2010年湖南省湘潭市高考数学一模试卷(文科)

年湖南省湘潭市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1、（2009?宁夏）已知集合A={1，3，5，7，9}，B={0，3，6，9，12}，则A∩B=（）

A、{3，5}

B、{3，6}

C、{3，7}

D、{3，9}

考点：交集及其运算。

专题：计算题。

分析：直接按照集合的交集的运算法则求解即可．

解答：解：因为A∩B={1，3，5，7，9}∩{0，3，6，9，12}={3，9}

故选B

点评：本题考查交集及其运算，做到集合中的元素，不重复而且是两个集合的公共元素，才是二者的交集．基础题．

2、函数f（x）=lgx﹣的零点所在的区间是（）

A、（0，1]

B、（1，10]

C、（10，100]

D、（100，+∞）

考点：函数的零点；二分法的定义。

专题：计算题。

分析：先求出f（1）f（10）＜0，再由二分法进行判断．

解答：解：由于f（1）f（10）=（0﹣）（1﹣）=（﹣1）×＜0，

根据二分法，得函数在区间（1，10]内存在零点．

故选B．

点评：本题考查函数的零点问题，解题时要注意二分法的合理运用．

3、某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=（）

A、60

B、70

C、80

D、90

考点：分层抽样方法。

专题：计算题。

分析：先求出总体中中A种型号产品所占的比例，是样本中A种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量．

解答：解：由题意知，总体中中A种型号产品所占的比例是=，

因样本中A种型号产品有16件，则×n=16，解得n=80．

故选C．

点评：本题考查了分层抽样的定义应用，即保证样本结构与总体结构一致按一定的比例进行抽取，再由条件列出式子求出值来．

4、如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）

A 、

B 、

C 、

D 、

考点：由三视图求面积、体积。

专题：计算题。

分析：三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积．解答：解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，

故其体积V=×4×=．

故选C．

点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．

5、（2009?湘潭）若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b ；④+＞2中，

正确的不等式有（）

A、0个

B、1个

C、2个

D、3个

考点：基本不等式。

分析：由

＜＜0，判断出a，b的符号和大小，再利用不等式的性质及重要不等式判断命

题的正误．

解答：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴a+b＜0＜ab，故①正确．

∴﹣b＞﹣a＞0，则|b|＞|a|，故②错误．

③显然错误．

由于，，∴+＞2=2，故④正确．

综上，①④正确，②③错误，

故选C．

点评：本题考查不等式的性质，基本不等式的应用，判断b＜a＜0 是解题的关键．

6、（2009?山东）设p是△ABC 所在平面内的一点，，则（）

A 、

B 、

C 、

D 、

考点：向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则。

专题：计算题。

分析：根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果．

解答：解：∵，

∴，

∴

∴

∴

故选B．

点评：本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答．向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算．

7、

设=

（）

A 、

B 、

C 、

D 、或

考点：三角函数的化简求值。

专题：计算题。

分析：通过α、β均为钝角，，求出cosα=，

sinβ=，然后求出cos（α+β）的值，即可根据α、β的范围，求出α+β的值．得到选项．解答：解：∵α、β为钝角

又∵

∴cosα=，sinβ=，

∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣

又π＜α+β＜2π

∴α+β=

故选A

点评：本题是基础题，考查两角和的余弦函数，解题中去cos（α+β）好于sin（α+β），因为三、四象限，正弦都是负数，余弦值不同，这是本题的一个陷阱，也学生容易出错的地方，是好题，常考题．

8、（2009?宁夏）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为（）

A、7

B、6

C、5

D、4

考点：函数的图象。

分析：画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．

解答：解：画出y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，

观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）=2x，

当2≤x≤3时，f（x）=x+2，

当x＞4时，f（x）=10﹣x，

f（x）的最大值在x=4时取得为6，

故选B．

点评：本题考察了函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．

也可以利用函数单调性，解法如下：

由x+2﹣（10﹣x）=2x﹣8≥0，得x≥4．

0＜x≤2时2^x﹣（x+2）≤0，2x≤2+x＜10﹣x，f（x）=2x；

2＜x≤4时，x+2＜2x，x+2≤10﹣x，f（x）=x+2；

由2x+x﹣10=0得x1≈2.84

x＞x1时2x＞10﹣x，x＞4时x+2＞10﹣x，f（x）=10﹣x．

综上，f（x）=

∴f（x）max=f（4）=6．选B．

二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）

9、在等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a3=5，a8=13，那么S10等于90．

考点：等差数列的前n项和。

专题：计算题。

分析：先根据等差数列的通项公式分别表示出a3和a8得到两个关系式，联立即可求出a1和d的值，然后根据等差数列的前n项和的公式求出S10即可．

解答：解：由{a n}为等差数列，且a3=5，a8=13，

得到a1+2d=5，a1+7d=13，

联立解得a1=，d=，

则S10=10a1+d=10×+45×=90

故答案为：90

点评：本题考查学生掌握等差数列的通项公式及前n项和的公式，是一道中档题．

10、（2004?陕西）函数在区间[]的最小值为1．

考点：两角和与差的正弦函数。

分析：遇到三角函数性质问题，首先要把所给的函数式变换为y=Asin（ωx+φ）的形式，本题变化时用到两角和的正弦公式，当自变量取值为【0，】时，做出括号内的变量的取值，得出结果．

