2.1-2.5.4时域离散信号和系统的频域分析

第二章 时域离散信号和系统 时域离散信号 离散信号和 频域分析 的频域分析学习目标 掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质 变换并理解其对称性质 掌握序列的 掌握z变换及其收敛域 变换及其收敛域， 掌握 变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及判 断方法 会运用任意方法求z反变换 会运用任意方法求 反变换 理解z变换的主要性质 理解 变换的主要性质 理解z变换与 理解 变换与Laplace/Fourier变换的关系 变换的关系 变换与 掌握离散系统的系统函数和频率响应， 掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数 与差分方程的互求，因果、 与差分方程的互求，因果、稳定系统的收敛域 1

时域分析方法 信号与系统的 分析方法 频域分析方法Fourier变换 变换 离散时间信号 Z变换 变换 序列的傅里叶 变换2

Laplace变换 变换 连续时间信号 Fourier变换 变换

§1 序列的傅立叶变换1、定义 频域对 序列的傅立叶变换是从频域 离散时间信号 序列的傅立叶变换是从 频域 对 离散时间 信号 和系统进行分析。 和系统进行分析 。 用 行正交展开。 行正交展开。 相似于 连续时间信号傅立叶变换用 对模拟信号进行展开 模拟信号进行展开 作为基函数对序列进

(1)序列的傅里叶变换的表达式： 序列的傅里叶变换的表达式：

X (e jω ) = FT[x(n)] =

n= ∞

x(n)e jωn ∑

∞

(2)序列的傅里叶变换存在条件： 序列的傅里叶变换存在条件： 若序列x( ) 绝对可和，即满足： 若序列 (n) 绝对可和，即满足：

则序列x(n) 的傅里叶变换 X e jω 存在且连续。 存在且连续。 序列 (3)序列的幅频特性和相频特性： 序列的幅频特性和相频特性：

( )

X (e ) = XR (e ) + jXI (e ) =| X (e ) | e幅频特性或幅度 谱

jω

jω

jω

jω

i arg X (e jw )

相位谱4

2 | X (e jω ) |= [ X R (e jω ) + X I2 (e jω )]1/ 2

(ω) = arg X (e ) = arctg[ X I (e ) / X R (e )]jω jω jω

显然 的周期函数。 的周期函数。

X (e jω )、 (ω)都是

ω 的连续函数和周期为2 π 的连续函数和周期为2

2、序列傅里叶反变换1 π x(n) = FT [ X (e )] = X e jω e jωndω 2π ∫ π 1 jω

( )

表1.常用序列的傅立叶变换 1.常用序列的傅立叶变换

序δ (n)

列

傅 立 叶 变 换1e j ( N 1)ω / 2 sin( Nω / 2) / sin( ω / 2)k = ∞

RN (n)

1

∑2πδ(ω + 2kπ )+ 2kπ )

∞

e

jω0n∞

k = ∞

∑2πδ(ω ω0

∞

0

cos(ω0n)

k = ∞

∑π [δ (ω ω

+ 2kπ ) + δ (ω + ω0 + 2kπ )]6

典型例题例1求它的傅立叶变换。 已知 x(n) = R5 (n) ,求它的傅立叶变换。jω 4 jωn n=0

解： X (e ) = FT[x(n)] = ∑ e

1 e jω5 = 1 e jω

e jω5/ 2 (e jω5/ 2 e jω5/ 2 ) = jω / 2 e (e jω / 2 e jω / 2 ) si

n 5 / 2 ω = e j 2ω sin ω / 2) (

其幅度谱和相位谱分别为： 幅度谱和相位谱分别为： 分别为X (e jω ) =| sin 5ω / 2 sin 5ω / 2 | , (ω) = 2ω + arg[ ] sin( ω / 2) sin( ω / 2)

3、FT的性质 FT的 (1)周期性 其中M为整数 为整数， 由于 e jωn = e j (ω+2πM )n 其中 为整数，故有 ：

X (e jω ) =

n= ∞

x(n)e j (ω+2πM )n = X (e j (ω+2πM ) ) ∑

∞

可见 X (e jω ) 是 ω 的周期函数，周期为2 π 。 的周期函数，周期为2 (2)线性性

(3)序列的移位(时移) (3)序列的移位(时移) 序列的移位

(4)频域的移位(频移) (4)频域的移位(频移) 频域的移位

(5)序列的反转 (5)序列的反转

(6)序列的共轭 (6)序列的共轭

FT[x*(-n)]=X*(ejw)

(7)频域微分性 (7)频域微分性

对时域信号进 行线性加权对 应于频域的微 分

(8)时域卷积定理 (8)时域卷积定理

则Y (e ) = X (e )H(e )

jω

jω

jω

(9)频域卷积定理(序列相乘) (9)频域卷积定理(序列相乘) 频域卷积定理

1 jω jω 则Y (e ) = [ X (e ) H (e )] 2π π 1 j j (ω ) = ]d ∫ X (e )H[e 2π πjω

(10)Parseval定理 (10)Parseval定理

若FT[x(n)] = X (e ) 2 ∞ 1 则∑ x(n) = 2π n= ∞

jω

该定理表明： 该定理表明：信号在 时域中的能量等于频 域中的能量

∫π

π

X (e ) dωjω11

2

(11)序列的共轭对称性质 (11)序列的共轭对称性质 若序列 xe (n) 满足 xe (n) = xe ( n) ,则称 xe (n) 为共 轭对称序列； 轭对称序列； 若序列xo (n) 满足xo (n) = xo ( n) ,则称 xo (n) 为共 轭反对称序列。 轭反对称序列。

