tianjia论文

学号：2007310111

哈尔滨师范大学 学士学位论文

题 目 关于数学知识在彩票中应用的研究 学 生 田佳

指导教师 赵健巍 讲师 年 级 2007 级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 数学科学学院

哈 尔 滨 师 范 大 学 学士学位论文开题报告 论文题目 关于数学知识在彩票中应用的研究 学生姓名 田佳 指导教师 赵健巍 讲师 年 级 2007级 专 业 数学与应用数学 2010年11月

课题来源： 由指导教师拟定。 课题研究的目的和意义： 在研究彩票的同时增加自己的知识层面，分析福利彩票、体育彩票各种奖项的获奖以及不获奖概率，帮助彩民合理选购彩票。从概率以及建模两个方向出发，建立合理的选购方案，提出彩民选购的建议。 彩票充分应用概率统计学知识，通过研究彩票，突出数学在生活中的应用，让彩民充分认识彩票的本质，不要过于沉迷于“一夜暴富”的幻想中，正确的看待彩票在丰富娱乐生活的作用，采取积极的态度，客观的接受彩票的乐趣。 国内外同类课题研究现状及发展趋势： 西方不少发达国家都发行彩票，除了福利彩票、体育彩票，还有三十多个国家发行竞猜型体育彩票，《浙江体育科学》就我国体育彩票的发展提出建议，体育彩票被世界各国作为发行彩票的主要载体，是彩票中重要的、必不可少的组成部分。慧典市场研究报告网原创《2010-2015年中国彩票市场发展趋势预测及投资前景分析报告》中对彩票市场现状进行了深度的市场调研，对整个彩票行业的未来发展前景及投资风险进行了权威预测。

课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法： 主要研究体育彩票、福利彩票各种获奖概率，体育彩票中6+1型?超级大乐透型?排列3型?20选5型，福利彩票中双色球型?七乐透型?3D型?15选5型。分别从概率的古典概型角度分析各种获奖概率，利用建模的方法将抽象概率列举成具体方案，进行分析。 在概率研究过程中，计算数目比较繁琐，需要耐心、仔细的运算，追求数学的准确性就要多次运算。而在模型建立时，遇到的问题比较多，采集数学和彩票选购方案，要利用书籍搜集彩票这方面的知识，头脑要清晰，将头等奖模型和多目标决策模型分析透彻。概率统计学贯穿全文，合理分析，提出合理选购方案以及优良建议。 课题研究起止时间和进度安排： 2010年11月 选定研究专业课题方向以及题目 2010年12月 搜集研究专业课题文献 2011年01月 拟订论文写作提纲 2011年02月 调研计划和实验设计方案 2011年03月 论文初稿上交给指导教师 2011年04月 论文在指导教师审阅批改后，成稿

课题研究所需主要设备、仪器及药品： 外出调研主要单位，访问学者姓名：

指导教师审查意见： 指导教师 （签字） 年 月 教研室（研究室）评审意见： ____________教研室（研究室）主任 （签字） 年 月 院（系）审查意见： ____________院（系）主任 （签字） 年 月

学 士 学 位 论 文

题 目 关于数学知识在彩票中应用的研究 学 生 田佳

指导教师 赵健巍 讲师 年 级 2007 级 专 业 数学与应用数学 系 别 数学系 学 院 数学科学学院

哈尔滨师范大学 2011年4月

关于数学知识在彩票中应用的研究

田佳

摘要：从概率统计学出发分析彩票各种数字出现的概率值，或把以前所有中奖号码进行统计来预测新的中奖号码。本论文分为三部分：中国彩票的历史；从概率方面研究体育彩票中6+1型?超级大乐透型?排列3型?20选5型等，福利彩票中双色球型?七乐透型?3D型?15选5型等中奖概率；利用建模数学方法将抽象概率建立具体选购方案从而分析彩票。在生活水平的提高，彩票成为丰富人们娱乐生活的充分条件，合理购买彩票，客观看待彩票在生活中的作用。

关键词：彩票福利彩票、体育彩票、6+1型?超级大乐透型?排列3型?20选5型、双色球型?七乐透型?3D型?15选5型、彩票采购、概率

众所周知，一提起“一夜暴富”的方法就让大家想到彩票，而对于大家中奖的几率又是多少呢？随着科学的不断发展，生活条件的水平的提高，人们的娱乐生活质量要求的也越来越高，彩票不仅仅满足生活娱乐而且给人们一种希望。在本文中，简介中国彩票的历史以及将从概率和数学建模两个方向出发分析彩票中奖的几率，以及我个人对彩票的见解和意见。

