科及社会活动的定量方面，数学的广泛应用性为其向沈成慈的发展奠定了基础。在我们的现实生活中，数学不仅向我们体现了其本身具有的基础科学价值，并且其技术价值又给社会带来了无尽的精神财富。

20世纪中叶以来，在现代信息技术飞速发展的推动下，数学领域已经渗透到人类生活的每一个角落，由此可以看到,用数学模型来解决现实世界中的问题已经成为社会进一步发展必不可少的途径。

随着现代课程改革的进行，世界上一些主要国家和地区对学生数学建模能力的培养也日趋重视起来。在我国，在新课程标准提出后，更注重学生模型思维的发展，与此同时，教师还必须引导学生经历建模的基本过程。首先，学生必须对问题情境有一定的理解，然后根据学生理解的内容建立起合适的数学模型，最后是求解模型并验证。

岳本营现实也曾论述到，在经历了课程标准改革之后的初中数学课本，当中主要的

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初中生培养初步数学建模能力研究

学习内容主要是以现实的、有趣的、具有挑战意义的形式出现在学生的视野中，这些内容主要以一种建立数学建模的过程来呈现给学生，即学生要经历四个过程，第一，理问题情境，第二，在问题情境的基础上建立合理的数学模型，第三，对自己建立的数学解建模进行剖析，即解释，第四，该模型的应用和拓展。整个过程，就是要求学生以数学的方式再现该问题，然后根据所学建立起数学模型。

而韦程东教授在《初中在初中数学教学中融入数学建模思想的浅析》中也曾谈到，目前所实施的九年义务教育的教学依然在“升学”和“素质”教育之间徘徊不定，虽然在新的课程标准中强调，在数学的教学应该重视学生在现实问题情境下理解问题中存在的数量关系和蕴含其中的规律。在教学过程中，教师应该让学生经历数学建模的过程，但是在教学实践中，要将枯燥的数学知识与实际问题有效地融合还是有难度的。掌握必要的科学知识和具备一定的实践能力与创新能力是课程改革对学生提出的要求，并在此基础上，学生应具备应用数学的基本能力。由此，在在初中开展初中生初步数学建模能力培养的调查研究是很有必要的。

（二）研究设计与实施 1.研究思路

本研究主要采用文献研究的方式，通过对有关文献进行整合，了解国内培养初中生建模能力的研究现状，并在此基础上对贵港市中心区某中学140名初二的学生进行数学建模能力的测试及对部分初一、初二、初三的部分数学老师进行访谈，了解初中学生的数学建模能力现状和在该初中进行数学建模教学的情况，通过分析调查结果，并结合目前学生的教学状况，，找出影响培养初中生数学建模能力的主要因素，并据此提出一些建议。

2.研究对象

本次的研究对象为贵港市中心区某中学初二140名学生和该校初一、初二和初三共十名数学老师。

3.研究方法

本文采用的研究方法有： （1）文献综述法

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对有关培养初中生数学建模能力及初中生数学建模教学的期刊、著作及网络资源的文献进行整理剖析，找准研究的方向及当前研究的现状，找到与初中生数学建模相关的理论依据。

（2）调查研究法

对学生进行数学建模能力测试、随机对师生访谈的方式来搜集初中生数学建模能力水平及教学的相关的资料，分析所得材料得出初中生建模能力的概况，找出其主要影响因素，针对此为往后初中生数学建模能力的培养提供一些参考。

二、研究理论依据和研究现状

（一）关于数学模型的概念

对于数学模型的定义，可谓是众说纷纭，那么，数学模型的定义到底是什么呢？徐利治先生认为：“数学模型，是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构[2]。”

姜启源、谢金星、叶俊等人看来，“所谓数学模型,是指对于现实世界的某一特定研究对象,为了某个特定的目的,在做了一些必要的简化假设,运用适当的数学工具,并通过数学语言表述出来的一个数学结构.我们常说的数学概念、数学性质、数学公式、数学法则等都是数模型[3]。”

一切数学概念和知识都来源于现实，当然都是数学模型[4]。实践是认识的根本，它对认识起着决定的作用。数学模型方法正是基于实践之上的一种数学认识，人们用以认识世界和改造世界[5]。

（二）关于数学建模的概念

在姜启源的《数学模型》中论述到，如果说，数学建模是一门技术，那么，数学建模更像是一门一门技巧性很强艺术，在建模过程当中，比具体数学知识作用更大的，是人类所获得的经验、想象能力、判断能力、直觉和洞察能力。而马晓娟的说法则与姜启源有些相似，“数学建模过程是一种创造性过程,它需要一定水平的观察力、想象力以及一些灵感和顿悟,要求学生充分发挥联想,面对错综复杂的实际问题,能快速地抓住问题的要点,把握问题的本质,使问题趋于明确[6]。”

