西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分

第一节 第一类曲线积分

1.设xOy平面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为?(x,y),用对弧长的曲线积分表示：

（1）这曲线弧L的长度S?_______; （2）这曲线弧L的质量M?_______;

（3）这曲线弧L的重心坐标：x?___;y?___;

（4）这曲线弧L对x轴,y轴及原点的转动惯量Ix?____;Iy?____;I0?____. 解 （1）S??dLs;

（2）M??L?(x,y)ds;

（3）L?(x,y)dsx??x, Ly?(x,y)ds, ??(x,y)dsy??L?L?(x,y)ds （4）I2x??Ly2?(x,y)ds, Iy??Lx?(x,y)ds, I0??22L(x?y)?(x,y)ds

2.（1）设L为椭圆

x2y2224?3?1,其周长为a,求?L(3x?4y)ds.

（2）设L为圆周x2?y2?64,求?22Lx?yds.

解 （1）L：x2y224?3?1,即3x?4y2?12,

从而

?22L(3x?4y)ds=?L12ds=12?ds=12aL.

（2）L：x2?y2?64, 从而?x2?y2Lds=?L8ds=8?Lds=8?2π?8=128π.

3.计算?L(x2?y2)ds,其中L是以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形.

y 解 如图10.1所示,

1 LLy?0,x从0?2, 3:x?2?2y1：L2 L2：x?0,y从0?1, O L1 2 x L3：x?2?2y,y从0?1,

图 10.1

53

ds?从而

dx21?()yd?dy5y. d?L(x?y)ds=?(x2?y2)ds+?(x2?y2)ds+?(x2?y2)ds

L1L2L322 =?x2dx?02?10ydy?12225?[(2?2y)?y]dy 01 =?3813?5?(4?8y?5y)dy=3?02535. 4.计算?Lx?yds,其中L为曲线x?y?2x.

2222 解1 L的参数方程为 L：??2π0?x?1?cos?,y?sin?, 0???2π. 计算出ds?d?,于是

2π0

?Lx?yds=?2222(1?cos?)?sin?d?=2?cos?2d?

?2?u4?π0πcousud=8?20cosudu=8.

π2π2 解2 在极坐标系下,L:r?2cos?, ?????.计算出ds?r?r?d?=2d?,于

22?是?Lx?yds=?222??22cos??2d?=8?20cos?d?=8.

5.求空间曲线x?e?tcost,y?e?tsint,z?e?t(0?t???)的弧长. 解 ds?x?(t)?y?(t)?z?(t)dt

?2t222 =e(?cost?sint)?e2?2t(cost?sint)?e2?2tdt

=3edt, 从而 s?3???0?te?tdt?. 36.有一铁丝成半圆形x?acost,y?asint,0?t??,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量. 解 ds? m?(dxdt)?(2dydt)dt=(?asint)2?(acost)2dt=adt.

ππ2?LL?ds=?yds=?asint?adt=a2?sintdt=2a2.

L002227.计算?(x?y?z)ds,其中L为球面x?y?z?a与平面x?y?z?0的交线.

2254

解 由于x2?y2?z?a2与x?y?z?0对x,y,z都具有轮换对称性,故 于是

?Lxds=?yds=?zds,?xds=?yds=?zds.

LLLLL222?Lxds=

21313(?xds?L2?2Lyds?2?Lzds)

22=

?L(x?y?z)ds=

22a3?Lds=

a23?2πa=

23πa.

3?x2?y2?z2?a2其中?ds为圆周?的周长,显然平面x?y?z?0过球面

L?x?y?z?0x?y?z?a

2222的球心O(0,0,0),所以L为该球面上的大圆,即半径为a,故周长为2?a.又因为

?所以

L(y?z)ds=?yds?L?Lzds=0,

?

L(x?y?z)ds=

2223πa.

3第二节 第二类曲线积分

1.计算?(x?y)dx?(x?y)dyx?y22L,其中L为圆周x2?y2?a2（按逆时针方向绕行）.

解 L:x?acost,y?asint,t由0到2π, 从而

I=?(x?y)dx?(x?y)dyx?y2?0L22

=?[(cost?sint)(?sint)?(cost?sint)cost]dt

2?=??0dt=?2π.

2222.计算?(x?y)dx,其中L是抛物线y?x上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.

L 解 I=?(x?y)dx=?(x2?x4)dx=?L02225615.

3.计算?(2a?y)dx?xdy,其中L为摆线

Lx?a(t?sint),y?a(1?cost)

上对应t从0到2π的一段弧（图10.2）.

图 10.2

55

解 I=?(2a?y)dx?xdy

L =? =a2?0{[2a?a(1?cost)]a(1?cost)?a(t?sint)asint}dt

2?02?2tsintdt=?2πa.

4.计算?[1?(xy?y)sinx]dx?[(x?xy)siny]dy,其中L为上半椭圆

L22x?xy?y?1(y?0),

22从点(?1,0)到点(1,0)的一段弧.

解 由x2?xy?y2?1可得xy?y2?1?x2,x2?xy?1?y2,代入积分式,得

?L[1?(xy?y)sinx]dx?[(x?xy)siny]dy

2222 =?[1?(1?x)sinx]dx?(1?y)sinydy

L =?[1?(1?x2)sinx]dx??11?002(1?y)sinydy=2.

5.计算?xdx?ydy?zdz,其中?是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.

?222 解 ?的点向式方程为：

x?11?y?12?z?13,从而?得参数方程为

x?1?t,y?1?2t,z?1?3t,t由0到1.

I=?[(1?t)2?2(1?2t)2?3(1?3t)2]dt

01 =(1?t)36.计算

1130?131(1?2t)30?131(1?3t)30=32.

??dx?dy?ydz,其中?为有向闭折线ABCA,这里的A,B,C依次为点

(1,0,0,)(0,1,0),(0,0,1).

解 如图10.3,AB:x?1?y,z?0,y由0到1.

?ABdx?dy?ydz=??2dy=?2;

01BC:y?1?z,x?0,z由0到1;

?BCdx?dy?ydz=?(2?z)dz=

0132;

图 10.3

CA:z?1?x,y?0,x由0到1;

?CAdx?dy?ydz=?dx=1,

0156

故 I=(?AB??BC??CA)dx?dy?ydz=?2?32?1=

12.