一、 中国彩票历史

彩票具有明显的赌博性质，为清朝禁赌法律所不容，传入中国后一度遭禁止。清朝末年财政窘困，天灾人祸交逼，清政府缺乏吸引民间投资的有效手段，遂不得不借彩票应付各种需要。中国彩票首先在救灾的名义下，冲破法律的禁阻创办于上海；各地政府纷纷仿效，寻找各种借口滥发彩票，作为敛财的新手段；清政府无力干预，它对彩票正常行销的种种规定也形同虚设。清朝覆灭前10年间，彩票开始风靡全国。北洋军阀统治时间，上海等大中城市现过各种私人发性的彩票。 1933年5月，国民党中央政府发行了“航空公路建设奖券”。第一次发行之初，国民党政府公布了《航空公路建设奖券条例》的规定“国民政府为筹集发展航空筑路经费起见，每年发行不记名奖券4次，每次50万张，每张售价计‘国币’10元??”；还规定“每次发行所收券款，由国民政府提出50％，内除发行及办公费及代销手续费外，概充发展航空及筑造公路经费。其余50％作奖金，其等级分配如下：一等奖一张，独得洋50万元；二等奖二张，各得洋10万元，共20万元；??总共中奖50645张，共计249910元”。以后国民党中央政府还发行了“黄河彩票”等。

在新中国成立之后的很长一段时间内，彩票也被歧视为一种赌博而被长期的禁止。到了20世纪80年代中期，随着中国改革开放的逐步深入，彩票才逐渐成为国家以社会公益事业为目的筹集资金的形式。中国彩票已经走过了将近20年的历史，目前，福利彩票和体育彩票已经成为我国最重要的两大彩票。

现在彩票可分为即开型和计算机型两种。即开型彩票指的是现场开奖现场兑奖, 而计算机型彩票是利用计算机销售的传统型彩票,但中奖额度是个未知数, 并定期开奖即由各销售点用计算机售票, 打印彩票并将销售资料通过通讯线路传至中心机房进行集中处理, 统一玩法, 统一摇奖, 统一兑奖, 但各销售终端机必须做到单机不重号这是计算机技术进入彩票业的结果, 它仍属被动型彩票。

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2000年至今，现代技术设备全面应用，新型玩法层出不穷，中国彩票进入高速发展时期。这一阶段的重要特点是，财政部全面接管彩票的管理工作，确定了现行的彩票管理体制，建立和完善了彩票的管理制度；两大彩票发行机构全面应用现代彩票技术设备，不断改进发行销售方式，全力丰富彩票品种。

相信中国彩票将会和中国经济一样，在不久的将来也会获得世界的认同。

二、应用概率知识分析彩票中奖率

概率统计学对彩票也有有两个方面的应用 。据钱江晚报报道，彩票市场越来越火爆，南京某一期电脑福利彩票有一懂概率统计的彩民一个人中1个一等奖、3个二等奖、33个三 等奖，有一期彩票有9注号码中一等奖，从而引发了无数彩民自己预测号码的愿望，概率统计方面的书籍也一下子销售量升高。许多平时见到符号就头疼的彩民也捧起概率书兴趣盎然地研究起来。东南大学经管院陈建波博士指出，概率书上讲的都是理论知识，一大堆数学计算公式，如何把概率书的理论运用到现实彩票选号中来，才是许多彩民关心的问题。

实际上，概率统计学主要有两个方面应用：一个方面是利用概率公式计算各种数字出现的概率值，然后选择最大概率值数字进行选号。举一个简单的例子，类似“1234567”七个数一直连续的彩票号码与非一直连续的号码出现的概率比例为：29：6724491（1：230000）左右，由于出现的概率值极低，因此一般不选这种连续号码。另一方面的应用是统计，即把以前所有中奖号码进行统计，根据统计得到的概率值来预测新的中奖号码，例如五区间选号法，就是根据统计进行选号的。南京的“专业”彩民则介绍一条选号规则———逆向选号法。从摇奖机的构造角度来说，它要保证每个数字中奖的概率都一样。虽然摇一次奖无法保证，摇100次奖也无法保证，但摇奖的次数越多，各个数字中奖的次数也必定增加，，从这个角度考虑，在选号时就应该尽量选择前几次没中过奖的数字。这就是逆向选号法，即选择上一次或前几次没中奖的数字.这也说明了概率的无所不在。通过对北京、上海与广州3城市居民调查的结果显示，有50%的居民买过彩票，其中5%的居民成为“职业”(经济性购买)彩民。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，研究一下体育彩票和福利彩票的各种奖项的获奖几率。

2.1体育彩票

体育彩票是由国家体育总局发行的一种福利型彩票,它分为即开型与电脑型等两种彩票。我主要研究的是电脑型体育彩票的获奖概率。它分为6+1型?超级大乐透型?排列3型?20选5型等。