徐斌艳教授则对数学建模有另一番解释，“数学建模是指用数学语言与方法对实际

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问题进行定量描述，数学在各个领域的应用主要都通过它来实现[7]。”在现在的社会上，作为一个优秀人才，数学建模能力是其必不可少的素养，它包括两个部分，第一部分是分析已有模型，第二部分是解释模型。

根据但琦，朱德全，宋宝和等人的研究，而相对于初中生来说，数学建模的过程主要包括 4 个环节，问题分析→假设化简→建模求解→验证修改[8]。

其主要过程可用图1来表示：

初中学生的建模能力水平可以经由学生经历数学建模的最终步骤来评价，为初中生数学建模能力水平的评价提供了根据。

（三）初中生数学建模能力划分标准

本研究根据布鲁姆数学建模过程框架，并结合本研究所给测试题，以徐斌艳的初中生数学建模能力水平划分为依据，将初中生的建模水平划分为5个等级（如下表）。

水平０ 学生理不清题目中隐藏的数学相关思路，如只能在测试卷上随便写出个式子，或随意列出个与问题不相关的等式。 水平１ 学生可以找到一个符合实际问题情境的的假设，并能找到某个与之相符的实际模型，例如，学生能理解该题目是运用方程思想解决问题的，但是只找到等号两边各自的数量关系，但是不知道具体哪一些才是相等的。

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水平２ 学生能根据题意找到某个合理的实际模型，并且能根据所学过的数学知识讲其转化为所熟悉的数学问题。例如学生可以运用数量间的相等关系列出对应数量关系的表达式。 水平３ 学生能列出对应的数量关系的计算表达式，并且根据所学的数学知识来解决抽象的数学问题，求出正确的结果。 水平４ 学生可以根据所解答的数学问题联系到实际生活中情境，以此来检验结果的是否符合实际情况，是否具有合理性。 表1 数学建模能力水平划分表

（三）研究现状

在北京，由于“中学数学改革和数学建模”讨论班的开设，与数学应用的活动教材也随着讨论班的成熟而相继出版。目前，国外在数学建模的研究已经有很多，而在建模能力划分标准上，布鲁姆的建模流程框架得到了大部分人的认可。

徐斌艳教授经过实验发现，在初中，学生不能准确地对运用数学语言对问题进行表示是一个很普遍的现象，在用数学符号对问题进行表征的过程中，也有很多学生对此产生困惑，由此可发现，学生的建模意识普遍偏低，中学生的数学建模思想还没有很好地渗透到各个领域,导致大部分学生找出模型后,不知如何借助模型将真实问题翻译为数学问题,或者不能精确地表述数学问题,因此无法用数学手段解决问题[9]。

三、对数学建模学生的调查研究

（一）学生调查题目

测试要求学生在50分钟内完成给出的三道题，每道题20分，总分为40分。 1. 测试题一

贵港市某领导五一假期将带领该校市级获得“成绩优秀奖”的学生去杭州旅游，A旅行社说:“如果只是校长一人买全价票，则全部学生五折优惠”，B旅行社说:“全部人员都能享受6折优惠”，若原票为240元，

①令学生人数为 x，A旅行社收费为y1元，B旅行社收费为y2元，请计算A和B两家旅行社该收取的费用（写出表达式）；

②当学生人数x为多少时，A旅行社与B旅行社收取的费用相等？ ③就x进行讨论，哪一家旅行社更优惠? 2.测试题二

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某货车公司共有 50 辆货车，可出租。此中有20 辆A型货车，有30 辆B型货车。 将这50辆货车分别派往甲、乙两市为农民伯伯运输水稻，其中30辆派往甲市，20辆派往乙市。经双方商定，货车每天的出租价格如下表(单位：元/辆)： 甲市 乙市 A型货车的出租价格 1800 1600 B型货车的出租价格 1600 1200 ① 假如货车公司租给甲市有A型货车 x 辆，货车公司这 50 辆货车一天取得的租金为y元，求y与x间的关系，并且写出x的范围；

② 若要使货车公司这 50辆货车一天共取得的总额不少于 79600元,请同学们计算出共有多少种方案，并写出来；

③若要使这 50辆货车获得总额最多，请你为此出谋划策。 （二）结果与分析 1.测试的结果与剖析

从测试题目得分情况表可以看得出来，测试题一得分较高，得满分的人数也较多。从学生写的解答过程中分析，考虑问题的方向不尽相同，但所以不少学生都能解答得较好，解答过程也比较简明扼要，思路清晰，得满分的人数将近参加测试总人数的四分之一。测试题二的得分较低，只有4个学生满分，占测试人数的2.86%，18个学生在测试题二得零分，占测试人数的12.8%，为满分人数的4.5倍。结合测试题目与学生答题过程分析，题二相比来说较题一中出现的数据多，对于学生来说显得较繁琐，因此，有相对一部分学生对于对于这些数据之间的关系没有思路，剖析不出隐藏其中的数量关系；此外，有部分学生即使能够运用数学知识根据题意找出各数据之间的数量关系，列出表达式，却不能够确定数据的取值范围最终导致总体学生在测试题二中的得分较低。