7.有一质量为m的质点,除受重力的作用外,还受到一个大小等于该质点到原点的距离,方向指向原点的力f的作用,设该质点沿螺旋线L:x?cost,y?sint,z?t从点A(0,1,)2π移动到点B(1,0,0)移动到点,求重力与力f的合力所作的功. 解 依据题意,力f=?xi?yj?zk,故质点所受的合力 F?f?mgk??xi?yj?(z?mg)k 在螺旋线L上,起点A对应于t?因此,力F所作的功 W?π2,终点B对应于t?0,即t:π2?0.

?L0?xdx?ydy?(z?m)gd z =?π[?cost(?sint)?sintcost?(t?mg)]dt

2π =?2(t?mg)dt=

0π28?π2mg.

第三节 格林公式

1.设xOy平面上闭曲线L所围成的闭区域为D,将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来. (1)

??dxdy (a) ?DLxdy?ydx

(2) 2??dxdy (b)

D1?2Lxdx?xdy

(3)???dxdy (c)D1?2Lxdy?ydx

32.利用曲线积分计算星形线x?acost,y?asint所 围成图形的面积.

?x?acos3t解 如图10.4，因为? t由0到2?. 3?x?asint3从而

S=??d?=

D图 10.4

12?Lxdy?ydx

57

= =

1?232a2π0[acost?3asintcost?asint(?3acostsint)]dt

2π032322?sintcostdt=1?cos4t23822238a2?2π0sin2tdt

2 =a2?8L32π0dt=πa.

223.证明?(6xy?y)dx?(6xy?3xy)dy只与L的起始点有关,而与所取路径无关,并计算积分?(3,4)(1,2)2322(6xy?y)dx?(6xy?3xy)dy.

23解 P?6xy2?y3,Q?6x2y?3xy2,故

?P?y?12xy?3y?2?Q?x,所以积分与路径无关,

?(3,4)(1,2)32322(6xy?y)dx?(6xy?3xy)dy

=?(24x?8)dx?1?422(54y?9y)dy=[12x?8x]1?[27y?3y]2

23234 =80?156?236. 或者

?(3,4)(1,2)(3,4)(1,2)(3,4)(1,2)(6xy?y)dx?2223(6x?y3223xy )dy =? =?(6xydx?6xydy)?(ydx?3xydy)

223d(3xy?xy)=[3xy?xy](1,2)=236.

2223(3,4)4.计算I??Le(1?cosy)dx?e(siny?y)dy,

xx其中L为从O(0,0)到A(?,0)的正弦曲线y?sinx. 解 如图10.5所示,由格林公式 I=?e(1?cosy)dx?e(siny?y)dy

Lxx =(?L?AO??)e(1?cosy)dx?e(siny?y)dy AOxπsinx0xx图 10.5

=???(?ye)dxdy?0=?exdx?D0ydy

= =

1?2?π0esinxdx=

xx21?4π0e(1?cos2x)dx

14πx14π0edx?14?π0ecos2xdx=

x(e?1)?120(e?1)=

π15(e?1).

π58

其中

?π0xxπxecos2xdx=?cos2xde=ecos2x|0??edcos2x x00ππππ =e??1?2?exsin2xdx=eπ?1?2?sin2xdex

00πx =eπ?1?2exsin2x|0?2?edsin2x

0ππ =e?1?4?excos2xdx.

0π移项解之,得

?π0ecos2xdx?x15(e?1).

π注意 本题易犯两个错误： （1）I=(?L?AO??)e(1?cosy)dx?e(siny?y)dy=??(?ye)dxdy. AODxxx产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件：

??D(?Q?x??P?y)dxdy??LPdx?Qdy,

其中C是D的取正向的边界曲线.而本题的闭曲线L?AO是D的取负向的边界曲线,所以二重积分??(D?Q?x??P?y)dxdy前面必须添加负号.

π（2）计算定积分?excos2xdx是连续两次使用部分积分法后移项解出来的.对此积分有

0些同学束手无策,有些则在连续使用分布积分法?udv?uv??vdu时,每次选取函数u(x),不注意必须是同类函数（如选三角函数作为u(x)就一直选三角函数,如选e作为u(x)就一直选e）,结果就出现了恒等式?udv??udv,即前进一步又倒退一步,致使积不出来.

5. 已知??(x)连续,且?(0)??(1)?0,A(0,0),B(1,1),计算

I?xx?AMB[?(y)e?y]dx?[??(y)e?1]dy

xx其中AMB是以AB线段为直径的上半圆周.

解 如图10.6所示 I??AMB[?(y)e?y]dx?[??(y)e?1]dy ?xx =[?AMB?BA?BA][?(y)e?y]dx?[??(y)e?1]dy [?(y)e?y]dx?[??(y)e?1]dy

xxxx =???dxdy?D?AB图 10.6

59

=? =? =? =?π4π4π4π4π4????323210[(?(x)???(x))e?(x?1)]dx

x10x10x?10?(x)edx?x????(x)edx?x?(x?1)dx

?10?(x)edx?10x10ed?(x)?x132

1x????(x)edx?e?(x)|0???(x)edx

0 =??=?(π4?32).

本题需注意两点：

（1）同上题一样,使用格林公式时要注意边界曲线的方向,本题因是负向,故二重积分前必须添上负号;

（2）因?(x)是抽象函数,不可能直接将??(x)exdx?0111?10??(x)edx积出来,请不要先急

1xx于积分,先用分布积分法将???(x)exdx表示为?exd?(x)?ex?(x)|1??(x)edx,则两0?000项抽象函数的定积分就抵消了,问题就可得到解决,因此在解题过程中一定要善于思考,从中 发现解题技巧.

6.证明

(x?y)dx?(x?y)dyx?y22在右半平面(x?0)内为某一函数u(x,y)的全微分,并求

出一个这样的函数u(x,y).