2.1.1体育彩票6+1中奖概率

特等奖概率：1/10×10×10×10×10×10×10 =1/10000000 一等奖概率：2/10×10×10×10×10×10 =1/500000

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二等奖概率：3/10×10×10×10×10 ≈1/33333 三等奖概率：4/10×10×10×10 =1/2500 四等奖概率：5/10×10×10 =1/200 五等奖概率：6/10×10 ≈1/16 不中奖的概率：

1-1/10000000-1/500000-1/33333-1/2500-1/200-1/16=330695993007/333330000000≈0.9

2.1.2超级大乐透

中奖概率就等于前区35选5的中奖概率N与后区12选2的中奖概率n的乘积S, 即S=1／C35C12=1/21425712为超级大乐透一等奖的中奖概率。 即一等奖：选中5个前区号码及2个后区号码的概率为(1/21425712)； 同理二等奖的计算公式为S=2／C35C12=1/10712856

即二等奖：选中5个前区号码及2个后区号码中的任意1个 (1/10712856) ； 三等奖的计算公式为S=1／C35=1/324632 即三等奖：选中5个前区号码的概率为(1/324632)； 四等奖的计算公式为S=C30／C35C12=5/3570952 五等奖的计算公式为S=C30C10?2／C35C12=25/892738

即五等奖(500元)：选中4个前区号码及2个后区号码中的任意1个(25/892738)； 六等奖的计算公式为S=C30／(C35C12?C30C12)=1/1930

即六等奖(200元)：选中3个前区号码及2个后区号码或选中4个前区号码(1/1930) 七等奖的计算公式为；S=C30C10?2／C35C12?C30C10/C35C12=1/168

即七等奖(10元)：选中3个前区号码及2个后区号码中的任意1个或选中2个前区号码及2个后区号码；(1/168)

八等奖的计算公式为S=C30/C35C12?C30C10/C35C12?C30C10?2／

2552C5C?C/CC3512303512=1/16.6

2524252312152525225212115215525252即四等奖(3000元)：选中4个前区号码及2个后区号码的概率为(5/3570952)；

即八等奖(5元)：选中3个前区号码或选中1个前区号码及2个后区号码或2个前区号码及2个后区号码中的任意1个或只选中2个后区号码，(1/16.6)； 不中奖的概率：

1-1/21425712-1/10712856-1/324632-5/3570952-25/892738-1/1930-1/168-1/16.6≈0.9

2.1.3体育彩票排列三中奖概率

排列三直选号码是1000个，买一注直选的中奖概率为1/1000 组选六的概率为6/1000 组选三的概率为3/1000

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不中奖概率为99/100

2.1.4体育彩票20选5中奖概率

中奖情况 中奖概率 5个数字全部选中的概率 1/C20 =1/1504 选中其中4个数字的概率 C5/C20 =1/969 选中其中3个数字的概率 C5/C20 =1/144 选中其中2个数字的概率 C5/C20 =1/19 选中其中1个数字的概率 C5/C20 =1/4 不中奖率:1-1/1504-1/969-1/144-1/19-1/4=98822184/141965568≈0.7

2.2福利彩票

福利彩票是由国家民政部门发行的一种福利型彩票,它分为即开型与电脑型等两种彩票。我主要研究的是电脑型福利彩票的获奖概率。它分为双色球型?七乐透型?3D型?15选5型等。 2.2.1福利彩票双色球中奖概率的计算

双色球的总中奖率6.709453％，它的计算方法是将一至六等奖的所有中奖概率相加所得出的一等奖的中奖概率:一等奖就是中了6个红色球号码和1个蓝色球号码，即中了“6+1”。中奖概率就等于红色球33选6的中奖概率N与蓝色球16选1的中奖概率n的乘积S，即得头奖的概率计算公式为S＝1／C33C16＝l／17721088。其余中奖概率的计算方法与体彩大乐透算法一样

一等奖（6+1）中奖概率为：1/17721088=0.0000056%； 二等奖（6+0）中奖概率为：1/1107568=0.00009%； 三等奖（5+1）中奖概率为：1/3797376=0.000026%； 四等奖（5+0）中奖概率为：1/237336=0.00042%； 四等奖（4+1）中奖概率为：1/654720=0.015%； 五等奖（4+0）中奖概率为：1/40920=0.24%； 五等奖（3+1）中奖概率为：1/87296=0.11%； 六等奖（2+1）中奖概率为：1/8448=0.012%； 六等奖（1+1）中奖概率为：1/528=0.189%； 六等奖（0+1）中奖概率为：1/16=6.25%.

