高考数学第一轮复习知识点8——圆锥曲线

2011 高三数学 圆锥曲线 复习 大全

高考数学第一轮复习知识点8——圆锥曲线

八、圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件

定点F1( 3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是( ) A．B．

PF1 PF2 4PF1 PF2 6

C．PF1 PF2 10 D．

PF1

2

PF

2

2

12

（答 ：C）；

（2） 8表示的曲线是_____ （答 ：双曲线的左支） （3）利用第二定义 已知点Q(2（答 ：2）

2.圆锥曲线的标准方程 （1）已知方程

x

2

2,0)及抛物线y

x

2

4

上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是___

3 k

y

2

2 k

1表示椭圆，则k的取值范围为____

（答 ：( 3, ) (

2

112

,2)）；

（2）若x,y R，且3x2 2y2 6，则

x y的最大值是___，x2 y2的最小值是（答 2）

（3）双曲线的离心率等于

52

，且与椭圆

x

2

9

y

2

4

1有公共焦点，则该双曲线的方程_______

（答 ：

x

2

4

； y 1）

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2

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（4）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e 程为_______

（答 ：x2 y2 6） 3.圆锥曲线焦点位置的判断： 椭圆：已知方程

x

2

2的双曲线C过点P(4, )，则C的方

m 1

32

y

2

2 m

1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是( )

（答 ：( , 1) (1,)） 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆若椭圆

x

2

5

y

2

m

1的离心率e

5

，则m的值是__

（答 ：3或

253

）

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__ （答 ：2

2）

（3）双曲线的渐近线方程是3

x 2y 0，则该双曲线的离心率等于______

2

3

（答 或）；

（4）双曲线ax2 by2 1a:b（答 ：4或

14

）；

xa

22

（5）设双曲线（答 ：[

yb

22

1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________

； ,]）

32

(6)设a 0,a R，则抛物线y 4ax2的焦点坐标为________ （答 ：(0,

116a

)

）；

xa

22

5、点P(x0,y0)和椭圆

yb

22

1（a b 0）的关系：

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

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（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______ （答 ：(-3

,-1)）；

x

2

（2）直线y―kx―1=0与椭圆

5

y

2

m

1恒有公共点，则m的取值范围是______

（答 ：[1，5）∪（5，+∞））； （3）过双曲线（答 ：3）； （4）过双曲线

xa

22

x

2

1

y

2

2

1的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条.

yb

22

＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：

①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；

②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；

③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； ④P为原点时不存在这样的直线；

（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 （6）过点(2,4)作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点，这样的直线有__ （答 ：2）；

（7）过点(0,2)

与双曲线

x

2

9

y

2

16

1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为______

（答 ：

43

,

； ）3

2

（8）过双曲线x 条

（答 ：3）；

y

2

2

1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB 4，则满足条件的直线l有____

（9）对于抛物线C：y2 4x，我们称满足y0 4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y 2(x x0)与抛物线C的位置关系是_______

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2

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（答 ：相离）；

（10）过抛物线y2 4x的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则

1p 1q

_______

（答 ：1）； （11）设双曲线

x

2

16

y

2

9

右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于P,Q,R， 1的右焦点为F，

则 PFR和 QFR的大小关系为___________(填大于、小于或等于)

（答 ：等于）；

（12）求椭圆7x2 4y2

28上的点到直线3x 2y 16 0的最短距离

13

（答 ：）

（13）直线y ax 1与双曲线3x2 y2 1交于A、B两点。 ①

当a为何值时，A、

B分别在双曲线的两支上？ ②当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？ （答 ：① ；②a 1）； 7、焦半径 （1）已知椭圆（答 ：

353

x

2

25

y

2

16

1上一点P

到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____

）；

（2）已知抛物线方程为y2 8x，若抛物线上一点到y轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____； （3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是4，则点M的坐标为__ （答 ：7,(2, 4)）；

x

2

（4）点P在椭圆（答 ：

2512

25

y

2

9

1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为____

）；

（5）抛物线y2 2x上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y轴的距离为______ （答 ：2）；

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（6）椭圆

x

2

4

y

2

3

1内有一点P(1, 1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使MP 2MF 之值最小，则

点M的坐标为____

（答 ：(

263

； , 1)）

8、焦点三角形

（1）短轴长为5，离心率e 周长为________

（答 ：6）；

（2）设P是等轴双曲线x2 y2 a2(a 0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2 F1F2 0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为

（答 ：x2 y2 4）； （3）椭圆是

（答 ：(

； ）

55

62

23

的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则 ABF2的

x

2

9

y

2

4

PF1

<0时，点P的横坐标的取值范围 1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF

2 ·

→→

（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝

，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、

B两点，且AB

是AF2与BF2等差中项，则AB＝_______

（答 ：；

（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且 F1PF2 60 ，S PFF 123．求

1

2

该双曲线的标准方程

（答 ：

x

2

4

y

2

12

1）；

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： 10、弦长公式：

（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______ （答 ：8）；

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（2）过抛物线y2 2x焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______

（答 ：3）；

11、圆锥曲线的中点弦问题： （1）如果椭圆

x

2

36

y

2

9

1弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是

（答 ：x 2y 8 0）；

xa

22

（2）已知直线y=－x+1与椭圆

yb

22

1(a

b 0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－

2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答 ：

2

2y

2

）；

（3）试确定m的取值范围，使得椭圆

）；

x

4

3

1上有不同的两点关于直线

y 4x m对称

（答 ：

1313

特别提醒：

因为 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验

0！

12．你了解下列结论吗？ 与双曲线

x

2

9

2

y

2

16

1有共同的渐近线，且过点( 3,23)的双曲线方程为_______

（答 ：

4x9

y

2

4

1）

13．动点轨迹方程：

(1)已知动点P到定点F(1,0)和直线x 3的距离之和等于4，求P的轨迹方程． （答 ：y2 12(x 4)(3 x 4)或y2 4x(0 x 3)）；

(2)线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m 0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为

（答 ：y 2x）；

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2

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(3)由动点P向圆x2 y2 1作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为

（答 ：x2 y2 4）；

（4）点M与点F(4,0)的距离比它到直线l：x 5 0的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答 ：y2 16x）；

(5) 一动圆与两圆⊙M：x2 y2 1和⊙N：x2 y2 8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答 ：双曲线的一支）；

(6)动点P是抛物线y 2x2 1上任一点，定点为A(0, 1),点M分PA所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答 ：y 6x2

13

）；

（7）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点P，使|OP|| MN|求点P的轨迹。

（答 ：x2 y2 a|y|）；

（8）若点P(x1,y1)在圆x2 y2 1上运动，则点Q(x1y1,x1 y1)的轨迹方程是____ （答 ：y2 2x 1(|x|

12)）；

，

（9）过抛物线x2 4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________ （答 ：x2 2y 2）； （10）已知椭圆

xa

22

yb

22

1(a b 0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，圆的交点，点T在线

0），Q是椭圆外的动点，满足|F1Q| 2a.点P是线段F1Q与该椭段F2Q上，并且满足PT TF2 0,|TF2| 0.

（1）设x为点P的横坐标，证明|F1P| a （2）求点T的轨迹C的方程；

cax；

（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2.若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.

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（答 ：（1）略；（2）x y a；（3）当

222

b

2

c

a时不存在；当

b

2

c

F1MF2＝2） a时存在，此时∠

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