解 P?x?yx?y22,Q?x?yx?y22,由于

?P?y?y?2xy?x(x?y)22222??Q?x,所以

(x?y)dx?(x?y)dyx?y22

为某一函数u(x,y)的全微分.取定点M0(1,0),对于右半平面上任一点M(x,y),令 u(x,y)=? =?(x,y)(1,0)(x?y)dx?(x?y)dyx?y22=?x1x?0x?0dy

2dx??y0x?yx?y22dy

x11xdx??y02xx?yyx?dy?22?y02yx?y22 =lnx?arctan =arctanyx12122ln(x?y)?lnx

?ln(x?y).

260

7.已知曲线积分?(1?y)dx?(9x?x)dy,其中L为圆周(x?a)2?y2?a2 (a?0),

L33取逆时针方向,求a的值,使得对应曲线积分的值最大.

解 显然P?1?y3,Q?9x?x3在区域D:(x?a)2?y2?a2内有一阶连续的偏导数,由格林公式

I(a)=?Pdx?Qdy=??(LD?Q?x2??P?y)dxdy=??(9?3x?3y)dxdy

D22? =9??dxdy?3??(x?y)dxdy=9πa?3?DD222??2d???2acos?0rdr

3? =9πa?3?222??24acos?d?=9?a2?24a4?31π924??=9πa?πa. 422244204cos?d?

=9πa?24a?42故将a?0和a??1舍I?(a)?18πa(1?a),令I?(a)?0,解得a?1（依题意设a?0，

去）,因为a?1是I(a)在(0,??)内唯一的驻点,且

I??(a)?18π?54π=?36π?0,

故I(a)在a?1处取得最大值,因此a?1,即当积分路径为(x?1)2?y2?1时,对应曲线积分 的值最大.

8.求?ydx?(x?1)dy(x?1)?y2L22,其中

22 （1）L为圆周x?y?2y?0的正向;（2）L为椭圆4x?y?8x?0的正向.

解 令P(x,y)?y(x?1)?y222,Q(x,y)??(x?1)(x?1)?y2222,则当(x?1)?y?0时,有

22?Q?x?(x?1)?y2[(x?1)?y]22??P?y,

记L所围成的闭区域为D,

（1）L:x?y?2y?0,即x?(y?1)?1, 此时(1,0)?D,（如图10.7(a)所示）.

2222图 10.7(a)

图 10.7(b)

61

由于

?Q?x??P?y,由格林公式,

?ydx?(x?1)dy(x?1)?y222L?0.

（2）L:4x?y?8x?0,即(x?1)?22y24?1,此时(1,0)?D,以(1,0)为圆心,以充分

?x?1??cos???0小的为半径作圆周C:?,?由0到2?,取逆时针方向（如图10.7(b)所示）.

y??sin??记L和C所围成的闭区域为D1,对复连通区域D1应用格林公式,得 从而

I=??ydx?(x?1)dy?L?C(x?1)?y22?0,

ydx?(x?1)dy(x?1)?y2π0L22=?ydx?(x?1)dy(x?1)?y22C

=? =??sin?(??sin?)??cos???cos???d?=?2π.

2d?

2π0注意 （2）中由于点(1,0)位于L所围成的闭区域D内,需用复连通域上的格林公式,以避开(1,0)点,考虑到被积函数的分母为(x?1)2?y2,故取圆周C:???x?1??cos?y??sin?,有同学不

考虑“洞”,即点(1,0),直接用格林公式,得到?9.求I?ydx?(x?1)dy(x?1)?y22L?0是错误的.

?L[esiny?b(x?y)]dx?(ecosy?ax)dy,其中a、b为正常数,L为从点

xxA(2a,0)沿曲线y?2ax?x到点O(0,0)的弧.

2解 添加从点O(0,0)沿y?0到点A(2a,0)的有向直线段L1,则

I??L?L1[esiny?b(x?y)]dx?(ecosy?ax)dy??[esiny?b(x?y)]dx?(ecosy?ax)dyL1xxxx =??[(ecosy?a)?(ecosy?b)]dxdy??D2a0xx2a0?bxdx

=??(b?a)dxdy?b?Ddx=(b?a)π2a?2b2(2a)

2 =(

62

π2?2)ab?2π2a.

3

第四节 第一类曲面积分

1.设有一分布着质量的曲面?,在点(x,y,z)处它的面密度为?(x,y,z).用曲面积分表示：

（1）这曲面?的面积A=______; （2）这曲面?的质量M=______;

（3）这曲面?的重心坐标为x=______,y=______,z=______; （4）这曲面?对于x轴,y轴,z轴及原点的转动惯量

Ix=__,Iy=__,Iz=______,I0=______.

解 （1）A=??dS.

? （2）M=???(x,y,z)dS.

???x?(x,y,z)dS （3）x=

???y?(x,y,z)dS,y=

???z?(x,y,z)dS,z=

????(x,y,z)dS?22?22???(x,y,z)dS?2?2???(x,y,z)dS?.

（4）Ix=??(y?z)?(x,y,z)dS, Iy=??(x?z)?(x,y,z)dS, Iz=??(x?y)?(x,y,z)dS, I0=??(x?y?z)?(x,y,z)dS.

??2222.计算??(z?2x??43y)dS,其中?为平面

x22x2?y3?z4?1在第一卦限中的部分.

解 如图10.8所示，?:

?z?x?z?y?y3?z4?1,

?z?x??2,

?z?y??43,

z 4 dS?1?()?(2)dxdy=43613x2?dxdy,

O y3?z4)?4,

3 y 在积分曲面上,被积函数z?2x?y=4(2 x Dxy从而

3?0?y?3?x?:?2, ?0?x?2?图 10.8

??(z?2x??43y)dS=??4?Dxy613dxdy

63

=4613??dxdy=Dxy4361?3=461. 3.计算??(x?y)dS,其中?是锥面z??2222x?y

及平面z?1所围成的区域的整个边界曲面. 解 如图10.9所示,

?1:z?x?y,22?z?x?z?y?xx?y22,

?z?y?yx?y222,

图 10.9

dS?1?(?z?x)?(2)dxdy=

222dxdy,Dxy:x?y?1.