总中奖率:1188988/17721088=0.067094526024587203675079092209237=6.7%。 不中奖的概率：93.3%

按照概率如果守一个号,可能中一等奖可能需要48550年

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611122334452.2.2福利彩票七乐彩中奖概率

福利彩票七乐彩中奖概率与体彩6+1算法基本一致，则福利彩票的七乐彩中奖概率 中奖号码 几率（1/N） 奖金

一等奖 选7中（7） 1/2035800 高等奖的总奖金的70%除以中奖个数 二等奖 选7中（6＋1） 1/290829 高等奖的总奖金的10%除以中奖个数 三等奖 选7中（6） 1/13219 高等奖的总奖金的20%除以中奖个数 四等奖 选7中（5＋1） 1/4406 200元 五等奖 选7中（5） 1/420 50元 六等奖 选7中（4＋1） 1/252 10元 七等奖 选7中（4） 1/38 5元

不中奖概率：1- 1/2035800-1/290829-1/13219-1/4406-1/420-1/252-1/38≈0.97 2.2.3福利彩票3D中奖概率计算

福利彩票3D直选号码是1000个， 直选的中奖概率为1/1000 组选六的概率为6/1000 组选三的概率为3/1000 不中奖概率为99/100

2.2.4福利彩票15选5中奖概率，同体育彩票20选5

中奖情况 中奖概率

5个数字全部选中的概率 1/3003 选中其中4个数字的概率 1/273 选中其中3个数字的概率 1/91 选中其中2个数字的概率 2/21 选中其中1个数字的概率 1/3

不中奖概率 1-1/3003-1/273-1/91-2/21-1/3≈0.65

综上计算概率可知：彩票确实可以使人一夜暴富，但其中奖的概率实在是不高，希望彩民要抱有平常心去购买，不要在意他的或得或失。把买彩票当作一种慈善就可以了。

三、利用建模在概率知识基础上分析彩票中奖概率

在看多本书籍研究彩票中奖概率，我将从彩票发行方案出发，从而分析彩民们中奖的概率以及给彩民的一些自己的建议。近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额的诱惑是越来

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越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票有两种，“传统型”、“乐透型”。我将从两种类型建立建模。

3.1问题的提出

3.1.1 分类及方案 （1）“传统型”：采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9是个号码中任意选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注 号码与中奖号码相符的个数的多少及顺序确定中奖等级。

表3.1“传统型”彩票中奖等级举例 中奖 等级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 10选6+1（6+1/10） 基本号码 特别号码 ABCDEF G ABCDEF ABCDEx xBCDEF ABCDxx xBCDEx xxCDEF ABCxxx xBCDxx xxCDEx xxxDEF ABxxxx xBCxxx xxCDxx xxxDEx xxxxEF 说明 选7中（6+1） 选7中（6） 选7中（5） 选7中（4） 选7中（3） 选7中（2）

(2)“乐透型”：有多种不懂形式，比如“33选7”的方案：选从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数的多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如：“36选6+1”的方案，先从01~36个号码中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数的多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。

表3.2 “乐透型”彩票中奖等级序列 中奖 等级 33选7（7/33） 基本号码 特别号码 说明 选7中7 选7中6 选7中5 选7中4 —6—

36选6+1（6+1/36） 基本号码 特别号码 说明 ●●●●●● ★ 选7中6+1 选7中6 选7中5 选7中4 ●●●●●○ ★ 选7中5+1 ●●●●○○ ★ 选7中4+1 ●●●○○○ ★ 选7中3+1 一等奖 ●●●●●●● 三等奖 ●●●●●●○ 五等奖 ●●●●●○○ 七等奖 ●●●●○○○ 二等奖 ●●●●●●○ ★ 选7中6+1 ●●●●●● 四等奖 ●●●●●○○ ★ 选7中5+1 ●●●●●○ 六等奖 ●●●●○○○ ★ 选7中4+1 ●●●●○○ 3.1.2 设奖规则，奖项设置方案

（1）上面两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。

（2）其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元。 （3）各高项奖额的计算方法为： 【（当期销售总额×总奖金比例）—低项奖总额】×单项奖比例 （4）现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表3.3