根据学生数学建模能力水平的划分依据及学生的解答情况，经统计分析，得出数学

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建模能力水平分布图（如下图）。

由图中信息我们可以看出，初中生生的整体建模能力水平在水平1和水平2之间，也就是说大部分学生都处于这个阶段，他们能运用自己的知识对实际问题进行剖析和化简，提炼出某个现实模型，却在将其转换为数学问题这一环节中遇到了障碍。

根据分布图中，我们可以了解到只有33.90%的学生的数学建模能力达到水平２；数学建模能力在水平２及以上的学生占50.55%。结合本次调查的测试题目，他们不仅能找到某个符合现实问题的模型（即维恩提中存在的等量关系），而且能将其转化为数学问题，但只有不到一半的学生（26.65％）（如图数学建模能力水平分布图）能突破这一环节进入到成功解决实际生活中关于数学的问题。由此可以了解到，学生缺少实际生活中的经历，不能很好地把实际生活中遇到的有关于数学的情境问题转化为我们学过的所熟悉的数学问题，对于现实问题与对应的数学模型之间的转化有所欠缺。由此得出，初中生的建模能力有待加强。

2.学生访谈结果与分析

对所测试的学生进行水平划分之后，在每个水平等级中随机抽取了三名学生的针对测试题目和初中教材设计的数学建模问题进行了访谈。

（1）在访谈过程中了解到，学生在学习到与数学建模有关的问题时，总会毫无头绪，不懂剖析数量间的关系，随着时间推移，学生对建模问题产生抵触心理。但在进行了对应的学习与练习巩固之后，处于水平2及以上的学生都能从实际问题中分析出有用的信息，找到某个现实模型，并且能将之转化为数学问题。此外，在访谈中，有学生说到在老师讲授有关于建模方面的知识时，很容易理解题目中给出的思路，在老师引导下

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思路很清晰，但是在课后或是在练习、考试中，就显得笨手笨脚，对题目所罗列的条件不知道怎么去分析，没有头绪。在访谈的所有学生中，他们都存在一个共同的问题，就是对条件复杂的数学建模类题型的抵触心理。这也是开展本次调查的原因之一。

（2）在和学生的访谈过程中，有部分学生说到，他们不喜欢数学，因为有时候数学问题太难，看不懂，不知道如何下手，题目长，信息有看不懂。

（3）其中处于水平1的一个学生说到，因为他数学成绩不太好，座位又是平常老师只是喜欢关注那些成绩好的学生，不太关注他，使得他对于数学只是抱着一种无所谓的态度去学习。

3.教师访谈结果与分析

在测试结束后，对初一初二初三的部分数学老师进行了访谈，访谈中的教师平均教龄有十年了，在与他们的访谈使我受益匪浅。本次访谈在轻松愉快的氛围中度过，老师们都很热情，对我的问题都是知无不言，言无不尽。

(1)在访谈过程中了解到，参与访谈的每一位老师都知道数学建模，但是了解的程度不一样。其中，有一位刚刚工作一年的新老师对数学建模了解得较多，因为在大学时期有参加过数学建模网络挑战赛和全国大学生数学建模大赛，而在参加教师公开招聘时也认真研读了新课程标准，所有对在初中进行数学建模的教学的必要性了解的较为透彻。但有部分老师只是知道数学建模这一个名词，并不清楚数学建模的定义，对其并没有深入的了解，只是知道中学中的实际问题都牵涉到数学建模，所以也造成了在数学建模的教学上束手束脚，只要把教材及课程标准中要求的与实际问题相关的完成就是完成任务。

(2)调查中，所有的老师都认为在初中开始数学建模的教学活动是很有必要的。进行访谈的教师们年龄大都在35岁左右，而学校也要求各位教师要认真研读教学大纲及课程标准，因此对于在初中进行数学建模教学的必要性都有比较深刻的体会。在平常的教学设计中，他们都有注意培养学生的数学建模意识。大部分老师们都意识到，开展数学建模活动能增强学生的数学应用意识但是，由于现在学生学业上负担的加重，平常自修、自习课大量堆积的作业，想要进行课外的数学建模活动的培养的可能性很小，所以只能适当的在平常的教学中偶尔抽出几节课来加强数学建模应用题的训练，以此来增强

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