22?2:z?1,dS?dxdy,Dxy:x?y?1,

???(x?y)dS=??(x2?y2)dS??122??(x?y)dS

?222 =?2π0d??ρ01122ρdρ?1?2π0d??ρρdρ

012 =22π?ρdρ?2π?ρ3dρ=

003π2(2?1).

4.计算I=??(xy?yz?zx)dS,其中?为锥面z??x?y被柱面x?y?2ax所截

2222成的部分(a?0).

解 因为积分曲面?关于zOx坐标面（即y?0平面）对称,xy?yz?y(x?z)是关于

y的奇函数,所以

I=??y(x?z)dS????zxdS＝0???zxdS

??此外,在?上,z?x?y,dS?2222dxdy,且?在xOy面上的投影为

2Dxy:x?y?2ax,

因此

I＝??zxdS＝??x?πx?ydS＝2??xx2?y2dxdy

Dxy22? ＝2?2π?2d??2acos?0?rcos?dr＝82a34?20cos?d?

5 ＝82a?4426424?＝a． 531564

5.计算??dS,其中?为抛物面z?2?(x2?y2)

?在xOy面上方的部分.

解 如图10.10所示,

z?2?(x?y),

22?z?x??2x,

?z?y??2y,

dS?1?(?z?x)?(2?z?y222)dxdy=1?4x?4ydxdy,

图 10.10

Dxy:x?y?2,

22??dS=??1?4x?4ydxdy=??222π0d??201?4ρρdρ

2Dxy1 =2π?20(1?4ρ)d(1?4ρ)?222218

13π2π. =?(1?4ρ2)3|02=3436.计算??(x?y?z)dS,其中?为球面x2?y2?z2?a2上z?h(0?h?a)的部分.

? 解 ?在xOy面上的投影为圆域：Dxy:x?y?a?h, dS=1?(?xa?x?y2222222)?(2?ya?x?y222222)dxdy=2aa?x?y222dxdy,

故

=??(x?y?z)dS???(x?y?a?x?y)?Dxyaa?x?y222dxdy

aa?x?y222由积分区域的对称性可得：??x?Dxy22aa?x?y222dxdy=0，??y?Dxydxdy=0,

又积分区域Dxy的面积为π(a?h),故

22(x?y?z)dSadxdyπa(a?h). ==?????Dxy2222227.求柱面x?y?ax?0在球面x?y?z?a内部的部分的表面积(a?0). 解 由对称性,所求面积A为其位于第一卦限部分面积的4倍,即A?4??dS,其中曲面

??为y?ax?x,求得面积元素

2 65

dS?1?yx?yzdxdz=22a2ax?x2dxdz,

222??z?a?x?y由?,消去y,得z?22??x?y?axa?ax,由此得?在zOx坐标面上的投影为:

2 Dxz:0?z?因此,曲面?的面积 A?4??dS=4???Dxz22a?ax, 0?x?a,

a2ax?x2dxdz

=2a?dx?0a0aa?ax0dzax?x22=2a?a0a?axax?x22dx

=2a?axdx=4a.

8.设S为椭球面

x22?y22?z?1的上半部分,点P(x,y,z)?S,π为S在点P处的切平

zf(x,y,z)xX22?122面,f(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面?的距离,求??SdS

解 设(X,Y,Z)为?上任意一点,则π的方程为

x2?yY2?zZ?1,从而知

f(x,y,z)=(x24?y24?z?y?z),

?y由 z?1?2?y22,有

?z?x=21??xx222?y2,=21?x2222?y2

222dS=1?(?z?x)?(?z?y)dxdy=24?x?y21?x2dxdy,

2?y2从而

??Szf(x,y,z)dS=

1??(4?x4D2π02?y)dxdy

22 = =

66

1?432d??0(4?ρ)ρdρ

2π.

第五节 第二类曲面积分

1.当?是xOy面内的一个闭区域D时,??f(x,y,z)dS与二重积分的关系为

? （1）??f(x,y,z)dS=??____dxdy,（2）??R(x,y,z)dS=??____dxdy.

?D?D 解 （1）f(x,y,0), （2）?R(x,y,0).

注意 因第一类曲面积分与所给曲面的侧无关,所以(1)中应填f(x,y,0);而第二类曲面积分与曲面的侧有关,所以(2)中应填?R(x,y,0),有个别同学常疏忽这一点,只填

R(x,y,0,)这是不对的.

2.计算??xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?为半球面z??222a?x?y的上侧.

222 解 记?1:x?a?y?z,取前侧,?2:x??a?y?z取后侧,?1与?2在yoz222222面的投影区域相同,记为Dyz.

???xdydz=??x2dydz+??x2dydz

?1?22 =??(a?y?z)dydz?Dyz222??(a?y?z)dydz=0.

Dyz222同理

??y?2dzdx=0,

而 从而

??z?2dxdy=

2??2x?y?a2(a?x?y)dxdy=?2222?0d??(a?ρ)ρdρ=

0a22πa24.

I=??xdydz?ydzdx?zdxdy

?222 =??xdydz+??ydzdx+??zdxdy

???222 =0+0+

πa24=

πa24.

注意 常见的错误是：

???xdydz=??x2dydz+??x2dydz=2??(a?y?z)dydz

?1?22222Dyz或

??y?2dzdx=2??(a2?x2?z2)dzdx.

Dzx 产生错误的原因是忽视了将第二类曲面积分化为二重积分时,应根据积分曲面的侧选

67

择二重积分前的正、负号.

???f(x,y,z)dxd=y???f[x,y,z(x,y)]dxdy,

Dxy

??g(x,?y,z)dyd=z???g[x(y,z),y,z]dydz,

Dyz

??R(x,?y,z)dzd=x???R[x,y(z,x),z]dzdx.

Dzx 将第二类曲面积分化为二重积分时,究竟什么时候二重积分前面写正号,什么时候写负号,这与所给曲面的侧有关.切记：

上侧取正,下侧取负; 前侧取正,后侧取负; 右侧取正,左侧取负;

3.计算??xzdxdy,其中?是平面x?0,y?0,z?0,x?y?z?1所围成的空间区域的

?整个边界曲面的外侧.