表3.3 彩票的常见销售规则及相应奖金设置方案 序 奖项 一等奖号 方案 比例 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 6+1/10 50% 6+1/10 60% 6+1/10 65% 6+1/10 70% 7/29 7/30 7/30 7/30 7/31 7/31 7/32 7/32 7/32 7/33 7/33 7/34 7/34 7/35 7/35 7/35 7/35 7/35 60% 65% 70% 75% 60% 75% 65% 70% 75% 70% 75% 65% 68% 70% 70% 75% 80% 100% 6+1/29 60% 二等奖比例 20% 20% 15% 15% 20% 25% 15% 10% 10% 15% 10% 15% 10% 10% 10% 10% 15% 12% 15% 10% 10% 10% 2000 10% 10% 10% 15% 10% 20% 三等奖比例 30% 20% 20% 15% 20% 15% 20% 20% 15% 25% 15% 20% 20% 15% 20% 15% 20% 20% 15% 20% 15% 10% 20 15% 10% 20% 15% 8% 20% 四等奖金额 50 300 300 300 300 200 500 200 200 500 320 500 500 500 600 500 500 500 300 500 1000 200 4 500 500 500 1500 200 300 —7— 五等奖金额 20 20 20 30 20 50 50 30 50 30 50 50 50 60 50 30 50 50 100 100 50 2 100 100 50 100 10 30 六等奖金额 5 5 5 5 5 15 10 10 20 5 10 10 10 6 10 6 10 5 30 50 20 10 10 10 50 1 七等奖金额 5 5 5 10 5 2 5 5 5 5 5 备注 按序 按序 按序 按序 6+1/36 75% 6+1/36 80% 7/36 7/37 6/40 5/60 70% 70% 82% 60% 3.1.3需解决的问题

（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

3.2 问题的分析

考察问题的题设与要求，我们必须首先对现有的“传统型”和“乐透型”彩票各种奖项出现的可能性进行分析，此概率的大小的计算属于古典概型问题，实际生活中，中头奖的概率、高项奖出现的概率以及能够中奖的概率大小，往往都是彩民关心的，也是吸引彩民进行摸彩、投彩的主要因素。

3.3 模型的假设

（1）彩票中奖号码的摇出是严格随机事件，不考虑彩球质量、角度、摇杆摇动的时间等因素的影响。

（2）奖金比例为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。

（3）所有号码的中奖概率都是相等的。

（4）本期若无人中一等奖，其奖金将自动滚入下一期的一等奖奖池中。 （5）购买彩票均采用单式投注。

3.4头奖期望模型的建立与求解

3.4.1彩票各种奖项出现的可能性分析

（1）“传统型”采用“10选6+1” 单注总数为：5×10。 各项奖的单注数分别为： 一等奖：1 二等奖：C4

三等奖：2×C9×C5

四等奖：（2×C9?C10?C5?C5?C9?C9）×C5 五等奖：2×（C9?C10?C10?C9?C9?C10)?C5 六等奖：[2C9?(C10)?3(C9)?(C10)]?C5

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11312121111111111111111161

由概率的定义可以得出：Pij?各项奖的单注

单注总数（2）“乐透型”（r/s）的情形。博取某一奖项奖金的可能性问题，可以用包含下列阶乘的二项式系数加以表述如下：m!=1×2×?×（m-1）×m(m=1,2,3,?)。

?n?n!??二项式系数??k?k!(n?k)!（k=0,1,?，n）. ??又上述二项式可以算出从1,2,3，?，n中选中k个数字可能的选法中枢，在r/s性的彩票当中，选中r个基本号当中的k个的可能性Pk，可以通过超几何分布得出：

?r??s?r???k?????r?k??????Pk?（k=0,1,2,?，r）

?s???r????r?k（k=0,1,2,?，r-1） s?rs?k?2r选中r个基本号不加特别号的可能性Pk,?为：Pk,?=Pk?（k=0,1,2,?，r-1）

s?r则选中r个基本号加特别号的可能性Pk,?为：Pk,?=PK?其中，??r?k??s?k?2r??,??分别为选中中奖号码当中的k个基本号码以后，选中特别号码

?s?r??s?r?和没有选中的特别号码的可能性。

表3.4 个档次奖金的几率值 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 中奖几率 一等奖 方案 6+1/10 6+1/10 6+1/10 6+1/10 7/29 6+1/29 7/30 7/30 7/30 7/31 7/31 7/32 7/32 7/32 7/33 7/33 二等奖 三等奖 55556 55556 55556 55556 10618 11824 13220 13220 13220 16333 16333 20035 20035 20035 24412 24412 四等奖 3831 3831 3831 3831 3539 1126 4406 4406 4406 5444 5444 6678 6678 6678 8137 8137 五等奖 292 292 292 354 450 420 420 420 495 495 581 581 581 678 678 六等奖 24 24 24 212 68 252 252 252 297 297 348 348 348 407 407 七等奖 38 38 38 42 53 50000000 555556 50000000 555556 50000000 555556 50000000 555556 1560780 1560780 2035800 2035800 2035800 2629575 2629575 3365856 3365856 3365856 4272048 4272048 222969 70945 290829 290829 290829 375654 375654 480837 480837 480837 610293 610293 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 7/34 7/34 7/35 7/35 7/35 7/35 7/35 6+1/36 6+1/36 7/36 7/37 6/40 5/60 5379616 5379616 6724520 6724520 6724520 6724520 6724520 8347680 8347680 8347680 3838380 5461521 768517 768517 960646 960646 960646 960646 34309 287851 287851 1192530 639730 1092300 29558 29558 35580 35580 35580 35580 847 47975 47975 42590 50717 19386 200228 9853 9853 11860 11860 11860 11860 59 3427 3427 1497 16906 7754 10114 788 788 912 912 912 912 9 1371 1371 1052 1208 485 328 473 473 547 547 547 547 152 152 631 725 363 59 66 66 66 114 73 10295472 1470780 3.4.2 头等奖期望模型