用它的实部和虚部来表示， xe (n) 用它的实部和虚部来表示，得：

xer (n) = xer ( n)

xei (n) = xei ( n)xoi (n) = xoi ( n)12

用它的实部和虚部来表示， xo (n) 用它的实部和虚部来表示，得：

xor (n) = xor ( n)

xe (n)的实部是n的偶函数，而虚部是n的奇 实部是 的偶函数， 虚部是 的 函数； 实部是 的奇函数， 虚部是 函数； xo (n) 的实部是n的奇函数，而虚部是 n的偶函数。 的偶函数。

ⅰ、序列

表示成上述两种序列之和， 表示成上述两种序列之和，即

其中用虚部和实 部表示

那么，对其傅里叶变换为： 那么，对其傅里叶变换为：

X (e jω ) = FT[xe (n)] + FT[xo (n)]1 ∴FT[xe (n)] = {X (e jω ) + X (e jω )} = Re[ X (e jω )] = X R (e jω ) 2 1 FT[xo (n)] = {X (e jω ) X * (e jω )} = j Im[ X (e jω )] = jXI (e jω ) 2序列的共轭性13

附：频域函数X (e jω )可以写成： 可以写成：

X (e jω ) = Xe (e jω ) + Xo (e jω )共轭对称部分 共轭反对称部分

且满足： 且满足：

1 X e e jω = X e jω + X * e jω 2 X e jω = 1 X e jω X * e jω o 2

( )

[ ( )

(

)] )]14

( )

[ ( )

(

ⅱ、序列分解为

x(n) = xr (n) + jxi (n) 那么，对其实施傅立叶变换为： 那么，对其实施傅立叶变换为：

X (e jω ) = FT[xr (n)] + FT[ jxi (n)] = Xe (e jω ) + Xo (e jω )

结论 实部对应于共轭对称分量，虚部和j 实部对应于共轭对称分量，虚部和j一起对 对应于共轭对称分量 共轭反对称分量 应于共轭反对称分量。 应于共轭反对称分量。15

分析实数序列h 分析实数序列h(n)的对称性 h(n)=hR(n)+jhI(n) )=h )+jh 得： Re[h(n)] Re[h jIm[h(n)] Im[h He(ejw)= H(ejw) Ho(ejw)=0

所以h 的傅里叶变换只含有共轭对称部分H 所以h(n)的傅里叶变换只含有共轭对称部分He(ejw), 共轭反对称部分为零即H e jω = He e jω = H * e jω

( )

( )

( )16

H (e jω ) = He (e jω ) = H R (e jω ) + jHI (e jω ) H * (e jω ) = He (e jω ) = H R (e jω ) jHI (e jω )

∴HR (e jω ) = HR (e jω ) HI (e jω ) = HI (e jω )

因此，该序列的傅里叶变换是共轭对称函数， 因此，该序列的傅里叶变换是共轭对称函数，其 实部是偶函数，虚部是奇函数；其模的平方是偶 实部是偶函数，虚部是奇函数； 函数， 函数，相位函数是奇函数

§2 序列的Z变换 序列的Z1、定义

式中z是复变量，所在的平面称为z 式中z是复变量，所在的平面称为z平面 2、Z变换的收敛域 对于任意给定序列x(n),使其Z变换X(z)收敛的 对于任意给定序列x 使其Z变换X 所有z值的集合称为X 所有z值的集合称为X(z)收敛域 级数收敛的充要条件是满足绝对可和n = ∞

∑

∞

x(n )z n = M < ∞18

(1)零点、极点 零点、 零点： )=0, )=0和 零点：X(z)=0,即P(z)=0和 Q(z ) → ∞ 的点

X 极点： (z) →∞,即P(z) → ∞和Q(z)=0的点 )=0的点 极点： (2)序列特性对收敛域的影响ⅰ、有限长序列 x (n ), N 1 ≤ n ≤ N 2 x (n ) = 其它 0,

P( z ) X (z ) = Q(z )

j Im[z]

其z变换为： X (z ) = 变换为：

n = N1

∑

N2

x (n )z n

×

Re[z]

收敛域Roc至少 收敛域Roc至少为: 0 < z < ∞ 至少为19

由 X ( z) =

n = N1

∑

N2

x(n) z n

的展开式中，只有z 当 N 2 > N1 ≥ 0 时，在 X ( z )的展开式中，只有 的负幂项， 不能为 不能为0, 的负幂项，故z不能为 ，但可以取

∞

。

当 0 ≥ N 2 > N1 时，在 X ( z )的展开式中，只有 的展开式中，只有z 的正幂项， 不能为 但可以取0。 的正幂项，故z不能为 ∞ ,但可以取 。 的展开式中，既有z 当N 2 > 0, N1 < 0时，在 X ( z ) 的展开式中，既有 的正幂项，也有负幂项， 既不能为 的正幂项，也有负幂项，故z既不能为 取0。 。20

∞ 也不能

j Im[ z]

ⅱ、右边序列 x (n ), n ≥ N 1 x (n ) = , n < N1 00∞

Re[z]

其z变换为：X (z ) = 变换为：

n = N1

∑

1

x (n )z n + ∑ x (n )z nn=0

第一项Roc: 第一项Roc:

≤ z < ∞ 0

最小收敛半径

右边序列的收敛 域

第二项Roc: 第二项Roc: x < z ≤ ∞ R ⅲ、左边序列 x(n ), n ≤ N 2 x(n ) = 0 , n > N 2

N1 ≥ 0, Rx < z ≤ ∞ N1 < 0, Rx < z < ∞ j Im[ z]

Roc为 Roc为:

N2 ≤ 0,0 ≤ z < Rx+ N2 > 0,0 < z < Rx+

0

Re[z]

收敛域

左边序列的收敛域21

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/o394.html