解 如图10.11所示,???1??2??3??4,其中?1,?2,?3,?4各自对应于四面体的一个表面,可表示为

?1:z?0 下侧; ?2:y?0 左侧;

?3:x?0 后侧; ?4:x?y?z?1 上侧.

z 1 ?2 O?1 ?3 ?4 由于?1在z?0平面上,故在?1上的曲面积分为0; 同理,在?2,?3上的曲面积分也都为0,所以,所求积分

1 x1 y??xzdxdy=??xzdxdy

??4图 10.11 由?4得方程得z?1?x?y,?4在xoy面上的投影域为

?x,0?x?1, Dxy:0?y?1于是

??xzdxdy=??xzdxdy=??x(1?x?y)dxdy

??4?4 =??x(1?x?y)dxdy=?xdx?Dxy011?x0(1?x?y)dy=

124.

22224.计算??xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?为球面x?y?z?R的外侧.

? 解 由题设,?的单位法向量

68

n=(cos?,cos?,cos?)=由两类曲面积分的关系,可得

1(2x)?(2y)?(2z)222(2x,2y,2z)=

1R(x,y,z).

??xdydz?ydzdx?zdxdy=??(xcos????ycos??zcos?)dS

=

1R??(x?y?z)dS=

??2221R???RdS

2 =R??dS几何意义R?4πR2=4πR3.

5.计算I=??f(x)dydz?g(y)dzdx?h(z)dxdy,其中f,g,h为连续函数,?为平行六面

?体?:0?x?a,0?y?b,0?z?c表面的外侧. 解

??h(z)dxdy=??h(c)dxdy???h(0)dxdy=ab[h(c)?h(0)],

?DxyDxy

??g(y)dzdx=??g(b)dzdx???g(0)dzdx=ac[g(b)?g(0)],

?DxzDxz???f(x)dydz=??f(a)dydz?Dyz??Dyzf(0)dydz=bc[f(a)?f(0)],

h(c)?h(0)c从而 I=abc[f(a)?f(0)a?g(b)?g(0)b?].

注意 本题易犯的错误是利用高斯公式来解,题目中仅告诉我们,f,g,h为连续函数,又如何对f,g,h求导呢?

6.计算??[f(x,y,z)?x]dydz?[2f(x,y,z)?y]dzdx?[f(x,y,z)?z]dxdy,其中

?f(x,y,z)为连续函数,?是平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧.

解 平面x?y?z?1的法线向量为n={1,?1,1},方向余弦为

cos??13,cos???13,cos??13,

则

I=??[f(x,y,z)?x]dydz?[2f(x,y,z)?y]dzdx?[f(x,y,z)?z]dxdy

? =??[(f?x)cos??(2f?y)cos??(f?z)cos?]dS

? =??[(f?x)?13?(2f?y)(?13)?(f?z)13]dS

69

=13??(x?y?z)dS=

?13??dS=?13??Dxy1?(12?z?x)?(2?z?y2)dxdy

=

13??Dxy221?(?1)?1dxdy=??dxdy=

.

Dxy第六节 高斯公式 通量与散度

1.设计??(x?yz)dydz?(y?zx)dzdx?(z?xy)dxdy,其中?为平面

?222x?0,y?0,z?0,x?a,y?a,z?a

所围成的立体的表面的外侧. 解 由高斯公式,

I=??(x?yz)dydz?(y?zx)dzdx?(z?xy)dxdy

?222 =???(2x?2y?2z)dv=2???(x?y?z)dv

?? 设该正方体的形心坐标为(x,y,z),则x?y?z?a2,

???xdv而 x?????xdv?????ydv,y?????zdv,z?????dv?vvv,

所以

???xdv?xv, ???ydv???yv,

12???zdv?zv,.

?从而 I=2(x?y?z)v=2(a?21a?12a)a=3a.

34本题巧妙地利用了重心坐标公式,将利用高斯公式后得到的三重积分???(x?y?z)dv?的计算转化为计算(x?y?z)v,从而使问题得到解决.

22222.计算??4xzdydz?ydzdx?2yzdxdy,其中?是球面x?y?z?a外侧的上半部

2?分(a?0).

222 解 补充平面?1:z?0(x?y?a)取下侧,

I=(?????1????12)4xzdydz?ydzdx?2yzdxdy=???(4z?2y?2y)dv?0

? =4???zdv=4??2π0d??a0ρdρ?a??022zdz=8π?ρ?ρaa?ρ222dρ=πa.

470

注意 易犯的错误是

（1）I=??4xzdydz?ydzdx?2yzdxdy=???(4z?2y?2y)dv=4???zdv=?

?2??产生错误的原因是,没有注意到?仅是球面的上半部分,?并非封闭曲面,不能直接用高斯公式.尽管本题中沿曲面?1的积分：??4xzdydz?y2dzdx?2yzdxdy?0,致使题目答案

?1未受任何影响,但对不封闭的曲面直接用高斯公式,显然是不对的.

（2）有同学在补充平面?1:z?0(x2?y2?a2)时,不写取什么侧,这也不妥.

3.计算???21yf(xy2)dydz?a1xf()dzdx?zdxdy,其中f(u)具有一阶连续导数,?为柱xy面(x?a)?(y?a)?()及平面z?0,z?1(a?0)所围成立体的表面外侧.

22解 利用高斯公式,有

I=???1yf(1y2xy)dydz?1xf()dzdx?zdxdy xy =???[?x1xf?()?2f?()?1]dv=???dv yyy?π4a.

332 =π?()?1=

23a24.计算??xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?为球面x2?y2?z2?a2的内侧.

? 解

??x?3dydz?ydzdx?zdxdy=?3???(x?y?z)dv

?2π0πa433222 =?3?d??sin?d??ρdρ=?00125πa.

5 注意 易犯的错误是

???xdydz?ydzdx?zdxdy=3???(x?y?z)dv

?23332222=3???adv=3a?43πa=4πa.