分析彩民的心理，他们真正感兴趣的是在某一段时间内少博取一次头奖的机会问题。要解决这个问题，可以首先假设彩民选择了某一种r/s型彩票中的h组不同号码。由于彩民未能博取下一期头奖的可能性是1—h×Ar ，因此，彩民在w期中都未能博取头奖的可能性为1—h ?Ar的w次方，那么，在w期的r/s型彩票中，至少博取一次头奖的可能性即为：1—(1?h?Ar)w,由此，我们建立如下关于头等奖期望的数学模型：

E1?(M?a1?M0)?A1，其中，M表示高项奖的奖金总额，M0 表示上一期一等奖滚入

n1这一期的奖金额数，a1%表示一等奖的奖金比例，n1表示中一等奖的人数，A1表示中一等奖的概率。

在题中所给（6—1）/10的“传统型”彩票中，我们可以看出方案1的一等奖比例显然小于后三种方案，并且方案1只有一项低项奖，彩票的中奖概率也小于另外三中，由此可以得出方案1的吸引力明显劣于其他三种方案。

另外对乐透型中的方案23来说，由于它只设立了一等奖的比例，二等奖及二等奖以下只设立了固定的金额，对于彩民来说，它的吸引力相对较弱，此种方案可不予考虑。下面对其余方案进行分析：

（1） 对设有其中奖项的方案进行比较 假如获低项奖的人数如下：四等奖：n4=200，五等奖：n5=3000，六等奖：n6=300000，七等奖：n7=400000。

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调整程序得出一等奖的期望，如表3.5

表3.5 各方案一等奖的期望值（1） 序号 期望 7 8 9 10 16 18 20 21 22 24 26 6.705 7.923 8.731 3.993 3.950 2.996 1.561 0.982 2.391 1.887 1.887 由表3.5可以看出：对设有其中奖项的方案而言，方案9的头奖期望值较大，设计较为合理。

（2） 对设有六种奖项的方案进行比较。

假如获低项奖的人数如下：四等奖：n4=2000，五等奖：n5=30000，六等奖：n6=300000。方案29的六等奖对一等奖的期望的影响较小，我们可以将其归入六种奖项的考虑范围之内。得出一等奖的期望如表3.6所示。

表3.6 一等奖的期望值（2） 序号 期望 序号 期望 由表3.6可以看出：在设有六种奖项的方案里，方案6的一等奖期望最大，设计较为合理。传统型彩票中方案4、乐透型彩票中方案6（即6+1/29）设计较为合理。总体而言，乐透型彩票的方案6头奖期望最大，方案设计最为合理。

3.4.3 多目标决策模型

由头奖期望模型的结果我们可以看到，头奖期望模型只是一个简易的数学模型。实际上要判断某一方案是否合理，需要同时考虑彩民关心的多个因素，如：高项奖的中奖概率、总的中奖概率、奖项的设置以及奖金的分配等。只有综合分析这些因素对合理性的影响，才能设计出合理的彩票发行方案。假设售出a注彩票，则奖金总额为a元，第i项方案中低项奖总额为yi元，第i项方案中j等高项奖的单项奖比例为zij，根据各高项奖额的计算方法：[(当期销售总额×总奖金比例)—低项奖总额]×单项奖比例

则可以得出单注中第i项方案中j等高项奖的金额为：【（2a×50%）—yi】?zij，其中，

2 3.276 14 5.459 3 3.549 15 4.127 4 3.822 17 3.178 5 10.379 19 2.748 6 10.562 25 2.204 11 7.689 27 0.612 12 4.731 28 6.195 13 5.095 pij为第i种方案中第j等奖的概率，qij为第i种方案中j等奖单注所获得的金额，a?pij?qij表示单注中第i项方案中第j等低项奖的金额，yi??a?pij?qij。

j?47

（1）目标函数。我们从三个方面设计了目标函数。

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1）高项奖概率目标。对彩民来说，高项奖的奖金越大越具有诱惑力，彩民购买的根本目的就希望获得高项奖。作为影响方案合理性的因素，高项奖的中奖概率就成为影响彩票吸引力的一个重要目标函数。 高项奖概率目标：MaxQ1??pj?13ij式中，pij为第i种方案中j等奖的概率。