解答：解：y=sinx+cosx

=2（sinx+cosx）

=2sin（x+），

∵，

∴，

∴，

∴最小值为1，

故答案为：1．

点评：给定自变量的取值，要我们计算三角函数值，这是对性质的考查，解题时注意把所给的函数式同三角函数对应起来．

11、则f（f（2））的值为2．

考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值。

专题：计算题。

分析：本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层的f（2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值．

解答：解：由题意，自变量为2，

故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，

故有f（1）=2×e1﹣1=2，

即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，

故答案为 2

点评：本题的考点分段函数，考察复合函数求值，由于对应法则是分段型的，故求解时应根据自变量的范围选择合适的解析式，此是分段函数求值的特点．

12、（2008?广东）经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是x﹣y+1=0．

考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。

分析：先求圆心，再求斜率，可求直线方程．

解答：解：易知点C为（﹣1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x﹣y+1=0．

故答案为：x﹣y+1=0．

点评：明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．

13、已知实数x，y 满足则z=2x+4y的最大值为14．

考点：简单线性规划。

专题：数形结合。

分析：1．画可行域X﹣Y+2=0 并判断区域同理画其他两个边界并判断区域

2目标函数z为该直线纵截距的4倍纵截距最大在就最大

3平移目标函数找纵截距的最大值

解答：解：画可行域如图三角形ABC，令z=0得直线l 图中蓝线，平移l过点A（1，3）时z有最大值14，故答案为

14．

点评：本题考查线性规划问题：可行域画法目标函数几何意义

14、某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：

下图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=a1+a2+…+a6．

考点：程序框图。

专题：图表型。

分析：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件．

解答：解：由题意该程序框图实际上是

求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，

故判断框应填i≤6？或i＜7？，

输出s为a1+a2+a3+a4+a5+a6．

故答案为：i＜7（或i≤6）

点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

15、如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE，DE．

（1）求证：∠BED=∠C；

（2）若OA=5，AD=8，求AC的长．

考点：圆的切线的性质定理的证明。

专题：计算题。

分析：（1）由切线的性质得∠1+∠2=90°；由同角的余角相等得到∠C=∠2．由圆周角定理知∠BED=∠2，故∠BED=∠C；

（2）连接BD．由直径直径对的圆周角是直角得∠ADB=90°，由勾股定理求得

．

由△OAC∽△BDA得OA：BD=AC：DA，从而求得AC的值．

解答：解：（1）证明：∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O直径，

∴AB⊥AC．

则∠1+∠2=90°，

又∵OC⊥AD，

∴∠1+∠C=90°，

∴∠C=∠2，

而∠BED=∠2，

∴∠BED=∠C；

（2）解：连接BD，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=90°，

∴，

∴△OAC∽△BDA，

∴OA：BD=AC：DA，

即5：6=AC：8，

∴AC=．

点评：本题利用了切线的性质，直径对的圆周角是直角，同角的余角相等，相似三角形的判定和性质求解．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16、记函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A ，函数的

定义域为集合B．

（1）求A∩B和A∪B；

（2）若C={x|4x+p＜0}，C?A，求实数p的取值范围．

考点：并集及其运算；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算。

专题：计算题。

分析：（1）利用真数大于零、偶次根式的被开方数非负列不等式是解决本题的关键；准确求解一元二次不等式、含绝对值的不等式是解决本题的前提．

（2）用字母p表示出集合C，借助数轴分析列出关于实数p的不等式是解决本题的关键．解答：解：（1）依题意，得A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，

B={x|3﹣|x|≥0}={x|﹣3≤x≤3}，∴A∩B={x|﹣3≤x＜﹣1或2＜x≤3}，

A∪B=R．

（2）由4x+p＜0，得，而C?A，

∴，

∴p≥4．

点评：本小题主要考查了函数定义域的求解，不等式的基本解法，集合交并运算的求解．考查学生等价转化的思想、数形结合的思想．

17、现有编号分别为1，2，3的三个不同的政治基本题和一道政治附加题，另有编号分别为4，5的两个不同的历史基本题和一道历史附加题．甲同学从这五个基本题中一次随即抽取两道题，每题做对做错及每题被抽到的概率是相等的．

（I）用符号（x，y）表示事件“抽到的两题的编号分别为x、y，且x＜y”共有多少个基本事件？请列举出来．

（II）求甲同学所抽取的两道基本题的编号之和小于8但不小于4的概率．

（III）甲同学在抽完两道题基本题之后又抽取一道附加题，求他抽到两道政治基本题和一道历史附加题的概率．

考点：古典概型及其概率计算公式。

专题：计算题。

分析：（I）由题意知抽到的两题的编号分别为x、y，且x＜y”共有10个等可能性的基本事件，列举出所有的事件即可．注意做到不重不漏．

（II）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是10，满足条件的事件由（1）可知事件共含有7个基本事件，根据古典概型的概率公式得到结果．