35?这里有两个错误：

(1) 不注意高斯公式使用的条件：?应是空间闭区域?的整个边界曲面的外侧. 本题所 给的闭曲面是球面的内侧. 因此在将闭曲面上的曲面积分

???xdydz?ydzdx?zdxdy

333 71

化成三重积分3???(x?y?z)dv时,前面必须写上负号.

?222(2) 将曲面积分与三重积分的计算法混为一谈. 计算三重积分???(x?y?z)dv时,

?222因为?为球体：x2?y2?z2?a2,因此不能将三重积分中的被积函数x2?y2?z2用a2代入,这种做法是常犯的错误. 只有计算曲面积分时,才能将曲面方程代入被积函数.

5.计算I???x?3dydz?2xzdzdx?3yzdxdy,其中积分曲面?为抛物面

22z?x?y(0?z?1)

22的上侧.

解 令?1:z?1(x2?y2?1),取下侧,则???1构成封闭曲面,取内侧. 于是

??xdydz?2xzdzdx?3yzdxdy=????(?322?P?x2??Q?y2??R?z)dv

???1 =????3(x?y)dxdydz=?3??dxdy??221x?y22(x?y)dz

π2Dxy2π011r1=?3?d??rdr?032rdz=?6π?r(1?r)dr=?202.

由于?1在平面z?1上,?1在zOx,yOz坐标面上的投影为直线段,故dzdx=dydz=0,

?1在xOy坐标面上的投影域为Dxy:x?y?1,于是

22???xdydz?2xzdzdx?3yzdxdy=??3y2dxdy=???3ydxdy

?13222Dxy1 =?3? 所以

I?2?0d??ρ?ρsin?dρ=?3?01222?0sin?d??ρdρ=?0233π4.

?????1xdydz?2xzdzdx?3yzdxdy?3π4π4322???1xdydz?2xzdzdx?3yzdxdy

322 =?π2?(?2)=.

222226.计算??(xcos??ycos??zcos?)dS,其中?是由x?y?z及z?h

?(h?0)所围成的闭曲面的外侧,cos?,cos?,cos?是此曲面的外法线的方向余弦.

222 解 ?在xOy平面上的投影区域为：x?y?h.

I=??(xcos??ycos??zcos?)dS

?22272

=??xdydz?ydzdx?zdxdy=???(2x?2y?2z)dv

?222? =2??dxdy?Dxyhx?y22(x?y?z)dz

hx?y22 =2??(x?y)dxdy?Dxydz?2??dxdy?Dxyhx?y22zdz

22 =2??(x?y)(h?Dxy2π0x?y)dxdy?2??Dxyh222h?(x?y)22dxdy

=2?(cos??sin?)d??(h?ρ)ρdρ?0h23?π22π022d??(h?ρ)ρdρ

0h =0?2π?(hρ?ρ)dρ=2π[0h42?h44]=h.

47.已知向量场A?xzi+x2yj+y2zk,求A的散度以及A穿过?流向?指定侧的通量,其中?为z?x2?y2,x2?y2?1以及三个坐标面在第一卦限所围立体全表面的外侧. 解 令P?xz,Q?x2y,R?y2z,则A的散度 divA?通量

???P?x??Q?y??R?z?z?x?y.

22??A??ndS=???divAdv=???(z?x?y)dv

?x?y02222? =??dxdy?Dxy22(z?x?y)dz (Dxy:x?y?1,x?0,y?0)

22 =??Dxy32?(x?y)dxdy=?22220d??1032r?rdr

4 =

π31π??=. 2268第七节 斯托克斯公式 环量与旋度

1.利用斯托克斯公式计算?ydx?zdy?xdz,这里?为曲线

??x2?y2?z2?a2 ??x?y?z?0从x轴正向看去,?为逆时针方向.

解 平面x?y?z?0的上侧法线的方向余弦为

73

cos??co?s?c?o?s13 设?为平面x?y?z?0上由圆周?所围成的面域,取上侧,相应的单位法向量

(13,13,13).

于是

cos?cos???yzcos???zxdS

??ydx?zdy?xdz=?????xy =???(cos??cos??cos?)dS

? =?3??dS=?3πa.

?22.求向量场A=(z?siny)i-(z-xcosy)j的旋度.

ij??y?z?xcosyk??z0 解 rotA=??xz?siny=i?j.

3.求平面向量场A=(x2?y2)i+2xyj沿闭曲线L的环流量,其中L是

x?0,x?a,y?0,y?b

所围成的正向回路. 解 环向量

?L(x?y)dx?2xydy=4??ydxdy=4?dx?ydy=2ab.

Dxy0022ab2224.利用斯托克斯公式计算?xyzdz,其中?是用平面y?z截球面x?y?z2?1所得

L的截痕,若逆z轴正向看去,取逆时针的方向. 解 由斯托克斯公式

dydzdzdx??y0dxdy??zxyz?Lxyzdz=

??x0=??xzdydz?yzdzdx,

?其中?是平面y?z上以圆?为边界的平面,其侧与?的正向符合右手规则.显然,?在yoz坐标面上的投影为一线段,所以??xzdydz?0.

?74

?在xoz坐标面上的投影为一椭圆域D:x2?2z2?1,且?的法向量与y轴成钝角, 从而

1???yzdzdx????zD2dzdx=??212zdz?221?2z2?1?2z2dx

π1 =4?20zπ21?2zdz令2z?sint2?2sintcostdt

022 =2?2(sin2t?sin4t)dt=2(?01π22?31π2??)=π. 42216

第十章 曲线积分与曲面积分（总习题）

1.填空.

（1）设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,则曲线积分?(x?y)ds的值是?;

L22 （2）向量场u(x,y,z)?xy2i?yezj?xln(1?z2)k在点P(1,1,0)处的散度divu?2. （3）设L为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分?(2xy?2y)dx?(x?4x)dy的值是

L2?18π.

解 （1）?(x?y)ds=?ds=

LL2212?2π?1=π.

2z1?z2 （2）divu=

?P?x??Q?y??R?z=y?e?x?2xz1?z22Z,

u从而 div|?y?P22ze?(1,1,0)|?. 2 （3）?(2xy?2y)dx?(x?4x)dy

L2 =??(2x?4?2x?2)dxdy=?2??dxdy=?2?π?3=?18π.