2）总中奖概率目标。判断一种彩票的发型方案，应尽可能增加彩票的中奖普遍性。不论哪种奖项只要其中奖率较大，对彩民就会构成一定的吸引力。在此，我们全面考虑高项和低项奖的总中奖概率。总中奖概率目标：MaxQ2??qj?17ij式中，qij为第i中方案中第j等奖单

注所获得的金额。

3）奖金及奖项的设置目标。奖金及奖项的设置时彩民最关心的问题。彩票的期望值越大，彩民买彩票的热情就会越高；奖项的设置越多，对彩民也构成不小的吸引力。为此在这一目标函数中，我们考虑了使每一部分尽可能达到最大。 奖金及奖项的设置目标：MaxQ3?金

及

奖

i?f(xj?17j)（j=1,2,?，7）式中，f(xj)为七种奖项的奖

它

i项分配

i函数，符合下面的关系式：

f(xj)??1?f(xij)??2?f(xij)????7?f(xij)其中，权系数?1,?2,?,?7由表3.4,、

3.5中数据确定。

（2）模型的建立。该模型全面考虑了影响方案合理性的各个主要因素，是一个多目标的规划模型。要是方案的吸引力最大，我们再次求解加权目标函数的最大值，不妨设三个规划目标的权系数为?i（i=1,2,3）,得到加权目标函数。 加权目标函数：F （xi）=Max(?1Q1+?2Q2+?3Q3) 其中，?1?1Max(?pi)i?1’3，?2?1Max(?pj)j?17，?3?1。

Maxf(xi）对权系数归一化，令?1??3?1?2’’，?2?，?3?

?1??2??3?1??2??3?1??2??3''''（r/s)?Max(?1Q1??2Q2??3Q3)。 于是，目标函数简化为（含r,s变量）：F

（3）模型求解。对于以上模型，利用表3.4中数据及目标函数我们可以首先对高项奖概率、中奖概率、奖项及奖金设置进行归一化，得到总的权系数如表3.7所示。

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表3.7 总的权系数

目标 权重

我们求解得到29中方案的加权目标函数值如下： 序号 加权函数值 高项奖目标 0.2073 中将目标 0.1994 奖项及奖金设置目标 0.5933 1 0.0129889 7 0.0435464 13 0.031647 19 0.0498242 25 0.0276379 2 0.0145283 8 0.0444738 14 0.0319868 20 0.0471213 26 0.032136 3 0.0194469 9 0.0447683 15 0.0279101 21 0.0465786 27 0.0390504 4 0.0249386 10 0.0255211 16 0.0266606 22 0.0481539 28 0.0293979 5 0.0341935 11 0.0311881 17 0.0269803 23 0 29 0.0293201 6 0.0384711 12 0.0300882 18 0.026427 24 0.0313568 序号 加权函数值 序号 加权函数值 序号 加权函数值 序号 加权函数值 由以上可知：①第19方案的加权目标函数值最大，则在所有方案中，它是最合理的一个方案；②同种类型“传统型”彩票方案1~4中，4方案的值较大，可判断是较合理的；③“传统型”彩票方案“（1~4）的加权目标函数值总体上小于”乐透型“的彩票方案（5~29）的加权目标函数值，可判断”乐透型“方案的合理性更优；④r相同情况下，s为35、30、32、33、34时，它们的加权目标函数值依次减小，合理性也就依次递减。

四、彩票采购与给彩民的建议

近年来，发行福利彩票作为一项用来募集社会闲散资金的手段得到国家的重视，也越来越受彩民的欢迎。究其原因主要是彩票具有收益性，再加上我们的社会处于转型期，它满足了人们普遍有种暴富期望的消费心理，所以购买彩票是就存在着一种盲目和冲动，甚至有极少数彩民因买此安排二草成了经济窘困。所以，作为彩民必须平静入市，同时郑重提醒彩民：彩市有风险，入市要理智。

玩彩票和炒股一样，充满风险，要想中大奖，除了要有理智的博彩心态跟好运气，还必须动的一些聪明的博彩策略与技巧。

（1）福利彩票可以采取联合选购的策略。各彩民选购彩票是独立，若干个小户彩民可以组织起来联合选购。比如10个彩民，每期每人拿出20元（拿出的钱不能影响日常生活）购买彩票，总共100注，这100注彩票的号码各不相同，获得的奖金10人平分。这比每个人各自购买侯将的概率将大得多。

（2）不要买别人都会买的号码，这样才能确保你不会和 别人共同分享奖金。

（3）永远也不要以其他的彩民也可能会遵循的规则，如选纪念日、特殊节日等为依据来选择你号码。

（4）不要选择以前出现过的中奖号码；不要选择最热门或者最冷门的数字。

（5）不要通过对以前出现的中奖号码进行简单的算术或者集合变形来选择自己的号码。 （6）不要选对称分布的号码。

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（7）不要选集团数目太多或太少的号码，要尽量多选边缘数字。