（III）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件由列举法共有20个等可能性的基本事件，满足条件的有3个基本事件符合抽到两道政治基本题和一道历史附加题，根据古典概型公式得到结果．

解答：解：（I）共有10个等可能性的基本事件，列举如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），

（2，3），（2，4），（2，5）（3，4），（3，5），（4，5）．

（II）由题意知本题是一个古典概型，

记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于8但不小于4”为事件A

试验发生包含的事件数是10，

满足条件的事件由（1）可知事件共含有7个基本事件，

列举如下：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4）

∴

（III）由题意知本题是一个古典概型，

试验发生包含的事件由列举法共有20个等可能性的基本事件，

满足条件的有3个基本事件符合抽到两道政治基本题和一道历史附加题，

∴概率为

点评：本题主要考查古典概型，解决古典概型问题时最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数．

18、在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向

量

，，且∥，

B为锐角．

（1）求角B的大小；

（2）设b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．

考点：余弦定理；平行向量与共线向量；同角三角函数基本关系的运用。

专题：计算题。

分析：（1）根据向量平行的条件得到=，利用二倍角的正弦、余弦函数

公式及同角三角函数间的基本关系化简可得tan2B的值，根据B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值求出B即可；

（2）根据求出的B的度数和b等于2，由余弦定理得到一个关于a和c的关系式，利用基本不等式求出ac的最大值，利用面积公式表示出三角形的面积，根据ac的最大值即可得到面积的最大值．

解答：解：（1）由∥得

即．即．

又∵B为锐角，∴2B∈（0，π）．

∴，∴；

（2）∵，

∴由余弦定理得a2+c2﹣ac﹣4=0．

又∵a2+c2≥2ac，代入上式得ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立）．

∴（当且仅当a=c=2时等号成立）．

∴△ABC 面积的最大值为．

点评：此题考查学生掌握向量平行时的条件，灵活运用余弦定理和三角形的面积公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道综合题．

19、如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；

（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．

考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定。

专题：证明题。

分析：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，欲证AF∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面平面BCE内一直线平行，而AF∥BP，AF?平面BCE，BP?平面BCE，满足定理条件；

（Ⅱ）欲证平面BCE⊥平面CDE，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCE内一直线与平面CDE垂直，而根据题意可得BP⊥平面CDE，BP?平面BCE，满足定理条件．

解答：证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，

∵F为CD的中点，

∴FP∥DE，且FP=．

又AB∥DE，且AB=．

∴AB∥FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（4分）

又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，

∴AF∥平面BCE（6分）

（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB

∴DE⊥平面ACD又AF?平面ACD

∴DE⊥AF

又AF⊥CD，CD∩DE=D

∴AF⊥平面CDE（10分）

又BP∥AF∴BP⊥平面CDE

又∵BP?平面BCE

∴平面BCE⊥平面CDE（12分）

点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行、面面垂直的判定，考查运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．

20、设数列{b n}的前n项和为S n，且b n=2﹣2S n；数列{a n}为等差数列，且a5=14，a7=20．（1）求数列{b n}的通项公式；

（2）若c n=a n?b n，n=1，2，3，…，T n为数列{c n}的前n 项和．求证：．

考点：等差数列与等比数列的综合。

专题：计算题；综合题；转化思想。

分析：（1

）由题设条件知

．，b n=2﹣2S n，b n﹣b n﹣1=﹣2（S n﹣S n﹣1）=﹣

2b n ．，由此可求出数列{b n}的通项公式．

（2）数列{a n}

为等差数列，公差，可得a n=3n﹣1

．从而

，由此能证明数列{c n}的前n 项和．解答：解：（1）由b n=2﹣2S n，令n=1，则b1=2﹣2S1，又S1=b1，

所以．b2=2﹣2（b1+b2），则．．

当n≥2时，由b n=2﹣2S n，可得b n﹣b n﹣1=﹣2（S n﹣S n﹣1）=﹣2b n ．即．．

所以{b n}是以为首项，为公比的等比数列，于是．

（2）数列{a n}为等差数列，公差，可得a n=3n﹣1．

从而c n=a n?b n=2（3n﹣1）?

∴

=．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．21、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，求证：PC是⊙O的切线．

考点：圆的切线的判定定理的证明。

专题：证明题。

分析：要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．由△PAO≌△PCO，可证得∠PCO=90°．

解答：证明：连接OC，

∵PA⊥AB，

∴∠PA0=90°．（1分）

∵PO过AC的中点M，OA=OC，

∴PO平分∠AOC．

∴∠AOP=∠COP．（3分）

∴在△PAO与△PCO中有OA=OC，∠AOP=∠COP，PO=PO．

∴△PAO≌△PCO．（6分）

∴∠PCO=∠PA0=90°．

即PC是⊙O的切线．（7分）

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

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