DD2.计算?dx?dyABCDAx?y,ABCDA是以点A(1,0),B(0,1),C(?1,0),D(0,?1)位顶点的正方

形正向边界. 解 法1 I??dx?dyABCDAx?y??ABCDAdx?dy???(0?D0)xdyd?. 0此法是先将正方形的边界x?y?1代入被积函数后,再用格林公式求解. 法2 因 AB:x?y?1 ,BC:y?x?1,

CD:?x?y?1,DA:x?y?1.

75

从而

I?(???????)dx?dyx?yABBCCDDA

=(?AB??BC??CD???10DA)dx?dy

01 =?(1?1)dx??10(1?1)dx??(1?1)dx??(1?1)dx

?10 =2??10dx?2?dx=0.

01 法2是分段分别计算,比较一下还是法1简便.但切记不可直接对?公式.请同学们动脑筋想一下,这是为什么？

3.计算I?dx?dyABCDAx?y用格林

?AB(x?yz)dx?(y?zx)dy?(z?xy)dz,AB为螺线

x?cos?,y=sin?,z??

222由点(1,0,0)到点(1,0,2π)的弧段. 解 I? =? =? =

2?02?0?AB(x?yz)dx?(y?zx)dy?(z?xy)dz

222222[(cos???sin?)(?sin?)?(sin???cos?)cos??(??sin?cos?)]d?

cos?dcos??332?2?0?cos2?d??2π0?2?0sin?dsin??2?2?0?d???22?0sin?dsin?

cos?3|2π0?0?13sin?33|??333|2π0?sin?22|0

2π =0?0?0?(2π)?0=

83π.

????4.设AB为连接点A(1,2)与B(2,3)的某曲线弧,又设AB与直线段AB所包围图形的面

积等于k,计算曲线积分???AByx2dx?(x?1x??)dy.(直线段AB与曲线弧AB除点A,B外无其它

??交点,曲线弧AB不与y轴相交,且自身不相交).

解 P(x,y)?yx2, Q(x,y)?x??Q?x?P?y1x,则 11?1, 22xx?? 直线段BA:y?x?1,x由2到1,记AB与BA所围成的闭区域为D,由于要用到格林公

??1??式,所以要分两种情况讨论：

76

（1）

I???AB取逆时针方向（如图10.12(a)）

图 10.12

y??AB?x2dx?(x?1x)dy=(?AB?BA??BA)yx12dx?(x?2x?1x21x)dy 1x =??dxdy?D12?yBAxdx?(x?21x)dy=k??(?x?)dx

=k????(x?1x2)dx=k?2.

（2）AB取顺时针方向（如图10.12（b）所示）. I??y??ABx2dx?(x?1x)dy=(?AB?BA??BA)yxdx?(x?21x)dy

=???dxdy?D12?yBAxdx?(x?21x)dy

=?k??(x?1x2)dx=?k?2.

注意 常见错误是不讨论AB是取逆时针方向,还是取顺时针方向,就直接利用了格林公式,这是不对的.

5.计算曲线积分??ydx?xdyx?y2??L22.

2 （1）L是圆周(x?1)?(y?1)?1的正向; （2）L是曲线x?y?1的正向.

解 P(x,y)??yx?y22, Q(x,y)??P?y2xx?y2222,当x?y?0时, ?Q?x22?y?x2(x?y)2?,

记曲线L所围成的闭区域为D.

77

（1） 如图10.13（a）所示,此时(0,0)?D,P(x,y),Q(x,y)在L所围成的闭区域D内有一阶连续偏导数,由格林公式： I? c

（2）如图10.13（b）所示,此时(0,0)?D,P(x,y),Q(x,y)在L所围成的闭区域D上有不连续点(0,0),以(0,0)为圆心,以充分小??0的为半径作圆周

C:x??cos?,y??sin?,0???2π,

C取逆时针方向,记L和C所围成的闭区域为D1,对复连通域D1应用格林公式,有

??ydx?xdyx?y22L???0dxdy?0.

D 图 10.13

?从而

?ydx?xdyx?y22?ydx?xdy?L?Cx?y22?0

?L=??ydx?xdyx?y2π0C22

=? =?6.计算曲线积分?方向.

解 P(x,y)???sin?(??sin?)??cos???cos??d?=2π.

2d?

2?0xdy?ydx4x?y22C,其中C是(1,0)以为中心,R(R?1)为半径的圆周,逆时针

?y4x?y?P?y22, Q(x,y)?y?x2222x4x?y22,

当4x?y?0时,

22?4x?y??Q?x,C所围成的闭区域记为D,(0,0)究竟在不在

以为(1,0)中心,R为半径的圆内,要分两种情况讨论：

78

（1）R?1时,(0,0)?D（图10-14(a)）,则?xdy?ydx4x?y22C?0;

?x??cos?（2）R?1时,(0,0)?D,作足够小的椭圆L:?,0???2π,

y?2?sin??L取逆时针方向（图10.14(b)）

于是由格林公式,有

（a）R?1

图 10.14

O y y C L C x1 xO 1 （b）R?1

?从而

xdy?ydx?C?L4x?y22?0,

?xdy?ydx4x?y2π0C22=?xdy?ydx4x?y22L

2π0 =??cos?2?cos?)?2?sin?(??sin?)4?cos??4?sin?2222d?=?12d?=π.

注意 易犯错误是不分R?1,R?1两种情况讨论,未注意闭曲线L所围成的闭区域D内有无“洞”,即D是否为“单连通域”？

7.设曲线积分?xydx?y?(x)dy与路径无关,其中?(x)具有连续的导数,且?(0)?0,

L2计算?(1,1)(0,0)xydx?y?(x)dy的值.

22 解 P(x,y)?xy,Q(x,y)?y?(x),因曲线积分与路径无关,

y?(x)?,? 2xy??2由?(0)?0,则C?0,从而?(x)?x.

?P?y??Q?x,

(x?)2x?,?x()?x, C2 I??(1,1)(0,0)xyd?x?y()xd=y?2(1,1)(0,0)xydx?xydy=?ydy=

022112.