（8）如果某个号码很长时间没有出现，然后出现了一次，你不能据此判断她下一期一定会出现，因为这个很可能只是技术性调整。

国家发行彩票的宗旨是“取之于民，用之于民“，把集资起来的钱用于发展公益事业。所以发行彩票是一项利国利民的事业。考虑到我国国情并结合模型分析，建议彩票发行还应考虑不同地区的经济水平及彩民对彩票的态度等因素，综合性地选择彩票发行方案。一般而言，在那些经济发达、风险型彩民多的地区，多发性头奖期望值大的彩票；反之，在那些经济欠发达、风险中立型彩民多的地区多发行中奖概率大的彩票。在力所能及的基础上，广大彩民朋友也不妨积极投入彩市，带着百万大奖的希望，为国家福利事业做一点贡献。

参考文献：

[1]徐明跃 、范广慧： 概率论与数理统计初步 第四章， 东北林业大学出版社. [2]周玉平.彩票：特别的风采，特别的爱，中国统计.中国统计杂志社，2001.12. [3]姚云飞，邱国新：摸彩决策的数学模型，数学的实践与认识.中国数学会，2001.2. [4]李相春：绝算彩票.北京，中国物价出版社，2000.1. [5]诺伯特?海齐，汉斯?里徳威尔：彩票实战手册，2000.

[6]刘元高：Mathematic4.0实用教程.北京.国防工业出版社，2000. [7]孙荣恒：趣味随机问题，北京，科学出版社，2004.

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About mathematics knowledge of the application of the

lottery

Tian jia

Abstract: starting from the probability statistical analysis of various digital appear lottery

probability values, or all before winning number for statistics to predict new winning number. This paper is divided into three parts: China lottery of history; Research from the probability of the sport lottery 6 + 1 type, super LeTouXing, arrangement, 3 type, 20 selected five etc, welfare lottery ShuangSeQiu type, seven in LeTouXing, 3D model, 15 choose such type 5 winning probability; Abstract mathematical methods will use modeling to establish specific plan of choose and buy the probability analysis of lottery tickets. In the improvement of living standards, lottery become rich people entertainment, sufficient conditions of life reasonable buy lottery tickets, objective view lottery tickets in the life of the role.

Key words: lottery welfare lottery； sports lottery； 6 + 1 type； super LeTouXing, arrangement； 3 type； 20 selected five type； ShuangSeQiu type； seven LeTouXing； 3D model； 15 selected five type；lottery procurement；probability

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论文评阅人意见

论文（设计）题目 作 者 评阅人 关于数学知识在彩票中应用的研究 田佳 评阅人职称 意 见 评阅人 签字

评阅意见

论文评阅人意见

论文（设计）题目 作 者 评阅人 关于数学知识在彩票中应用的研究 田佳 评阅人职称 意 见 评阅人 签字 评阅意见

指导教师评语页

论文（设计）题目 作 者 指导教师 赵健巍 关于数学知识在彩票中应用的研究 田佳 职 称 讲师 评 语 写 指导教师签字

论文等级

本科毕业论文（设计）答辩过程记录

院系

数学科学学院 专业

数学与应用数学

年级 07级

答辩人姓名 田佳 学号 2007310111

毕业论文（设计）题目 关于数学知识在彩票中应用的研究 毕业论文（设计）答辩过程记录：

答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ）

记录员 答辩小组组长签字

年 月 日 年 月 日

本科毕业论文（设计）答辩登记表

院（系）：数学科学学院 专业：数学与应用数学 年级：07级 论文（设计）题目：关于数学知识在彩票中应用的研究 答辩人：田佳 评阅人： 指导教师：赵健巍 论文（设计）等级： 答辩小组成员： 学号：2007310111 答辩小组意见： 秘书签名： 年 月 日 论文（设计）答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ） 论文（设计）最终等级： 答辩小组组长签名：

答辩委员会主席签名： 校级优秀毕业论文（设计）推荐表

所属院(系)： 数学科学学院 填表日期： 年 月 日

论文作者 姓名 田佳 性别 女 专业 数学与应用数学 指导教师 姓名 赵健巍 毕业论文（设计） 题目 毕业论文（设计）主要涉及研究方向 年龄 专业技术职务 所在单位 毕业论文（设计）总周数 毕业论文（设计）选题依据及背景 院系中期 检查情况 毕业论文（设计）的水平与 特色 毕业论文（设计）有何实验、实践或 实习基础 毕业论文（设计）期间研读书目 指导教师 评语及推荐 意见 指导教师签字： 年 月 日 指导教师对 申报材料真 实性的意见 指导教师签字： 年 月 日 （公章） 年 月 日 院系推荐 意见 学校主管 部门意见 （公章） 年 月 日

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