8.质点P沿着以AB为直径的圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力F的作用,F的大小等于点P到原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角

79

小于

?2,求变力F对质点P所做的功.

解 圆弧AB的方程为(x?2)2?(y?3)2?2,其参数方程为

??x?2? ???y?3?2cots2sitn, (?34π?t?π4)

F??yi?xj，所以

? W??L(?y)dx?xdy??43??4[2(?32stin)ts?in?2(2t2co tst)cos]d ?2(π?1).

9.计算??(x?y)dS,其中?为球面x2?y2?z2?a2.

?2 解 ?:x2?y2?z2?a对x,y,z具有轮换对称性,所以

22???xdS=??ydS=??zdS,

??222于是

???(x?y)dS=

3222??3?(x?y?z)dS=

322223a2???dS几何意义32a32?4πa?283a.

410.计算I????xdydz?[yf(yz)?y]dzdx?[?zf(yz)?z]dxdy,其中f有一阶连续导

数,而?为球面x2?y2?z2?2Rz的内侧((R?0). 解 令P?x,Q?yf(yz)?y,R??zf(yz)?z,则

?P?x?3x,2333?Q?y?f(yz?)y?zf(?y)z2?R3y,???zf(?y)z?y?z(f. z3)y2z 注意到?取内侧,运用高斯公式,得 I=????(??P?y??Q?x?20??R?z)dv?????3(x?y?z)dxdydz

?222 =?3? =?652?0d???20d??2Rcos?0r?rsin?dr

6π5cos?6622?π?sin??32Rcos?d?=

55?32R?5|02=?325πR.

511.计算I????ydzdx?(z?1)dxdy,其中SS22是圆柱面x?y?4被平面x?z=2和

z?2所截出部分的外侧.

80

解 法1 设S,S1,S2,?,D1如 图10.15所示,

S1:x?z?2 ; S2:z?0 I????ydzdx?(z?1)dx dyS =[????????]?ydzdx?(z?1)dxdy

S?S1?S2S1S2图 10.15

=???(?1?1)dV????ydzdx???(z?1)dxdy????ydzdx???(z?1)dxdy

?S1S1S2S2 =0???(z?1)dxdy???dxdy=???(2?x?1)dxdy???dxdy

S1S1D1D1 =?2??dxdy???xdxdy=?2π?22?0=?8π.

D1D1法2 设S,D2如上图所示, 则 I????ydzdx?z(?1x)dy?d???yzxd?d

SS =???24?x2dzdx??2?2?2dx?2?x4?x20dz

D2 =?2?2(2?x)4?x2dx=?4?2π.

?2?24?x2dx=?812.计算??(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy,其中?为上半球面?z?a2?x2?y2的上侧.

解 补充S为平面z?0(x2?y2?a2)的下侧. I???(x3?az2)dyd?z(3y?a2x)ddz?x(3?z2ay) ddxy? =(?????)(x3?az2)dydz?(y3?ax2)dzdx?(z3?ay2)dxdy

??SS =???3(x2?y2?z2)dV?ay2dxdy

?x2???y2?a2 =3?2ππd??2sin?d??a00r42π2a3

0dr?a?0sin?d??0rdrπ =6π(?cos?)|20?a55?a?2π1?cos2?a402?4d?

=

2920πa5.

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13.设函数 u?x2z?12yz?213z

3（1）求梯度gradu;

（2）求向量场A?gradu的散度divA;

（3）计算向量场A?gradu穿过曲面?流向外侧的通量,其中?是由曲面

z?x?y与z?222?x?y所围立体?的表面.

12y?z)k,

2222解 （1）A?gradu?2xzi?yzj?(x2?（2）divA=2z?z?(?2z)?z, （3）通量

??A?ndS????divAdv??????2?0zdv

2?2??ρ =?Ld??10ρdρ?zdz=

π2.

14.求?f(xy)(xdy?ydx),其中L为xOy面上任一分段光滑的闭曲线,f为xOy面上具有连续导数的函数. 解 因为

?P?y???y(yf(xy))?f(xy)?xyf?(xy)???x(xf(xy))??Q?x，

在xOy面上成立,故曲线积分?f(xy)(xdy?ydx)与路径无关,也即沿xOy面上任一封

L闭曲线上的积分为零,故

?Lf(xy)(xdy?ydx)=0.

注意 被积函数中含有未知函数f,并且积分曲线L的方程没有给出,所以不能化为定积分计算,只能用格林公式,或平面上曲线积分与路径无关的条件计算.

15.具有质量的曲面?是半球面z?a?x?y在圆锥z?222x?y22里面的部分,如

?上每点的密度等于该点到xOy平面的距离的倒数,试求?的质量.

解 ?在xOy面上的投影区域为D:x?y?1z1a?x?y2π0a2222a22,dS?aa?x?y222dxdy,??1z.

m????dS?????dS???D2?aa?x?yρdρ

22dxdy

2 =??Daa?x?y22dxdy=a?2d??202a?ρ282

=2πa(?1a222)ln(a?ρ)|20?πaln2.

16.设?是有界闭区域?的光滑边界曲面,函数u在?上有二阶连续偏导数,记

22?u??uu2u?x2???y2???z2.

试证明：???u?ndS?????udxdydz (n是的外法线方向向量).

??证 应用两种曲面积分的关系和高斯公式,得

???udS???(?u?u??n??xcos???ycos???u?zcos?)dS

=???u?u?u??xdydz??ydzdx??zdxdy

222 =???(?u?u??u2??x2??y?z2)dxdydz.

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=2πa(?1a222)ln(a?ρ)|20?πaln2.

16.设?是有界闭区域?的光滑边界曲面,函数u在?上有二阶连续偏导数,记

22?u??uu2u?x2???y2???z2.

试证明：???u?ndS?????udxdydz (n是的外法线方向向量).

??证 应用两种曲面积分的关系和高斯公式,得

???udS???(?u?u??n??xcos???ycos???u?zcos?)dS

=???u?u?u??xdydz??ydzdx??zdxdy

222 =???(?u?u??u2??x2??y?z2)dxdydz.

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